Ekonometrija

Ekonomski fakultet Univerziteta u Beogradu 

EKONOMETRIJA 1D 

I DEO 

−

 Beleške s predavanja 

−

Prof. dr Milena Jovi

č

i

ć

Prema udžbeniku

: Jovi

č

i

ć

, M. i Dragutinovi

ć

 Mitrovi

ć

, R.  

Ekonometrijski metodi i modeli

, CIDEF, Beograd, 2011  

Beograd, april 2012. 

2

UVOD 
Ekonometrija

 je oblast ekonomske nauke koja koriš

ć

enjem modeliranja ekonomskih 

me

đ

uzavisnosti omogu

ć

ava merenje ekonomskih relacija i empirijsko testiranje hipoteza.  

PROGRAM PREDMETA 
Osnovi statisti

č

kog ocenjivanja i zaklju

č

ivanja

:

Slu

č

ajne promenljive i  raspodele osnovnih 

statistika u ekonometrijskom modelu. Ocenjivanje nepoznatih parametara skupa iz podataka uzorka. 
Testiranje statisti

č

kih hipoteza.                           

Osnovi ekonometrijskog modeliranja:

 Metodologija ekonometrijskog istraživanja i klasi

č

ni 

normalni linearni regresioni model (KNLRM). Odstupanja od osnovnih pretpostavki klasi

č

nog 

regresionog modela (

EKONOMETRIJSKI PROBLEMI

:

odstupanje od normalnosti, autokorelacija, 

heteroskedasti

č

nost, multikolinearnost). Specifikacija, testiranje i izbor modela.

Osnovi analize vremenskih serija: 

Modeli stacionarnih vremenskih serija. Jedini

č

ni koren u 

vremenskim serijama. Test jedini

č

nog korena. ARIMA i VAR modeli. Kointegracija: testiranje i 

ocena parametara.                                                       

Specifi

č

ne vrste ekonometrijskih modela: 

Vešta

č

ke varijable. Modeli zavisne promenljive s 

ograni

č

enjem.  Modeli simultanih jedna

č

ina.  Modeli podataka panela.  

Ekonometrijski model

je formalizovana prezentacija znanja i pretpostavki o nekom ekonomskom 

fenomenu, sa ciljem predstavljanja  suštine i na

č

ina operisanja kompleksa realnosti lakše 

razumljivim sistem.  

Ciljevi modela

  (na

č

ini njegove upotrebe):  

♦

testiranje hipoteza odn. ekonomske teorije 

♦

pomo

ć

 u donošenju odluka 

♦

prognoziranje i predvi

đ

anje (bezuslovno i uslovno) 

Ciljevi modela se me

đ

usobno ne isklju

č

uju, ve

ć

 uspešan model omogu

ć

uje ostvarenje kombinacije 

ciljeva. Model se može sastojati od jedne ili više jedna

č

ina modela, pri 

č

emu svaka jedna

č

ina 

predstavlja jedan uzro

č

ni tok, naime zavisnost neke pojave od relevantnih faktora.  

Poželjne osobine ekonometrijskog modela:  

•

relevantnost (zasnovanost cilja) - jasna ideja od koje se polazi 

•

teorijska uverljivost - potrebno je dobro poznavati teoriju ispitivanog fenomena 

•

sposobnost razjašnjenja -  model mora da objasni pojave u realnosti 

•

ta

č

nost ocene parametara - koriš

ć

eni metod mora da omogu

ć

i ta

č

ne i precizne ocene 

•

mogu

ć

nost predvi

đ

anja - model treba da važi i izvan koriš

ć

enog uzorka 

•

jednostavnost - treba da je lako koristiti model 

Podaci

 (promenljive veli

č

ine) u ekonomiji mogu biti razli

č

iti, kvantitativni ili kvalitativni:  

•

vremenske serije - jedna pojava beležena tokom vremena 

•

uporedni podaci - podaci za više posmatranih jedinica (opservacija) u istom periodu 

•

panel podaci - serija uporednih podataka kroz vreme (kombinacija prethodnih) 

•

tehni

č

ki, institucionalni, zakonski (opisni podaci) 

•

konstruisani  podaci (vešta

č

ke varijable), da bi se predstavili opisni uticaji 

Sve ove vrste podataka koriste se u ekonometrijskim modelima, sa ciljem da se ispita njihov uticaj 
na pojavu 

č

ije se formiranje modelom objašnjava.  

M

ETODOLOGIJA EKONOMETRIJSKOG ISTRAŽIVANJA 

Svako uspešno ekonometrijsko istraživanje sastoji se od 

č

etiri faze (stadijuma), kroz koje treba i 

studirati ekonometrijsku metodologiju: 
1.

Specifikacija

: matemati

č

ko formulasanje teorije, odn. polazne hipoteze. 

2.

Ocenjivanje modela

, sadrži faze: sakupljanje, agregiranje i obrada podataka, izbor metoda 

ocenjivanja i njegovu primenu.  

