BETONSKE KONSTRUKCIJE I
Studijski program:
ARHITEKTURA
VEŽBANJE
2
1
UNIVERZITET U NIŠU
OSNOVNE AKADEMSKE STUDIJE
Gra
đ
evinsko arhitektonski fakultet
Studijski program: ARHITEKTURA
Katedra za materijale i konstrukcije
IV
semestar
BETONSKE KONSTRUKCIJE
BETONSKE KONSTRUKCIJE I
VEŽBANJE 2
PRORA
Č
UN PRESEKA PREMA GRANI
Č
NIM STANJIMA NOSIVOSTI
Dimenzionisanje preseka za grani
č
ne uticaje
od momenta savijanja
M
u
i normalne sile
N
u
(pravougaoni preseci jednostruko i dvostruko armirani)
Armirano betonski preseci u stanju grani
č
ne nosivosti bi
ć
e napregnuti na savijanje
sa normalnom silom u
fazi velikog ekscentriciteta
ako je neutralna osa unutar
popre
č
nog preseka, tj. ako je pritisnuta visina popre
č
nog preseka (x) manja od visine
preseka (d):
x < d
Normalna sila može biti sila pritiska ili sila zatezanja.
Sile u preseku se daju uvek u odnosu na osu sistema koja je ili središna ili težišna
osa.
∆
M
,
M
,
M
p
g
- momenti savijanja u eksploataciji konstrukcije
∆
N
,
N
,
N
p
g
- normalne sile u eksploataciji konstrukcije
u
u
N
,
M
- moment savijanja i normalna sila od dejstva grani
č
nih optere
ć
enja
∆
∆
⋅
γ
+
⋅
γ
+
⋅
γ
=
M
M
M
M
p
p
g
g
u
∆
∆
⋅
γ
+
⋅
γ
+
⋅
γ
=
N
N
N
N
p
p
g
g
u
au
M
- moment savijanja od dejstva grani
č
nih optere
ć
enja u odnosu na
težište zategnute armature ( ako je N
u
= 0 tada je M
au
= M
u
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
±
=
1
u
u
au
a
2
d
N
M
M
Znak (+) se uzima za slu
č
aj sile pritiska, a (-) za slu
č
aj sile zatezanja.
d - visina popre
č
nog preseka
h = d - a
1
- stati
č
ka visina preseka
a
1
- rastojanje od težišta zategnute armature do zategnute ivice AB preseka
b - širina popre
č
nog preseka
f
B
- ra
č
unska
č
vrsto
ć
a betona pri pritisku (Tabela 15.
č
l.82)
BETONSKE KONSTRUKCIJE I
Studijski program:
ARHITEKTURA
VEŽBANJE
2
2
b
f
M
k
B
au
⋅
=
Ukoliko je k > 1.719 - jednostruko armiran presek
Ukoliko je k < 1.719 - dvostruko armiran presek
JEDNOSTRUKO ARMIRAN PRESEK
( k > 1.719 )
Za k, iz tabele se o
č
itava:
b
a
,
,
,
,
s
ε
ε
µ
ζ
Koeficijent armiranja:
min
v
B
f
µ
>
σ
⋅
µ
=
µ
U slu
č
aju da je
min
µ
<
µ
usvaja se minimalni procenat armiranja.
v
u
1
a
N
h
b
100
A
σ
⋅
⋅
µ
=
∓
Znak (-) se uzima za slu
č
aj sile pritiska, a (+) za slu
č
aj sile zatezanja.
DVOSTRUKO ARMIRAN PRESEK
( k < 1.719 )
Moment savijanja koji može da primi jednostruko armiran presek:
b
f
k
h
M
B
2
*
bu
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
719
.
1
k
*
=
au
M
∆
je vrednost momenta za koji treba sra
č
unati pritisnutu armaturu
2
a
A
i dodatnu
zategnutu:
bu
au
au
M
M
M
−
=
∆
Iz tabele za
0
.
3
a
=
ε
,
50
.
3
b
=
ε
se o
č
itava: s = 0.538,
ζ
= 0.776,
µ
= 43.589%
Koeficijent armiranja:
min
v
B
f
µ
>
σ
⋅
µ
=
µ
Površina zategnute armature:
(
)
v
u
2
v
au
1
a
N
a
h
M
h
b
100
A
σ
−
⋅
σ
∆
+
⋅
⋅
µ
=
∓
Znak (-) se uzima za slu
č
aj sile pritiska, a (+) za slu
č
aj sile zatezanja.
