MATEMATIČKI FAKULTET
BEOGRAD
SEMINARSKI RAD
Tema
:
FIBONAČIJEVI BROJEVI i PASKALOV TROUGAO
Student:
Dalibor Teokarević
Br. Indeksa: 104/96
Maj
2006
1
Sadržaj
1. Uvod ……………………………………………………………………. 3
2. Ko je Leonardo Pisano Fibonači? ……………………………………. 4
3. Deoba zive ćelije i Paskalov trougao …………………………………. 5
4. Fibonačijevi brojevi i Paskalov trougao ……………………………… 9
5. Lukasovi brojevi i Paskalov trougao ………………………………… 14
6. Paskalov tougao drugog reda ………………………………………… 15
7. Fibonačijevi brojevi i Pitagorini trouglovi …………………………... 19
8. Literatura ……………………………………………………………… 23
2
Ko je Leonardo Pisano Fibonači?
Leonardo iz Pize (Leonardo Pisano) puno je ime najvećeg
evropskog matematičara srednjeg veka. Rodjen je oko 1175.godine u
Pizi, (Pisa, danas u Italiji) gradu sa čuvenim krivim tornjem, koja je u
to vreme bila značajan trgovački grad i održavala veze sa mnogim
mediteranskim lukama. Leonardo je bolje poznat pod imenom Fibonači
(Fibonacci) sto je skraćenica od Bonačijev sin, (filius Bonacci) dok je
sebe ponekad nazivao Bigolo (Bigollo) sto u toskanskom dijalektu
znači putnik. Njegov otac Guljelmo Bonači, (Guglielmo Bonacci)
sekretar Republike Piza, od 1192.godine bio je odgovoran za
upravljanje Pizine trgovačke kolonije Budja (Bugia) koja je izvozila
voštane sveće u Francusku. Mediteranska luka Budja je kasnije nazvana Bougie, a danas se
zove Bedzaja (Bejaia) i nalazi se u severoistočnom Alžiru. Bonači je sa sobom u Budju poveo
i svoga sina da bi ga obučio računu i arapskim ciframa, koje još nisu bile uptrebljavane u
Evropi, kako bi postao uspešan trgovac. Leonarda otac zatim šalje na putovanja po
mediteranskoj obali: Egipat, Sirija, Grčka, Sicilija, Provansa, gde on prikuplja i uči razne
matematičke tehnike. Oko 1200.godine Fibonači se vraća u Pizu gde objavljuje sopstvena
matematička dela: Liber abbaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) i Liber
quadratorum (1225). Zna se da je napisao i druge tekstove poput knjige o trgovačkoj
aritmetici Di minor guisa, kao i komentare desete knjige Euklidovih Elemenata koji su
nažalost izgiubljeni. Najpoznatije njegovo delo je svakako “Knjiga o racunu” (Liber abbaci)
iz 1202.godine u koje su ušla skoro sva algebarska i aritmetička znanja tog vremena , odigavši
značajnu ulogu u razvitku matematike u zapadnoj Evropi. Fibonači je u toj knjizi objasnio
prednost decimalnog brojnog sistema nad glomaznim, rimskim brojnim sistemom, uvevši u
Evropu arapske cifre, simbol za nulu i decimalnu tačku. Danas je Fibonači najbolje poznat po
čuvenom zadatku sa zečevima objavljenom u istoj knjizi, kao i njegovom rešenju, famoznom
nizu brojeva koji nosi njegovo ime. Nakon 1228.godine kada je objavio drugo izdanje “Knjige
o racunu” o Leonardovom životu se ništa ne zna, osim što je 1240.godine Republika Piza
načinila dekret kojim se nagradjuje učeni Leonardo Bigolo.Inače, pretpostavlja se da je umro
u Pizi oko 1250.godine.
