Prof. dr.sci. Živorad Milošević,dipl.inž.stroj.

Mr.sci.Suad Obradović,dipl.inž.teh.
Mr.sci. Lidija Popović,dipl.inž.stroj.
Mr.sci.Srđan Šukalo,dipl.inž.građ.

AUTOMATSKO VOĐENJE I
REGULISANJE SUVREM.SUSTAVA

DRUŠTVO ZA ENERGETSKU EFIKASNOST BiH

Banja Luka

, 2011. god.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

S A D R Ž A J

PREDGOVOR------------------------------------------------------------------------------4

1. UVOD-------------------------------------------------------------------------------------5

2. AUTOMATSKO REGULISANJE---------------------------------------------------6
2.1. Uvodni dio--------------------------------------------------------------------------6
2.2. Osnovno o procesu-----------------------------------------------------------------7
2.2.1. Zamisao vodjenja------------------------------------------------------------8
2.2.2. Matematički model----------------------------------------------------------9
2.2.3. Izbor radnog područja i radne tačke--------------------------------------12
2.2.4. Linearni i nelinearni proces, linearizacija procesa---------------------14
2.2.5. Pretpostavka linearnog modela--------------------------------------------17
2.3. Analiza procesa---------------------------------------------------------------------18
2.3.1. Analiza procesa I reda------------------------------------------------------18
2.3.2. Analiza procesa II reda-----------------------------------------------------21

3. AUTOMATSKO VOĐENJE----------------------------------------------------------24
3.1. Osnovna podjela vođenja---------------------------------------------------------24
3.2. Upravljanje--------------------------------------------------------------------------25
3.3. Regulacioni krug-------------------------------------------------------------------26
3.3.1. Proces prvog reda u regulacionom krugu--------------------------------26
3.3.2. Proces drugog reda u regulacionom krugu------------------------------30
3.3.3. Servosistemi------------------------------------------------------------------31
3.3.4. Regulator---------------------------------------------------------------------32
3.3.5. Kriterijumi za ocjenu kvaliteta ponašanja sistema
i zahtjevi pri sintezi---------------------------------------------------------35

4. PRIMJENA METODE GEOMETRIJSKOG MJESTA
KORJENA U AUTOMATSKOM UPRAVLJANJU------------------------------42
4.1. Idejni program za određivanje amplitudne
logaritamske karakteristike računara--------------------------------------------47
4.2. Modeliranje dvofaznog naizmeničnog servomotora i
spajanje u servosistem za AU----------------------------------------------------54
4.3. Upravljanje servomotorima-------------------------------------------------------59
4.4. Strukturni blok dijagrami sistema upravljanja---------------------------------66

5. SENZORI (OSJETILA, RECEPTORI ILI DETEKTORI)-----------------------73
5.1. MJerenje pritiska-------------------------------------------------------------------74
5.2. MJerenje protoka-------------------------------------------------------------------75

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

PREDGOVOR

Ovaj udžbenik u cjelini ima opšti karakter i odgovara uobičajenom sadržaju

koji se izučava na tehnićkim fakultetima iz oblasti automatskog upravljanja i
regulisanja.

Bez automatskog upravljanja kao savremene discipline, danas se ne može

zamisliti ni razvoj drugih naučnih disciplina svih inženjerskih profila. Zbog toga je
izlaganje potkrepljeno onim matematičkim aparatom koji je namjenjen onim
čitaocima koji će biti u neposrednom dodiru sa zadacima

analize i sinteze

sistema

upravljanja.

U oblikovanju materijala koristili smo dostupnu literaturu eminentnih

profesora i stručnjaka iz naše zemlje i svijeta.

Zahvaljujemo se recenzentima na sugestijama i primjedbama koje su nam

pomogle da poboljšamo rukopis knjige, a takođe i svima onima koji će svojim
savjetima doprinjeti da se otklone nedostaci i propusti.

Banja Luka, 2011. godine

AUTORI

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

1. UVOD

Kada danas govorimo o automatici i kibernetici, tada gotovo odmah

pomišljamo na savremene mašine, savršene svemirske letilice, elektronske
računare i robote.

Pri tome ne pomišljamo da su načela i zakoni na kojima se temelji i

kibernetika i automatika, svojstveni prirodi i da su se razvijali zajedno sa razvitkom
svemira i Zemlje, kao i života na Zemlji. Oponašajući prirodu, ljudi su ih tokom
svog razvitka preslikavali u različite konstrukcije, da bi im služile kao sredstva za
rad i olakšale život.

To saznanje prvi je oblikovao i objavio 1948. godine američki naučnik

Norbert Wiener. Za njegovo djelo najvažnije je otkriće činjenice da je za
samostalno djelovanje neke pojave, bilo prirodne ili tehničke, potrebno svojstvo
vođenja. Pojam je izveo od grčke reči "kibernetes", što znači kormilar broda,
voditi, upravljati, usmjeravati.

Kibernetika je nauka koja proučava proces prerade, prenosa i prijema

informacija u svim dinamičkim sistemima. Dinamički sistemi za razliku od
statičkih nisu u stanju mirovanja, već neprestano osciluju i mijenjaju to stanje zbog
vanjskih činilaca, ili su to sistemi koji su upravljani nekom cilju :

a) Sistemi koji se upravljaju nekom cilju, prilagođavajući se usput svim
novonastalim promjenama jesu adaptivni sistemi.
b) Oni sistemi koji u više jednakih slučajeva odaberu većinom ispravan put

su sistemi koji uče.

Proizvodni procesi su sve složeniji i brži te čovjek nije više u stanju da ih

na odgovarajući način kontroliše, donosi upravljačke odluke i pravovremeno utiče
na procese. Zbog toga je bilo neophodno izgraditi takva tehnička sredstva koja će
djelimično   ili   potpuno   preuzeti   navedene   čovjekove   funkcije   i   obavljati   ih   sa
većom brzinom i preciznošću. Tako dolazi do pojave upravljačkih sistema tzv.
sistema   automatskog   upravljanja,   koji   svoje   funkcije   obavljaju   automatski,   bez
neposrednog čovjekovog učešća. U opštem slučaju sistem automatskog upravljanja
(SAU)   u   svom   sastavu   obuhvata   :   kontrolno-mjernu   instrumentaciju,   mjerne
pretvarače,   pojačavačke   uređaje   za   obradu   i   generisanje   upravljačkih   signala,
regulatore i izvršne uređaje koji obavljaju određene izvršne operacije.

Prema tome sistem automatskog upravljanja predstavlja skup međusobno

povezanih elemenata koji zajedno obavljaju jednostavnu ili složenu operaciju
upravljanja nekim objektom.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

može se uzeti da čitava količina kruži između ta dva prostora. Promjene pritiska,
što mogu nastati pri kruženju-proticanju, osjećaju živčani završeci, baroreceptori,
koji se nalaze u zidovima velikih arterija, naročito su brojni u luku aorte i u
predjelu glomusa corticusa. Signal o promjeni pritiska prenosi se od baroreceptora
u produženu moždinu, gdje djeluje na simpatetički i parasimpatetički dio
vazomotornog središta.

Živac vagus prenosi signale od baroreceptora u luku aorte, a Haringov živac

i živac glasophringicus iz predjela glomus caroticusa. Može se reći da na taj način
mozak (središni živčani sistem, jedinica za vođenje) dobija informacije o stanju u
krvotoku   (proces).   Poraste   li   pritisak   u   krvotoku,   signal   s   baroreceptora   o
povećanju   pritiska,   uticaće   vazomotornom   središtu   na   smanjenje   djelatnosti
simpatetičkog   dijela.   Upravljački   nalozi,   što   se   tada   prenose   sa   živaca   srcu   i
arteriolama,   uzrokuju   smanjenje   frekvencije   i   snage   kontrakcije   srca,   kao   i
proširenje   arteriola   da   bi   se   smanjio   njihov   otpor   proticanju   krvi.   Razmotreno
središte djeluje dakle, kao

regulator,

stabilizirajući pritisak krvi u tijelu.

Kod automatskog upravljanja od objekta se zahjteva da ostvari željeno

(zadato) ponašanje i pri nepredvidivim dejstvima poremećaja, čiji se intenziteti
nalaze u dozvoljenim granicama, ili pri svjesnim promjenama željene (referentne )
veličine. Kakav će zakon i vrsta upravljanja biti, zavisi od usvojenog koncepta
upravljanja objektom, ali se u krajnjoj liniji problem svodi na određivanje
(projektovanje) upravljačkog sistema (uređaja), koji će u sprezi sa objektom
obezbjediti željeno (zadovoljavajuće) ponašanje.

Za uspješnu sintezu sistema upravljanja, nije potrebno samo dobro

poznavati statičke i dinamičke karakteristike objekta, već je potrebno i poznavanje
zahtjeva koji se pred njega postavljaju.

2.2. Osnovno o procesu

Osnovno što o procesu treba znati prije nego li se pristupi sintezi vođenja,

daćemo u ovom poglavlju na primjeru procesa.

U kotlu prikazanom na (sl. 2.1.) predgrijava se lož ulje koje služi kao

gorivo u nekoj peći. Radni uslovi peći uslovljavaju različitu potrošnju pa i
promjenljive uslove zagrijavanja.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 2.1. Kotao u kojem se predgrijava lož ulje za peć

Proces treba voditi tako da se zagrijano lož ulje održava na stalnoj

temperaturi. Grijanje je izvedeno pomoću električnog grijača, a da bi bilo
jednoliko, ugrađen je mješač.

