Универзитет у Источном Сарајеву
Филозофски факултет, Пале
СЕМИНАРСКИ РАД
Предмет: Историја математике
Тема: Методологија математике кроз историју
Ментор:
Студент:
Миленко Пикула
Љубица Спасојевић
Математика Месопотамије
Месопотамија, подручје између Еуфрата и Тигра сматра се колевком људске
цивилизације. Говорећи о математици старе Месопотамије подразумевамо
оставшину Сумераца, Вавилонаца, Асираца, Акађана и других народа који су у
појединим раздобљима живели на деловима тог подручја. Већина најранијих
великих цивилизација настала је уз велике реке. Коришћењем глинених плоча, по
чијим су површинама, док је мекана, урезивали трагове и њиховим каснијим
печенјем на сунцу, створено је клинасто писмо. Тако су добијени трајни и бројни
сведоци њихове учености, па и математичких достигнућа. Сачуваних и
дешифрованих плоча има око 500 000, а од тога су око 150 са чисто математичким
текстом и око 200 разних бројевних таблица. Оне нам сведоче о развијенијем
математичком умећу у односу на Египћане.
Вавилонци су у својим прорачунима користили шездесетични бројевни
систем који је у многим аспектима напреднији од нашег десетичног. Уместо 10
имали су 60 цифара за записивање бројева, тачније 59, јер у Месопотамији нису
знали за нулу све до 3 века пре нове ере. Уведена је подела дана на 24 сата, а сата
на 60 минута и минута на 60 секунди. Од 3000. до 1700. године пре нове ере
појављује се и календар.
Вавилонски бројевни систем
Множење су свели на сабирање и множење потпуних квадрата бројева.
Пронађене су таблице још из 2000 године пре нове ере које садрже квадрате
бројева од 1 до 59. За потребе дељења Вабилонци уводе обрнуте реципрочне
бројеве, па је дељење вршено као множење. Нису имали поступак за дуга дељења.
Карактеристика Вавилонске математике је широка примена таблица које
представљају први вид математичког, научног и наставног средства за помоћ у
операцијама са бројевима. Ппостоје таблице за квадрат, куб, као и за други и трећи
корен.
Јављају се проблеми са низовима:
4
1.
„Треба поделити 59 гина сребра међу петорицом браће тако да
разлика најстаријег и другог буде три пута већа од разлике између другог и трћег, а
да су разлике између другог и трећег, трећег и четвртог, четвртог и петог
међусобно једнаке.“
2.
„Треба поделити 26;15,45 гина сребра међу петоро браће тако да
сваки старији добије 1/5 више од непосредно млађег.“ Објашњења нема, даје се
резултат: b1=7;48,45, b2=6;15, b3=5, b4= 4, b5=3;12
3.
„10 браће,
1
1
3
мине сребра. Брат над братом, а колико више, ја не
знам. Део осмог брата је 6 сикела. Брат над братом: колико има више?“
1 мина=60 сикела, а траже се чланови опадајуће аритметичке прогресије од 10
чланова када је збир 100, а осми члан је 6. Дато је детаљно решење овог задатка.
Израчунава се збир
1
+
2
+
2
2
+
…
+
2
10
и
1
+
2
2
+
3
2
+
…
+
10
2
Појављују се и проблеми са сложеним процентним рачуном:
„За које време ће се добити 2 гура жита, ако је дат 1 гу, а проценат је 0,12 гура
годишње.“ Резултат је 4 године без 2;3,20 месеци.
Врло интересантна је плочица YBC 7289 на којој се израчунава дужина
дијагонале квадрата. Добија се да је
√
2
≈
1,24,51,10
што за страну квадрата дужине
0;30 даје дужину дијагонале 42,25,35. Ова вредност за
√
2
се добија итеративно из
обрасца
a
n
+
1
=
1
2
(
a
n
+
2
a
n
)
, за a
0
=
1
, а даје наведену вредност. На плочици из времена
Хамурабијеве владавине решава се следећи проблем: „Дужина (уш), ширина (саг).
