Standardni problem maksimuma

Standardni problem maksimuma

Privredne aktivnosti se, u najvećem broju slučajeva, odvijaju u uslovima ograničenih resursa. Svako ko učestvuje u toj aktivnosti želi da za sebe dođe do najboljeg mogućeh ishoda, da na što bolji način, za sebe, iskoristi te ograničene resurse. To se postiže optimizacijom, gde se može iskoristiti metod zasnovan na matematičkom modeliranju ekonomskih pojava. Jedan od takvih metoda je metod linearnog programiranja.
Linearno programiranje je grana matematike koja se bavi problemom optimizacije sastava unutar zadatih ograničenja. Uveo ju je Leonid Kantorovič kasnih 1930-ih godina kao metodu rešavanja problema planiranja proizvodnje. U SAD-u je linearno programiranje razvijeno tokom Drugog Svetskog rata prvenstveno za probleme vojne logistike, kao što je optimiziranje prevoza vojske i opreme. Danas metod lineranog programiranja razvija se u bogatu matematičku oblast koja se i dalje razvija i primenjuje se u raznim oblastima nauke.
Proizvođač želi da odredi kako iskoristiti ograničene količine sirovina uz najveći profit, poslovođa kako rasporediti zadati posao između svojih zaposlenih tako da bude napravljen u najkraćem mogućem vremenskom periodu. Cilj ovih problema je optimizacija, maksimiziranje korisnosti ili minimiziranje troškova uz zadata ograničenja što se rešava linearnim programiranjem. Područje primene linearnog programiranja je široko: proizvodnja, transport i distribucija, marketing, telekomunikacije, financijsko ulaganje i planiranje, raspored zaposlenika. Formulirati realni životni problem kao problem linearnog programiranja zahteva timski rad stručnjaka iz više područja. Pretpostavke koje moraju biti zadovoljene da bi određeni model predstavljao model linearnog programiranja su:
Linearnost – podrzumeva postojanje lineanih zavisnosti između promenjivih u zadatku linearnog programiranja. Ova prepostavka je zadovoljena tako što su fukcija cilja i sistemi ograničenja izraženi lineranim fukcijama u modelu linearnog programiranja.
Izvesnost – svi parametri modela su unapred jednoznačno određeni, što znači da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ograničenja deterministički određeni i ne menjaju se u toku rešavanja
Deljivost – podrazumeva da promenljive u modelu ne moraju biti celi brojevi već mogu biti izražene i u obliku decimalnih brojeva
Nenegativnost – ova pretpostavka ima svoj metodološki i ekonomski značaj.
Metodološki – kako je opšti algoritam rešavanja modela (simpleks metod), to je za njegovu primenu neophodno zadovoljenje uslova nenegativnosti.
Ekonomski – kako promenljive u modelu predstavljaju ekonomske veličine one ne mogu biti negativne.

Problem linearnog programiranja može biti maksimizacija i minimizacija određene fukcije, odnosno nalaženje optimalne linearne fukcije,pod uslovom koji su predstavljeni sistemom nejednačina.

Standardni problem maksimuma

Problem standardnog maksimuma je specijalna vrsta linearnog programa koji je jednostavan za analizu . Ovo je model u kome se postavlja zahtev za oređivanje maksimalne vrednosti fukcje cilja F uz odgovarajuće uslove ograničenja koji su dati u obliku sistema nejednačina sa znakom ≤. To je linearni program kojime želimo maksimizirati funkciju cilja:

(max)F=c_1 x_(1 )  c_2 x_2  …. c_n x_(n )

Ograničenja su u obliku:
a_11 x_(1 )  〖a_12 x〗_2  …  a_1n x_n ≤ b_1
a_21 x_(1 )  a_22 x_2  …  a_2n x_(n ) ≤ b_1

. . . .
. . . .
a_m1 x_(1 )  a_m2 x_2  … a_mn x_(n ) ≤ b_n
gde je:
x_(1 ),x_2…,x_(n )≥0