MATURSKI RAD
Matematika
Integralni račun
Profesor:
Učenik:
Vehid Kurtić, prof. Lejla Vardo,
IV
a
Zenica, 2019
4
2. Historija
2.1. Integriranje prije kalkulusa
Sami počeci integriranja sežu dalje i znatno su stariji od nastanka oba, integralnog i
diferencijalnog računa. Prva dokumentovana sistematska tehnika, koja se može smatrati
začetkom integralnog računa je metoda iscrpljivanja starog grčkog astronoma Eudoxusa (oko
370. godine prije Krista). On je pokušao ustanoviti površine i zapremine razbijajući ih u
bekonačan broj podjela za koje su površina ili volumen bili već poznati.
Istu metodu je razvio i upotrijebio Arhimed u 3. st. pne. za izračunavanje površina ispod
parabole i aproksimaciju površine kruga.
Sličan metod je ponovo korišten u 3. st. ne. od strane Liu Huia koji je ovu tehniku koristio za
pronalazak površine kruga.
U 5. st. kineski matematičari, otac i sin, Zu Chongzhij i Zu Geng uz pomoć ovog metoda
pokušavaju odrediti obim sfere.
1
2.2. Newton i Leibniz
Značajni pomaci u integralnom računu se nisu pojavljivali sve do 17. st. kada su J. Kepler, F.
B. Cavalieri, G. Galilei i B. Pascal doradili već postojeće principe teorije. Ipak najveći
napredak u ovom polju matematike se pripisuje Newtonu i Leibnizu koji su otkrili
fundamentalnu teoriju računanja. Suština njihove teoreme je povezivanje diferencijalnog i
integralnog računa koje omogućava računanje integrala ali i računanje mnogo šire klase
problema.
2.3. Formalizacija
Iako je njihov rad imao značajan doprinos još uvijek su postojali elementi koji su morali biti
strože uspostavljeni. Temelji kalkulusa su učvršćeni razvojem limesa. Koristeći limese
integracija je prvi put rigorozno formalizovana od strane Riemanna. Iako su sve ograničene i
neprekinute funkcije integrabilne na ograničenom intervalu koristeći njegove zakone kasnije
je došlo do razmatranja općenitijih funkcija. Tu je do izražaja posebno došla Fourierova
analiza, ali je svoj doprinos istakao i Lebesg.
Pomenuti pristupi koji su zasnovani na realnom sistemu brojeva su oni koji su danas najčešće
korišteni, ali naravno da su uvijek prisutni i alternativni pristupi, kao što je definicija integrala
kao standardnog dijela beskonačne Riemannove sume.
1
Shea Marilyn;
Biography of Zu Chongzhi, University of Maine (2007)
5
3. Problem površine
Kao što je već spomenuto, računanje površine kvadrata, trougla i pravougaonika čak od
početka nije predstavljalo problem. Računanje mnogouglova je pojednostavljeno dijeljenjem
tog lika najčešće na trouglove čiju je površinu znatno lakše izračunti. Ono što je dugo
vremena predstavljalo problem su likovi koji su omeđeni krivima. Primjer takvog lika je dio
površine ograničen grafom funkcije – pseudotrapez (sl.1.1).
Slika 1.1: Pseudotrapez
U ovom slučaju aproksimirat ćemo površinu označenog dijela jednostavnijim likovima čiju
površinu znamo izračunati. Npr., možemo koristiti pravougaonike. Podijelimo segment
[
a , b
]
na n
(
n
∈
N
)
dijelova tačkama
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
. Nacrtajmo upisane i opisane
pravougaonike kojima je dužina jedne stranice dužini segmenata
[
x
k
−
1
, x
k
]
,
k
=
1
, … n
(sl.1.2).
Slika 1.2: Aproksimacija pravougaonicima
Primijetimo da segmenti
[
x
k
−
1
, x
k
]
,
k
=
1
, … n
, ne moraju biti jednakih dužina. Označimo s
p
k
površinu k-tog upisanog pravougaonika, a sa
P
k
površinu k-tog opisanog pravougaonika, pri
čemu je
k
=
1
, … n
. Tada vrijedi
p
k
=
m
k
(
x
k
−
x
k
−
1
)
, P
k
=
M
k
(
x
k
−
x
k
−
1
)
,
(
k
=
1
, … , n
)
,
7
4. Neodređeni integrali
4.1. Pojam i definicija neodređenog integrala
Dok je zadatak diferencijalnog računa da se bavi određivanjem derivacije i diferencijala date
funkcije
y
=
f
(
x
)
, integralni račun rješava problem koji je suprotan problemu deriviranja. Taj
problem je zapravo određivanje funkcije od koje je poznata derivacija, odnosno čiji je
diferencijal poznat. Upravo zbog toga integralni račun se shvata kao inverzna operacija
diferencijalnog računa.
Definicija 4.1.
Funkciju
F
(
x
)
definirano na intervalu
[
a , b
]
nazivamo
primitivnom funkcijom
funkcije
f
(
x
)
ili
integralom
od
f
(
x
)
, ako je
f
(
x
)
derivacija funkcije
F
(
x
)
na tom intervalu,
tj. ako vrijedi relacija
F
'
(
x
)=
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
a , b
]
.
Teorem 4.1.
Neka je
F
(
x
)
primitivna funkcija funkcije
f
(
x
)
na intervalu
[
a , b
]
. Tada je i
funkcija
F
(
x
)+
C
, gdje je
C
proizvoljna konstanta, primitivna funkcija funkcije
f
(
x
)
.
Dokaz. Tvrdnja slijedi iz činjenice da
F
(
x
)+
C i F
(
x
)
imaju derivaciju
f
(
x
)
, tj. da vrijedi
[
F
(
x
)+
C
]
'
=
F
'
(
x
)=
f
(
x
)
.
Teorem 4.2.
Neka su
F
(
x
)
i G
(
x
)
različite primitivne funkcije od
f
(
x
)
na intervalu
[
a , b
]
.
Tada je
G
(
x
)=
F
(
x
)+
C ,C
∈
R .
Dokaz:
Na osnovi pretpostavke teorema imamo
F
'
(
x
)=
f
(
x
)
,G
'
(
x
)=
f
(
x
)
.
Neka je
H
(
x
)=
G
(
x
)−
F
(
x
)
,
odakle slijedi
H
'
(
x
)=
G
'
(
x
)−
F
'
(
x
)=
f
(
x
)−
f
(
x
)=
0
,
A za
H
'
(
x
)=
0
imamo
H
(
x
)=
C
, pa je prema tome