Površina pritisnute armature:
(
)
2
v
au
2
a
a
h
M
A
−
⋅
σ
∆
=
A
a1
b
h
d
a
1
A
a1
b
h
d
a
1
A
a2
a
2
BETONSKE KONSTRUKCIJE I
Studijski program:
ARHITEKTURA
VEŽBANJE
2
4
PRIMER 2
Za poznate stati
č
ke uticaje i dimenzije pravougaonog preseka odrediti površinu
preseka potrebne armature.
40
MB
MPa
50
.
25
f
B
=
⇒
2
500
/
400
RA
−
MPa
0
.
400
v
=
σ
⇒
b/d/h=50/45/40 cm
?
A
a
=
kNm
27
.
59
M
g
=
kN
03
.
182
N
g
=
(sila pritiska)
kNm
31
.
240
M
p
=
kN
73
.
701
N
p
=
(sila pritiska)
DIMENZIONISANJE
kNm
39
.
527
31
.
240
8
.
1
27
.
59
6
.
1
M
8
.
1
M
6
.
1
M
p
g
u
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
kN
36
.
1554
73
.
701
8
.
1
03
.
182
6
.
1
N
8
.
1
N
6
.
1
N
p
g
u
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
kNm
40
.
799
05
.
0
2
45
.
0
36
.
1554
39
.
527
a
2
d
N
M
M
1
u
u
au
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
±
=
719
.
1
597
.
1
0
.
50
10
50
.
25
10
40
.
799
0
.
40
b
f
M
h
k
1
2
b
u
<
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
−
⇒
dvostruko armiran presek
Optimalno rešenje predstavlja usvajanje dvostruko armiranog preseka.
Moment savijanja koji može da primi jednostruko armiran presek:
kNm
36
.
690
kNcm
44
.
69036
0
.
50
10
50
.
25
719
.
1
0
.
40
b
f
k
h
M
1
2
B
2
*
bu
=
=
⋅
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
au
M
∆
je vrednost momenta za koji treba sra
č
unati pritisnutu armaturu
2
a
A
i dodatnu
zategnutu.
kNm
04
.
109
36
.
690
40
.
799
M
M
M
bu
au
au
=
−
=
−
=
∆
Iz tabele za:
0
.
3
a
=
ε
,
50
.
3
b
=
ε
, se o
č
itava: s = 0.538,
ζ
= 0.776,
µ
= 43.589%
Koeficijent armiranja:
%
20
.
0
%
78
.
2
0
.
400
50
.
25
598
.
43
f
min
v
b
=
µ
>
=
⋅
=
σ
⋅
µ
=
µ
Površina zategnute armature:
(
)
(
)
1
1
2
v
u
2
v
au
1
a
10
0
.
400
36
.
1554
0
.
5
0
.
40
10
0
.
400
10
04
.
109
40
50
100
78
.
2
N
a
h
M
h
b
100
A
−
−
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
σ
−
⋅
σ
∆
+
⋅
⋅
µ
=
∓
A
a1
b
h
d
a
1
A
a2
a
2
BETONSKE KONSTRUKCIJE I
Studijski program:
ARHITEKTURA
VEŽBANJE
2
5
2
1
a
cm
53
.
24
86
.
38
79
.
7
60
.
55
A
=
−
+
=
Usvojeno:
5
R
∅
25 ( A
a1
= 24.54 cm
2
)
Površina pritisnute armature:
(
)
(
)
2
1
2
2
v
au
2
a
cm
79
.
7
0
.
5
0
.
40
10
0
.
400
10
04
.
109
a
h
M
A
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
σ
∆
=
−
Usvojeno:
3
R
∅
19 ( A
a2
= 8.51 cm
2
)
PRIMER 3
Odrediti
visinu
popre
č
nog pravougaonog preseka ako je poznata širina i momenti
savijanja.
30
MB
MPa
50
.
20
f
B
=
⇒
360
/
240
GA
MPa
0
.
240
v
=
σ
⇒
b=45 cm
?
A
?
h
a
=
=
kNm
0
.
350
M
g
=
kNm
0
.
400
M
p
=
DIMENZIONISANJE
kNm
0
.
1280
0
.
400
8
.
1
0
.
350
6
.
1
M
8
.
1
M
6
.
1
M
p
g
u
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
50
5 R
∅
25
1
3 R
∅
19
2
2 R
∅
12
3
45
u R
∅
8/10/20
4
A
a1
b
h
d
a
1
