Određeni integrаl
Određeni (ili Rimаnov) integrаl je proistekаo iz problemа površine koji dаtirа još od аntičke Grčke. Problem kvаdrаture pаrаbole je postаvio Arhimed, i to rešenje se smаtrа jednim od prvih znаčаjnih rezultаtа mаtemаtičke аnаlize. Određeni i neodređeni integrаl pri definisаnju nemаju nikаkvih dodirnih tаčаkа, jer se određeni integrаl definiše kаo površinа između funkcije i аpscise а neodređeni integrаl kаo obrnuti problem nаlаženjа izvodа. Tek se kаsnije ispostаvilo, postаvljаnjem NJutn-Lаjbnicove formule, dа između njih postoji jаkа relаcijа.

On nije dovoljan da bi se kursevi savladali u potpunosti, jer ne sadzi zadatke, a cesto nedostaju i primeri koji bi ilustrovali date pojmove odnosno teoreme. Navedene kurseve je, naravno, najlakse savladati tako sto se redovno pohada nastava (predavanja i vezbe) i koristi dopunska literatura. No,iskustvo pokazuje da izvestan broj studenata nije u mogucnosti da pohada nastavu, pa ove skripte sluze umesto (tudih) beleski sa predavanja.Grubo govoreci, kurs Matematicka logika, koji se pod raznim nazivimaslusa na osnovnim ili master studijama matematike, oslanja se na poglavlja 1, 2 i 4, a kurs Matematicka logika u racunarstvu na poglavlja 1, 2i 3

Osnovno sredstvo sporazumjevanja među ljudima je jezik. Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr. slikarski, muzički, obični govorni i književni jezik. Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika.
Za razliku od npr. slikarskog jezika, metematici je potreban jezik pomoću koga se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorečenosti. Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici.
Najsličniji matematičkom jeziku su govorni i književni jezik. Osnovu ovih jezika čine glas, slovo, riječ i rečenica. Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi ili termini. Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenjive.

Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj. veličine kojima se vrijednost ne mjenja, npr. –8, 0, 2, 2/3, 5……….

Promjenjive su simboli koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti promjenjive. Konstante kojima se zamjenjuju promjenjive nazivaju se vrijednosti promjenjivih.

Matematičke formule koje sadrže promjenjive kojima vrijednost nije definisana i za koje se zbog toga nemože jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne forme, iskazne funkcije, ili predikati. Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenjivih uvrste konstante, tj. vrijednosti promjenjivih. Za predikate sa jednom, dvije, tri, itd. promjenjivih se kaže da su dužine jedan, dva, tri, itd.

 
Pojmovi i oznake matematičke logike

Zbog preciznosti i kratkoće u izlaganju, u matematici se koriste neki pojmovi i oznake matematičke logike.

Definicija 1. Pod iskazom se podrazumjeva iskaz koji ima smisla i za koji važe sljedeća dva principa:

1. (Princip isključenja trećeg). Svaki sud ima bar jednu od osobina istinitosti ili neistinitosti, tj. ne postoji sud koji bi bio i istinit i neistinit.

2. (Princip kontradikcije). Svaki sud ima najviše jednu od osobina istinitosti ili neistinosti, tj. nema suda koji bi bio istinit ili neistinit.

Ovo je opisna, intuitivna, definicija iskaza. Prema ovoj definiciji, dakle, svaki iskaz ima samo jednu vrijednost istinitosti: iskaz je ili istinit ili neistinit.

Definicija 2: U matematici se istinit iskaz zove teorema ili stav. Vrijednost istinitog iskaza označava se sa ┬ ili sa 1, a neistinitog ┴ ili 0. Među elementima ┬ i ┴, odnosno 1 i 0, definišu se operacije od kojih su osnovne: konjukcija, disjunkcija, negacija, implikacija i ekvivalencija.

Definicija 3: Svaki složeni iskaz dobijen primjenom logičkih operacija konjukcije, disjunkcije, negacije, implikacije i ekvivalencije na neke polazne sudove naziva se formula.

Definicija 4: ¨Formula koja za sve vrijednosti istinitosti iskaza koji ulaze u tu formulu dobija vrijednost ┬ naziva se tautologija.¨

Definicja 5: ¨Formula koja za sve vrijednosti istinitosti iskaza koji ulaze u tu formulu dobija vrijednost ┴ naziva se kontradikcija.¨

(1) DOMEN (oblаst definisаnosti) FUNKCIJE
(2) ASIMPTOTE I TAČKE PREKIDA
(3) PARNOST (I PREIODIČNOST)
(4) NULE I ZNAK FUNKCIJE
(5) MONOTONOST I EKSTREMNEVREDNOSTI FUNKCIJE
(6) KONVEKSNOST; KONKAVNOST; PRVOJNE TAČKE
Nа osnovu dobijenih rezultаtа nаcrtаti:
(7) GRAFIK FUNKCIJE

Uprimeru koji sledi biće detаljno opisаn postupаk ispitivаnjа tokа funkcije kаo i svа potrebnа teoretskа objаšnjenjа zа gore nаvedene stаvke, počev od DOMENA FUNKCIJE do GRAFIKA FUNKCIJE.  Ključnu ulogu kod ispitivаnjа TOKA FUNKCIJE imа rešаvаnje jednаčinа i nejednаčinа, nаime, pomoću njihmi ispitujemo: DOMEN i NULE I ZNAK FUNKCIJE. Trebа svаkаko nаglаsiti dа nule i znаk ispitujemo tri putа.

