9. Diferencijalne jednadžbe
163
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
U ovom poglavlju:
Direktna integracija
Separacija varijabli
Linearna diferencijalna jednadžba
Bernoullijeva diferencijalna jednadžba
Diferencijalna jednadžba homogenog stupnja
Egzaktna diferencijalna jednadžba
Dajemo nekoliko karakteristi
č
nih primjera diferencijalnih jednadžbi, gdje funkcija
)
(
x
y
y
=
predstavlja traženo rješenje, dok '
y
obilježava njenu derivaciju, odnosno
dx
dy
y
=
'
:
i)
diferencijalna jedandžba koja se rješava metodom direktne integracije
x
e
y
3
'
=
;
ii)
diferencijalna jedandžba koja se rješava metodom separacije varijabli
)
3
(
'
2
−
=
y
y
y
x
;
iii)
linearna diferencijalna jednadžbe
2
3
2
'
x
e
x
xy
y
−
=
+
;
iv) Bernoullijeva
diferencijalna jednadžba
3
5
'
y
xe
y
y
x
=
−
;
v) egzaktna
diferencijalna
jednadžba
0
)
ln
(
3
=
+
+
dy
x
y
dx
x
y
;
vi) diferencijalna
jedandžba homogenog stupnja
0
)
3
(
2
2
=
+
−
xydy
dx
y
x
.
Mervan Paši
ć
: Matan1 – dodatak predavanjima za grupe GHI
164
Naravno, postoje još mnogi drugi tipovi diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Tipovi koje
smo gore naveli i koje
ć
emo detaljno raditi se naj
č
eš
ć
e pojavljuju u nastavnom procesu.
Primjetimo da pod rješenjem diferencijalne jednadžbe
))
(
,
(
'
x
y
x
F
y
=
podrazumjevamo
funkciju )
(
x
y
y
=
koja zadovoljava tu jednadžbu u smislu da nakon uvrštavanja te funkcije u
))
(
,
(
'
x
y
x
F
y
=
imamo valjanu jednakost. Na primjer, funkcija
1
3
−
=
x
e
y
zadovoljava
diferencijalnu jedandžbu
1
2
'
3
+
=
−
x
e
y
y
, jer kad je uvrstimo u danu jednakost dobivamo 0 =
0. Kažemo još da je funkcija
1
3
−
=
x
e
y
jedno konkretno ili takozvano
partikularno rješenje
ove jednadžbe. Me
đ
utim, to nisu sva njena rješenja. Sva njena rješenja, takozvano
op
ć
e
rješenje
, imaju nakon rješavanje dane jednadžbe
1
2
'
3
+
=
−
x
e
y
y
oblik 1
3
−
+
⋅
=
x
x
e
e
c
y
, gdje
je
c
proizvoljna konstanta. Zna
č
i, trebamo razlikovati pojam op
ć
eg rješenja od pojma
partikularnog rješenja neke diferencijalne jednadžbe
9.1 DIREKTNA INTEGRACIJA
Mali broj diferencijalnih jednadžbi možemo riješiti samo direktnom integracijom. Me
đ
utim,
kad tad, nakon primjene raznih metoda, diferencijalnu jednadžbu dovodimo u oblik za
direktno integriranje. Metodu direktnog integriranja
ć
emo objasniti na slijede
ć
im primjerima.
☺
670.
.
3
1
)
(
3
1
)
(
'
3
3
3
3
c
e
x
y
c
e
dx
e
x
y
e
y
x
x
x
x
+
=
⇒
+
=
=
⇔
=
∫
☺
671.
c
x
x
x
dx
dx
x
dx
x
dx
x
x
y
x
y
+
+
+
=
+
+
=
+
=
⇔
+
=
∫
∫
∫
∫
2
7
2
)
1
(
)
(
)
1
(
'
4
7
3
6
2
3
2
3
.
2
7
)
(
4
7
c
x
x
x
x
y
+
+
+
=
⇒
☺
672.
x
x
x
xdx
x
x
xdx
x
x
y
x
x
y
sin
cos
cos
cos
sin
)
(
sin
'
+
−
=
+
−
=
=
⇔
=
∫
∫
.
sin
cos
)
(
c
x
x
x
x
y
+
+
−
=
⇒
☺
673.
=
+
=
1
)
0
(
4
'
3
y
x
x
y
; potrebno je prvo na
ć
i op
ć
e rješenje, a potom samo ono koje
zadovoljava po
č
etni uvjet
1
)
0
(
=
y
;
i)
c
x
x
dx
x
x
x
y
x
x
y
+
+
=
+
=
⇒
+
=
∫
2
4
3
3
2
4
)
4
(
)
(
4
'
,
ii)
0
0
0
2
4
0
)
0
(
1
)
0
(
2
4
=
⇒
=
+
⋅
+
=
⇒
=
c
c
y
y
,
iii) rješenje:
.
2
4
)
(
2
4
x
x
x
y
+
=
Mervan Paši
ć
: Matan1 – dodatak predavanjima za grupe GHI
166
odnosno trebamo je zapisati u obliku
dx
dy
y
=
'
. Kada se izvrši separacija, tada direktnim
integriranje obadviju strana jednakosti, dolazimo do rješenja dane jednadžbe. Primjetimo, da
se mali broj jednadžbi može riješiti samo separacijom. Me
đ
utim, ve
ć
i broj jednadžbi se može
raznim metodama dovesti na separaciju varijable.