Помножио сам дужину и ширину и тако направио површину (а-ша). Затим сам на
површину додао вишак дужине над ширином и добио 3,3 [183]. Сабрао сам дужину
и ширину, 27. Колика је дужина, ширина и површина?“ Овај проблем се своди на
решавање система једначина: xy+x-y=183, x+y=27. Овај систем је решен тако да се
уведе нова ширина
y
'
=
y
+
2
што одговара смени
y
=
y
'
−
2
. После ове смене, прва
једначина постаје
x
(
y
'
−
2
)+
x
−
y
=
183
⟺
x y
'
=
183
+
27
=
210
тако да се систем
трансформише у
x y
'
=
210
, x
+
y
'
=
29
. Сада је полазни систем једначина сведен на
„канонски“ облик
xy
=
a , x
+
y
=
b
За његово решење користи се идентитет
(
x
+
y
2
)
2
=(
x
−
y
2
)
2
+
xy
.
Појављују се следећа 3 „канонска“ облика система
једначина:
1.
тип:
xy
=
a , x ± y
=
b
(користи се идентитет
(
x
+
y
2
)
2
=(
x
−
y
2
)
2
+
xy
)
2.
тип:
x
2
+
y
2
=
a , x ± y
=
b
(користи
се
идентитет
x
2
+
y
2
2
=(
x
+
y
2
)
2
+(
x
−
y
2
)
2
)
3.
тип:
x
2
−
y
2
=
a , , x ± y
=
b
(користи се идентитет
x
2
−
y
2
=
¿
(
x
−
y
)(
x
+
y
)
Интересантно је напоменути да су решавали и специјалне кубне једначине
облика
x
3
+
x
2
=
k
. На пример:
144
x
3
+
12
x
2
=
21
/
¿
12
смена
12
x
=
y
. Општу
5
1. Хијероглифско тј. украсно или сликовно писмо (свештеничко писмо) које
су користили само за битне натписе, и два писма која су се користила у
свакодневном животу
2. Хијератичко (обична писана слова),
3. Демотичко (скраћено хијератичко) .
За писање су користили папирус, трску и мастило (црвено и црно). Имали су
своје ознаке за бројеве.
Из Египта потичу први чисто математички списи из којих понајвише
сазнајемо о математици те културе. То су Московски и Рајндов папирус.
Московски папирус дотира из око 1850. године пре нове ере и величине је
5.5м*8цм. Садржи 25 проблема и сматра се да је два века старији у односу на
Рајндов папирус. Московски папирус је већ био кориштен и то су биле приватне
забелешке неког писара. Открио га је гроф Галеничев и донео у Москву, па се
понекад и назива Голеничевљев папирус. Рајндов папирус, назван по имену
шкотског египтолога Хенрија Рајнда који га је откупио од египатских сељака 1858.
године у околини Луксора. Изворни документ потиче из 1850. године пре нове ере,
а Ахмес га је преписао 200 година касније. Величина папируса је 6м*32цм, а то је
збирка од 84 проблема.
Ахмесов папирус је збирка таблица и вежби, која је намењена углавном
учењу математике. Садржи вежбе из аритметике, алгебре, геометрије и разних
мерења.
Списи показују да је у Египту у то време већ постојао вид организованог
система наставе. Засебних наука још није било, а главни центри учености су били у
свештенству. Египћани су имали адитивни систем сличан ономе који данас
називамо „римским бројевима“, па су поступци разних математичких операција
били веома сложени. У решавању проблема се не излаже општи метод већ се иде на
конкретна израчунавања. Такође, задаци нису класификовани по методама
решавања већ по темама. Сваки задатак се решава изнова, на јединствен начин, а
понегде се даје и провера резултата. Хијероглифским знацима се писало по камену
како с лева на десно, тако и обрнуто, а понекад и одозго на доле. Повремено су се
употребљавале и неке посебне ознаке за бројеве, на пример: за број 2 цртали би се
говеђи рогови, за број 5 морска звезда, а људска глава била је ознака за број 7 (7
отвора). Нису имали негативне бројеве.
Сабирали су скупљањем истих симбола заједно и претварањем њих десет у
један симбол, док се одузимало тако што се одмицао одређен број истих симбола.
То је некада било компликовано када је требало одузети више симбола него што их
је приказано.
Множење се сводило на сабирање. Рецимо да желимо да помножимо 34 и 14.
Узимамо 34 и сабирамо га са самим собом. Добијени резултат поново саберемо са
7
