Nacrtna geometrija
Uvod
Nacrtna geometrija je nastala krajem 18. veka. Njen tvorac je francuski matematičar i inženjer
Gaspard Monge (Gaspar Monž) koji je živeo od 1746. – 1818. god. Monž je svoju prvu
Nacrtnu geometriju (
«Geometrie descriptive»
) objavio 1789.g. u kojoj se nalazi postupak
ortogonalnog projiciranja i opšti metod za rešavanje stereometrijskih zadataka konstruktivnim
postupcima.
Nacrtna geometrija je nauka koja se bavi proučavanjem konstruktivno-geometrijskih
postupaka za izvođenje i predstavljanje (prikazivanje) trodimenzionalnog prostora tj. prostornih
trodimenzionalnih geometrijskih formi i njihovih međusobnih odnosa, na dvodimenzionalnoj
ravni – crtežu.
Cilj izučavanja nacrtne geometrije je da kod polaznika - čitaoca razvije sposobnost logičkog
razmišljanja, vizuelnog sagledavanja trodimenzionalnog prostora i da razvija sposobnost
zamišljanja (imaginacije).
Dakle, Nacrtna geometrija omogućava prikazivanje ili predstavljanje trodimenzionalnog prostora
na dvodimenzionalnoj ravni crtežu – listu hartije. Isto tako, ona omogućava da se sa crteža
(lista hartije) , koji ima samo dve dimenzije , može da stvori trodimenzionalna (prostorna)
predstava o objektu koji je prikazan na crtežu. To znači, da crtajući u dve dimenzije, crteže
treba sagledavati trodimenzionalno, s obzirom da se ne može crtati po prostoru, mada sa
pojavom kompjutera postoje programi u kojima je moguće trodimenzionalno modelovanje, ali
projekcije tih trodimenzionalnih modela se opet na ekranu vide kao dvodimenzionalne slike.
Rešavanje zadataka u Nacrtnoj geometriji se izvodi grafičkim konstruisanjem – crtanjem, koje
zbog toga mora da bude tačno i precizno. Crtež uvek treba da bude jednostavan, pregledan i
jasan, da bi sa njega mogao da se ’’pročita’’ i sagleda prikazani objekat. Iako se nacrtna
geometrija najviše koristi za rešavanje praktičnih problema u tehnici, inženjerstvu, kartografiji,
fotogrametriji, astronomiji, dizajnu, slikarstvu, itd. ona može da se koristi i za izučavanje i razvoj
mnogih grana primenjene matematike i fizike.
Nacrtna geometrija može da se izvodi:
-
na
klasičan način
– konstruisanjem crteža na hartiji pomoću olovke, trouglova, lenjira i
šestara.
-
na kompjuteru u odgovarajućim korisničkim programima za crtanje CAD ili CAGD -
computer aidid design ili computer aidid geometric design.
Ako se Nacrtna geometrija izvodi na
klasičan način
moguće je trodimenzionalni geometrijski
prostor konstruktivno obrađivati i prikazivati u različitim projekcijama ali samo na
dvodimenzionalnoj ravni crtežu.
Međutim, ukoliko se Nacrtna geometrija obrađuje kompjuterom u nekom grafičkom
kompjuterskom programu, trodimenzionalni geometrijski prostor je moguće konstruktivno
obrađivati i prikazivati i u dvodimenzionalnom prostoru – 2D (ravan crteža) i u
trodimenzionalnom prostoru – takozvano 3D modelovanje.
1. OSNOVNI POJMOVI I OSNOVNI GEOMETRIJSKI ELEMENTI TRODIMENZIONALNOG
PROSTORA
Ta
čka
(point), prava (line) i ravan (plane) su osnovni geometrijski elementi prostora.
Tačka
može da se odredi ili definiše:
1) kao presek dve prave
2) kao presek prave sa ravni
3) kao presek tri ravni
Prava može da se odredi:
1) kao presečnica (presek) dve ravni
2) kao spojnica dve tačke
Ravan može da se odredi (definiše):
1) sa tri tačke
2) sa tačkom i pravom
3) sa dve prave (koje se seku ili su paralelne).
1.1.
Međusobni položaj osnovnih geometrijskih elemenata u prostoru
Tačka
može da leži (pripada) nekoj pravi ili da bude izvan nje, i da pripada nekoj ravni ili da
bude izvan nje.
Dve prave mogu da se seku sl.1, mogu da budu paralelne, ili mogu da se mimoilaze. Paralelne
prave se seku u beskonačnoj tački, a mimoilazne prave se ne seku ni u konačnoj ni u
beskonačnoj tački, one ne mogu pripadati ni jednoj zajedničkoj ravni.
Prava može da pripada jednoj ravni, da bude paralelna sa ravni ili da prodire ravan. Prava
pripada ravni ako se u toj ravni nalaze njene dve tačke. Prava je paralelna sa ravni, ako se u toj
ravni nalazi prava koja je paralelna sa posmatranom(zadatom) pravom. Prodor prave kroz ravan,
sa kojom je paralelna, je u beskonačnoj tački prave.
