Statika - Usmeni
Pomorišac Ivan R.G. 6179/04
1
1. Metoda sila ( Uslovne jednačine za statički neodređene veličine )
Veličine X
1
do X
n
ne mogu da se odrede iz uslova ravnoteže nosača već iz uslova kompatabilnosti deformacije
nosača.
χ
=
M
EI
+
α
t
∆ t
h
; ε
=
N
EF
+
α
t
∙ t ° ; φ
t
=
k
T
GF
N
=
N
0
+
∑
k
=
1
n
X
k
N
k
;T
=
T
0
+
∑
k
=
1
n
X
k
T
k
; M
=
M
0
+
∑
k
=
1
n
X
k
M
k
- Princip virtuelnih sila:
∑
P ∙ δ
+
∑
C ∙ c
=
∫
(
M ∙ χ
+
N ∙ ε
+
T ∙ φ
t
)
ds
Jednačina je napisana za unutrašnje reavnotežno stanje X
i
= 1 i glasi:
∑
j
=
1
z
0
+
z
k
C
ji
c
j
=
∫
S
(
M
i
∙ χ
+
N
i
∙ ε
+
T
i
∙ φ
t
)
ds
⟹
Zamenom dobijamo:
∑
j
=
1
z
0
+
z
k
C
ji
c
j
=
∫
S
[
M
i
∙
(
M
EI
+
α
t
∆ t
h
)
+
N
i
∙
(
N
EF
+
α
t
∙ t °
)
+
T
i
∙
(
k
T
GF
)
]
ds
⟹
∫
{
M
i
∙
[
1
EI
(
M
0
+
∑
X
k
M
k
)
+
α
t
∆ t
h
]
+
N
i
∙
[
1
EF
(
N
0
+
∑
X
k
N
k
)
∙ α
t
∙ t °
]
+
T
i
∙
k
EF
∙
[
(
T
0
+
∑
X
k
T
k
)
∙ α
t
∙ t °
]
}
ds
∑
X
k
∙
(
∫
S
M
i
∙ M
k
EI
ds
+
∫
S
N
i
∙ N
k
EF
ds
+
∫
S
k ∙
T
i
∙T
k
GF
ds
)
+
(
∫
S
M
i
∙ M
0
EI
ds
+
∫
S
N
i
∙ N
0
EF
ds
+
∫
S
k ∙
T
i
∙T
0
GF
ds
)
+
(
∫
S
M
i
∙ α
t
∆ t
h
ds
+
∫
S
N
i
∙ α
t
∙ t ° ds
)
−
∑
j
=
1
z
s
+
z
k
C
ji
c
j
=
0
Ovaj sistem predstavlja uslovne jednačine za statički neodređene veličine.
δ
ik
=
∫
S
M
i
∙ M
k
EI
ds
+
∫
S
N
i
∙ N
k
EF
ds
+
∫
S
k ∙
T
i
∙T
k
GF
ds
δ
i
0
=
∫
S
M
i
∙ M
0
EI
d s
+
∫
S
N
i
∙ N
0
EF
ds
+
∫
S
k ∙
T
i
∙T
0
GF
ds
δ
¿
=
∫
S
M
i
∙ α
t
∆ t
h
ds
+
∫
S
N
i
∙ α
t
∙ t ° ds
δ
ic
=−
∑
C
ji
c
j
; δ
i
0
=
δ
i
0
+
δ
ic
+
δ
¿
∑
k
=
1
n
X
k
∙ δ
ik
+
δ
i
0
=
0
;i
=
0
,
1
,
2
, …
..
, n
A u razvijenom obliku:
X
1
∙ δ
11
+
X
2
∙ δ
12
+
… …
..
X
n
∙ δ
1
n
+
δ
10
Statika - Usmeni
Pomorišac Ivan R.G. 6179/04
2
X
1
∙ δ
21
+
X
2
∙ δ
22
+
… …
..
