SEMINARSKI RAD IZ FINANSIJSKE MATEMATIKE
Tema:
Matematička srazmjernost (razmjere i proporcije)
;
Problem
diskontovanja jednokratnih, sporadičnih plaćanja kamaćenja i Procentni i
promilni račun
Student:
Mentor:
Krnetić Vanja 306-11/RBFT Prof.dr Esad Jakupović
Banja Luka, oktobar 2012. godine
Seminarski rad iz finansijske matematike_________________________________________________
2
SADRŽAJ
1.
Matemati
čka srazmjernost
3
1.1
Razmjere
3
1.2
Proporcije
4
1.3
Proporcionalnost promenljivih veličina
7
1.4
Pravilo trojno i verižni račun
7
2.
Problem diskontovanja jednokratnih, sporadičnih plaćanja__________________ 10
3.
Procentni račun 11
3.1
Uvećana glavnica
14
3.2
Umanjena glavnica
15
3.3
Višeetapna povećanja ili umanjenja neke veličine
15
4.
Promilni račun 23
5.
Literatura 25
Seminarski rad iz finansijske matematike_________________________________________________
4
1.2. PROPORCIJE (SRAZMJERE)
Proporcija je jednakost dvaju razmjera jednakih vrijednosti, tj.
(a:x=q - b:y=q)
⇒
a:x=b:y
(1)
Ova proporcija je jednakost prostih razmjera pa se zato naziva prosta proporcija, koja se
može prikazati i ovako:
a/x = b/y
⇒
a/b = x/y
⇒
a·y=b·x
(2)
Ova transformacija ukazuje na egzistenciju značajne osobine prostih proporcija, koja
glasi: "Proizvod spoljašnjih jednak je proizvodu unutrašnjih članova".
Ova činjenica omogućuje da se proporcija (1) po potrebi prikaže u slede ćim oblicima:
a:x=b:y; x:a=y:b
a:b=x:y; b:a=y:x
(3)
x:y=a:b; y:x=b:a
b:y=a:x; y:b=x:a
Osobina proporcija prikazana u (2) omogućuje da se jedan od članova proporcije
izrazi u funkciji ostalih, npr.
y
=
b ∙
x
a
Koristeći se osobinama razmjera i skupom mogućih oblika proporcije (3)
zaključujemo da se proporcija ne mjenja (ne narušava kao jednakost) ako se jedan
spoljašnji i jedan unutrašnji član ili svi članovi pomnože ili podjele istim brojem
različitim od nule.
Proporcija se ne mijenja ni onda kad se svi njeni članovi stepenuju ili korenuju istim
brojem (eksponentom), tj.
a
:
b
=
x
:
y
⇒
a
b
=
x
y
⇒
a
n
b
n
=
x
n
y
n
⇒
a
n
:
b
n
=
x
n
:
y
n
odnosno:
a
:
b
=
x
:
y
⇒
n
√
a
:
n
√
b
=
n
√
x
:
n
√
y
Seminarski rad iz finansijske matematike_________________________________________________
5
Ako je data proporcija a : x = x: b onda se iz nje slijedi: x2 = a
∙
b, odnosno
x
=
√
a ∙ b
, što
znači da je x geometrijska sredina brojeva a i b. Prosta proporcija nastaje kao jednakost
dve proste razmjere, dok produžna proporcija nastaje od tri i više prostih razmjera
jednakih vrijednosti.
Neka su date sledeće razmjere:
a:x = q; b:y = q; c:z = q
(4)
Iz ovih razmjera možemo dobiti redom: a=xq; b=yq; c=zq, a dalje dobijamo proporciju:
a:b:c=(xq): (yq): (zq), odnosno, poslije skraćivanja razmjere na desnoj strani:
a: b : c = x: y : z
(5)
Primjetimo da se prvi članovi datih razmjera odnose međusobno kao i drugi
članovi međusobno. Iz proporcije (5) se, u svrhu rješavanja praktičnih problema, lako
mogu formirati sledeće proste proporcije:
a:b = x:y; a:c = x:z; b:c = y:z.
Na sličan način možemo formirati i proporcije sa 4 i više članova na jednoj strani.
Složena proporcija je, poput složene razmjere, rezultat množenja odgovarajućih
članova više prostih ili više produžnih proporcija. Proporcije se mogu proširiti i skratiti
prema pravilima o proširivanju i skraćivanju razmjera u njima. Proširivanje i skraćivanje
proporcija moguće je izvršiti tako što se odgovarajući članovi na lijevoj i desnoj strani
pomnože odnosno podjele istim brojem.
Npr. u proporciji:
6:12: 18 = 15:40:45.
podelimo prve članove razmjera sa 6, a druge sa 4, pa ćemo dobiti:
1:2:3 = 5:10:9
Seminarski rad iz finansijske matematike_________________________________________________
7
d
=
98
209
∙C
=
46,89
%C
1.3. PROPORCIONALNOST PROMENLJIVIH VELIČINA
Kaže se da su dve veličine proporcionalne ako povećanje jedne ima za poslijedicu
povećanje ili smanjenje druge u istom odnosu (istim intenzitetom).
Ako povećanje jedne ima za poslijedicu povećanje druge velič ine, onda je riječ o
direktnoj srazmjeri (upravo proporcionalnom odnosu) posmatranih veličina.
Ako povećanje jedne ima za poslijedicu smanjenje druge veličine, onda je riječ o
indirektnoj srazmjeri (obrnuto proporcionalnom odnosu) posmatranih veličina.
1.4. PRAVILO TROJNO I VERIŽNI RAČUN, KAO
TEHNIKE
PRIMJENE
PROPORCIONALNOSTI
I
JEDNAKOSTI
Ako smo suočeni sa problemima za čije rješavanje je potrebno i moguće postaviti
jednu ili više proporcija onda se postavka problema može šematizovati u svrhu lakšeg i
jednostavnijeg rada. Pravilo trojno i verižni račun su odavno poznate tehnike takve
vrste. Iako relativno stare tehnika smatramo da ih, zbog moguće upotrebljivosti, ne treba
zanemariti.
Pravilo trojno (ili trojno pravilo) ima takav naziv zbog činjenice da u proporciji
možemo izračunati vrjednost jedne nepoznate, ako su prijeostale tri poznate. Ako se
upoređuju dve veličine, tj. ako je za rješavanje problema potrebno postaviti jednu
prostu proporciju, onda je riječ o prostom trojnom pravilu, a ako se upoređuje više
veličina sa više proporcija onda je riječ o složenom trojnom pravilu.