4
Deoba žive ćelije i Paskalov trougao
Veoma je zanimljiv redosled brojeva do kojeg je Leonardo Fibonači došao istraživajući
brojne zakone razmnožavanja živog organizma, a posebno proučavajući razmnožavanje
zečeva. Misaoni eksperiment je sledeći:
Čovek kupuje par zečeva i uzgaja njihovo potomstvo po sledećem redu: roditeljski par zečeva
dobija posle prve godine par mladih zečeva a nakon druge godine ponovo jedan par. Tada se
kod roditelja prekida dalje razmnožavanje. Ovaj način razmnožavanja važi i za sve potomke
roditeljskog para. Svaki novi par zečeva daće u dve uzastopne godine po jedan par mladih a
nakon toga će njegovo razmnožavanje biti prekinuto.
Za roditeljski par zečeva napisaćemo u prvom redu 1 (1 označava jedan par zečeva). Za
par koji se rodi nakon prve godine (prva generacija) napisaćemo u drugom redu takođe broj 1.
Posle prve godine mlade dobijaju i roditeljski par zečeva i par prve generacije.U drugoj
generaciji jevljaju se dva para zečeva. Zato u trećem redu pišemo broj dva. Ovde svaki red
odgovara jednoj godini i nakon tri godine imamo brojni niz 1,1, 2. Roditeljska generacija
isključuje se iz daljeg razmonožavanja. U četvrtoj godini mlade dobijaju iz poslednja dva
reda, tj. jedan par prve generacije i dva para druge generacije. Zato u četvtom redu pišemo
broj 3. Brojni niz je sada 1,1,2,3. Ovde prestaje razmnožavanje para zečeva prve generacije.
Niz brojeva koji se ovako dobija je takozvani niz Fibonačijevih brojeva:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …
Trebalo je da prodje sedamdeset i pet godina od dana kada su braća Hans I Zaharias
Jansen, holandski trgovci, spojili dva sočiva i tako napravili prvi “mikrosop“, pa do njegove
upotrebe za otkrice žive ćelije (1665.godine). Posmatrajući tanko sečene režnjeve plute,
engleski lekar Robert Huk je u mrtvom biljnom tkivu zapazio šupljine po obliku slične onima
u pčelinjem saću, i nazvao ih ćelijama. On je video samo prazne ćelijske prostore oivičene
ćelijskim membranama, bez ćelijskog sadržaja, ali je prikazao ćeliju kao osnovnu strukturnu
jedinicu organizma.
Kao osnovna biološka organizacija ćelija je sposobna da samostalno produži život
zahvaljijući svojoj sposobnosti da zameni ili nadoknadi svoju supstanciju. Ćelija može
predstavljati kompleten organizam, kao sto je slučaj sa jednoćelijskim organizmima, ali ona
najčešće predstavlja osnovnu jedinicu života u sastavu tkiva i organa, što je slučaj kod
višećelijskih organizama.
5
Anhilacija roditelja se odbacuje kada je u pitanju razmnožavanje višećelijskih
organizama. Kada ženka polaže neoplodjena jaja iz kojih se razvijaju mužjaci, niko neće
misliti da je tim činom razmnožavanja prvobitna ženka anhilirana već se mužjaci smatraju
potomcima postojeće majke. Razmnožavanje višećelijskih organizama je deoba kojom
roditelj zadržava svoju generacijsku starost dok je potomak povećava za jedno generacijsko
koleno.
Prirodno razmnožavanje organizma je univerzalni zakon o ćelijskoj deobi. Zasniva se na
dva postulata:
Deoba žive ćelije ima za posledicu dve ćelije različite starosti;
Nije moguće umnožavanje živog entiteta na taj način da nastanu entiteti iste starosti.
Naše polazište pri razmatranju brojnog zakona ćelijske deobe jesu klasična fiziološka
shvatanja deobe žive ćelije ali i shvatanje po kojem ćelija majka daje jednog potomka svoje
starosti i drugog naredne generacijske starosti.
Inače, brojni zakon rodoslova žive ćelije je osnovni aritmetički trougao – Paskalov
trougao:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Paskalov trougao kao arhetipski brojni obrazac deobe žive ćelije je zakon umnožavanja i
izgradnje. Po ovom obrascu radjaju se i planete Sunčevog sistema a trougao je i brojni
obrazac strukture atoma. Paskalov trougao svedoči jedinstvo postojećeg i on je nit koja
povezuje neživo i živo.
7
