Mjera i integral

Glava 1. Beskonačni skupovi
DefinicijaSkupovi A i B su iste kardinalnostu (iste moći, ekvivalentni)
ako postoji bijekcija f : A 7→ B. Tada pišemo card(A) =
card(B) ili |A| = |B| ili |A ∼ B.
Zadatak. Dokazati da je ∼ relacija ekvivalencije.
Primjer. f(x) = x
|x|−1
je bijekcija skupa realnih brojeva i
intervala (−1, 1).
Zadatak. Naći bijekciju skupa N i skupa svih parnih brojeva.
Zadatak. Naći bijekciju skupa Q+ i skupa N.
Zadatak. Da li postoji raconalna funkcija f sa cjelobrojnim
koeficijentima, takva da je Q ⊆ f(Z)?
Rješenje. Ne! Zaista, ako je limx→∞ f(x) = a, |a| < +∞,
tada postoji N takvo da za
DefinicijaKardinalni broj skupa A je ne ve ci od kardinalnog
broja skupa B (pišemo cardA ≤ cardB ako i samo ako postoji
C ⊆ B, takvo da je A ∼ C.
Primjer 2. Skup je beskonačan ako i samo ako je ekvivalentan
nekom svom pravom dijelu.
Zadatak. Dokazati da je na skupu kardinalnih brojeva ≤
relacija poretka.
Teorema (Cantor, Bernstein). Ako j