Dve ravni mogu da budu paralelne ili da se seku u konačnosti. Dve ravni su paralelne ako se u
jednoj od njih nalaze dve prave koje su paralelne sa dve prave u drugoj ravni, koje međusobno
nisu paralelne. Presečnica dve paralelne ravni je u beskonačnosti.
Dve mimoilazne prave su međusobno normalne(upravne), ako su paralelne sa kracima
jednog pravog ugla.
Prava je normalna(upravna) na neku ravan onda kada je prava normalna na dve prave koje
pripadaju ravni i seku se u konačnoj tački. U ovom slučaju prava je normalna na sve prave ravni i
naziva se normala ravni, a ravan se zove normalna ravan te prave.
Ravan je normalna na drugu ravan ako u sebi sadrži pravu koja je normalna na drugu ravan.
projekcijski zraci ili (vidni zraci) čiji prodori kroz projekcijsku ravan (likoravan) određuju
projekciju – dvodimenzionalnu sliku – crtež.
Projekcija (slika) neke tačke prostora na nekakvu ravan je prodor projekcijskog zraka (vidnog
zraka), koji prolazi tačkom, kroz ravan na koju se izvodi projiciranje.
Projekcija (slika) prave prostora na ravan je presečnica projicirajuće ravni, koja prolazi kroz
pravu, sa ravni na koju se vrši projiciranje.
U zavisnosti gde se u prostoru nalazi centar(središte) projiciranja ili očna tačka, postoji
nekoliko vrsta projekcija:
Ukoliko je centar projiciranja tačka u konačnosti (sl.1) onda je to centralna projekcija ili
perspektiva. Ako je centar projiciranja beskonačna tačka , tada su projekcijski zraci(vidni zraci)
međusobno paralelni i onda je to paralelna projekcija. U okviru paralelne projekcije postoji
aksonometrija, kosa projekcija(kao specijalan slučaj aksonometrije) (sl.2) i ortogonalna
projekcija (sl.3) u zavisnosti da li su međusobno paralelni projekcijski (vidni) zraci prema
projekcijskoj ravni - ravni crteža(likoravni) u kosom ili ortogonalnom položaju. Ukoliko su
projekcijski zraci kosi prema likoravni to je onda aksonometrija ili kosa projekcija (sl.2) a
ako su projekcijski zraci normalni ili upravni (pod uglom 90
0
) prema likoravni, onda je to
ortogonalna projekcija (sl.3).
2.1. Ortogonalne projekcije osnovnih geometrijskih elemenata prostora
Osnovni geometrijski elementi trodimenzionalnog prostora su tačka (point), prava (line) i
ravan (plane).
Tačka može da se odredi ili definiše: kao presek dve prave ili kao presek prave i ravni ili kao
presek tri ravni.
Prava može da se odredi: kao spojnica dve tačke ili kao presečnica (presek) dve ravni.
Ravan može da se odredi: sa tri tačke ili sa tačkom i pravom ili sa dve prave koje se seku ili sa
dve prave koje su paralelne.
Usvojena je jedna horizontalna ravan (horizontalnica H
≡
1) i van nje jedna
tačka A
(sl.4). Kroz
tačku A je postavljen projekcijski zrak normalno ili ortogonalno na usvojenu horizontalnu ravan
H
≡
1, koja je sada likoravan tj. ravan na koju se vrši projiciranje. Prodor projekcijskog zraka kroz
horizontalnu ravan H
≡
1 je ortogonalna projekcija tačke A na horizontalnicu H
≡
1 i to je prva
ortogonalna projekcija , a obeležava se sa A' (čita se: A prvo) . Ako se ukloni usvojena tačka A i
pomoću prve ortogonalne projekcije A'
pokuša da odredi položaj tačke A u prostoru , uočiće
se da tačka A može da zauzme bilo koji položaj na ortogonalnom projekcijskom zraku
postavljenom normalno iz A'
i da se zbog toga ne može utvrditi odstojanje tačke A od
projekcijske ravni (horizontalnice H
≡
1) . Iz ovoga može da se zaključi, da ako je poznata
samo jedna ortogonalna projekcija tačke, to nije d
ovoljno da bi se odredio i
položaj tačke u prostoru
.
Da bi se predstavilo odstojanje tačke od horizontalnice, u prostoru se pored horizontalne ravni
(horizontalnice H
≡
1) uvodi još jedna frontalna ravan (frontalnica F
≡
2) koja je normalna
(upravna) na horizontalnicu (sl.5). Ove dve koordinatne ravni i projekcijske ravni (horizontalnica
H
≡
1 i frontalnica F
≡
2) dele prostor na četiri dela koji se nazivaju kvadranti. Dve koordinatne i
projekcijske ravni horizontalnica i frontalnica se seku po jednoj pravi, koja se naziva x-osa.
Radi lakšeg sagledavanja položaja osnovnih geometrijskih elemenata u odnosu na usvojene
dve koordinatne ravni H i F, kvadranti se numerišu rimskim brojevima i to tako da je prvi
kvadrant deo prostora iznad horizontalnice, ispred frontalnice. Drugi kvadrant je deo prostora
iznad horizontalnice, iza frontalnice. Treći kvadrant je deo prostora ispod horizontalnice, iza
frontalnice. Četvrti kvadrant je deo prostora ispod horizontalnice, ispred frontalnice sl.5.