Za sistemski prikaz dvije su veličine karakteristične za vladanje ovog

procesa: temperatura loživog ulja – T i visina loživog ulja u kotlu – h, pa su uzete
kao izlazne veličine procesa. Temperatura lož ulja je pokazatelj svrhe a
konstantnost visine lož ulja u kotlu važna je za jednoliko odvijanje procesa. Ulazne
veličine jesu : dotok lož ulja iz rezervoara – q

i njegova toplota određena

temperaturom T

, isticanje (utrošak) zagrijanog ulja – q

, toplota dovedena pomoću

grijača – Q, određena temperaturom grijača T

i temperatura okoline T

. Na slici

2.2. prikazan je proces sa ovog gledišta.

Sl. 2.2. Sistemski prikaz procesa proticanja i zagrijavanja lož ulja

2.2.1. Zamisao vođenja

Iako će se ovdje analizirati samo ponašanje procesa i pokazati izvod

njegovog matematičkog modela, daćemo izuzetak, pa najprije pokazati kako se
može zamisliti vođenje. U tu svrhu potrebno je najprije odabrati upravljive ulazne

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Kada se izvodi dinamički matematički model, onda se ova jednačina piše za

sasvim mali vremenski razmak Δt (kaže se za diferencijalni mali interval vremena),
pa se u procesu sakupljanja (govori se i akumulisanja) materija ili toplota,
pojavljuju u jednačini u obliku prirasta Δ. Može se raditi o prirastu zapremine ΔV,
prirastu mase Δm, prirastu toplote ΔQ. Tako dinamička jednačina materijalnog
bilansa glasi :

a dinamička jednačina toplotnog bilansa :

Na osnovu izloženog može se sastaviti i konkretan matematički model

posmatranog procesa.

a) Materijalni bilans

U procesu se dovodi količina ulja q

, a iz procesa se odovodi količina ulja

; neka su izražene u jedinicama, recimo [m

/h].

Razlika (q

-q

) Δt će biti razlog promjene zapremine ulja u kotlu ΔV pa je

jednačina :

-q

) Δt = ΔV

Uvede li se zamjena V=Ah gde je : A- površina presjeka kotla, a h- visina

ulja, tada se jednačina može dodatno urediti.

Površina presjeka A, stalne je vrijednosti i prirast zapremine se izražava kao

prirast visine : ΔV=A Δh, pa će biti (sl. 2.4.) :

Sl. 2.4. Zavisnost izlaznih i ulaznih veličina

karakterističnih za materijalni bilans

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

b) Toplotni bilans

Lož ulju u kotlu dovodi se toplota grijačem. Za ulje u rezervoaru već je

pretpostavljeno da mu je temperatura T

Neka je njegova gustina ρ i specifična toplota Cp.
Tako je toplota, Q

, što je donosi ulje u kotao pri protoku q

data izrazom :

Toplota koja se prenosi na ulje pomoću gijača data je izrazom :

gdje je :
T

– prosječna temperatura grijača, Ag – površina grijača sa kojeg se na ulje

prenosi toplota, a Ug – koeficijent prenosa toplote sa gijača na ulje. Sa T je
označena temperatura ulja u kotlu.

Toplota iz kotla odvodi se uljem koje ističe i kroz zid kotla na okolinu. Ako

je temperatura ulja koja ističe – odlazi, jednaka sa temperaturom ulja u kotlu i ako
za gustinu i specifičnu toplotu ulja pretpostavimo da se bitno ne mijenjaju u datom
području temperatura, tada je toplota odvedena uljem koje odlazi data izrazom :

Količina toplote, Q

odvedena u okolinu, zavisiće od zida kotla, izvedene

izolacije kotla i temperature okoline. Uzme li se da je zid kotla tanak i da je
njegova temperature jednaka temperaturi ulja u kotlu, može se napisati :

gdje je :
As – površina zida kotla, Us – koeficijent prenosa toplote sa zida na vazduh.

Razlika u dovedenoj i odvedenoj toploti (Q

-Q

) uzrok je prirasta

toplote akumulirane (sakupljene) u kotlu - ΔQ, pa jednačina toplotnog bilansa
glasi :

-Q

= ΔQ

Toplota akumulirana u kotlu je :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

temperatura lož ulja što dotiče u kotao T

=const,

promjene toplotnog stanja u procesu moguće su zbog promjena temperature
okoline.

Statički se matematički model dobija uzevši

, što daje jednačinu :

Ako uvedemo zamjene q

1,0

; T

i jednačina preuredi u zavisnosti

izlazne od ulazne veličine, dobija se :

gdje su :

Za nekoliko različitih vriednosti temperature okoline, između

pretpostavljene najniže temperature T

0 min

i pretpostavljene najviše temperatute T

max

, statička se karakteristika može prikazati u koordinatnom sistemu T-T

kao skup

pravaca. Njihov nagib i položaj zavise od vrijednosti C

, C

i T

. Neka je to na

primjer, skup pravaca prikazan na slici 2.6.

Sa T

označena je prosječna temperatura okoline i njoj pripada statička

karakteristika na kojoj će biti odabrana radna tačka. Svaka tačka statičke
karakteristike odgovara nekom ustaljenom stanju u procesu. Jedno se od tih stanja
odabira kao povoljno ili najbolje važeće radno stanje, a za pripadnu se tačku na
statičkoj karakteristici kaže da je radna tačka.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

U posmatranom se primjeru radna tačka određuje prema željenoj

temperaturi lož ulja u kotlu, koja je označena sa T

. Radna tačka je tako na presjeku

pravaca T=T

i statičke karakteristike.

Pri T=T

pronađena vrijednost temperature grijača je T

2,1

. Temperatura

grijača zavisi od njegove konstrukcije i napona priključenog na njegove stezaljke,
U. Zato će biti potrebno poznavati zavisnost T

=f(U), pomoću koje će se odrediti

napon U

koji daje temperaturu grijača T

2,1

. U praksi se još predviđa dopustivo

područje odstupanja temperature u kotlu ±ΔT od vrijednosti T

Sl. 2.6. Izbor radnog područja

2.2.4. Linearni i nelinearni proces, linearizacija procesa

Statički matematički model istraživanog procesa je pravac. Svaki proces

kome u radnom području statička karakteristika nije pravac, naziva se nelinearnim
procesom.

Za većinu nelinearnih procesa može se pretpostaviti da su linearni u

užem

smislu, što je moguće ako se istraživanje svede na usko područje oko radne tačke,
što je prikazano na primjeru statičke karakteristike na sl. 2.7.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Uvede li se izraz za hidrostatički pritisak p

= ρ g h, dobija se statički

matematički model ovog oblika :

Kvadriranjem i daljim uredjenjem ove jednačine, dobija se zavisnost izlazne
veličine – h, od ulaznih q

i p

Uvede li se još zamjena

, statički model je kvadratna funkcija

Visina, dakle, zavisi od kvadrata vrijednosti q

a linearnost od vrednosti p

Pritisak p

zavisi od stanja u peći i određuje količinu potrošnje ulja. Pretpostavi li

se da se p

bitno ne mijenja i da mu je prosječna vrijednost

statička će

karakteristika imati npr. Oblika kao na slici 2.9.a. Označimo željenu visinu ulja u
kotlu sa h

, a pripadni dotok ulja sa q

1,0

. Neka su moguće promjene u dotoku male,

tako da se može uzeti q

1,0

±v i za malu promjenu visine h=h

+z. Dakle,

pretpostavka malih promjena vrijednosti u okolini radne tačke! Zamjene li se h i q

u statičkoj karakteristici novim izrazima, dobija se :

Sl. 2.9. Nelinearna statička karakteristika procesa (a) i mogućnost

njene zamjene s linearnom statičkom karakteristikom

u okolini radne prave (b)

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Jednačina se može srediti kvadriranjem, pa zatim uzeti da u radnoj tački

vrijedi :

Ako je v mala vrijednost, manja od 1, tada je v

još manje i može se zanemariti, s

obzirom na vrijednost člana 2C

1,0

v. Tako je nelinearni matematički model

zamjenjen u okolini radne tačke (q

1,0

; h

) pravcem :

2.2.5. Pretpostavka linearnog modela

Osnove teorije automatike razvile su se tako na pretpostavci modela

linearnog procesa sa osrednjim parametrima i konstantnim koeficijentima. Taj
model je obična diferencijalna jednačina ovog oblika :

gdje je :
x – ulazna veličina, y – izlazna veličina, - brzina promjene izlazne veličine, ili

njen prvi izvod,

, a - brzina promjene brzine izlazne veličine,

ili

ubrzanje izlazne veličine. Jednačina koja sadrži takve brze promjene izlazne
veličine naziva se diferencijalnom, a njen red određuje najviši red brzine promjene.
Jednačina prvog reda ima oblik -

jednačina drugog reda ima oblik –

jednačina trećeg reda ima oblik –
gdje su a

, a

konstantni koeficijenti.

