VISOKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA ZA MENADŽMENT U
SAOBRAĆAJU
SEMINARSKI RAD
iz
POSLOVNE STATISTIKE
Tema: Srednje vrednosti
Profesor: Student:
Doc. Dr. Milan Stanković
Niš, 2013
Srednje vrednosti
Kad spomenemo reč „statistika“, prvo se pomisli na skup numeričkih podataka o stanju neke pojave ili
na državnu statistiku.Kao poreklo reči „statistika“navodi se latinska reč status, što znači stanje a
statistika opisivanje stanja.
Treba uzeti u obzir da statističke analize datiraj nekoliko vekova pre naše ere. Prva poznata
prebrojavanja sprovedena su u Kini oko 4000 godina pre nove ere i u Egiptu oko 3000 godina pre nove
ere, dok su prvi organizovani popisi vršeni u starom veku u Rimskoj republici. U početku, osnovni
zadatak statističkog istraživanja svodio se na prikupljanje podataka o brojnom stanju stanovnika i
vojske, popisi zemljišta i stoke. Obrada ovih podataka se izvodila da bi država imala uvid u svoju vojnu
i finansijsku moć. U XVI veku ustanovljeni su u nekim evropskim zemljama i registri rođnjnih, umrlih i
venčanih, iz kojih se kasnije razvila statistika prirodnog kretanja stanovništva.
Začeci statistike kao nauke nastali su u Nemačkoj i Engleskoj u VXII veku. Nemačka škola statistike
razvila je metode za deskripciju pojave. Engleska škola uvodi u statistiku matematičke metode i analizu
podataka čime je otvoren put brzom razvoju statistike. Korišćenje teorije verovatnoće u statistici, koje
datira od XIX veka, omogućilo je razvoj teorijske statistike. Takođe, razvoj i korišćenje teori
verovatnoće omogućili su i razvitak novih statističkih teorija kao što je statistička teorija odlučivanja.
Danas je statistika posebna naučna disciplina koja, za realizaciju postavljenih ciljeva istraživanja na
organizovan način prikuplja, vrši odabir i grupisanje podataka, prezentuje i vrši analizu podatak, te
interpretira rezultate sprovedene analize. Iz izloženog izvodimo definiciju da statistika kao nauka se bavi
prikupljanjem, obradom i analiziranjem podataka o masovnim pojavama.
U ovom radu će mo posvetiti pažnju pojmu srednje vrednosti koja se u literaturi sreće pod nazivom mera
centralne tendencije.
2. Pojam, značaj i vrste srednjih vrednosti
Srednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja, po datim merilima, zamenjuje sve vrednosti obeležja
u datoj seriji. U statističkoj litetaruri dobila je naziv reprezentativna vrednost zato što predstavlja i
zamenjuje sve vrednosti serije, jer iz njih proističe i nosi njihove zajedničke karakteristike. Kao
reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakteriše statistički skup. Ako se posmatra jedan
statistički skup po jednom numeričkom obeležju i pođe se od individualnih vrednosti tog obeležja, teško
će se uočiti bitna i zajednička karakteristika čak i kad su pojedinačni podaci, grupisanjem u serije,
svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serija zameni jednim brojem koji omogućava da se uoči
karakteristika posmatranog skupa.
Značaj srednje vrednosti sastoji se u tome što kao informacija može da zameni niz vrednosti serije;
polazeći od posebnih i pojedinačnih odlika pojave, dovodi do opšte i zajedničke odlike kao pravilnosti
pojave. Srednja vrednost na uopšten i jednostavan način omogućava da se iz promenljivih vrednosti
(varijabilnosti) pojave otkrije u njima ono što je bitno i tipično. Ona se upotrebljava kako za sažimanje
podataka u skupu, tako i za karakterisanje njegove dinamike. To je vrednost koja omogućava upoređenje
karakteristika raznih skupova. Srednja vrednost, kao sintetički i reprezentativni pokazatelj, nalazi
primenu u svim oblastima statističke analize.
