Trisekcija ugla

Poreklo problema
Stari grčki matematičari mnogo su se bavili konstruktivnim geometrijskim zadacima. Oni su mnoge probleme koje mi danas rešavamo algebarski  rešavali čisto geometrijski, a pri konstrukciji dozvoljavali su sebi samo upotrebu lenjira i šestara.Poreklo ovog uslova je u tome što su oni smatrali pravu i kružnicu savršenim linijama. Zato su već u njihovo vreme bili uočeni neki konsruktivni zadaci koji se na taj način ne mogu rešiti. Neki od tih zadataka vremenom su postali čuveni zbog svoje složenosti i postali su izazov za generacije dolazećih naučnika. Među njima ističu se sledeća tri:
•    udvostručenje kocke-kojim se zahteva konstrukija ivice kocke čija je zapremina dvostruko veća od zapremine zadate kocke,
•     trisekcija ugla-podela ugla dvema polupravama na tri međusobno podudarna ugla,
•    kvadratura kruga-konstrukcija kvadrata kojem je površina jednaka površini datog kruga.
Znači, problem trisekcije ugla sastoji se u tome da se samo pomoću lenjira i šestara dati proizvoljni ugao podeli na tri jednaka dela. Taj problem nema rešenje, tj. nije moguće naći postupak za podelu proizvoljnog ugla na tri jednaka dela samo pomoću lenjira i šestara, ali to ne znači da se zadatak ne može rešiti pomoću drugih (pomoćnih) sredstava.
Dekart je prvi izneo pretpostavku da se trisekcija proizvoljnog ugla ne može izvršiti pomoću lenjira i šestara, ako na lenjiru nema uobičajene skale ili nekih drugih oznaka.
Strog dokaz nerešivosti zadatka o trisekciji proizvoljnog ugla prvi je 1837. godine dao francuski akademik P. Wentzell. Dotle su, međutim, ne samo mnogi čuveni matematičari, nego i mnogi slabi poznavaoci matematike, pokušavali da ga reše, ovi poslednji često i zato što su  za rešenje raspisivane velike nagrade. Međutim, moguće je izvesti trisekciju ugla drugim instrumentima, koji crtaju druge složenije algebarske krive linije. Šestarom i lenjirom zadatak se, za proizvoljni ugao, može rešiti samo približno i to sa velikom tačnošću.

Rešenja problema pomoću raznih pomoćnih sredstava
Drevnim geometrima bilo je, takođe, dobro poznato da je dovoljno malo »pojačati« konstruktivne mogućnosti šestara i lenjira nekim dopunskim pomoćnim sredstvima, pa bi trisekcija ma kojeg ugla postala izvodljiva.
1.Prvi starogrčki naučnik, koji je dao strogo rešenje problema trisekcije ma kojeg oštrog ugla pomoću dopunskih sredstava, bio je Hipije iz Elide koji je živeo u drugoj polovini petog veka stare ere. Pri tome je koristio krivu, koju je on pronašao i nazvao je kvadratrisa. Hipijina kvadratrisa je ona ista kriva koju je opisao Papos Aleksandrijski. Pogledajmo Paposov opis kvadratrise kiji se može naći u četvrtoj knjizi njegovog Zbornika:
»Opišimo oko tačke G kvadratu ABGD kružni luk BED. Neka duž GB uniformno rotira oko tačke G tako da tačka B opisuje luk BED, i neka se duž BA kreće uniformno prema GD, ostajući sve vreme njoj paralelna. Neka se oba uniformna kretanja vrše istovremeno, tako da se GB i BA poklope istovremeno sa GD. Ove dve pokretne duži seku se u tački koje se kreće zajedno sa njima i opisuje krivu BZT. Ako je GZE jedan položaj rotirajuće duži, a Z tačka preseka sa paralelno pomerajućom duži, tada je, po definiciji, odnos duži BG i upravne ZL, jednak odnosu lukova BD i ED.«