Rješavanje ovih jednačina nije teško, ali za to je potrebno znanje više

matematike. Rješenje je odziv izlazne veličine y(t), na zadatu promjenu ulazne
veličine x(t).

Ovdje ćemo navesti opšte rješenje, funkciju odziva :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Ako je k>1, data promjena ulazne veličine će dati k- puta veću promjenu izlazne
veličine. Kada je k=1, vrijednost promjene izlazne veličine biće jednaka vrijednosti
promjene ulazne veličine, a kada je k<1, vrijedenost promjene izlazne veličine biće
k- puta manja od vrijednosti ulazne veličine.

2.10. Statičke karakteristike

Svi linearni procesi bez obzira na red imaju statičku karakteristiku y=kx.

Može se takođe reći, da je statička osjetljivost k=tgα, gdje je α ugao nagiba
statičkre karakteristike.

Kada je α= /4 = 45°, tada je k= tg /4 =1. Kada je α< /4, tada je k<1, a

onda je α> /4 , tada je k>1.

Odziv na skokovitu ulaznu promjenu

Odziv procesa I reda na skokovitu ulaznu promjenu, dobija se ako se na njegovom
ulazu pobudi trenutna skokovita promjena vijrednosti, Δx=a, kao na sl. 2.11.
Odzivna se funkcija može izvesti matematičkim rješavanjem diferencijalne
jednačine. Za x(t)=a, ona glasi :

t > t

To je eksponencijalna kriva što u beskonačnosti teži vrijednosti ak, jer kad

t→



, tada vrijednost

Važne karakteristike ovog odziva prikazane su na

slici tako da je funkcija svedena na oblik :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 2.11. Odziv na skokovitu ulaznu funkciju

Odziv na impulsnu ulaznu funkciju

Funkcija odziva je sastavljena iz dvije funkcije : jedne, koja vrijedi u

području 0<t<t

i jednaka je funkciji što opisuje skokoviti odziv, i druge koja

vrijedi u području t>t

, a zbir je funkcija prvog i drugog skokovitog odziva (sl.

2.12.).

0 < t <t

t ≥ t

2.12. Odziv na impulsnu ulaznu funkciju

Odziv na linearnu funkciju ulaza

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Za ustaljeno stanje u procesu važna je statička osjetljivost K, a dinamičko

ponašanje karakteriše frekvencija prirodnog oscilovanja

i koeficijent

prigušenja . Opšte rješenje ove jednačine je funkcija odziva :

vrijednosti r

i r

mogu se odrediti iz karakteristične jednačine :

To je kvadratna jednačina, a njena su rješenja :

Kakvu će vrijednost imati ta rješenja zavisi od vrijednosti koeficijenta prigušenja
. Taj se koeficijent nalazi pod korjenom, pa može svojom vrijednosti uticati na
drugi član ovog izraza, da bude realan ili imaginaran broj. Razmotrimo mogućnost
redom:
a) =1; rješenje karakteristične jednačine je r

1,2



i kriva odziva je funkcija

Funkcija karakteriše monotono smirivanje.

b) >1; rješenje karakteristične jednačine je :

, član

je realan broj.

Kriva odziva je funkcija :

i ova funkcija karakteriše monotono smirivanje.
v) <1; rješenje karakteristične jednačine je :

član

-1<0, dakle negativan, a

je imaginaran broj, odatle i konjugovano

kompleksni brojevi kao rješenja. Kriva odziva je funkcija :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Za tu je funkciju bitno oscilatorno smirivanje, što je vrijednost <1, to je
oscilovanje odzivne funkcije izraženije.
g) =0; rješenje karakteristične jednačine je imaginarni broj r

1,2



, pa je odzivna

funkcija čisto sinusno oscilovanje :

Na slici 2.14. dati su odzivi procesa drugog reda na ulaznu promjenu x=at.

Pri tome je predstavljeno da je brzina promjene ulazne veličine jednaka vrijednosti
prirodne frekvencije oscilovanja procesa drugog reda



. Međutim, može se uzeti

bilo koja vrijednost a. Ponašanje procesa određuje se rješavanjem jednačine :

ili se pak u skladu sa prethodno izvedenim rješenjima određuje samo član

. Kao

rješenja dobijaju se ovi odzivi :

Sl. 2.14. Odziv procesa II reda na ulaznu promjenu x=at

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 3.2. Prikaz vođenja pomoću povratne veze (a) i unapredne veze (b)

Pri vođenju pomoću unapredne veze jedinica za vođenje djeluje na

upravljivu ulaznu veličinu na osnovu informacija o jednoj od ulaznih veličina.
Pretpostavlja se da ta ulazna veličina znatno mijenja vrijednost I nepovoljno utiče
na stanje procesa, tako da se samo posmatranjem izlazne veličine I vođenjem samo
pomoću povratne veze ne može postići zadovoljavajuća valjanost vođenja.

3.2. Upravljanje

Kad se govori o načinu vođenja, obično se još izdvaja način koga zovemo

upravljanje. Taj se način zapravo, posebno oslanja na vođenje pomoću povratne
veze. Naime, pri zamišljanju vođenja nekog procesa pomoću upravljanja, povratnu
vezu zatvara čovjek.

Dalja podjela može se izvesti, prema obliku signala što nosi te informacije.

Može to biti kontinuirani i diskontinuirani signal.

Postoje dva načina vođenja, s obzirom o informaciji o svrsi :

stabilizacija, ili održavanje stalne vrijednosti izlazne veličine,

mjenjanje vrijednosti izlazne veličine.

Sl. 3.3. Opšti prikaz regulacionog kruga

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

3.3. Regulacioni krug

Analiza vladanja (ponašanja) regulacionog kruga tumači se obično na

primjerima automatske stabilizacije izlaznih veličina procesa prvog i drugog reda
(sl. 3.3.). Matematički opis takvog regulacionog kruga je jednostavan i analiza se
može sprovesti bez upotrebe složenije matematike.

Pod pojmom analize sistema podrazumjeva se postupak, kojim se određuju

njegove bitne karakteristike ponašanja i to korišćenjem metoda koje za tu ocjenu
koriste odgovarajuće kriterijume. Analizom sistema dolazi se do odgovarajućih
zaključaka u pogledu ponašanja sistema u ustaljenim (stacionarnim i periodičnim) i
prelaznim režimima. Na taj način, utvrđuje se da li je njihovo dinamičko ponašanje
zadovoljavajuće, ili ne.

Analiza sistema može se vršiti u

vremenskom, frekventnom,

algebarskom i kompleksnom domenu, parametarskoj ravni, kao i prostoru
stanja.

Zadatak sasvim druge prirode od pomenutog, je zadatak sinteze, ili projektovanja
sistema. Sinteza upravljačkih uređaja može u načelu da ima dva osnovna vida.

Kao što je već rečeno, posmatrani objekt treba u raznim uslovima da ostvari

željeno ponašanje i u tom smislu, bira se koncept automatskog upravljanja njime,
koji se može realizovati u otvorenom ili zatvorenom kolu dejstva.

Nekad se zadovoljavajuće ponašanje zatvorenih sistema ne može postići

samo izborom parametara regulatora (parametarska sinteza), već je potrebno unijeti
određene prenosne organe, označene kao uskladnike – kompenzatore, koji svojim
dinamičkim karakteristikama koriguju dinamičko ponašanje sistema u cjelini.

3.3.1. Proces prvog reda u regulacionom krugu

Član sistema automatske regulacije, čija se dinamička svojstva mogu

izraziti jednačinama sa konstantnim koeficijentima, a čiji red ne prelazi drugi, zove
se element dinamičkog sistema. Tako razlikujemo elemente nultog reda,
integracioni element, diferencijalni element i sl.

I Elementi nultog reda – primjer dvokrake poluge

y = K x,

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

IV Integracioni elementi

Svojstva su izražena diferencijalnom jednačinom oblika

Vidi se da između ulazne i izlazne veličine ne postoji diferencijalna veza. Ako sada
integriramo :

Izlazna veličina proporcionalna je integralu ulazne
veličine zbog čega se prvi element zove integrirajući.

V Diferencijalni elementi

Kod idealnog diferencijalnog elementa na izlazu se dobija čista brzina

promjene ulazne veličine i data je jednačinom :

Ako se na ulazu izazove skok x=1 ili x=x

izlaz će biti y=0, bilo da je x=0

ili x=x

. Samo u trenutku promjene ulazne veličine x, tj. samo u tački t=0, brzina

Ako je skokovita promjena ulazne veličine

trenutna, tada će u tački t=0 biti

Proces prvog reda u regulacionom krugu prikazan je na slici 3.4. Radi

jednostavnosti, uzeće se da je dinamičko ponašanje mjernog pretvarača i izvršnog
organa idealno brzo i da se može uzeti y

y; x

u. Za pojačalo u povratnoj vezi

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

predpostavlja se da ima pojačanje k

. Tako se redom, počevši sa procesom, mogu

pisati jednačine ponašanja pojedinih jedinica.

