1
1. ELASTIČNO-PLASTIČNA MEHANIKA LOMA
U slučajevima pukotina u materijalima gdje je područje plastične deformacije (zone)
oko vrha pukotine veliko u usporedbi s duljinom pukotine i dimenzijama ispitivanog
predmeta, principi linearno elastične mehanike loma više ne mogu zadovoljavajuće opisati
širenje pukotine te se u tom slučaju primjenju principi elastično - plastične mehanike loma
(engl. elastic-plastic fracture
mechanics, EPFM).
Materijale kod kojih je potrebno primijeniti elastično - plastičnu mehaniku loma obično
karakterizira visoka lomna žilavost i niska granica tečenja, a koriste se u konstrukciji posuda
pod tlakom, energetskim postrojenjima i kemijskoj industriji.
1.1
Otvaranje vrha pukotine
Znatan udio u istraživanjima na području elastično-plastične mehanike loma pridonio
znanstvenik Wells ispitujući lomnu žilavost. Wells je primjetio da se stranice pukotine
razmičku prije samog loma (otupljivanje).
Uslijed plastične deformacije došlo je do zatupljivanja vrha pukotine koje je bilo veće s
većom žilavošću materijala.
Takvo ponašanje materijala pri vrhu pukotine nije se moglo opisati principima linearno
elastične mehanike loma te je zato Wells predložio parametar otvaranja vrha pukotine CTOD
(eng.
crack tip opening displacement
) kao mjeru lomne žilavosti.
Slika.1.1. Otvaranje vrha pukotine
2
Slika 1.2. Pomak
u
y
i korektivni izraz za postojanje plastičnog područja
r
y
kod otvaranja vrha
pukotine, CTOD
Pomak
u
y
je jednak:
u
y
=
¿
κ
+
1
2
G
s
K
I
√
r
y
2
π
¿
Korektivni izraz za postojanje plastičnog područja pri vrhu pukotine u stanju ravninskog
naprezanja glasi:
r
y
=
1
2
π
(
K
I
σ
0.2
)
2
Što zajedno daje izraz za otvaranje vrha pukotine
δ
:
δ
=
2
u
y
=
4
K
I
π σ
0.2
E
Vidljivo je da se otvaranje vrha pukotine lako može dovesti u vezu sa stopom oslobađanja
energije
G
i koeficijentom intenzivnosti naprezanja
K
što znači da vrijedi i za područje
linearno elastične mehanike loma:
δ
=
4
G
π σ
0.2
4
Uz sve navedeno izraz se može zapisati kao:
J
Φ
=
∮
Φ
(
W n
1
−
T
i
∂ u
i
∂ x
1
)
ds
Koristeći Greenov teorem može se pisati kao:
J
Φ
=
∫
A
(
∂ W
∂ x
1
−
∂
∂ x
j
(
σ
ij
∂ u
i
∂ x
1
)
)
d x
1
d x
2
Zanemarimo li unutrašnje sile u tijelu i pretpostavimo li male deformacije, za stanje ravnoteže
vrijedi:
∂ σ
ij
∂ x
j
=
0
a budući da veza pomaka i deformacija glasi:
ε
ij
=
ε
ji
=
1
2
(
∂ u
i
∂ x
j
+
∂ u
j
∂ x
i
)
slijedi:
∂ W
∂ x
1
=
∂ W
∂ ε
ij
∂ ε
ij
∂ x
1
=
σ
ij
∂ ε
ij
∂ x
1
=
1
2
σ
ij
[
∂
∂ x
1
(
∂ u
i
∂ x
j
+
∂ u
j
∂ x
i
)
]
=
σ
ij
∂
∂ x
j
(
∂ u
i
∂ x
1
)
Uvrštavanjem i rješavanjem jednadžbi sa prethodnog slajda može se pisati:
∂ W
∂ x
1
=
∂
∂ x
i
(
σ
ij
∂ u
i
∂ x
i
)
J
Φ
=
0
Rice je
J
integral za tijelo s pukotinom definirao kao:
J
=
∫
Γ
(
W n
1
−
T
i
∂ u
i
∂ x
1
)
ds
pri čemu je
Γ
linija opisana oko pukotine u smjeru suprotnom kazaljci na satu od donje prema
gornjoj stranici. U koordinatnom sustavu
x
1
=
x , x
2
=
y
, (slika 2.2) može se pisati kao:
5
J
=
∫
Γ
Wdy
−
T
i
∂ u
i
∂ x
ds
Slika 2.2. Kordinatni sustav
x
1
=
x , x
2
=
y
2.1 Neovisnost
J
integrala o liniji integriranja
Vrijednost J integrala uvijek je jednaka neovisno o liniji integriranja oko pukotine.
Ova činjenica je bitna prvenstveno kod numeričkog određivanja
J
integrala budući da su
numerička rješenja često netočna pri samom vrhu pukotine. Točnost im se povećava s
udaljenošću od vrha pukotine što znači da se
J
integral temeljen na vrijednostima naprezanja i
pomaka može računati u točkama udaljenim od pukotine.
Slika 2.3 prikazuje zatvorenu liniju integriranja
Γ
koja počinje u točki na donjoj stranici
pukotine, opisuje pukotinu u smjeru suprotnom kazaljci na satu, dodiruje gornju stranicu
pukotine te se vraća u ishodišnu točku na donjoj stranici pukotine. Linija
Γ
se može podijeliti
na četiri segmenta
Γ
1
, Γ
2
, Γ
3
i Γ
4
. Segmenti
Γ
2
i Γ
4
su paralelni stranicama pukotine. Budući
da je
J
integral po zatvorenoj liniji integriranja jednak nuli, pišemo:
7
Slika 2.4. Kružna linija integriranja Γ, polumjera r, s centrom u vrhu pukotine
Neka je, prema slici(2.4),
J
integral opisan po liniji
Γ
koja je dobivena tako što je opisana
kružnica polumjera
r
iz vrha pukotine. Tada je:
y
=
r
sin
θ , dy
=
rcosθdθ , ds
=
rdθ
J
integral se može zapisati kao:
J
=
r
∫
−
π
π
[
W
(
r ,θ
)
]
cosθ
−
T
i
∂ u
i
∂ x
1
dθ
Svi dijelovi integranda su proporcionalni umnošku naprezanja i deformacija:
σ
ij
ε
ij
∝
(
J
r
)
g
ij
(
θ , m
)
gdje su
f
ij
i g
ij
funkcije kuta
θ
koje odgovaraju različitim komponentama naprezanja i
deformacija.
U Ramberg-Osgoodovom izrazu koji opisuje vezu naprezanja i deformacija:
ε
=
σ
ε
+
α ε
0
(
σ
σ
0
)
m
α i
m
su konstante materijala,
ε
0
i σ
0
su vrijednosti deformacije i naprezanja na granici
plastičnosti materijala. Za polje naprezanja pri vrhu pukotine kod računanja
J
integrala bitan
je samo drugi dio jednažbe koji se odnosi na plastičnu deformaciju:
ε
=
α ε
0
(
σ
σ
0
)
m
