UNIVERZITET U TRAVNIKU
EDUKACIJSKI FAKULTET
MATEMATIKA I INFORMATIKA
HILBERTOVI PROSTORI
SEMINARSKI RAD IZ REALNE ANALIZE
Student: Profesor:
Travnik, april, 2012.
Realna analiza – Hilbertovi prostori
SADRŽAJ
UVOD
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
3
1. HILBERTOVI PROSTORI
.............................................................................................................................................................................................................................................
4
1.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori
..............................................................................................................................................................................
4
1.2. Ortogonalnost i ortogonalni komplement
.............................................................................................................................................................
8
1.3. Ortonormirani sistemi
................................................................................................................................................................................................................................
10
1.4. Linearni funkcionali na Hilbertovim prostorima
..............................................................................................................................
15
2. ZAKLJUČAK1
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................
18
3. LITERATURA
......................................................................................................................................................................................................................................................................................
19
4. PRILOZI
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
20
2
Realna analiza – Hilbertovi prostori
1. HILBERTOVI PROSTORI
Matematički koncept Hilbertovog prostora generalizira pojam Euklidovog prostora
na način da proširuje metode vektorske algebre sa 2-dimenzionalnog i 3-dimenzionalnog
prostora na beskonačno dimenzionalan prostor. To je apstraktni vektorski prostor u kojemu
udaljenosti i kutovi mogu biti izmjereni i cijeli se nalaze u tom prostoru.
1.1. Skalarni produkt. Hilbertovi prostori.
Definicija 1.1.1
. Neka je H linearan vektorski prostor nad poljem skalara Ф i neka je
svakom paru (x, y) H × H pridružen broj (x, y) Ф, tako davrijedi:
1. ( x H) (x, x) 0,
2. (x, x) = 0 x = 0,
3. ( x, y H) (x, y) =
4. ( x, y, z H) (
) (
) =
.
Tada kažemo da je na H definisan skalarni proizvod.
Navedimo neke važnije osobine skalarnog produkta koje proizilaze iz same definicije
Lema 1.1.1.
.
Dokaz : Neka su x, y, z H i
proizvoljni. Tada vrijedi:
(x,
y + z) =
=
Lema 1.1.2.
Dokaz: neka je
proizvoljan. Tada imamo
.
Lema 1.1.3.
.
Dokaz: Neka su
i
proizvoljni. Na osnovu nenegativnosti skalarnog proizvoda
vrijedi,
.
Uzimajući u obzir treću osobinu skalarnog proizvoda i lemu 1.1.1.dobijamo
.
4
Realna analiza – Hilbertovi prostori
Stavljajući da je
,
, imamo
odakle je
.
Množeći zadnju nejednakost sa
, dobijamo
. (1.1)
Jasno je da za y=0 nejednakost (1.1) vrijedi trivijalno, pa (1.1) vrijedi za svaki
.
Ova nejednakost poznata je pod nazivom Schwartzova nejednakost ili nejednakost Cauchy-
Schwartz-Buniakowskog.
Neka je sada H linearan vektorski prostor na kome je definisan skalarni produkt. Za
označimo sa
(1.2)
Definicija 1.1.2.
Linearan vektorski prostor h na kome je definisan skalarni
proizvod iz kojeg izvire norma data sa (2.2), nazivamo unitarnim vektorskim prostorom.
Lema 1.1.4.
U unitarnom vektorskom prostoru vrijedi
. (1.3)
Dokaz: Lako se pokazuje da vrijede sledeće nejednakosti:
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Sabirajući (1.4),(1.5),(1.6), i (1.7) dobijamo
a odavde direktno slijedi jednakost (1.3)
5