 
HILBERTOVI PROSTORI
Matematički koncept Hilbertovog prostora generalizira pojam Euklidovog prostora na način da proširuje metode vektorske algebre sa 2-dimenzionalnog i 3-dimenzionalnog prostora na beskonačno dimenzionalan prostor. To je apstraktni vektorski prostor u kojemu udaljenosti i kutovi mogu biti izmjereni i cijeli se nalaze u tom prostoru

Kombinatorika
Na koliko različitih načina možemo ispuniti LOTO listić 7/39? Koliko različitih registarskih oznaka možemo napraviti ako upotrijebimo dva slova i četiri znamenke? Zašto u mjestu od 1020 stanovnika barem dvoje ima iste inicijale? Kombinatorika se bavi prebrojavanjem konačnih skupova. Rezultati kombinatorike koriste se pri izračunavanju vjerojatnosti slučajnih događaja.

 
Princip uzastopnog prebrojavanja
Primjer 1. Proširujemo kućnu biblioteku. Odabrali smo 3 romana, 2 putopisa i 5 knjiga iz struke. Želimo kupiti jednu knjigu iz svakog područja. Na koliko načina to možemo napraviti?

Pojam funkcije
Neka su A i B dva neprazna skupa . ako je nekim propisom f svakom element x skupa A pridružen samo jedan element y skupa B, onda kazemo da je time zadata funkcija na skupu A sa vrednostima u skupu B. Polazni skup A zovemo domen ili područje definisanosti funkcije f, a dolazni skup B zovemo kodomenom ili područjem vrednosti funkcije f. Ako je element xεA pridružen element yεB , posredstvom funkcije f, to simbolčki oznacavamo sa f : xy ili f(x)=y . Element x je nezavisno promenljiva , a y je zavisno promenljiva ili slika elementa x u odnosu na funkciju f. Skup svih slika f(x) zovemo skupom vrednosi funkcije f ili njenom slikom u skupu B

Rešavanje funkcije je slozena matematička radnja koja se sastoji iz nekoliko etapa ili tačaka. Najbitnije je tačno odrediti domen funkcije,oblast definisanosti, jer od nje zavisi ceo ishod zadate funkcije. Svaka funkcija ima svoj grafik,zato je bino odrediti granične vrednosti i neprekidnosti funkcije koja je zadata.

Granične vrednosti funkcije

Pojam limesa(granična vrednost) je onaj granični pojam koji razdvaja “višu“ matematiku od “elementarne“, i spada među najvažnije pojmove mnogih matematičkih disciplina, specijalnog diferencijalnog i integralnog računa.
Pomoću granične vrednosti funkcije definišu se pojmovi neprekidnosti, izvoda i određenog integrala. Pored toga značaj granične vrednosti se ogleda u tome što je pomoću nje moguće analizirati ponašanje i vrednost funkcije u okolini neke tačke čak i kada funkcija u samoj toj tački nije definisana.
Neformalno rečeno, funkcija ima graničnu vrednost L u tački p kada je vrednost funkcije „blizu“ L kad god je vrednost nezavisne promenljive „blizu“p. Drugim rečima, kada se funkcija primeni na vrednost dovoljno blizu vrednosti p, rezultat je proizvoljno blizu vrednosti L. Ukoliko se vrednosti funkcije za tačke u okolini p veoma razlikuju (ako se ne „stabilizuju“ oko neke određene vrednosti) kaže se da funkcija nema graničnu vrednost.

Nastavne jedinice su:

1) Matematička indukcija
2) Deljivost
3) Aritmetički niz
4) Geometrijski niz
5) Diferencne jednačine
6) Granična vrednost niza
7) Geometrijiski red

Empirijska indukcija

Indukcija je metod zaključivanja kojim se iz stavova koji se odnose na određen broj pojedinih slučajeva iste vrste izvodi jedan opšti stav,tj. stav koji se odnosi na sve slučajeve te vrste. Zbog zaključivanja koje se sprovodi na ovakav način, ova indukcija se zove empirijska ili nepotpuna indukcija. Pokazalo se da se takvom indukcijom dolazi kako do istinitih, tako i do neistinitih zaključaka, ali je njena uloga ipak značajna.