Sl. 3.4. Proces prvog reda u regulacionom krugu

Proces

mjerni pretvarač

upoređivač

pojačivač

izvršni organ

Da bi se ocjenilo ponašanje kruga, potrebno je ove jednačine sastaviti u

jednu koja pokazuje zavisnost izlazne veličine od ulazne veličine x i y

. Jednačina

se dobija ako se zamjene nepoznate veličine reda sa poznatim, počevši od
jednačine za x

Uvrsti li se x

u jednačinu procesa, a novo dobijena jednačina sredi, dobija se

sledeće :

Na desnoj strani jednačine su obe ulazne veličine i x i y

, ali ćemo izučavati

ponašanje kruga automatske stabilizacije, pa će y

biti konstantne vrijednosti. Može

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Označimo li sa



n,s

frekvenciju prirodnog oscilovanja posmatranog

regulacionog kruga, a sa

njegov koeficijent prigušenja, tada se koeficijenti uz

i mogu izjednačiti sa

pa izvesti izraze za



n,s



3.3.3. Servosistemi

Pri analizi servosistema, kojem je ponašanje objekata opisano jednačinom

drugog reda, može se iskoristiti jednačina ponašanja procesa drugog reda u
slednom regulacionom krugu uz pretpostavku da je x

=0. Tako se servosistem,

kojem je dinamika objekta drugog reda, a ponašanje mjernog pretvarača, pojačala i
izvršnog organa karakterisano čistim osjetljivostima k

, k

, vrijedi :

Međutim, pri proučavanju servosistema ova se jednačina obično proučava u
preuređenom obliku tako da se pokazuje regulaciono odstupanje ili greška



(t) kao

funkcija vodeće veličine y

(t). U tu svrhu potrebno je u jednačini ponašanja

servosistema zamjeniti :

pa nova jednačina glasi :

Izlazna veličina servosistema je uvijek pomak, pa prema tome i vodeća veličina y

jeste takođe pomak.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

3.3.4. Regulator

Već smo ranije pomenuli da se u regulacionom krugu jedinica za vođenje

naziva   regulator.   Ponašanje   regulatora   kojeg   smo   pretpostavili   pri   analizi
regulacionog kruga karakterisala je čista statička osjetljivost. Jedina mu je funkcija
bila   pojačavanje   signala   greške.   Međutim,   da   bi   se   postiglo   dobro   ponašanje
regulacionog kruga, regulatoru treba dograditi i prikladno dinamičko ponašanje.
Radi   praktičnosti,   to   je   ponašanje   standardizovano,   pa   je   i   osnova   za   podjelu
regulatora.

a) Proporcionalni regulator ili P regulator

To je regulator sa kojim smo se služili pri prethodnim primjerima. U osnovi

je to pojačivač uskladivog pojačanja, k

, kojem na ulazu deluje signal greške



= y

- y

. Na izlazu daje upravljačku veličinu srazmernu signalu greške. U praksi

se izvodi tako da sadrži i konstantan član u

. Ta vrijednost odgovara vrijednosti

upravljačke veličine pri ustaljenom stanju procesa, tj. u radnoj tački. Takvo
ponašanje karakteriše jednačina (sl. 3.6.).

Sl. 3.6. Prikaz ponašanja proporcionalnog regulatora

pri djelovanju skokovite promjene mjerne veličine

b) Proporcionalno – integralni regulator PI – regulator

Integralni regulator daje upravljačku veličinu koja se mijenja brzinom

srazmernoj ulaznoj grešci. Dakle, njegovo ponašanje karakteriše jednačina :

gdje označava brzinu promjene vrijednosti upravljačke brzine,

Jednačina se može izraziti i pomoću integrala :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sa τ

označena je konstanta izvoda, a smisao je pokazan na slici 3.7. na

kojoj je i ilustrovano ponašanje takvog regulatora uz pretpostavku da je nastupila
skokovita promjena vrijenosti mjerne veličine. Može se reći da je konstanta izvoda
τ

vrijeme za koje je diferencijalno upravljačko djelovanje, dobije se

proporcionalno – integraciono – diferencijalno djelovanje ili PID djelovanje i
jednačina glasi :

g) Načelne konstrukcije pneumatskih regulatora

Najjednostavnija konstrukcija regulatora data je na slici 3.8.
Pritisak, P, u prostoru raspršivača upravljački je pritisak zavisan od

udaljenosti, δ, pločice od raspršivača. Idealno, to je zavisnost p = p

+ k

Sl. 3.8. Jednostavne konstrukcije pneumatskog regulatora

Prelazni proces je proces ili vremenska veličina (sl. 3.9.), kada se između

zadate i ostvarene veličine uspostavlja ravnoteža tj. kada je greška



= 0, tada

regulator ne dejstvuje.

Sl. 3.9.

Nakon vremena t

greška se ovdje otklanja ili svodi na minimum. Prelazni

proces pri skokovitoj promjeni ulazne veličine od 0 na x

može biti aperiodičko bez

oscilovanja, periodičko sa oscilovanjem i prigušeno oscilovanje (sl. 3.10.).

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 3.10. Odzivi na skokovitu ulaznu funkciju

U opštem slučaju, prenosna funkcija se izražava kao poremećajno dejstvo

izraženo eksponencijalnom jednačinom x(t) =e

i rješenjem ove jednačine

U načelu je :

Uobičajene oznake za kompleksnu promjenljivu su W (p) ili W(s) kao i

oznake G(p) odnosno G(s) i istog su značenja.

3.3.5. Kriterijumi za ocjenu kvaliteta ponašanja sistema i

zahtjvi pri sintezi

Od tehničkih sistema se zahtjeva određeni kvalitet dinamičkog ponašanja,

koji se najčešće iskazuje kroz pokazatelje odskočnog ili frekventnog odziva
sistema.

Analiza sistema samo ukazuje na to, da li su pokazatelji od interesa u

propisanim granicama, tako da se tek u sintezi sistema susrećemo sa problemom
prevođenja postavljenih tehničkih zahtjeva na matematički jezik, koji u vidu
brojnih vrijednosti određenih kriterijuma omogućava sprovođenje postupaka
sinteze u smislu ostvarenja zadatog ponašanja sistema.

I vremenski domen

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

brzinska statička karakteristika

n(t) = t h(t) – nagib funkcije

statička greška ubrzanja

II Pojačanja i klasifikacija sistema

Dat je sistem čija je prenosna funkcija :

m≤n

Ako neki od koeficijenata nedostaju onda je :
b

= 0 za k = 0,1,2,... r-1, b

≠ 0 r [0, m-1],

= 0 za k = 0,1,2,... p-1, a

≠ 0 p [0, n-1].

U tom slučaju prenosna funkcija sistema je :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

gdje su :

Pojačanje sistema definisano je u vremenskom domenu na sljedeći način :

gde je q(t) odskočni odziv sistema.

Ako su ispunjeni uslovi za primjenu druge granične teoreme Laplasa, može

se prema prethodnom napisati :

A prema vrijednostima koje može da zuzme eksponent q, vrši se sljedeća

klasifikacija sistema :

q=0

0< k

< sistem je P (proporcionalnog) ponašanja,

q>0 k

sistem je I (integralnog ili pretežno integralnog ponašanja),

q<0 k

= 0

, sistem je D (diferencijalnog) ponašanja.

Koristeći prethodne veze za statičke greške i pojačanja mogu se uočiti

njihove sljedeće veze :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

PRIMJER :

Odrediti vrijeme kašnjenja i vrijeme uspona sistema čija je prenosna

funkcija :

Jednačini odskočni odziv sistema je : q(t) = 1 – e

-t

, a pojačanje je

Preme definiciji vremena kašnjenja T

, dobija se :

0,5 = 1-e

-Tk

, odnosno T

=0,693. Na isti način za vrijeme uspona T

: 0,1 =1-

0,9 = 1-

=0.104 s t

=2,302 s

= t

2u -

= 2,198 s.

III Frekventni domen

Pretpostavimo da smo na sistem na sl. 3.11. , na njegov ulaz doveli

prostoperiodičan signal x

(t) = x

sin ωt, pri svim početnim uslovima jednakim

nuli. Pod pretpostavkom da je sistem stabilan nakon iščezavanja prelaznog procesa,
uspostaviće se u novom stacionarnom stanju, takođe harmonijska oscilacija tipa :
x

(t) = x

(ω) sin [ωt+θ(ω)], iste učestalosti ω, amplitude x

(ω) i fazno pomjerena

za ugao θ(ω).

Moduo A (ω) frekventne karakteristike sistema pretstavlja odnos amplituda

izlazne i ulazne oscilacije u stacionarnom stanju a argument ψ (ω) frekventne
karakteristike, jednak je faznom pomjeraju θ(ω). Gornja jednačina predstavlja
polarnu frekventnu karakteristiku.

Za sistem upravljanja (sl. 3.11.) proističe :

gdje je : W

– prenosna funkcija otvorenog kola sistema regulusanja.

Frekventna karakteristika može se dobiti formalnom smjenom s = j ω, u

prenosnoj funkciji ukoliko je ova poznata, tj :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

gdje su :
A

, A – amplitude otvorenog, odnosno zatvorenog kola (često se koristi M),

ok,

ψ – argument otvorenog, odnosno zatvorenog kola (često se koristi oznaka α).