4

•

Variranje oko proseka za sve opservacije je isto (kona

č

na konstantna varijansa). 

•

Visina odstupanja Y od prose

č

ne zavisnosti ne zavisi od prethodne visine; 

•

Visina greške ne zavisi od veli

č

ine X

i

 (jer uzima sasvim nezavisne vrednosti). 

O

CENJIVANJE  LINEARNOG  REGRESIONOG  MODELA

Da bi se model Y=a+bX+u  mogao koristiti, treba 

oceniti nepoznate parametre

 (

a

 i 

b

). 

Ocenjena vrednost

  zavisne promenljive je: 

i

i

X

bˆ

aˆ

Yˆ

+

=

,  a greške  je  

rezidual

e

i . 

Ocenjivanje se obi

č

no obavlja metodom najmanjih kvadrata ili maksimalne verodostojnosti. 

M

ETOD NAJMANJIH KVADRATA 

(NK)

: minimiziranjem sume kvadrata reziduala

 (odstupanja 

stvarnih od ocenjenih vrednosti 

i

i

i

Yˆ

Y

e

−

=

) dobijaju se ocene parametara. 

Reziduali   

)

X

bˆ

aˆ

(

Y

Yˆ

Y

e

ij

j

j

i

i

i

i

∑

+

−

=

−

=

 se kvadriraju pri minimiziranju, jer se u sumi potiru 

(neki su pozitivni, neki negativni, suma im je nula).

 Postupkom minimiziranja

sume rezidualnih 

kvadrata dobijaju se 

normalne jedna

č

ine, 

iz kojih se izvodi 

vektor ocena regresionih parametara b metodom NK

:      

Y

'

X

)

X

'

X

(

bˆ

1

−

=

 . 

Uslov za postojanje rešenja vektora  bˆ : matrica X'X ne sme biti singularna (nezavisne varijable ne 
smeju biti me

đ

usobno perfektno korelisane), a broj opservacija u uzorku treba da je ve

ć

i od broja 

parametara za ocenjivanje (n>k). Ocene su slu

č

ajne promenljive veli

č

ine, kao funkcije slu

č

ajnih 

grešaka modela, sa matricom varijansi i kovarijansi:   

]

)

X

'

X

(

X

'

uu

'

X

)

X

'

X

[(

E

)]

b

bˆ

(

)'

b

bˆ

[(

E

)

bˆ

(

Var

1

1

−

−

=

−

−

=

























=

)

bˆ

(

Var

...

)

bˆ

bˆ

(

Cov

)

bˆ

bˆ

(

Cov

.

.

.

.

)

bˆ

bˆ

(

Cov

...

)

bˆ

(

Var

)

bˆ

bˆ

(

Cov

)

bˆ

bˆ

(

Cov

...

)

bˆ

bˆ

(

Cov

)

bˆ

(

Var

)

bˆ

(

Var

k

k

2

k

1

k

2

2

2

1

k

1

2

1

1

 = 

1

2

)

X

'

X

(

−

σ

uz uslov

 sferi

č

nih grešaka: 

kad je

 E(uu')=

σ

2

I

  (skalarna kovarijantna matrica grešaka, koja 

zamenjuje dve pretpostavke KLRM:  nema ni autokorelacije ni heteroskedasti

č

nosti), 

P

OŽELJNE OSOBINE OCENA PARAMETARA       

Dok su regresioni parametri (b

i

) nepoznate vrednosti u populaciji (parametar podrazumeva 

konstantnu vrednost), njihove ocene su slu

č

ajne promenljive veli

č

ine, 

č

ija vrednost varira od uzorka 

do uzorka, dakle imaju svoju distribuciju.   
Kriterijum valjanosti ocene je koncentrisana raspodela, odnosno zahtev da je ocena:  

♦

u proseku što bliža pravoj vrednosti parametra (

što ta

č

nija

)  

♦

varira minimalno oko te vrednosti (

što preciznija

) 

Poželjne osobine parametara se razlikuju u malim i velikim uzorcima. 

U

 MALIM UZORCIMA

1.

Nepristrasnost

                   -  Ocena  bˆ  je nepristrasna ako je E( bˆ )=b 

2.

Najmanja varijansa

          -

Ocena  bˆ je najbolja ako Var( bˆ )<Var(b*) 

3. 

Efikasnost

                       -   Podrazumeva: 1) nepristrasnost i 2) minimalnu varijansu 

4. 

Linearanost

                      -  Linearna kombinacija opservacija u uzorku 

5. 

Egzostivnost

                     -  Iscrpljuje sve opservacije (sve informacije) 

Obi

č

no se isti

č

e kao poželjna kombinacija ovih osobina (npr. 

NLNO

 = najbolja linearna 

nepristrasna ocena, ili 

MSKG

 = minimalna srednja kvadratna greška: za pristrasne ocene 

minimalna suma pristrasnosti i varijanse). 

