Matematičko modeliranje termičkih sistema

Matematički modeli sistema

U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. Klasa sistema koja će se proučavati u toku ovog kursa su: kontinualni, linearni, stacionarni sistemi sa koncentrisanim parametrima. Takvi sistemi se opisuju sistemima linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koefeicijentima.

Obzirom da je veliki broj fizičkih sistema nelinearan, u okviru ove teme će se govoriti i o linearizaciji, koja omogućava primenu Laplasove transformacije (Laplace). Takođe, biće reči i o Laplasovoj transformaciji kao veoma korisnom alatu za rešavanje problema opisanih diferencijalnim jednačinama. Obradiće se relacije ulaz-izlaz (RUI) i funkcija prenosa sistema, a u okviru grafičkih metoda predstavljanja sistema blok dijagram, graf toka signala i njihove transformacije (simplifikacija, uprošćavanje).
Uvod

Da bi se razumjela dinamika i projektovalo upravljanje za neki kompleksan sistem prvo mora biti poznat njegov matematički model. Pošto su razmatrani sistemi u prirodi dinamički, za njihovo opisivanje se koriste sistemi diferencijalnih jednačina (DJ). Pri rešavanju sistema diferencijalnih jednačina pogodno je koristiti Laplasovu transformaciju (LT) koja pojednostavljuje određivanje rešenja. Ukoliko je SAU opisan sistemom nelinearnih DJ pre primene LT je potrebno izvršiti linearizaciju. U praksi, sistemi koji se
razmatraju mogu biti veoma komplikovani, ili njihova priroda nije u potpunosti poznata te je u procesu modelovanja potrebno uvesti (usvojiti) određene pretpostavke, zanemarenja i uprošćenja.

Nakon završenog modelovanja SAU je opisan sistemom linearnih DJ. Na kraju se na osnovu postavljenog modela, primenom LT, određuje ponašanja sistema u različitim uslovima i za različite pobude.

Analiza dinamičkih sistema se prema dosad navednom može raščlaniti na sledeće korake:
1. Definisanje sistema i njegovih komponenti;
2. Formulisanje matematičkog modela uz nabrajanje usvojenih pretpostavki;
3. Pisanje sistema DJ koji opisuje model (sistem);
4. Rešavanje postavljenog sistema jednačina po željenim izlaznim promenljivima;
5. Provera tačnosti rešenja i usvojenih pretpostavki;
6. Ako je potrebno, ponovo proanalizirati sistem i ponovo formulisati model.