IV Kompleksni domen

Pri sintezi sistema automatskog upravljanja koristi se više metoda (metoda

geometrijskog   mjesta   korjenova,   algebarska   metoda,   metoda   sinteze   u   prostoru
stanja,   itd.).   Zahtjevi   se   sistemu   veoma   često   postavljaju   kroz   lokaciju   polova
prenosne   funkcije   sistema   u   kompleksnoj   ravni.   Posmatrajmo   par   dominantnih
konjugovano – kompleksnih polova sistema lociranih u lijevoj poluravni, ravni
kompleksnih brojeva s , sl. 3.13. Kompleksni broj s može se predstaviti na više
načina.

Sl. 3.13.

Pođimo od :
s = + j ω, j

= -1

U polarnim koordinatama koristi se Ojlerov oblik
kompleksnog broja. Može se napisati :

Iz uslova da s treba da leži u lijevoj poluravni kompleksne ravni :

ako se

uvede suplementarni ugao θ : ψ + θ = π; 0< θ < dobija se :

Ako se stepen prigušenja uvede na sljedeći način :

=cos θ, odnosno

može se konačno napisati :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

faktor pojačanja K, funkcije povratnog dejstva ili prenosa W

(s) mijenja od nule do

beskonačnosti.

PRIMJER :

Neka je data prenosna funkcija otvorenog prenosa povratne sprege sa

za H=1, W

H=W

pa je prenosna funkcija zatvorenog

sistema jednačine povratne sprege :

Polovi su korjeni karakteristične jednačine s

+s+K=0 odakle slijedi da je :

U konkretnom slučaju treba odrediti nule polinoma s

+s+K=0 kada se K mijenja od

nule do beskonačnosti.

Za K=0 slijedi : s

=0 i s

=-1, pa se korjeni karakteristične jednačine

poklapaju sa polovima funkcije povratnog dejstva W

(s).

biće

što znači da se sa porastom K od nule do

jedan korjen pomjerao od s

=0 do

a drugi od s

=-1 do

. Sa daljim

porastom K korjeni karakteristične jednačine postaju konjugovano kompleksni i

kreću se po pravoj

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 4.1.

Sa slike zaključujemo sljedeće :

Sve vrijednosti korjena karakteristične jednačine nalaze se na lijevoj poluravni
– kompleksne s ravni pa je sistem u svim slučajevima stabilan.
Upoređivanjem koeficijenta karakteristične jednačine s

+s+K=0 sa

karakterističnom jednačinom drugog reda u standardnom obliku : s

+2D

=0 zaključujemo :

Sopstvena učestanost

sistema raste sa povećanjem faktora K, jer je

=K i

odatle

Koeficijent relativnog prigušenja D opada sa povećanjem K tj. : 2D

odavde

Faktor prigušenja δ ne zavisi od faktora K s obzirom na to da je :

Domonantna vrijednost vremenske konstante T

ne zavisi od faktora K :

Vrijeme smirivanja odskočnog odziva je konstanto za

oba korjena su realna i negativna (D<1)) pa je odskočni odziv

aperiodična funkcija.

Za analitički uslov geometrijskog mjesta korjena jednačina mora da zadovolji
relaciju :

Kako je s – kompleksna promjenljiva, ovu jednačinu možemo napisati u
polarnom obliku

Iz ove relacije slijede dva uslova koje treba da zadovolje svaki konkretno

izabran pol s

, odnosno svaka tačka, geometrijskog mjesta tačka.

Uslov apsolutne učestalosti

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Za dati slučaj :

Za standardni oblik :

Polovi funkcije povratnog dejstva – sprege jednaki su korjenima karakteristične
jednačine zatvorenog sistema za K=0.

Linije konstantne vrijednosti

su vertikalne, i predstavljaju linije

konstantnog faktora prigušenja δ. Linije konstantnih vrijednosti

horizontalne i predstavljaju linije konstantnih učestanosti

prigušenih oscilacija.

Kružnica konstantne sopstvene učestanosti sistema

sa centrom u koordinatnom

početku s – ravni ima poluprečnik :

korjeni karakteristične jednačine (polovi prenosne

funkcije zatvorenog kola) poklapaju se pa je :

Ugao prave konstantnog ugla u odnosu na realnu osu računa se iz relacije :

To su prave konstantnog relativnog prigušenja D. Uočimo i specijalnu

tačku s

(K=K

) na dijagramu (sl.4.2.)

Sl. 4.2. Geometrijsko mjesto korjena sistema drugog reda

(karakteristična jednačina

)

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Tada je

Uslov apsolutne vrijednosti daje :

s = s

Sl.4.3. Određivanje uglova specijalne tačke S

Sl. 4.4. Linije konstantnog parametra

U tački s

uglovi su :

4.1. Idejni program za određivanje amplitudne logaritamske

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

i fazna pomjeranja izlazne funkcije kada se sistem pobuđuje

sinusnom funkcijom.

Ovakvo tumačenje slijedi i na osnovu jednostavnog posmatranja

kompleksnih brojeva : a + bj i

Operator "j" rotira realan broj za 90° u smjeru prethođenja (smjer suprotan

od smjera kazaljke na satu). Na osnovu rečenog, kompleksni broj ima fazno
pomjeranje u pravcu prethođenja u intervalu od 0 do 90°, dok komplekas broj

ima fazno pomjeranje u pravcu kašnjenja u intervalu od 0 do 90°.

Logaritamski faktor pojačanja (A) sistema u decibelima (db) definiše se

kao:

. Primjenom definicije na karakteristiku učestanosti

dobija se :

Iz ove relacije slijedi da je logaritamski faktor pojačavanja sistema, kao

odnos izlaznog i ulaznog signala, jednak algebarskom zbiru logaritamskih faktora
pojačavanja svih činitelja karakteristike učestanosti. Modul činitelja karakteristike
u brojiocu imaju znak "+", dok moduli činitelja u imeniocu imaju znak "-".

Fazni ugao sračunavamo iz relacije :

b) Program

Sada ćemo odrediti amplitudnu logaritamsku karakteristiku i uporediti je sa

krivom koja se dobija simuliranjem našeg parcijalnog idejnog programa na
analognom računaru.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 4.5. Idejni program

Eksperimentalnim određivanjem date su vrijednosti sljedećih konstanti :

Za veličine z i –y važe sljedeće relacije :

;

Primjenom L – transformacije dobijamo :

sZ=-Dx-Az

X=X(s)

Y=Y(s)

Z=Z(s)

sY=BZ-CY+EX

a onda slijedi da je prenosna funkcija :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

odnosno

Analogno iznetom slijedi :

, odnosno

Na slici 4.6. prikazane su krive amplitudno frekventnih karakteristika

pojedinih parcijalnih prenosnih funkcija, kao i rezultujuća kriva za prenosnu
funkciju sistema, koja se dobija superpozicijom nagiba pojedinih dijelova pravih
parcijalnih amplitudno frekventnih karakteristika.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 4.6. Logaritamski prikaz amplitudno frekventnih karakteristika

Za određivanje tačnih dimenzija tj. vrijednosti amplitudno frekventne

karakteristike sistema, koristimo idejni program za simuliranje procesa na
analognom računaru.

Vrijednosti podešavanja potenciometra su :

;

Na sl. 4.7. a) i b) dati su programi za određivanje vijednosti pojedinih

tačaka amplitudno – frekventne karakteristike. Progran na sl. 4.7. b) je unekoliko
preuređen u odnosu na program dat na sl. 4.7. a), s obzirom da korišćeni računar
ima smo dva "desetična" ulaza.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 4.8. Upoređenje amplitudno – frekventnih karakteristika

4.2. Modeliranje dvofaznog naizmeničnog servomotora i
spajanje u servosistem za automatsko upravljanje

U statoru ovog motora su smještena dva namotaja, čije su magnetne ose

normalne jedna na drugu. Rotor je sa kratko spojenim namotajem ili ima oblik tzv.
"veveričijeg kaveza".

Statorski namotaji se pobuđuju naizmeničnim naponima u

(t) i u

(t) istih

amplituda i učestanosti, ali fazno pomjerenih jedan u odnosu na drugi za π/2. Zbog
toga rezultujuće magnetno polje, proizvedeno strujama u statorskim namotajima,

rotira sinhronom brzinom

, gde je f- frekvencija u Hz, a p – broj pari

polova.

Ovdje se jedna faza, koja se naziva referentnom ili fiksnom, napaja

naizmeničnim naponom u

(t) konstantne amplitude, dok se druga, tzv. kontrolna

faza, napaja naizmeničkim naponom upravljačkim u

(t), čija se amplituda mijenja.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 4.9. a) Šema dvofaznog naizmeničnog motora sa opterećenjem,

b) brzina n (%) od sinhrone brzine

Karakteristika 3 sa slike govori da obrtni moment motora približno linearno

opada sa porastom brzine obrtanja izlazne osovine.

Na osnovu dijagrama koji je snimljen za tri različita motora, možemo

vidjeti da se za neku konstantnu brzinu obrtanja n raspoloživi obrtni moment
motora može dobiti iz relacije :

gde su :

;

Pozitivne konstante K

i C

predstavljaju parametre motora, koji se za

određeni motor lako određuju iz datih ili eksperimentalno snimljenih karakteristika.
Servomotor kuplovan (spregnut) za opterećenje momenta inercije I

i viskoznog

trenja F

preko mehaničkog reduktora prenosnog odnosa i, prikazan je na sl. 4.9. Za

ovakav spreg važe sljedeće relacije :

gde je

- moment opterećenja pre mehaničke redukcije dat relacijom :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

na drugi za π/2, faktor pojačanja K se smanjuje srazmerno sinusu faznog
pomjeranja između u

(t) i u

(t).