Da bi srednja vrednost imala značaj reprezentativne i tipiče vrednosti, neophodno je da se određuje iz
homogenog statističkog skupa. Pod homogenim skupom podrazumeva se skup istovrsnih jedinica
posmatranja. U slučaju da je skup heterogen (sastavljen od različitih jedinica), potrebno je najpre izvršiti
podelu skupa u homogene delove, a zatim će se posebno odrediti srednje vrednosti za svaki od tih
delova. Računski i formalno moguće je naći srednju vrednost i u heterogenom skupu, ali takva vrednost
nema značaj statističke srednje vrednosti kao reprezentativnog pokazatelja. Uzmimo, kao primer,
određivanje prosečne plate u jednom preduzeću na osnovu plate direktora, proizvodnog kvalifikovanog
radnika, psihologa i spremačice. Računski, to je jednostavan postupak jer su sve plate u dinarima, pa ih
možemo sabrati i podeliti sa četiri. Međutim, šta takav prosek znači i čiju platu predstavlja? Iz vrednosti
takvih heterogenih jedinica ne može se dobiti reprezentativna vrednost u statističkom smislu. Sasvim
drugi slučaj je ako izračunamo prosečnu platu svih spremačica.
Isto tako, i prilikom upoređivanja srednjih vrednosti dva statistička skupa vodi se računa o homogenosti
U statističkim istraživanjima često se pojavljuje veći broj podataka i njihovih različitih frekvencija,
naime grupisani podaci u vidu rasporeda frekvencija. U takvim slučajevima vrednosti obeležja se najpre
množe odgovarajućim frekvencijama, zatim se tako dobijeni proizvodi saberu i taj zbir se, najzad, podeli
zbirom frekvencija, odnosno ukupnim brojem svih jedinica posmatranja.
Za izračunavanje aritmetičke sredine može se, prema tome, napisati sledeći obrazac:
x = x1f1+x2f2+...+xifi+...+xnfn
f1+f2+...+fi+...+fn
ili, uprošćeno:
x = Σxf
Σf
Ova aritmetička sredina dobila je naziv ponderisana aritmetička sredina prema samom postupku
izračunavanja, koji se sastoji u ponderisanju vrednosti datog obeležja. Množenje pojedinačnih vrednosti
odgovarajućim frekvencijama (x1*f1; x2*f2; i tako dalje) naziva se ponderisanje vrednosti, što u stvari
znači davanje odgovarajućeg značaja svakoj vrednosti ili odmeravanje važnosti svake vrednosti
obeležja. Merilo značaja, ili važnosti, naziva se ponder, u ovom slučaju to su frekvencije. Ukoliko neka
vrednost ima veću frekvenciju, utoliko joj je i značaj veći, jer jače utiče na veličinu aritmetičke sredine.
Ponderisanjem vrednosti obeležja obuhvataju se sve vrednosti datog obeležja, jer množenje pojedinačnih
vrednosti njihovom frekvencijom predstavlja uzimanje te vrednosti toliko puta koliko se javlja. Kod
aritmetičke sredine za negrupisane podatke uzimaju se sve vrednosti obeležja, ali ponderisanja nema,
zato što se svaka vrednost jednom javlja i prema tome sve vrednosti su podjednako značajne ili važne.
Za izračunavanje ponderisane aritmetičke sredine uzećemo kao primer podatak o broju radnika
omladinaca inovatora (zaposlenih u najvećim industrijskim preduzećima Srbije) i o broju njihovih
pronalazaka kojim su doprineli savremenoj i ekonomičnoj proizvodnji. Podaci grupisani u vidu serije
raspodela frekvencija prikazani su u tabeli 1. Na osnovu ovih podataka i datog obrasca za izračunavanje
ponderisane aritmetičke sredine, postupak izračunavanja može se lakše i preglednije obaviti pomoću
radne tabele, kao što je tabela 2.
