Факултет техничких наука
одсек: Машинство (Друмски и градски саобраћај)
СЕМИНАТСКИ РАД
Предмет:
НУМЕРИЦКА АНАЛИЗА
Тема:
итеративне методе
Професор:
др Миланка Поповић
Асистент: Студент:
Надица Миленкови СЛАВИША ВЕЛИЧКОВИЋ 4/07
Јануар 2012. Годин
УВОД:
Решавање система једначина представља један од основних проблема који се
срећу у науци и техници. Једначине у таквим системима могу бити алгебарске,
трансцедентне, али се може радити и о обичним диференцијалним једначинама, а у
неким случајевима и парцијалним диференцијалним једначинама. Такође, једначине
могу бити линеарне или нелинеарне. С обзиром да се решавање система нелинеарних
једначина, те решавање обичних и парцијалних диференцијалних једначина често
може свести на решавање система линеарних једначина, овде ће се обрадити само
нумеричко решавање система линеарних алгебарских једначина.
Систем од
n
лиnеарnих алгебарских једnачиnа са n nепозnатих се може nаписати у
облику:
(1. 1.)
где
x
i
(
i
= 1
;
2
; . . . ; n
) представљају непознанице,
a
ij
(
i; j
= 1
;
2
; . . . ; n
) коефицијенте
система, a
b
i
(
i
= 1
;
2
; . . . ; n
) су компоненте на десној страни једнацина.
Систем једнацина (1.1) се може написати и у матрицној форми:
Ax = b (1.2.)
где је А матрица коефицијената (матрица система), а
x
i
b
су вектори колоне, односно:
(1.3.)
Решити систем (1.1), односно (1.2) значи наћи вредности
x
i
(
i
= 1
; . . . ; n
) које
истовремено задовољавају све једначине система. При томе, могу се десити следећи
случајеви:
Јединствено решење – систем је одређен.
Нема решења – систем је противречан.
Бесконачан број решења – систем има недовољан број једначина, тј. неодрен је.
У решавању система линеарних алгебарских једнацина постоје два
фундаментално различита приступа:
Директне методе
Итеративне методе
Код директних метода систем се низом елементарних операција трансформише у
систем једноставнијег облика (нпр. троугаони или дијагонални), који се може решити
на једноставан начин. Уколико се занемаре грешке заокруживања, директне методе
доводе до тачног решења након коначног броја аритметичких операција. За разлику од
директних, итеративне методе почињу од неке почетне апроксимације која се
постепено побољшава док се не добије довољно тачно решење. Уопштено , до тачног
решења ове методе могу довести само након бесконачно много итерација.
1.1.
Jacobijeva
метода
Посматрајмо општи систем линеарних алгебарских једначина Ax=b, који у
индексној нотацији има облик:
(1.5.)
У
Јаокобијевој
методи, свака једначина система се решава по компоненти вектора
решења која се односи на дијагонални коефицијент, тј.
x
i
. Из (1.5) се добија:
(1.6.)
Ако је
x
0
вектор почетног решења, где индекс у загради означава редни број
итерације, прва апроксимација се добија на основу једнакости:
(1.7.)
Добијени вектор решења
x
(
1
)
се затим сврстава у формулу:
(1.8.)
како би се добило решење
x
(
2
)
, итд.
Према томе, рекурзивна формула за
Jacobijevu
методу гласи:
(1.9.)
Уколико се са десне стране дода и одузме
x
i
(
k
)
, након сређивања, формула (1.9.) се
може приказати у следећем прикладнијем облику:
(1.10.)
односно:
(1.11.)
где:
(1.12.)
представља
остатак
или
резидуал
i
-те једначине. Поступак решавања се наставља док
се не постигне жељена тачност, на пример док се не испуни један од услова:
(1.13.)
