1.) U kojim fazama se odvija primena ekonomski-matematičkih modela u procesu
donošenja odluka?
1.) Primena ekonomsko-matematičkih modela u procesu donošenja odluka odvija se u
nekoliko međusobno povezanih
faza:
1. prikupljanje podataka-formiranje baze podataka
2. formulisanje ekonomsko-matematičkog modela –formalizacije funkcije
kriterijuma i sistema odraničavajućih uslova
3. rešavanje modela – primena raznih algoritama, matematičkih modela i
računarskih programa
4. ekonomska interpretacija, kvantitativna analiza rešenja i formulisanje predloga za
donošenje odluka
5. donošenje odluka
6. realizacija odluka
7. kontrola izvršenja, analiza dodatnih predloga i informacija i po potrebi
preformulisanje modela
2.) Navedite definiciju za operaciona istraživanja.
2.) Operaciona istraživanja su skup modela, kvantitativnih metoda i algoritama, pomoću
kojih se određuje najpovoljnije rešenje složenih problema iz svih oblasti delovanja ljudi.
Danas pojam operacionih istraživanja označava naučni pristup donošenju odluka, kojim
se istražuje kako na najbolji način dizajnirati i funkcionisati sistem, obično pod uslovima
postojanja potrebe za alokacijom oskudnih resusrsa.
3.) Navedite i objasnite delove modela optimiranja.
3.) Modeli optimiranja ili modeli programiranja sadrže uslov o nenegativnosti, sistem
ograničavajućih uslova i funkciju kriterijuma. Pretpostavimo da se proizvodi n različitih
proizvoda uz korišćenje m izvora koji stoje na raspolaganju u odraničenim količinama
raspoložive količine izvora su elementi vektora b = [b1, b2, …. bm] = [bi], i=1,2, … m .
Za proizvodnju jedinice j-tod proizvoda troši se aij jedinica i-tog izvora. Veličina aij
naziva se tehnički koeficijent: A=[aij], i=1,2, … m , j=1,2, … n. Pretpostavimo da su
prodajne cene proizvoda označene sa Cj, pri čemu Ct=[c1,c2, … cn]=[cj], j= 1,2,…n. Na
osnovu podataka A,b i Ct potrebno je odrediti količine Xj j-te vrste proizvoda, j=1,2,…n,
tako da ukupan prihod bude maximalan. Skup mogućih rešenja M obuhvata sve one
programe/rešenja x koji zadovoljavaju postavljeni sistem ograničenja i uslov o
nenegativnosti. Optimalno rešenje je taj skup rešenja xj koji obezbeđuje ekstremnu
vrednost funkcije kriterijuma.
4.) Navedite modele linearnog programiranja.
4.) Linearno programiranje je namenjen planiranju i raspoređivanju oskudnih resursa s
ciljem postizanja rezultata optimalnih sa stanovišta postavljenog kriterijuma. Linearnost
modela znači da su kako funkcija kriterijuma, tako i sistem ograničavajućih uslova
definisani linearnim matematičkim relacijama.
a.) Opšti (osnovni) model/problem maximuma:
x ≥ 0 ; Ax ≤ b ; C
T
x = Z →
max
b.) Opšti (osnovni) model/problem minimuma: x ≥ 0 ; Ax ≥ b ; C
T
x = Z →
min
1
c.) Standardni model/problem maximuma: x ≥ 0 ; Ax ≤ b ; b ≥ 0 ; C
T
x =Z →
max
Skup mogućih rešenja nikad nije prazan, uvek postoji bar jedno moguće rešenje. Desna
strana ograničavajućih uslova nenegativna.
d.) Kanonski oblik modela/problema: x ≥ 0 ; Ax = b ; C
T
x = Z →
max
Možemo transformisati pomoću dopunskih promenljivih d
j
*
npr: x ≥ 10 → x - d
j
*
= 10
x ≤ 10 → x + d
j
*
= 10
5.) Koje karakteristike ima kanonski oblik modela linearnog programiranja?
5.) Model je u kanonskom obliku ako su svi ograničavajući uslovi izraženi u vidu
jednakosti, pri čemu funkcija kriterijuma teži ili maximumu ili minimumu. Bilo koji
model se može svesti na kanonski oblik, uvođenjem dopunskih promenljivih ( d* ) za
koje takođe važi uslov o nenegativnosti, odnosno u vektorskom obliku d*. Ove
promenljive pokazuju odstupanja vrednosti leve od desne strane pojedinih ograničenja
rešenog modela. Možemo transformisati pomoću dopunskih promenljivih d
j
*
.
npr:
x ≥ 10 → x - d
j
*
= 10
x ≤ 10 → x + d
j
*
= 10
6.) Na koji način se svoid model na kanoski oblik?