☺
677.
∫
∫
=
−
⇔
=
−
⇔
−
=
xdx
dy
y
xdx
y
dy
y
y
x
y
y
)
3
1
(
)
3
(
)
3
(
5
'
;
Rješenja:
.
2
1
ln
3
2
c
x
y
y
+
=
−
☺
678.
∫
∫
=
−
−
⇔
=
−
⇔
−
=
dx
x
dy
y
y
dx
x
y
y
dy
y
y
y
x
2
2
2
1
)
1
1
1
(
1
)
1
(
)
1
(
'
c
x
y
y
+
−
=
−
−
⇒
1
ln
)
1
ln(
; Rješenja:
x
e
c
x
y
/
1
1
1
)
(
⋅
−
=
i
0
)
(
=
x
y
.
☺
679.
∫
∫
=
−
⇔
=
−
⇔
−
=
dx
x
dy
y
dx
x
y
dy
y
y
x
3
2
3
2
2
3
1
1
1
1
1
1
'
c
x
y
+
−
=
⇒
2
2
1
sin
arc
; Rješenja:
)
2
1
sin(
)
(
2
c
x
x
y
+
−
=
.
☺
680.
∫
∫
=
⇔
=
⇔
=
dx
e
ydy
dx
e
ydy
e
yy
x
x
x
'
c
e
y
x
+
=
⇒
2
2
;
Rješenja:
c
e
y
x
+
=
2
2
.
☺
681.
=
+
=
1
)
0
(
)
1
(
'
2
y
y
x
y
iv)
∫
∫
=
+
⇔
=
+
⇔
+
=
xdx
y
dy
xdx
y
dy
y
x
y
2
2
2
1
1
)
1
(
'
c
x
y
+
=
⇒
2
tg
arc
2
;
Op
ć
e rješenje:
)
2
tg(
)
(
2
c
x
x
y
+
=
;
v)
4
1
)
(0
tg
)
0
(
1
)
0
(
π
=
⇒
=
+
=
⇒
=
c
c
y
y
;
vi) Rješenje
zadatka:
)
4
2
tg(
2
π
+
=
x
y
.
☺
682.
=
=
3
)
1
(
'
2
y
x
yy
i)
∫
∫
=
⇔
=
⇔
=
dx
x
ydy
dx
x
ydy
x
yy
2
2
2
'
c
x
y
+
=
⇒
3
2
3
2
;
9. Diferencijalne jednadžbe
167
Op
ć
e rješenje:
c
x
x
y
+
=
3
2
)
(
3
;
ii)
3
25
3
3
2
)
1
(
3
)
1
(
=
⇒
=
+
=
⇒
=
c
c
y
y
;
iii) Rješenje
zadatka:
3
25
2
3
+
=
x
y
.
☺
683.
=
=
4
)
1
(
'
2
y
e
y
y
x
i)
∫
∫
=
⇔
=
⇔
=
dx
e
dy
y
dx
e
dy
y
e
y
y
x
x
x
2
2
2
'
c
e
y
x
+
=
⇒
3
3
;
Op
ć
e rješenje:
3
3
)
(
c
e
x
y
x
+
=
;
ii)
e
c
c
e
y
y
3
64
4
3
)
1
(
4
)
1
(
3
−
=
⇒
=
+
=
⇒
=
;
iii) Rješenje
zadatka:
3
3
64
3
)
(
e
e
x
y
x
−
+
=
.
♠
ZADACI ZA VJEŽBU
♠
U slijede
ć
im zadacima metodom separacije na
ć
i op
ć
a rješenja diferencijalnih jednadžbi.
684.
dx
y
xydy
1
2
+
=
.
685. 2
'
2
2
2
=
+
y
yy
x
.
686.
xy
xy
y
2
'
2
=
−
.
687. 1
'
)
1
(
=
+
+
+
y
xy
y
x
.
688.
0
3
sin
'
2
3
=
−
y
e
x
x
y
.
689.
y
xe
x
y
y
x
=
'
)
(sin
.
U slijede
ć
im zadacima metodom separacije na
ć
i partikularno rješenje diferencijalnih
jednadžbi.
690.
=
=
5
)
1
(
1
'
y
xyy
. 691.
=
−
=
1
)
1
(
'
y
x
yy
.
692.
=
=
4
)
0
(
'
y
y
y
e
x
.
693.
=
=
+
)
1
(
0
sin
'
π
y
y
xy
.
694.
=
=
+
−
1
)
0
(
0
2
'
)
1
(
2
2
y
xy
y
x
.
695.
−
=
=
+
1
)
0
(
2
'
)
ctg
(
y
y
y
x
.
♠
RJEŠENJA
♠
684.
1
ln
2
+
+
=
y
c
x
.
685.
x
e
c
y
/
1
2
2
⋅
=
−
.
686.
0
i
2
)
1
(
2
=
=
−
⋅
−
y
y
e
c
x
.
687.
c
x
e
y
y
)
1
(
)
2
/
(
2
+
=
+
.