U ovom konkretnom slučaju na praktičnom radu data su tri dvofazna

naizmenična servomotora koji će u sprezi servosistema imati sljedeće uloge :
  -   Servomotor   SM1   ima   za   zadatak   da   održava   broj   obrtaja   n=3000   gdje   u
zavisnosti   od   ulaznih   parametara   reguliše   pritisak   i   brzinu   stujanja   ulja   na
hidromotoru, n=f(p,c).
-   Servomotor   SM2   ima   zadatak   da   u   zavisnosti   od   promjene   temperature   u
hladnjaku   reguliše   protok   hladne   vode   pri   čemu   će   se   održavati   konstantna
vrijednost ulja od 41±3°=>θ=f(Q

- Servomotor SM3 ima za zadatak da održava konstantni pritisak i protok ulja na
ležajevima turbogeneratora, tj. p

=const. i Q

=const.

Sl. 4.11. Šema servosistema

Kao što je poznato za svaku automatsku regulaciju potrebno je imati

najmanje tri elementa i to : osjetilo (senzor, receptor ili detektor), upravljač
(program ili mozak – u našem slučaju računar) i izvođač (izvršni organ, servomotor
ili aktuator).

Na gornjoj slici data je šema servosistema sa sljedećim veličinama. Izlazna

veličina, koja je funkcija vremena y(t), poredi se sa vrednošću u diskriminatoru D
sa ulaznom veličinom x(t). Na izlazu iz diskriminatora dobija se napon greške ε(t),
koji se pojačava i djeluje na motor, dok ne dovede izlaznu veličinu na vrijednost
ulazne. Veličine x(t) i y(t) mogu biti različite : putanje, uglovi, pritisci, temperature
i sl. Napon na izlazu iz pojačivača V=K

ε(t), gde je K

pojačanje u samom

pojačivaču. Sa druge strane, pri kretanju svakog fizičkog motora javlja se trenje,
tako da kretanje određuje diferencijalna jednačina :

gdje je :

I – moment inercije motora sa teretom
F – koeficijent unutrašnjih otpora (trenje i dr.)
K

– koeficijent motora

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sa slike je očigledno da je ε(t)=x(t)-y(t) i napon pojačala V=K

ε(t) pa kada

se ova vrijednost za V uvrsti u gornju jednačinu, dobija se diferencijalna jednačina
cijelog sistema :

ako se zamjeni vrijednost :

ε(t)=x(t)-y(t) onda je :

ili sređivanjem dobijamo :

ako sada cijelu jednačinu podelimo sa F dobićemo :

Zamjenom da je

dobijamo nov oblik :

Ako sada primjenimo Laplasovu transformaciju, jednačina dobija oblik (za početne
uslove jednak nuli) :

Zatim bi postupak bio da se algebarski riješi po y(s) i izvrši inverzna
transformacija. Umjesto toga ćemo napisati gornju jednačinu u obliku :

odnosno :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

– koeficijent pojačanja protoka [(cm

/s)/cm]

x – pomjeranje klipa razvodnika od srednjeg položaja (cm).

Protok hidroulja kroz razvodnik Q mora biti ravan sumi protoka koji ide u

razvodni cilindar Q

, protoka koji se gubi uslijed curenja sistema Q

i protoka za

kompenzaciju stišljivosti hidroulja Q

, tj. :

Q = Q

+ Q

Komponenta Q

proizvodi kretanje klipa radnog cilindra i može se izraziti

jednačinom zapreminskog protoka :

gde je :

A – radna (efektivna) površina klipa izvršnog organa (sa jedne strane u cm)
y – pomjeranje klipa izvršnog organa u cm.

Komponenta protoka koji se gubi uslijed curenja sistema Q

može se izraziti

preko koeficijenta curenja

i radnog pritiska hidroulja p.

= C

Sl. 4.13. Hidraulički sistem "razvodnik-izvršni organ"

Komponenta protoka za kompenziranje stišljivosti hidroulja Q

zavisi od

efektivne zapremine hidroulja pod pritiskom u radnom cilindru i vodovima između
razvodnika i izvršnih organa V(cm

) i od zapreminskog modula stišljivosti B

(daN/cm

), i može se izraziti izrazom :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Pošto je protok hidroulja koje od pumpe prolazi kroz razvodnik i koji je određen
jednačinom Q = K

x, jednak je protoku definisanom u jednačini Q = Q

+ Q

to iz jednakosti prva dva protoka (prema kontinuitetu) proizilazi :

Sila f (daN) koju hidroulje pod pritiskom stvara dejstvovanjem na klip radnog
cilindra (pri čemu se podrazumjeva da je radni pritisak ravan razlici pritisaka sa
jedne i druge strane klipa u radnom cilindru) biće :

F = A p

Da bi ova sila mogla da proizvede ubrzanje inercijalnog opterećenja mase M i
savladala viskozno ulje – trenje, treba da bude :

gdje je :

μ [daN/(cm/s)]

– koeficijent viskoznog trnja klipa i opterećenja.

Unošenjem izraza za p i dp/dt iz prethodne jednačine u jednačinu (1) poslije

sređivanja dobija se :

Ako se lijeva strana i desna strana jednačine (2) podjele sa A i uvede smjena

biće :

Iz ove jednačine primjenom Laplasove transformacije za nulte početne uslove
dobija se prenosna funkcija otvorenog kola kod hidrauličkog sistema razvodnik –
radni cilindar u obliku :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

cilindra pumpe i disk podešljivog nagiba, pri čemu je blok čvrsto, a disk zglobno
vezan za vratilo konstantnog obrtanja.

Posebnom konstrukcijom diska omogućeno je da se pri obrtanju vratila

klipovi pumpe kreću napred i nazad. Na taj način se vrši protok ulja od pumpe ka
motoru i obratno. Dužina hoda klipova pumpe, pa prema tome i ukupan protok
radnog fluida kroz pumpu, može se regulisati veličinom nagiba diska u odnosu na
referentni položaj θ

= 0. Ako je θ

= 0, klipovi pumpe se neće kretati unutar

cilindra, odnosno protok fluida kroz pumpu neće postojati. Nagib diska θ

se može

mijenjati u toku rada pumpe, promjenom nagiba jednog nepokretnog podmetača na
kome leži disk (vidi sl. 4.14.).

Na prijemnoj strani hidrauličnog prenosa nalazi se motor, koji je praktično

iste konstrukcije kao i pumpa na jednoj strani, s tom razlikom, što disk na njegovoj
strani ima konstantan nagib. Radni fluid dolazi u motor pod pritiskom, koji
ostvaruje pumpa i proizvodi odgovarajuću silu pritiska na klipove motora.

Kao što je prikazano na sl. 4.14. ovu silu je moguće razložiti na dvije

komponente i to prvu, koja djeluje na disk, odnosno njegov nepokretan dio –
podmetač i drugu, koja djeluje u ravni diska tj. tangencijalno na gornju površinu
podmetača, a druga proizvodi moment u odnosu na izlazno vratilo.

Tipična karakteristika hidrauličkog motora data je na sl. 4.14.

Sl. 4.14. Karakteristika hidrauličkog motora

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 4.15. Hidraulični prenos

Sl. 4.16. Sprega motora hidrauličkog prenosa

sa diskom fiksnog nagiba

Sl. 4.17. Linearizacija karakteristika hidrauličnog prenosa

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

gdje su :

4.4. Strukturni blok dijagrami sistema upravljanja

Glavni dijelovi svakog sistema automatskog upravljanja su objekt

upravljanja (ili regulacije) i jedan ili više pridruženih upravljačkih elemenata. Na
sl. 4.18. dat je opšti blok dijagram. Isprekidanim linijama dat je idealan sistem,
odnosno referentni model realnog sistema. Malim slovima v, r, e, ... su označene
odgovarajuće promjenljive sistema, koje su u funkciji vremena, tj. v(t), r(t), e(t), ...
Zadati ulazni signal v(t) u svakom tenutku određuje vrijednost koju treba da ima
izlaz objekta upravljanja.

Sl. 4.18. Opšti blok dijagram upravljanja

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Na sljedećoj slici dat je blok dijagram sa šemom.

Sl. 4.19. Blok dijagram

Umjesto klasičnih blok dijagrama kod složenih SAU koriste se tokovi

signala i Masonova formula.

Komplikovani blok dijagrami SAU sa povratnom spregom možemo

redukovati u konačan oblik, čija je prenosna funkcija jednostavno kao :

Graf toka signala

je moguće pojednostaviti na način kako se izvodi

redukcija blok dijagrama, tj. korak po korak.

PRIMJER 1.

Uprostiti graf toka signala dat na slici.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Masonova formula omogućava da se brzo i jednostavno uprosti graf toka

signala. Ona se može primjeniti direktno i na blok dijagrame, ali je graf toka
signala jednostavniji za očitavanje, naročito kada je blok dijagram vrlo
komplikovan. Označimo odnos izlazne veličine x

i ulazne veličine x

slovom W.