6.) Bilo koji model se može svesti na kanonski oblik, uvođenjem dopunskih promenljivih
( d* ) za koje takođe važi uslov o nenegativnosti, odnosno u vektorskom obliku d*. Ove
promenljive pokazuju odstupanja vrednosti leve od desne strane pojedinih ograničenja
rešenog modela. Ukoliko imamo ≤ onda leva strana manja od desne pa moramo povećati
uvođenje dopunske promenljive sa pozitivnim predznakom ( +d* ), a ako imamo ≥ onda
leva strana veća od desne pa moramo umanjiti uvođenjem dopunske promenljive sa
negativnim predznakom ( -d* ). Funkciju kriterijuma ne menjamo.
7.) Šta znači formulisati model? Ne valja, odgovor je na 318-oj strani.
7.) Ekonomsko matematički model je celishodno uprošćena slika određene ekonomske
situacije, uprošćena u tom smislu da sadrži samo one relacije, odnosno elemente koji su
bitni sa aspekta posmatrane problematike. Modeliranje, uopšte, znači ispitivanje
određenih procesa na modelima dok u matematičkom smislu označava iskorišćenje
analogije koja postoji između procesa najrazličitije prirode i koje omogućuje da se ti
procesi opišu matematičkim relacijama.
8.) Koje su pretpostavke primene modela linearnog programiranja?
8.) To su:
1.
proporcionalnost
(multiplikativnost)– ako je utrošak za prvi proizvod 10 jedinica
onda će taj utrošak biti i za svake druge jedinice. To znači da vrednost funkcije
kriterijuma i iskorišćeni deo kapaciteta direktno srazmerni vrednostima promenljivih u
celokupnom skupu mogućih rešenja.
2.
aditivnost
– pojedinačne utroške možemo bez nekih gubitaka sabrati za zbirni. To
znači da se na bilo kom nivou aktivnosti [xj], vrednost funkcije kriterijuma, kao i
iskorišćeni deo kapaciteta, mogu izraziti zbirom odgovarajućih vrednosti koje se odnose
na pojedine promenljive. Ako obrada jednog proizvoda na jednoj mašini traje 20 min. i
ako je obrađeno 7 komada, onda ukupno utrošeno vreme na toj mašini iznsi 7*20 = 140.
2
3.) Ako je skup mogućih rešenja ograničen, tada se sve njegove tačke mogu
obrazovati/odrediti konvexnom linearnom kombinacijom pripadajućih ekstremnih tačaka.
Skup M je ograničen ako je rastojanje bilo koje dve njegove tačke konačan broj, što znači
da M ne sadrži polupravu.
4.) Skup M ima konačan broj ekstremnih tačaka koje raspolažu sa sledećim
karakteristikama:
13.) Koje osobine imaju ekstremne tačke u skupu mogućih rešenja?
13.) Imaju sledeće
osobine.
1. ako postoji jedno optimalno rešenje, tom rešenju pripada ekstremna tačka skupa M
2. ako postoji vise optimalnih rešenja, tada bar dve susedne ekstremne tačke skupa M
daju jednaku ekstremnu vrednost funkcije kriterijuma
3. sve konvexne linearne kombinacije ekstremnih tačaka koje predstavljaju optimalna
rešenja, takođe su optimalna rešenja
4. ako ekstremna tačka daje istu ili povoljniju vrednost funkcije kriterijuma od susednih
ekstremnih tačaka, tada daje istu ili povoljniju vrednost od svih ostalih tačaka skupa
M.
5. svaka ekstremna tačka skupa M je moguće bazno rešenje, odnosno svakom baznom
rešenju pripada ekstremna tačka skupa M
14.) Šta su bazna rešenja i koliki je njihov broj?
14.) Bazno rešenje modela linearnog programiranja je ono rešenje x koje sadrži najviše
toliko pozitivnih promenljivih koliki je rang matrice A i čijim pozitivnim elementima
pripadaju oni vektori matrice A koji obrazuju linearno nezavisan sistem. Svaka ekstremna
tačka skupa mogućih rešenja M predstavlja bazno rešenje. Broj baznih rešenja je
konačan. Iz navedeno proizilazi da optimalno rešenje modela programiranja treba tražiti
među ekstremnim tačkama skupa mogućih rešenja M .
15.) Kakve zavisnosti egzistiraju između ograničenja i broja promenljivih u
primarnom i dualnom modelu?
