SEMINARSKI RAD IZ VIŠE MATEMATIKE
Student:
Mentor:
Krnetić Vanja 306-11/RBFT Prof.dr Esad Jakupović
Banja Luka, februar 2012. godine
Seminarski rad iz više matematike
____________________________________________
2
SADRŽAJ
1.
Računske operacije sa matricama
3
1.1
Sabiranje i oduzimanje matrica
3
1.2
Množenje matrice realnim brojem
4
1.3
Množenje matrica
5
2.
Rang matrice
7
3.
Pojam i vrste numeričkih funkcija
9
3.1
Pojam funkcije
9
3.2
Vrste funkcija
11
4.
Izvodi i diferencijali funkcija sa dva i više argumenata
14
4.1
Primjeri izvoda i diferencijala funkcija sa dva i više argumenata
14
4.2
Parcijalni izvodi i totalni diferencijali višeg reda
16
5.
Tablica osnovnih integrala
18
5.1
Pojam integrala
18
5.2
Osnovna svojstva neodređenog integrala
20
5.3
Primjeri osnovnih integrala
21
6.
Literatura
22
Seminarski rad iz više matematike
____________________________________________
4
4. A+(-A)=-A+A=0
1.2 MNOŽENJE MATRICE REALNIM BROJEM
Množenje matrice realnim brojem se vrši tako što svaki element matrice pomnožimo tim
brojem. Dakle važi:
L
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
mn
]
=
[
L a
11
L a
12
⋯
L a
1
n
L a
21
L a
22
⋯
L a
2
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
L a
m
1
L a
m
2
⋯
L a
mn
]
L
∈
R
A=
[
aij
]
mxn
L
∙
A=
[
L aij
]
mxn
Ako matricu pomnožimo sa (-1) dobijamo matricu koju nazivamo suprotnom matricom
matrici A i označavamo je sa –A.
1.
2
∙
[
1 2
3 4
]
=
[
2 4
6 8
]
2.
−
1
∙
[
a b
c d
]
=
[
−
a
−
b
−
c
−
d
]
3.
[
3
6
9 27
]
=
3
∙
[
1 2
3 9
]
Osobine:
1.
L
(
A
+
B
)=
L A
+
L B
2. (
L
+
β
)
∙ A
=
L A
+
βA
3.
(
L∙ β
)
∙ A
=
L
(
β ∙ A
)
Seminarski rad iz više matematike
____________________________________________
5
4.
1
∙
A=A
1.3 MNOŽENJE MATRICA
Množenje matrica vrši se na taj način što se svaki red (vrsta) množi sa svakom kolonom.
Proizvod matrica A=
[
a
ik
]
mxn
i B=
[
b
kj
]
nxp
je matrica C=
[
c
ij
]
mxp ,
gdje je:
c
ij
=
∑
k
=
1
n
a
ik
b
kj
=
¿
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
⋯
+
a
¿
b
nj
¿
Element c
ij
dobijamo tako da se elementi i-te vrste matrice A, idući slijeva udesno, množe
odgovarajućim elementima j-te kolone matrice B, idući odozgo naniže i dobijene
proizvode saberemo.
1.
A
=
[
2
−
4
1
1
1
−
1
−
1
2
2
]
B
=
[
1 4
0 2
1 0
]
A ∙ B
=
[
2
∙
1
−
4
∙
0
+
1
∙
1
2
∙
4
−
4
∙
2
+
1
∙
0
1
∙
1
+
1
∙
0
−
1
∙
1
1
∙
4
+
1
∙
2
−
1
∙
0
−
1
∙
1
+
2
∙
0
+
2
∙
1
−
1
∙
4
+
2
∙
2
+
2
∙
0
]
=
[
3 0
0 6
1 0
]
2.
A
=
[
1
2 3
−
3 0 4
5
2 7
]
B
=
[
1
2
−
3
4
0
−
1
]
A ∙ B
=
[
−
5
7
−
3
−
10
−
1
11
]
B ∙ A
−
nije moguće
Proizvod matrica A i B definisan je samo
ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta
(redova) matrice B
. Množenje matrica u opštem slučaju
nije komutativna operacija
. Može
se desiti da proizvod AB i BA ne postoji, a i kad oba postoje ti proizvodi ne moraju biti
Seminarski rad iz više matematike
____________________________________________
7
2. RANG MATRICE
Svi elementi matrice A tipa mxn koji pripadaju presjeku k vrsta i k kolona, uzeti u
navedenom rasporedu, formiraju kvadratnu podmatricu te matrice reda k gdje je k
≤
min{m,n}.
Ako matrica A ima regularnu kvadratnu podmatricu reda k, a sve ostale njene kvadratne
podmatrice većeg reda, ako postoje, su singularne, tada kažemo da je rang matrice A
jednak k i pišemo r(A)=k.
Ako je rang matrice A jednak k, tada determinantu svake njene regularne podmatrice reda
k nazivamo bazisnim minorom te matrice
.
Za sve vrste i kolone čiji elementi čine bazisni minor kažemo da su bazisne vrste i kolone.
Određivanje ranga matrice ponekad zahtjeva računanje vrijednosti velikog broja minora,
što je dosta nepraktično. Zato koristimo jednostavniji metod, tzv.
metod elementarnih
transformacija
koji sadrži slijedeće postupke:
1. trasponovanje matrice,
2. međusobnu zamjenu mjesta proizvoljne dvije vrste ili kolone date matrice
3. množenje svih elemenata jedne vrste ili kolone realnim brojem različitim od nule
4. dodavanje elemenata jedne vrste ili kolone odgovarajućim elementima neke druge
vrste ili kolone.
Elementarnim transformacijama se ne mijenja rang matrice.