Za sve grafove toka signala važi opšta formula za transformaciju izvora i ponora u
obliku :

gdje je :
D – determinanta grafa,
π

– transformacija j – te osnove putanje između izvora i ponora ili transmintancije

uzduž tog unaprijed orijentisanog puta,
Δ

– faktor te otvorene putanje,

i x

– predstavljaju kompleksne likove (ili samo promjenljive) ponora i izvora.

Neka L

, L

, ..., L

predstavljaju petlje u grafu. Onda je determinanta D

grafa zavisna samo od transmintancije petlji i određena je izrazom :

gde su :

- suma transmintancija svih zatvorenih putanja,

- suma svih mogućih dvočlanih proizvoda transmintancija petlji koje se

međusobno ne dodiruju,

- suma svih mogućih tročlanih proizvoda transmintancija petlji koje se

međusobno ne dodiruju.

Pri tome pod putanjama koje se ne dodiruju podrazumjevamo one koje

nemaju zajedničkog čvora ni grane. Očigledno da je determinanta grafa koja nema
petlji jednaka jedinici.

Faktor Δj-te otvorene putanje unaprijed orijentisane grane predstavlja

determinantu onog dijela grafa koji ne dodiruje j-tu otvorenu putanju.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Na sljedećem primjeru potrebno je naći prenosnu funkciju pomoću toka

signala sa sljedećeg blok dijagrama na sl. 4.21.

Sl.4.21.

Zatvorene grane su :

Determinanta sistema je :

= W

D=1-(L

= W

=1+ W

- W

= - W

-W

= W

= - W

Putanje unaprijed su : π

= W

pa su faktori Δ

= 1

i Δ

= 1.

Korišćenjem Masonove formule dobijamo da je prenosna funkcija :

PRIMJER :

Dimenzionisanje aksijalno klipnog motora

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Brzina obrtanja vratila

gde je : ω – ugaona brzina s

-1

, Q

–

teoretski protok m

/s, q

– specifični protok m

Pošto je :

Koeficijent curenja r

gdje su :
Q – stvarni protok m

/s i

P – radni pritisak u Pa.

Koeficijent momenta K

Prenosna funkcija :

Mehanička vremenska konstanta :

gdje je :
r

– koeficijent curenja hidromotora,

– specifično curenje u mehanizmu za regulaciju brzine, ovdje je r

=0,

U=0,7 – empirijski koeficijent kojim se uračunava srednja vrijednost pada pritiska
(hidrauličnih gubitaka),
I = I

+ I

-2

gde je :

– moment inercije rotora =

– moment opterećenja = 30 Nms

pa je :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Posebnu pažnju kod upravljačkih elemenata treba posvjetiti razvodnicima

čije se karakteristike u najkraćim crtama ovdje iznose.

Brzina strujanja tečnosti u kanalima dijela razvodnika i otvorima klipa

usvaja se u cilju smanjenja gabarita razvodnika, da bude 2 do 2,5 puta veća od
brzine strujanja tečnosti u dovodnim cijevima, međutim, gubici u razvodniku ne
treba da premašuju 2% radnog pritiska. U praksi se uzima da brzina strujanja iznosi
6 do 8 m/s.

Veličinu minimalnog zazora u razvodniku, pri izradi njegovih dijelova od
materijala sa različitim koeficijentima linearnog širenja se određuje :

i S

– veličine zazora po prečniku pri temperaturi t i t

i t

– srednje temperature cilindra i klipa,

α i β – koeficijenti toplotnog širenja cilindra i klipa razvodnika.

Pošto su obično temperature jednake tj. t

= t

, jednake srednjoj temperaturi

sistema t, biće :

Sila trenja : orijentaciona sila potrebna za pomjeranje klipa razvodnika može se
izračunati :

gdje je : d – nominalni prečnik klipa, l – maksimalna

dužina na kojoj može djelovati jednostrani pritisak, P – maksimalan pritisak ulja, f
– koeficijent trenja = 0,05, i K – popravni koeficijent = 0,15 do 0,3.

5. SENZORI (OSJETILA, RECEPTORI ILI DETEKTORI)

Mjerne informacije imaju veliki značaj u naučnim i tehničkim disciplinama

jer   sadrže   kvalitetne   vrijednosti   pomoću   kojih   se   procjenjuju   stanja   objekta
istraživanja.   Moderna   mjerenja   baziraju   se   uglavnom   na   pretvaranju   fizičkih
veličina u električni signal. Pojačanje i obrada signala, daljinski prenos i očitavanje
rezultata   su   usavršeni,   a   uz   to   postiže   se   visok   metrološki   kvalitet   u   pogledu
tačnosti, osjetljivosti i pouzdanosti mjerenja. Pretvaranjem mehaničkih, hemijskih,

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Jednačina kinetičke energije fluidnog djelića

, može

se izraziti u vidu jednačine pritisne energije

odnosno dinamički pritisak fluida

) u toj tački je :

a zbir statičkog i dinamičkog pritiska zove se totalni

gdje su : ρ (kg/m

); v (m/s); da bi se dobio pritisak p (Pa).

Pošto pri stajanje nestišljivog fluida kroz pravu cijev (kanal)

; (v

=0);

statički pritisak u cijevi se mjeri na zidu sl.5.2.

Mjerenjem će se dobiti tačan podatak za pritisak samo ako je otvor (priključak) u
zidu pravilno i pažljivo urađen : on mora biti cilindričan, upravan na pravac
strujanja čistih ivica (čak i suvišno zaobljivanje ulaznih ivica može biti uzrok
greške), spoj mora biti nepopustljiv, okolna mjesta površine 50 d u prečniku (d –
prečnik otvora), mora biti čista i glatka.

Sl. 5.1. c)

5.2. Mjerenje protoka

Kada se u cjevovod, kroz koji struji stišljiv i nestišljiv fluid, ugradi lokalno

prigušenje, utvrđeno je da protok ima veličinu i proporcionalan je kvadratnom
korenu iz razlike pritisaka ispred i iza prigušnice. Prema tome, na osnovu izvedene
razlike pritisaka na prigušnici može se izračunati protok po teorijski ili
eksperimentalno određenoj formuli tzv. karakteristici prigušnice (sl. 5.2.).

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 5.2.

Na slici 5.2. je šematski prikazano naglo suženje protočnog presjeka koje se

ostvaruje otvorom blende prema kojem će se izvršiti teorijski proračun. Iz
Bernulijeve jednačine za presek 1-1´ i 2-2´ (najuži presjek mlaza) pri strujanju
savršenog fluida je :

a iz jednačine kontinuiteta :

‚

Pošto su :

biće :

gdje su :

koeficijent kontrakcije mlaza

koeficijent otvora blende, prema tome će biti :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

5.3.1. Otporni davači

Otporni davači se vrlo često koriste za mjerenje većeg broja mehaničkih i

drugih veličina (temperature). Princip rada ovih davača zasnovan je na fizičkoj
pojavi da se pri promjeni određene mehaničke veličine mijenja unutrašnji otpor
provodnika i to u određenoj srazmjeri sa ulaznom mehaničkom veličinom. Na sl.
5.5. data je šema otpornog davača.

Sl. 5.5 Šema otpornog davača

Iz ove šeme se vidi da se davač sa unutrašnjim otporom Rd vezuje za

mjerni most odgovarajućim provodnikom, ukupnog otpora Rp i otpora izolacije Ri.
Da bi davač bio dovoljno osjetljiv, mora da zadovolji uslov :

pri napajanju jednosmernom strujom Rp<<Rd<<Ri

pri napajanju naizmeničnom strujom Rp<<Rd<<1/ωC

gdje je ω noseća frekvencija struje napajanja.

Od mnogih različitih izvođenja, ukratko će se prikazati najznačajniji i

najviše korišteni otporni davači.

I OTPORNI SA KLIZAČEM

Najjednostavniji davači ove vrste su tzv. potenciometri. Na sl. 5.6.

prikazano je jedno od mogućih rješenja za mjerenje linearnih pomjeranja (slični
davači mogu da se koriste i za mjerenje ugaonih pomjeranja.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 5.6.

U ovom slučaju promjena otpora se jednostavno upoređuje sa pomjeranjima preko

izraza

Na isti način mogu da se mjere i odgovarajuće promjene

napona

Najjednostavniji davač sa elastičnim elementom za mjerenje

pritiska dat je na slici 5.7. kao što se vidi on je izveden kao metalni štap određenog
prečnika koji je na oba kraja povezan električnim provodnicima i izložen sa svih
strana pritisku p.

Sl. 5.7.

Princip rada ovog davača zasnovan je na poznatom zakonu da otpor provodnika
zavisi od njegovih dimenzija (dužine l i površine poprečnog presjeka A) i
specifičnog otpora ρ, tj.

Diferenciranjem ovog izraza za male otpore, a uz uslov da su promjene poprečnog

presjeka proporcionalne promjenama prečnika, tj.

dobija se :

Kako između napona (P) i odnosne relativne deformacije (ε) postoji poznati

odnos

gdje je E modul elastičnosti materijala, a μ Poasonov

koeficijent, te se dobija :

Ako se relativna promjena specifičnog otpra uslovno označi sa :

pa se konačno dobija :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

III INDUKCIONI DAVAČI

Indukcioni davači spadaju u grupu aktivnih davača i zasnivaju se na

principu indukcije. U ovim davačima se, dakle, u zavisnosti od brzine pomjeranja
provodnika u magnetnom polju, indukuje elektromotorna sila. Šema rada data je na
sl. 5.9.