X
n
∙ δ
2
n
+
δ
20
X
1
∙ δ
n
1
+
X
2
∙ δ
n
2
+
… …
..
X
n
∙ δ
nn
+
δ
n
0
Za dva unutrašnja ravnotežna stanja, stanje X
k
= 1 kome odgovaraju sile u presecima M
k
, T
k
, N
k
i stanje X
i
= 1
kome odgovaraju sile u presecima M
i
, T
i
, N
i
, kažemo da su to ortogonalna stanja.
2. Metoda deformacije ( Uslovne jednačine za deformacijski neodređene veličine )
Radi postavljanja uslovnih jednačina za deformacijski neodređene veličine i obično se služimo figurom
φ Δ
čvorova koju dobijamo kada u datom nosaču isključimo sve krute veze štapova u čvorovima.
Da bi stanje napona i deformacija u datom nosaču bilo isto, treba sve isključene veze nadoknaditi
momentima. Tada dobijamo labilan sistem. Postoji ( m ) nepoznatih uglova obrtanja i ( n ) nepoznatih
φ
parametara pomeranja . Ukupan broj deformacijski npoznatih je
Δ
d=m+n.
∑
k
M
ik
+
∑
g
M
ig
+
M
i
=
0
Zamenom M
ik
i M
ig
dobija se
:
∑
k
[
a
ik
φ
i
+
b
ik
φ
k
−
C
ik
∑
k
∆
j
ψ
ik
+
m
ik
]
+
∑
g
[
d
ig
φ
i
−
d
ig
∑
g
∆
j
ψ
ig
+
m
ig
]
+
M
=
0
Jednačina obrtanja čvorova:
Statika - Usmeni
Pomorišac Ivan R.G. 6179/04
4
N
+
dN
−
N
−
Td
(
α
+
φ
)+
p
t
'
(
1
+
ε
)
ds
=
0
T
+
dT
−
T
+
Nd
(
α
+
φ
)+
p
n
'
(
1
+
ε
)
ds
=
0
dN
−
Td
(
α
+
φ
)+
p
t
'
(
1
+
ε
)
ds
=
0
… …
..
→
1
dT
+
Nd
(
α
+
φ
)+
p
n
'
(
1
+
ε
)
ds
=
0
… … .→
2
∑
M c
1
'
=
0
⟹
M
+
dM
−
M
−
T
(
1
+
ε
)
ds
=
0
dM
−
T
(
1
+
ε
)
ds
=
0
… … .→
3
Kada jednačine 1, 2, 3 podelimo sa
(
1
+
ε
)
ds
=
d s
'
gde je
(
1
+
ε
)
ds
=
ρ
'
d
(
α
+
φ
)
dobijamo jednačine ravnoteže
koje glase:
dN
d s
'
−
T
ρ '
+
p
t
'
=
0
;
dT
d s
'
−
N
ρ '
+
p
n
'
=
0
;
dM
ds
−
T
=
0
Za pravce koordinatnih osa sistema Oxy jednačine ravnoteže imaju sličan oblik:
Uslovi ravnoteže su:
dH
+
p
x
'
(
dy
+
dv
)=
0
dV
+
p
y
'
(
dx
+
du
)=
0
dM
+
H
(
dy
+
dv
)−
V
(
dx
+
du
)=
0
Zbog malih pomeranja i deformacijskih veličina, često se pomeranja napadnih tačaka spoljašnjih i
unutrašnjih sila u uslovima ravnoteže zanemaruju pa odatle i predpostavka das u spoljašnje i unutrašnje sile
u ravnoteži. Ova predpostavka se zove ‘’predpostavka o malim pomeranjima’’.
Jednačine ravnoteže na nedeformisanom štapu:
dN
ds
−
T
ρ
+
p
t
=
0
;
dT
ds
+
N
ρ
+
p
n
=
0
;
dM
ds
−
T
=
0
dH
+
p
x
dy
=
0
; dV
+
p
y
dx
=
0
; dM
+
Hdy
−
Vdx
=
0
