Izvod funkcije

Izvod funkcije

Pojam izvoda funkcije
Pojam izvoda nastao je iz problema tangente krive linije i problema brzine kretanja. Prvi problem doveo je Lajbnica (1646-1716), a drugi problem doveo je Njutna (1642-1727), do pojma izvoda, gotovo u istom vremenskom periodu, mada su radili nezavisno jedan od drugoga.

Mnogi matematičari pre Lajbnica su pokušavali da reše problem tangente. Karakteristično za njih je to, da su sadržali takve analitičke i geometrijske postupke koji pokazuju da u nastojanju rešavanja ovog problema tangente, nužno se rađa pojam izvoda. U takvim pokušajima se često javlja ideja da se tangenta linije shvati kao granična kojoj teži sečica krive, kada se jedna od presečnih tačaka po krivoj, drugoj presečnoj tački. Osnovni problem na koji su prethodnici Lajbnica nailazili, kada su pokušali da reše problem tangente ili kada su ga delimično rešili (kao Dekart za algebarske krive) ležala je u prirodi računa sa beskrajno malim veličinama.
Shvativši duboko značaj i smisao Dekartove promenljive, a pri tom ovladavši zakonitostima računa sa beskonačno malim veličinama, Lajbnicu je definitivno pošlo za rukom da reši problem tangente uvodeći pojam izvoda odnosno diferencijala (Nova Methodus pro maximus itenigue tangetibus et singulare pro illis calculi genus 1684).
Dok se Lajbnic bavio problemom tangente, Njutn se bavio problemom brzine koji ga je doveo do pojma izvoda funkcije. U svojoj raspravi Metod fluxia i beskrajnih redova, Njutn se najpre bavi rešavanjem problema pronalaženja brzine kretanja u datom trenutku vremena kada je pređeni put poznat kao funkcija vremena. Veličina koja, za njega, neprekidno zavisi od vremena Njutn naziva fluentom (fluere=teći), a brzinu kojom se menja fluenta u toku vremena fluxia (fluxio=strujanje, tečenje). Kao tipičan primer, Njutn uzima put pokretne tačke. Dakle, Njutn je došao do pojma fluksije, odnosno izvoda, studirajući problem kretanja, što je odigralo značajnu ulogu u razvoju mehanike tokom XVII i XVIII veka.
Priraštaj funkcije
Posmatrajmo (neprekidnu) krivu u xOy ravni, zadatu jednačinom y=f(x). Neka je M0(x0,y0) proizvoljna fiksirana tačka na toj krivoj .