15.) Činjenica je da svakom osnovnom problemu maksimuma može pridružiti problem
minimuma i obratno. Početni problem se naziva prvobitnim ili primarnim, a pridruženi
problem dualnim problemom ili dualom. S ekonomskog stanovištva dok je u procesu
proizvodnje (primarnom problemu) cilj maximalna efikasnost, dotle je u procesu
vrednovanja (dualnom problemu) cilj minimalno ulaganje za dostizanje određenog nivoa
efikasnosti. Međusobne zavisnosti između ograničenja i broja promenljivih u primarnom
i dualnom modelu su:
1. primarni model ima i-to ograničenje, a dulani i-ta promenljiva
2. primarni model ima j-ta promenljiva, a dulani j-to ograničenje
3. ono što je u primarnom modelu funkcija kriterijum, u dualnom desna strana modela
4. broj ograničenja u primarnom modelu, jednak broju promenljivih u dualnom odelu
5. broj promenljivih u primarnom modelu, jednak broju ograničenja u dualnom odelu
6. tip ograničenja u primarnom modelu: ≤ , a u dualnom modelu: ≥
7. primarni model maximizira funkciju kriterijuma, a dualni minimizira funk. kriterijuma
16.) Navedite stavove vezane za dualitet u linearnom programiranju?
4
16.) Povezanost primarnog i dualnog modela se dokazuje putem sledećih stavova o
dualitetu:
1.) Stav simetrije
2.) Stav slabog dualiteta
3.) Stav jakog dualiteta
4.) Stav egzistencije
5.) Stav komplementarnosti
17.) Objasnite stav egzistencije, stav .....?
17.)
Stav simetrije
– Dual dualnog modela je primarni model. S matematičkog
stanovištva, primarni i dualni model su istog ranga, i nebitno je koji se problem smatra
primarni, a koji dualnim. Kod praktičnih zadataka polazni model je obično značajniji, a
jednostavnija je i njegova ekonomska interpretacija, zato se smatra primarnim, a
pridruženi dualnim modelom.
Stav slabog dualiteta
– Za svako moguće rešenje x primarnog problema i svako
moguće rešenje d duala, vrednost funkcije kriterijuma primarnog problema maximuma
manja je ili jednaka vrednosti funkcije kriterijuma dualnog problema miminuma.
Ekonomsko tumačenje stava slabog dualiteta je povezano sa uslovom da ukupni efekti ne
mogu premašiti ukupna ulaganja, merena dualnim cenama.
Stav jakog dualiteta
– Ako je x
0
moguće rešenje primarnog problema
maximuma, a d
0
moguće rešenje dualnog problema minimuma, i ako je: C
T
x
0
= d
0
T
b , tada
je x
0
optimalno rešenje primarnog, a d
0
optimalno rešenje dualnog problema. S
ekonomskog stanovišta ovaj stav zanči da je pod određenim uslovima sve mogućnosti
povećanja efikasnosti iskorišćene.
Stav egzistencije
– Za egzistenciju optimuma kako primarni, tako i dualni
problem moraju imati moguće rešenje. S druge strane sigurno je da ako oba problema
imaju moguće rešenje, tada postoji i optimalno rešenje. Optimalna rešenja primarnog i
dualnog problema su vezana i neodvoljiva. U vezi sa stavom egzistencije, izvode se
sledeći stavovi:
-
ako primarni problem ima moguće rešenje, a dualni nema moguće rešenje, tada
funkcija kriterijuma primarnog modela nema gornju među, i ne postoji optimalno
rešenje.
-
ako primarni problem nema moguće rešenje, tada dualni problem ili ima ili nema
moguće rešenje, ali optimalno rešenje sigurno ne postoji.
-
ako primarni problem ima alternativno rešenje, tada dualni problem degenerisan i
obratno
Stav komplementarnosti
- Ako je x
0
optimalno rešenje primarnog problema
maximuma, a d
0
optimalno rešenje dualnog problema minimuma važi slegeća relacija:
d
0
T
( b - A x
0
) = ( d
0
T
A - C
T
) x
0
= 0
U relaciji razlika b - A x
0
predstavlja neiskorišćeni deo kapaciteta. Vrednovanje
neiskorišćenih kapaciteta vršeno dualnim cenama daje rezultat nula, što znači da je sa
stanovišta optimiranja neiskorišćeni deo kapaciteta bezvredan. Izraz d
0
T
A - C
T
pokazuje
neiskorišćene ekonomske mogućnosti. Ova neiskorišćena mogućnost iznosi nula za one
pozitivne vrednosti x
0
koje se nalaze u optimalnom programu.
5
