VASA SKOLA:
MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE
TEMA: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Mentor:
Učenik:
Mesto, mesec 20_ _
SADRŽAJ
Uvod.....................................................................................................................................3
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja……………………………………………..3-7
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……………….7-9
Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……...9-15
Primjena i primjeri iz svakodnevnog života………………………………………….16-17
Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva……………………………18-25
Literatura…………………………………………………………………………………30
2
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Poznato je da kompleksnom broju
(1)
možemo pridružiti (obostrano jednoznačno) tačku M (x,y) koordinatne ravni. Označimo
sa udaljenost tačke M (x,y) od koordinatnog početka, a sa
orijentisani ugao između pozitivnog dijela x-ose i vektora
(radijus-vektor položaja
tačke M (x,y).
Sa slike nalazimo:
(2)
(3)
Iz (1) i (2) dobivamo:
(4)
Izraz (4) zovemo trigonometrijski oblik kompleksnog broja z.
- modul kompleksnog broja z
- argument kompleksnog broja z.
4
Definicija (argumenta):
Neka je M (x,y) tačka koja predstavlja kompleksan broj
. Svaki mjerni broj orijentisanog ugla koji čini radijus vector
sa
pozitivnim dijelom x-ose zove se argument broja z i označava se sa Arg z. Argument
broja z koji zadovoljava uvjet
zove se glavna vrijednost argumenta broja z i
označava se arg z.
Uglu (x,
) odgovara tačno jedan mjerni broj koji se nalazi u intervalu
, dok
se svi ostali mjerni brojevi ugla (x,
) dobiju po formuli
.
Iz navedenog zaključujemo broj = Arg z je određen kompleksnim brojem
samo do
sabirka
, dok je broj arg z potpuno određen brojem z
i važi:
tj.
ima beskonačno mnogo vrijednosti.
Pokažimo sada kako određujemo i iz zadanog broja
.
Ako je
iz (3) slijedi =0 pa je (4) zadovoljeno za svaki realan
broj . Za određivanje glavne vrijednosti argumenta imamo:
Ako je
i >0 (y<0) onda je
,
;
Ako je
onda =argz određujemo rješavanjem jednačine
(x=Rez, y=Imz)
uz uvjet da je:
, ako je x>0 i y>0 (tačka M (x,y) je u prvom kvadrantu),
, ako je x<0 i y>0 (tačka M (x,y) je u drugom kvadrantu),
, ako je x<0 i y<0 (tačka M (x,y) je u trećem kvadrantu),
, ako je x>0 i y<0 (tačka M (x,y) je u četvrtom kvadrantu).
5
, pa je
, jer se tačka (-1,-1) nalazi u trećem kvadrantu.
Prema tome imamo
Teorema:
Dva kompleksna broja i zadana u trigonometrijskom obliku
,
jednaka su onda i samo onda kada je
,
,
.
Dokaz:
Ako je
imamo
,
(7)
pa je odavde
(8).
Iz (7) i (8) imamo
,
što daje
,
, i obrnuto,
ako je
,
, tada je očigledno
.
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja pogodan je za množenje i dijeljenje
kompleksnih brojeva.
Ako su
,
dva zadana kompleksna broja onda je:
, (2)
Iz formule (2) slijedi:
7
