Linearna algebra II

Definicija grupe: Neka je G neprazan skup i neka je • : G × G → G binarna operacija na njemu. Tada algebarsku strukturu (G, •) zovemo grupoid.
Grupoidi mogu imati određena dodatna svojstva koja su od interesa za posebno proucavanje, na primer: (i) Grupoid (G, •) je asocijativan ukoliko za sve a, b, c, ∈ G vazi (a • b) • c = a • (b • c). Asocijativni grupoidi se jos zovu i polugrupe. Grupoid (G, •) ima jedinicu ako postoji element 1 ∈ G (koji je, kao sto se lako
vidi, nužno jedinstven) tako da 1 • a = a • 1 = a vazi za sve a ∈ G. Polugrupe sa jedinicom se nazivaju monoidi. Neka je (G, •) grupoid sa jedinicom 1. Za element a ∈ G kazemo da je invertibilan ako postoji b ∈ G tako da je b • a = a • b = 1.
Grupa je monoid u kojem je svaki element invertibilan; zbog toga je sa logičkog
stanovišta najprirodnije definisati grupe kao algebarske strukture (G, •, −1 , 1)