GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA
Željislav Petrovič
[email protected]
Granične vrednosti funkcija
Granična vrednost funkcije (limes funkcije) je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize koji se
tiče ponašanja funkcije u okolini neke vrednosti nezavisne promenljive.Pomoću granične vrednosti
funkcije definišu se pojmovi neprekidnosti, izvoda i određenog integrala.Pored toga značaj granične
vrednosti se ogleda u tome što je pomoću nje moguće analizirati ponašanje i vrednost funkcije u
okolini neke tačke,čak i kada funkcija u samoj toj tački nije definisana.
-
Za broj
A
se kaže da je granična vrednost funkcije
f(x)
u tački
x = a,
ako za svaki proizvoljan broj
ɛ > 0
postoji broj
δ(ε) > 0
, takav da je
| f(x) - A | < ɛ
kad god je
0 < | x - A | < δ(ε).
Simbolički se to piše :
Broj A je granična vrednost funkcije
y = f(x)
definisane na neograničenom intervalu intervalu, kada
| x |→ ∞ ako za proizvoljan broj
(ε) > 0
postoji broj
M(ε) > 0
, takav da je
| f(x) - A | < ɛ
za svako
x > M(ε).
Simbolički se to piše :
- Ako je
x < a
i teži ka
a
, kaže se da x teži sa leve strane i obeležava se
x → a - h
,
Gde je
h > 0 i h → 0.
Simbolički se to piše :
Ovo je leva granična vrednost funkcije.
- Ako je
x > a
i teži ka a, kaže se da x teži sa desne strane i obeležava se
x → a + h,
gde je
h > 0 i h → 0.
Simbolički se to piše :
Ovo je desna granična vrednost funkcije.
- Ako su leva i desna granična vrednost konačne i jednake među sobom onda se kaže da funkcija ima
graničnu vrednost u tački
x = a.
Simbolički zapisano :
Za
x = a
, funkcija ne mora biti definisana, ili ako je definisana njena se vrednost u tački
a
ne mora
poklapati sa brojem
A.
Funkcija je neprekidna u tački
x = a,
ako je granična vrednost funkcije u toj tački konačna i jednaka
vrednosti funkcije tj.
.
-Ako funkcije
f(x) i g(x)
imaju konačne granične vrednosti kada
x → a
, onda važe sledeće zakonitosti:
, onda je
, (c je konstanta)
, gde je c konstanta
