HARMONIJSKA ANALIZA APERIODIČNIH SIGNALA
•Aperiodični deterministički signali mogu se opisati funkcijama koje su
aperiodične u vremenskom domenu,tj. funkcijama za koje ne važi
f
(t)=
f
(t+T).
•Periodična funkcija izražena Fourierovim redom može se smatrati
aperiodičnom ako njena perioda teži beskonačnosti. Dakle:
2
2
0
0
0
1
T
T
jn
n
t
jn
n
t
jn
n
d
e
f
T
e
e
F
t
f
Kada T
:
0
d
, n
0
i
d
e
f
d
e
t
f
j
t
j
2
1
Ovaj izraz predstavlja
Fourierov integral za aperiodičnu funkciju
, pri
čemu je uslov za njegovu egzistenciju:
ili
2
dt
t
f
dt
t
f
Analogno predstavljanju periodične funkcije u obliku Fourierovog reda,
dobija se
Fourierov transformacioni par za aperiodičnu funkciju
f
(t)
:
dt
e
t
f
j
F
d
e
j
F
t
f
t
j
t
j
2
1
F(jω)
je
Fourierova transformacija aperiodične funkcije
f
(t), i ona je
kontinualna funkcija učestanosti ω. Funkcija
f
(t),
je
inverzna Fourierova
transformacija
funkcije
F(jω).
j
e
j
F
j
F
|F(jω)| - spektralna gustina
amplituda aperiodičnog signala
f
(t), parna funkcija
(
) - spektralna gustina faza
aperiodičnog signala
f
(t),
neparna funkcija.
Za razliku od periodičnih funkcija, ove dvije veličine su
kontinualne
.
Teorema o korelaciji aperiodičnih funkcija
: Korelaciona funkcija R
12
(τ) i
proizvod F
1
*
(j
)F
2
(j
) predstavljaju Fourierov transformacioni par.
• Specijalni slučaj korelacije kada je
f
1
(t)=
f
2
(t)=
f
(t):
autokorelaciona funkcija
aperiodične funkcije
f
(t).
d
e
j
F
R
d
e
j
F
j
F
dt
t
f
t
f
R
j
j
2
11
11
2
1
2
1
Kako je |F(jω)|
2
= S
11
(ω)
spektralna gustina energije
aperiodičnog signala
f
(t),
to je:
d
e
R
S
d
e
S
R
j
j
11
11
11
11
2
1
Teorema o autokorelaciji aperiodičnih
funkcija:
Spektralna gustina energije aperiodičnog
signala
f
(t) i autokorelaciona funkcija R
11
(τ)
obrazuju Fourierov transformacioni par.
Kad je τ=0:
2
11
2
11
2
11
0
2
1
2
1
0
t
f
R
d
j
F
d
S
dt
t
f
R
eff
čime se definiše
Parsevalova teorema za aperiodične signale
. Pri tome je
autokorelaciona funkcija parna:
R
11
(τ)= R
11
(-τ)
• Da bi se istakla razlika između autokorelacione funkcije i korelacije dvije
različite funkcije, uvodi se pojam
unakrsne korelacione funkcije
, a veličina:
j
F
j
F
S
2
1
12
se naziva
spektralna gustina unakrsne energije
, ili
spektar funkcije
R
12
(τ).
Pri tome, važe relacije:
*
12
2
1
21
12
21
S
j
F
j
F
S
R
R
