1. LINEARNA ALGEBRA
1.1. Matrice
Definicija 1.1.1. (matrica) Matrice
su dvodimenzionalne šeme realnih brojeva oblika
Koeficijenti a
ij
((i=1,…,m), (j=1,…,n)) zovu se
elementi matrice
.
Elementi a
i1
, a
i2
, …,a
in
(i=1,…,m) čine
i-tu vrstu matrice.
Elementi a
1j
, a
2j
,…,a
mj
(j=1,…,n) čine
j-tu kolonu matrice.
Za matricu koja ima m vrsta i n kolona, kaže se da je
tipa m
n.
Za matricu kod koje je m
n kažemo da je
pravougaona matrica.
Za matricu kod koje je broj vrsta jednak broju kolona jednak broju n, kažemo da je
kvadratna matrica
reda n.
Elementi kvadratne matrice n
n (reda n) , a
11
, a
22
,…,a
nn
čine
glavnu dijagonalu matrice.
Matrica m
n se ukratko označava sa
Primer 1.1.1:
Matrica
A=
je pravougaona matrica tipa 2
3. Njen element a
23
=4.
Definicija 1.1.2. (jednakost matrica)
Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su
im odgovarajući elementi jednaki. Odnosno, ako je
1
onda važi:
.
Definicija 1.1.3. (sabiranje matrica)
Zbir dve matrice istog tipa m
n,
u oznaci A+B je matrica C=A+B data sa
Napomena: Dakle za matrice važi A+B=B+A
Primer 1.1.3.:
Neka je
A=
B=
,
tada je
A+B=
=B+A
Definicija 1.1.4. (množenje matrice brojem)
Proizvod matrice
A=
i broja
R definiše se sa
.
Primer 1.1.4.:
Ako je
A=
2
Definicija 1.1.7. (trougaona matrica)
Kvadratne matrice oblika
,
zovu se
trougaone matrice
.
Definicija 1.1.8. (dijagonalna matrica)
Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van
glavne dijagonale jednaki nuli, zove se
dijagonalna matrica
.
Definicija 1.1.9. (skalarna matrica)
Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj
dijagonali međusobno jednaki, naziva se
skalarna matrica.
Definicija 1.1.10. (jedinična matrica)
Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj
dijagonali jednaki jedinici, naziva se
jedinična matrica (ili identična matrica)
i
obeležava se sa I.
Primer 1.1.10.:
Matrica
A=
=I
je jedinična matrica tipa 3
3.
Definicija 1.1.11.(transponovana matrica)
Transponovana matrica matrice
A=
je matrica A
T
data sa
4
(i-ta vrsta u A je i-ta kolona u A
T
).
Primer 1.1.11.:
Ako je
A=
onda je
A
T=
Definicija 1.1.12. (podmatrica (ili submatrica) zadate matrice)
Matrica B je
podmatrica (submatrica) matrice A
, ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice A
možemo dobiti matricu B.
Definicija 1.1.13. (komatrica polja (i, j) matrice A)
Neka je A matrica tipa m
n , i neka
je 1
i
m , a 1
j
n. Pod
komatricom polja (i, j)
matrice A podrazumevamo njenu
podmatricu koja nastaje uklanjanjem i-te vrste i j-te kolone matrice A i obeležavamo je sa
A
i,j
.
Primer 1.1.13.:
Za matricu
A=
komatrica polja (2,4) je:
A
2,4
=
5
važi detA=a
11
a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+a
13
a
21
a
32
-a
13
a
22
a
31
-a
11
a
32
a
23
-a
12
a
21
a
33
Za matricu reda n
A=
važi
detA=
za bilo koje (i=1,2,..,n), ovo predstavlja takozvano razvijanje po i-toj vrsti,ili
detA=
za bilo koje (j=1,2,..,n), ovo predstavlja takozvano razvijanje po j-toj koloni.
Determinanta detA
i,j
predstavlja determinantu komatrice polja (i, j) matrice A, u oznaci
A
i,j
, koja je reda n-1, a koja se, da se podsetimo, dobija izostavljanjem i-te vrste i j-te
kolone iz matrica A.
Izraz (-1)
i+j
detA
i,j
zovemo
kofaktorom (ili minorom)
elementa a
ij
(ili polja(i,j)), i
označavamo ga sa
Dakle
7
