www.matematiranje.com
1
1.
Reši diferencijalnu jedna
č
inu: x(1+y
2
) = y y`
Rešenje:
x(1+y
2
) = y y`
x(1+y
2
) = y
dx
dy
sve pomnožimo sa dx (dx
≠
0) i podelimo sa 1+y
2
x dx =
2
1
y
ydy
+
zna
č
i ovo je diferencijalna jedna
č
ina koja razdvaja promenljive!
∫
∫
+
=
2
1
y
ydy
xdx
integral na levoj strani je tabli
č
ni a za ovaj na desnoj strani uzimamo smenu.
=
+
=
∫
2
2
1
2
y
ydy
x
dt
ydy
t
y
=
=
+
2
1
2
=
c
y
c
t
t
dt
+
+
=
+
=
∫
2
1
ln
2
1
ln
2
1
2
1
Dakle:
c
y
x
+
+
=
2
2
1
ln
2
1
2
je opšte rešenje ove diferencijalne jedna
č
ine.
2.
Reši diferencijalnu jedna
č
inu: x
2
= 3y
2
y`
Rešenje:
x
2
= 3y
2
y`
x
2
= 3y
2
dx
dy
sve pomnožimo sa dx (dx
≠
0)
x
2
dx = 3y
2
dy diferencijalna jedna
č
ina koja razdvaja promenljive!
dy
y
dx
x
∫
∫
=
2
2
3
oba su tabli
č
na
c
y
x
+
=
3
3
3
3
3
c
y
x
+
=
3
3
3
ovo je opšte rešenje
3. Reši diferencijalnu jedna
č
inu:
x
y
x
y
2
2
`
+
=
Rešenje:
x
y
x
y
2
2
`
+
=
www.matematiranje.com
2
x
x
y
x
y
2
)
2
(
`
+
=
2
2
`
x
y
y
+
=
ovo je homogena d.j.
Uzimamo smenu :
z
x
z
y
zx
y
z
x
y
+
=
⇒
=
⇒
=
`
`
2
2
`
z
z
x
z
+
=
+
z
z
x
z
−
+
=
2
2
`
2
2
2
`
z
z
x
z
−
+
=
2
2
`
z
x
z
−
=
ovo je diferencijalna jedna
č
ina koja razdvaja promenljive z`=
dx
dz
2
2
z
x
dx
dz
−
=
=
−
z
dz
2
x
dx
2
1
=
−
∫
z
dz
2
∫
x
dx
2
1
c
x
z
ln
ln
2
1
2
ln
+
=
−
−
trik je da kada su sva rešenja po ln da se doda lnc umesto c
c
x
z
ln
ln
2
ln
2
1
1
+
=
−
−
c
x
z
2
1
1
ln
2
ln
=
−
−
antilogaritmujemo
c
x
z
2
1
1
2
=
−
−
c
x
z
=
−
2
1
vratimo smenu
z
x
y
=
c
x
x
y
=
−
2
1
ovo je opšte rešenje, ako zahteva vaš profesor odavde izrazite y
4. Reši diferencijalnu jedna
č
inu: xy
2
dy = (x
3
+ y
3
)dx
Rešenje
: xy
2
dy = (x
3
+ y
3
)dx
2
3
3
xy
y
x
dx
dy
+
=
gore izvla
č
imo x
3
www.matematiranje.com
4
xy` + 2y = x
2
sve podelimo sa x ( x
≠
0)
x
y
x
y
=
+
2
`
ovo je linearna d.j. p(x)=
x
2
i q(x)= x
Opšte rešenje ove d.j. dato je formulom y =
)
)
(
(
)
(
)
(
dx
e
x
q
c
e
dx
x
p
dx
x
p
∫
∫
+
∫
−
Na
đ
imo prvo rešenje integrala
∫
dx
x
p
)
(
∫
dx
x
p
)
(
=
dx
x
∫
2
=2 ln
x
= ln
x
2
4
)
(
4
3
2
ln
)
(
2
x
dx
x
dx
xx
dx
xe
dx
e
x
q
x
dx
x
p
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
y =
)
)
(
(
)
(
)
(
dx
e
x
q
c
e
dx
x
p
dx
x
p
∫
∫
+
∫
−
=
]
4
[
4
ln
2
x
c
e
x
+
−
=
]
4
[
1
4
2
x
c
x
+
dakle:
y =
]
4
[
1
4
2
x
c
x
+
je opšte rešenje.
6
. Reši diferencijalnu jedna
č
inu: y` -2xy = (x – x
3
)
2
x
e
Rešenje:
y` -2xy = (x – x
3
)
2
x
e
ovo je linearna d.j. p(x)= - 2x i q(x)= (x – x
3
)
2
x
e
Na
đ
imo prvo rešenje integrala
∫
dx
x
p
)
(
∫
dx
x
p
)
(
=
2
2
2
2
2
)
2
(
x
x
xdx
dx
x
−
=
−
=
−
=
−
∫
∫
4
2
)
(
)
(
)
(
4
2
3
3
)
(
2
2
x
x
dx
x
x
dx
e
e
x
x
dx
e
x
q
x
x
dx
x
p
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
−
Sada je kona
č
no rešenje :
y =
)
)
(
(
)
(
)
(
dx
e
x
q
c
e
dx
x
p
dx
x
p
∫
∫
+
∫
−
=
]
4
2
[
4
2
2
x
x
c
e
x
−
+
y =
]
4
2
[
4
2
2
x
x
c
e
x
−
+
www.matematiranje.com
5
7 . Reši diferencijalnu jedna
č
inu: y` cos
2
x = tg x – y i na
đ
i ono partikularno rešenje koje zadovoljava
uslove : x=0 i y= 0
Rešenje:
Najpre
ć
emo rešiti datu diferencijalnu jedna
č
inu a zatim na
ć
i vrednost konstante za date uslove.
y` cos
2
x = tg x – y
y` cos
2
x + y = tg x sve podelimo sa cos
2
x
y` +
x
tgx
y
x
2
2
cos
cos
1
=
ovo je linearna d.j.
x
tgx
x
q
x
x
p
2
2
cos
)
(
........
..........
cos
1
)
(
=
=
Na
đ
imo, kao i obi
č
no, prvo rešavamo integral
∫
dx
x
p
)
(
∫
dx
x
p
)
(
=
dx
x
∫
2
cos
1
= tg x
tgx
tgx
t
t
t
t
t
tgx
dx
x
p
e
tgxe
e
te
v
e
du
dt
dv
dt
e
u
t
egracija
a
parcija
dt
te
dt
dx
x
t
tgx
dx
e
x
tgx
dx
e
x
q
−
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
int
......
ln
cos
1
cos
)
(
2
2
)
(
y=
)
)
(
(
)
(
)
(
dx
e
x
q
c
e
dx
x
p
dx
x
p
∫
∫
+
∫
−
= ]
[
tgx
tgx
tgx
e
tgxe
c
e
−
+
−
y =
1
−
+
−
tgx
c
e
tgx
opšte rešenje
Menjamo ovde x=0 i y= 0
0=
1
0
0
−
+
−
tg
c
e
tg
0 = c – 1
c = 1 sad ovo vratimo u opšte rešenje y =
1
1
−
+
−
tgx
e
tgx
= 1
−
+
−
tgx
e
tgx
8. Reši diferencijalnu jedna
č
inu:
y
y
x
xy
4
2
`
2
=
−
Rešenje:
y
y
x
xy
4
2
`
2
=
−