5

U

 VELIKIM UZORCIMA

 -

A

SIMPTOTSKE OSOBINE

1.

Asimptotska nepristrasnost    

b

)

bˆ

(

E

lim

n

n

=

∞

→

     Pristrasnost iš

č

ezava sa pove

ć

anjem uzorka (n = broj opservacija). 

2.

Konzistentnost 

p

p

l

l

i

i

m

m

  bˆ

=

=

b

b

. 

U limesu verovatno

ć

e, 

bˆ

 postaje prava vrednost. Podrazumevaju 

se dva uslova: a) asimptotsku nepristrasnost i b) da varijansa teži nuli  (

Sa pove

ć

anjem uzorka 

nestaju i pristrasnost i varijansa

) 

3.

Asimptotska efikasnost

            Podrazumeva tako

đ

e dve osobine:               

a) konzistentnost  i  b) najmanju asimptotsku varijansu (koja brže teži nuli sa 
pove

ć

anjem uzorka  nego varijansa bilo koje druge konzistentne ocene). 

Ispunjenje poželjnih osobina ocena u malim uzorcima vodi ispunjenju u velikim uzorcima, ali 
obrnuto ne važi. 

Osobine ocena dobijenih metodom obi

č

nih najmanjih kvadrata (ONK) 

Iz same definicije, vidi se da su ocene ONK linearne i egzostivne, jer su 

linearne

 funkcije 

svih

opservacija u uzorku. Lako se dokazuje i njihova nepristrasnost ako važe pretpostavke KLRM, kao i 
minimalna varijansa ocena (dokaz u literaturi).  

Teorema Gaussa i Markova: 

Pod pretpostavkama KNLRM o stohasti

č

nosti, ocene dobijene metodom najmanjih kvadrata 

su 

najbolje linearne nepristrasne ocene

  (NLNO). 

Ocene dobijene metodom MV imaju poželjna asimptotska svojstva.  

Nepristrasna ocena varijanse grešaka u uzorku 

Kako se greške ne opažaju, nepoznata je i njihova varijansa, 

σ

2

. Da bi se dobila nepristrasna ocena 

iz reziduala, potrebno je sumu kvadrata odstupanja reziduala od njihove srednje vrednosti (nula) 
podeliti brojem stepeni slobode, a kako je: 

2

2

)

k

n

(

)

e

(

E

σ

−

=

∑

,  to je nepristrasna ocena za  

σ

2

:   

k

n

e

ˆ

2

2

−

∑

=

σ

Tada su ocenjene varijanse i kovarijanse ocena:            

1

2

2

)

X

'

X

(

ˆ

)

bˆ

(

S

−

σ

=

O

CENJIVANJE METODOM MAKSIMALNE VERODOSTOJNOSTI  

(MV) 

Za primenu metoda MV potrebno je da greška modela (i zavisna varijabla kao njena linerarna 
funkcija) ima normalnu distribuciju. Metod MV koristi logiku suprotnu metodu NK (koji 
podrazumeva da je za dati skup moglo biti izvu

č

eno bezbroj slu

č

ajnih uzoraka): na osnovu datog 

uzorka, koji je mogao biti generisan iz niza skupova, na

ć

i onaj skup parametara koji sa najve

ć

om 

verovatno

ć

om generiše takav uzorak.  

Postupak: iz definisane funkcije verovatno

ć

e opservacija uzorka, na

ć

i maksimum verovatno

ć

e po 

nepoznatim parametrima (izjedna

č

avanjem prvog izvoda s nulom, a drugi neg.)  

)

;

bX

a

(

N

Y

2

i

i

σ

+

≈

Funkcija verodostojnosti

:   

Λ

 =f(Y

1

) f(Y

2

)... f(Y

n

)   

a njen  log: 

)

Y

(

f

ln

L

n

1

i

i

∑

=

=

,   gde je:    

2

i

i

2

i

~

X

b

~

a~

Y

2

1

)

2

ln(

2

1

)

Y

(

f

ln













σ

−

−

−

πσ

−

=

   Treba na

ć

i  

max.

2

i

i

2

2

)

X

b

~

a~

Y

(

~

2

1

~

ln

2

n

2

ln

2

n

L

∑

−

−

σ

−

σ

−

π

−

=

   ,  jer  max L=max 

Λ

Za tri nepoznata parametra ( a~ ,  b

~

i 

2

~

σ

) treba na

ć

i vrednosti za koje je L u svom maksimumu (na

ć

i 

prve izvode, izjedna

č

iti ih sa nulom i rešiti, uz uslov da su drugi izvodi 

<

 0.) 

Program 

EViews

 daje vrednost ove funkcije 

(Log Likelihood)

, pod pretpostavkom normalne 

distribucije, za ocenjene vrednosti koeficijenata. Test MV može se sprovesti preko razlike izme

đ

u 

vrednosti MV za verziju jedna

č

ine pod ograni

č

enjem i bez ograni

č

enja (funkcija sadrži i konstantu).