Sada se kroz tačku A, koja je uzeta iznad horizontalnice i ispred frontalnice, postavljaju dva
projekcijska zraka, jedan zrak normalno na horizontalnicu H
≡
1, a drugi zrak normalno na
frontalnicu F
≡
2 sl.6. Prodor projekcijskog zraka kroz horizontalnicu je prva ortogonalna
projekcija tačke A, a prodor projekcijskog zraka kroz frontalnicu F je druga ortogonalna
projekcija tačke A, i ona se obeležava sa A" (čita se: A drugo) . Ako se ukloni tačka A i
pomoću ortogonalnih projekcija A' i A" pokuša da odredi položaj tačke A u prostoru , tako
što se kroz ortogonalne projekcije A' i A" postave ortogonalni projekcijski zraci na
horizontalnicu i frontalnicu , u preseku projekcijskih zraka nalazi se tražena tačka A u
prostoru . Iz ovoga se vidi da poznate ortogonalne projekcije , neke tačke iz prostora , na dve
projekcijske ravni (u ovom slučaju horizontalnicu i frontalnicu), su dovoljne da bi mogao da
se odredi i položaj takve tačke u prostoru. Dva ortogonalna projekcijska zraka, postavljena
jedan na horizontalnicu drugi na frontalnicu, obrazuju jednu profilnu ravan, koja je normalna na
obe projekcijske ravni i na x-osu. Presečnice A' Ax i A''Ax ravni AA'AxA'' sa H
≡
1 i F
≡
2
su upravne na presečnicu koordinatnih ravni H i F tj. x-osu sl.6. Pomenuta profilna ravan
posmatrane tačke A se projicira na horizontalnicu i frontalnicu kao prava normalna na x-osu.
Na sl.6a projekcijske ravni H
≡
1 i F
≡
2 su postavljene odvojeno (rasklopljeno) i na njima su
prikazane prva i druga ortogonalna projekcija tačke A i normalna odstojanja y i z od
koordinatnih (projekcijskih) ravni F i H.
Na sl.6b projekcijske ravni H
≡
1 i F
≡
2 su postavljene jedna ispod druge tako da se ose x' i x''
poklapaju. Profilna ravan AA'AxA'' koja je normalna na H i F projicira se kao prava A''AxA'
normalno na x-osu, tj. ima zračnu projekciju i predstavlja vezu između prve i druge ortogonalne
(Monžove) projekcije.
2.1.1. Dekartov pravougli koordinatni sistem
Pored dve pomenute koordinatne ravni horizontalnice H
≡
1 i frontalnice F
≡
2 za prikazivanje
elemenata geometrijskog trodimenzionalnog prostora, u ortogonalnim ili Monžovim
projekcijama, uvodi se i treća koordinatna ravan profilnica P
≡
3, koja je normalna (upravna)
na pomenute dve koordinatne ravni H i F. sl.7
Dakle, osnovni geometrijski elementi trodimenzionalnog prostora mogu da se ortogonalno
projiciraju na jednu, dve ili tri koordinatne (projekcijske) ravni. Za projekcijske ravni ili likoravni,
ortogonalnog projiciranja, se uzimaju koordinatne ravni Dekartovog pravouglog koordinatnog
sistema horizontalnica H
≡
1, frontalnica F
≡
2 i profilnica P
≡
3 sl.7.
Tri koordinatne ravni se nazivaju prema položaju koji one zauzimaju u prostoru. Prva koordinatna
ravan je horizontalnog položaja i ona se naziva horizontalnica a obeležava se sa H ili 1.
Druga koordinatna ravan je frontalnog položaja i zbog toga se naziva frontalnica, a obeležava
se sa F ili 2. Treća koordinatna ravan je profilnog položaja u prostoru i ona se naziva
profilnica, a obeležava se sa P ili 3. Kordinatne ravni H , F i P se seku po tri
prave(presečnice)-koordinatne ose x , y, z. Horizontalnica i frontalnica se seku po x-osi;
horizontalnica i profilnica se seku po y-osi, a frontalnica i profilnica se seku po z-osi. Sve tri
koordinatne ose x, y, z se seku u jednoj tački O koja se naziva
koordinatni početak
sl.7.
Ceo prostor je ispunjen
tačkama
, pravama i ravnima - osnovnim geometrijskim
elementima. Da bi mogao da se prati , odnosno definiše položaj svakog elemenata u prostoru,
potrebno je da se trodimenzionalni prostor uredi. Uređivanje prostora podrazumeva uvođenje
nekakvog stalnog objekta u odnosu na koji bi se geometrijski elementi prostora posmatrali. Za
stalni objekat u prostoru usvojene su tri koordinatne ravni medjusobno ortogonalne (normalne),
koje obrazuju jedan koordinatni sistem, po imenu Dekartov pravougli koordinatni sistem.