Tabela 1. Raspored radnika inovatora prema broju pronalazaka
Broj pronalazaka Broj radnika
3 2
5 8
8 5
10 3
12 2
Ukupno 20
Tabela 2. Postupak izračunavanja ponderisane aritmetičke sredine
Broj pronalazaka (x) Broj radnika – inovatora (f) x . f
3 2 6
5 8 40
8 5 40
10 3 30
12 2 24
∑ 20 140
Uzmimo konačan obrazac: x = Σxf
Σf
Iz obrasca se vidi postupak rada:
- pomnožiti vrednosti obeležja frekvencijama (x * f), pri čemu se vrednosti ponderišu;
- sabrati dobijene proizvode (∑xf),
- sabrati frekvencije (∑f) i
- podeliti zbir proizvoda vrednosti obeležja i frekvencija zbirom frekvencija Σxf
Σf
Izračunate veličine uvršćuju se u obrazac i dobija se ponerisana aritmetička sredina:
x = Σxf = 140 = 7
Σf 20
što znači da je prosečan broj pronalazaka po radniku – inovatoru 7. Aritmetička sredina, kao izračunata
vrednost na osnovu svih vrednosti obeležja, po svom apsolutnom iznosu može, ali ne mora, da se
poklapa sa jednom od vrednosti u seriji. Međutim, ona je najčešće bliska vrednostima obeležja čije su
frekvencije najveće, jer su te vrednosti i najviše uticale na njen iznos. U datom primeru najveći značaj
ima vrednost 5 i 8, čije su frekvencije najveće, pa je zbog toga i aritmetička sredina 7 bliska tim
vrednostima. Ovo svojstvo aritmetičke sredine omogućava da se orjentaciono proveri tačnost izračunate
aritmetičke sredine. Ako se aritmetička sredina približava nekoj od vrednosti serije sa malom
frekvencijom, potrebno je proveriti ispravnost računskog postupka, a to treba učiniti i ako je ona manja
od najmanje vrednosti ili veća od najveće vrednosti obeležja u seriji.
U statističkom istraživanjima često se operiše sa kontinuiranim vrednostima grupisanim u vidu
intervalnih serija. Zbog toga se javlja potreba da se pri izračunavanju aritmetičke sredine vodi računa o
tome da su vrednosti date u vidu grupnih intervala. Pravilo je da se za svaki interval odredi jedna
vrednost koja će predstavljati ili zamenjivati sve vrednosti u okviru grupnog intervala. Obično se uzima
sredina grupnog intervala, koja se određuje kao prosek donje i gornje granice svakog intervala.
Kad je interval otvoren (na donjoj ili gornjoj granici, u našem primeru u tabeli 3 na donjoj – do 20),
uzima se za dužinu intervela dužina koji imaju ostali intervali (u našem primeru 10). Zato smo kod
određivanja sredine intervala uzeli za donju granicu prvog (otvorenog) interval 10. Isto bi se postupilo
da je otvorena gornja granica poslednjeg intervala.
Intervalne sredine predstavnjaju vrednosti obeležja (x) u datoj seriji i na osnovu njih i odgovarajućih
frekvencija izračunava se aritmetička sredina za grupisane podatke. Uzmimo, kao primer, da na osnovu
podataka iz tabele 3. i radne tabele 4. izračunamo ponderisanu aritmetičku sredinu vrednosti koje su
relativni brojevi i koje su grupisane u vidu intervalne serije rasporeda frekvencija.
Tabela 3. – Raspored nekoliko privatih restorana prema % dobiti u Beogradu 1997.god.
% dobit Broj restorana
do 20 9
20 – 30 12
30 – 40 12
40 - 50 9
50 – 60 6
60 -70 2
Ukupno 50
Tabela 4. – Radna tabela za obračun ponderisane aritmetičke sredine iz intervalne serije
Sredina intervala (x) ƒ x . ƒ
10 + 20 = 15
2 9 135
20 + 30 = 25
2 12 300
30 + 40 = 35
2 12 420
