POLITEHNIČKI FAKULTET TRAVNIK
MATRICE
SEMINARSKI RAD
Predmet:
Matematika
Januar, 2014. godine, Travnik
SADRŽAJ:
Uvod 3
Determinanta matrice 4
Osobine determinante 5
Računske operacije sa matricama 5-6
Inverzna matrica 7
Način računanja inverzne matrice 7
Primjer računanja inverzne matrice 7-8
Recipročna matrica i transponirana recipročna matrica 9
Rang matrice 9
Elementarne transformacije matrice 10
Primjer računanja ranga matrice 11
Matrične jednačine 12
Primjer matričnih jednačina 13
Primjena matričnih jednačina 14
Primjer primjene matričnih jednačina 15
Literatura 16
UVOD
Determinanta je u matematici izraz predočen kvadratnom šemom u kojoj je
poredano
n
2
članova u n vrsta i n kolona i to je determinanta n-tog reda.
Smatrat ćemo da je determinanta kvadratne matrice A
∈
R
NxN
realan broj
pridružen toj matrici. Označavat ćemo ga sa det A ili
|
A
|
. Determinanta se
pridružuje isključivo kvadratnoj matrici. Ukoliko je matrica formata NxN, za
determinantu pridruženu toj matrici kažemo da je reda N.
Neka je
A
=
[
a b
c d
]
proizvoljna matrica formata 2x2.
Po definiciji je
|
A
|=
[
a b
c d
]
=
ad
−
bc
.
Dakle, determinanta drugog reda se izračunava tako što se od proizvoda elemenata na
glavnoj dijagonali (ad) oduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali (bc) te
determinante.
Neka je
A
=
[
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
]
proizvoljna matrica formata 3x3.
Determinantu matrice A ćemo izračunati na sljedeći način:
s desne strane determinante ćemo dopisati prve dvije kolone matrice A
a zatim množimo elemente na tri glavne dijagonale, saberemo hi
i od tog zbira oduzmemo zbir elemenata sa tri sporedne dijagonale.
Imamo:
A
=|
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
|
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
=(
a
1
b
2
c
3
+
b
1
c
2
a
3
+
c
1
a
2
b
3
)−(
b
1
a
2
c
3
+
a
1
c
2
b
3
+
c
1
b
2
a
3
)
4
Osobine determinanti
Ukoliko u determinanti postoji dosta nula lakše je izračunati njihovu vrijednost.
Ovo su neke osobine determinanti pomoću kojih ih je lakše izračunati.
Za svaku kvadratnu matricu A je det A= det AT.
Ako su u matrici A elementi jedne vrste ili kolone jednaki ili
proporcionalni elementima druge vrste ili kolone, determinanta je jednaka
nuli
Determinanta se množi (dijeli) brojem različitim od nule tako da se
elementi jedne vrste ili kolone determinante pomnože (podijele) tim
brojem
Ako dvije vrste ili kolone zamijene mjesta, determinanta mijenja predznak
Vrijednost determinante ostaje ne promijenjena ukoliko sve elemente
neke vrste ili kolone pomnožimo sa nekim realnim brojem i saberemo sa
odgovarajućim elementima neke druge vrste ili kolone.
Za kvadratne matrice A i B, istog formata, vrijedi det(AxB)= det Axdet B.
RAČUNSKE OPERACIJE SA MATRICAMA
Sabiranje
Pod sabiranjem dviju (m,n) materica A i B podrazumijeva se (m,n) matrica C.
Moguće je sabirati samo matrice koje imaju isti broj vrsta i kolona. Matrica
dobijena sabiranjem ima isti broj vrsta i kolona kao polazna matrica.
C=(A+B),
Onda: c
ik
=a
ik
+b
ik
(i=1, …., m; k=1, …., n).
Za sabiranje matrica vrijede zakoni komutacije i asocijacije.