Sl. 5.9.

Na ovoj šemi je sa U

označen napon napajanja elektromagneta, a sa U napon koji

se indukuje u provodniku P, pri njegovom pomjeranju brzinom V u označenom
pravcu. Indukcioni davači mogu da se izvode na različite načine, a posebno su
pogodni za mjerenje linearnih i ugaonih brzina i ubrzanja. Na sl. 5.10. prikazan je
davač za mjerenje ugaonih brzina (tahogenerator).

Sl. 5.10.

Elektrodinamički indukcioni davač ili tahogenerator se mnogo koristi u

svim ispitivanjima motornih vozila, a i znatno šire. Njegova osnovna vrijednost je
u tome što on predstavlja praktično jedini davač koji omogućuje da se ugaone
brzine ili broj obrtaja neposredno pretvaraju u odgovarajući kontinualni električni
signal.

U prvom slučaju pod a) davač je izveden sa nepokretnim permanentnim

magnetom, a odvod sa namotaja rotora vrši se preko kliznih kontakta.
Tahogeneratori ove vrste daju jednosmjernu struju, tj. napon, što je pogodno u
slučaju da se rezultati zapisuju u analognom obliku. Njihov je nedostatak,

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

međutim, pulzirajući izlazni napon, a vrlo često i znatan šum izlaznog signala.
Tahogeneratori pod b) i c) generišu naizmjenični napon. Na šemi b) magnet je
pokretan, a na šemi c) nepokretan, dok je pokretno samo jezgro. U oba slučaja,
izlazni napon može da bude vrlo čist bez šumova. Naizmjenični napon, međutim,
ne može da se neposredno zapisuje, što znatno sužava domen primjene
tahogeneratora ove vrste. Sva tri tipa tahogeneratora generišu napon koji je
srazmjeran broju obrtaja, dato na sl. 5.11., firme TETCO.

Sl. 5.11.

IV DAVAČI TEMPERATURE

Termoelementi imaju široku primjenu u ispitivanju kočionog mehanizma i

predstavljaju aktivne davače, koji u zavisnosti od temperaturnih razlika na
krajevima provodnika razvijaju elektromotornu silu. Osnovni uslov je da
provodnici budu izrađeni od različitih materijala i to sa što većom međusobnom
termoelektričnom osjetljivošću. Princip mjerenja pomoću termoelementa dat je na
sl. 5.12.

Sl. 5.12.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

V VISTONOV MOST

Ovaj most je pogodan za mjerenje malih promjena jednog otpora, a samim

tim i za određivanje promjene otpora MT – mjerne trake. Na sl. 5.14. prikazan je
ovaj most pod a) za klasično vezivanje i pod b) most za lakše razumjevanje.

Sl. 5.14.

Ako se na obje krajnje tačke 2 i 3, tzv. "napojna dijagonala", dovedi poznati

napon U

(ulazni napon, napon mosta ili napojni napon), tada nastaje između

krajnjih tačaka 1 i 4 tzv. "mjerna dijagonala", napon U

(izlazni napon mosta), čija

vrijednost zavisi od odnosa otpora R

: R

i R

: R

. Sa sl. 5.14. imamo :

+ R

= U

- R

= U

+ R

= U

– R

= U

Ako su otpori u Vistonovom mostu tako podešeni da je U

= 0, dobija se iz

posljednje dvije jednačine :

Zamjenom uslova da je i

i i

u gornji izraz dobija se :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Ovaj izraz pruža mogućnost da se odredi jedan nepoznati otpor ako su

preostala tri poznata. Odnos izlaznog prema ulaznom naponu dat je u sljedećem
obliku :

Za slučaj da je most u ravnoteži, odnosno U

= 0, iz izraza * slijedi :

ili

Promjenom otpora od R

do R

u svojim vrijednostima, razrješava se most i na

izlazu se javlja napon U

, naime jednačina * dobija oblik :

Ako se uvedu ograničenja (za metalne mjerne trake), da mora da bude ΔR

<<R

mogu da se zanemare članovi višeg reda, odnosno da se izvrši linearizacija, pa
izraz ** poprima oblik :

U praksi mjerne tehnike mora svaki od otpora R

, R

, ili sva četiri

otpora od R

do R

, da imaju iste nominalne vrijednosti, jer je time data

proporcionalnost između relativne promjene otpora pojedine mjerne trake tj.
mjerne grane i relativnog izlaznog napona.

Kako je

dobićemo kada zamjenimo u gornju relaciju

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 5.16.

Pošto mjerne trake rotiraju vezane su sa pojačivačem preko kliznih

prstenova i četkica, koje su npričvršćene na kućištu koje ne rotira. Na sl. 5.17. data
je načelna šema za mjerenje obrtnog momenta i snage.

Sl. 5.17.

Na slici 5.18. data je funkcionalna šema uređaja za mjerenje obrtnog

momenta – broja obrtaja – snage HBN. Napon napajanja se pretvara u naizmenični
napon pravougaonog oblika i prenosi od statora na rotor preko induktivne
bezkontaktne jedinice. Indukovani napon se dalje ispravlja i napaja mjerni most sa
mjernim tačkama čija se mjerna sprega nalazi na rotoru.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl.5.18.

Izlazni signal mosta se pretvara u naponskofrekventnom  pretvaraču u frekventno
modulisani impuls. Ovaj signal se dalje prenosi takođe bezkontaktno induktivno ili
kapacitivno na stator. U stepenu formiranja impulsa na statoru, impulsi se oblikuju
na   jediničnu   visinu   i   dužinu   u   učestanost   koja   odgovara   mjernom   obrtnom
momentu. Ovaj mjerni postupak nosi naziv postupak frekventne modulacije. Broj
obrtaja n se mjeri preko ozubljenja na vretilu pomoću induktivnog bezkontaktnog
pretvarača digitalno i analogno, da bi se u množaču sa obrtnim momentom M, na
izlazu dobila snaga P. Magnetna traka sa snimljenim M i brzinom ω koristi se za
simuliranje   uslova   u   laboratoriji   za   ispitivanje   vozila.   Kompletan   sistem   za
mjerenje obrtnog momenta, broja obrtaja, snage i stepena iskorišćenja daje firma
Philips Industrie Electronik GmbH, Hamburg.

5.4. Graduisanje mjernih aparatura za mjerenje sa mjernim trakama

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Ako je poznat sačinitelj i modul elastičnosti materijala, otpornost kojom će se
postići "fiktivno naprezanje" u materijalu σ, sračunaće se iz obrasca :

PRIMJER :

Nazivna vrijednost otpornosti mjerne trake je 120 Ω. Sačinitelj pretvarača

je 2. Koliku otpornost treba podesiti na otočno vezanoj dekadnoj kutiji da se
"imitira" relativno izduženje od 1%.

Na osnovu gore izvedenog obrasca, imamo :

Na opisani način pomoću otočnog sprezanja postiže se smanjenje

otpornosti,   što   odgovara   ne   izduženju   već   skraćenju   mjerne   trake,   odnosno
naprezanja   na   sabijanje.   Da   bi   se   imitiralo   izduženje   trake,   odnosno   načinilo
"fiktivno  naprezanje"  na istezanje,  treba otpornost  povećati.  Kako  su  promjene
otpornosti relativno male, to se ne može podesno postići jednostavnom rednom
vezom oggovarajuće otpornosti već se primjenjuje veza predstavljena na sl. 5.20.
Ekvivalentna   otpornost   ove   sprege   zamjenjuje   otpornost   mjerne   trake   koja   se

mijenja pri naprezanju.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Ova pomoćna sprega za graduisanje sastoji se kao što se sa slike vidi, iz

otočne sprege: u jednoj grani nalazi se otpornost R

a u

Sl. 5.20.

drugoj R

i R

. Otpori R

i R

su nepromjenljive veličine i iznose : R

= 1,1 R

, R

11 R

gde je R

nazivna vrijednost otpornosti mjerne trake. R

je dekadna kutija sa

četiri dekade 10x(0,001;0,1; 1; 10) (Ω).
Kada je R

= 0, ekvivalentna vrijednost otpornosti cijele sprege je R

, dakle

jednaka otpornosti neopterećene mjerne trake. Povećanje otpornosti sprege postiže
se uključivanjem dekadne kutije R

. Promjena ekvivalentne otpornosti sprege pri

uključenju na dekadnoj kutiji, neke vrijednosti R

, biće :

odnosno, s obzirom na usvojene odnose među otpornostima :

Odavde ćemo za otpornost R

koju treba postaviti na dekadnoj kutiji da bi se

postiglo povećanje ekvivalentne otpornosti cijele sprege za ΔR, dobiti izraz :

ili približno :

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

. 6.1. Šema automatskog sistema za pojačanje

y – izlazna veličina
D – diskriminator (upoređivač)
Δy – kontrolni signal
P – pojačivač
W – energija za napajanje
E – izvor energije

Odnos snage izlaznog signala W(z) pojačivača prema snazi ulaznog signala

W(Δy) je koeficijent pojačanja napona.

gdje je :

– koeficijent pojačanja signala

, N

brojevi namotaja primara i sekundara

Kod malih izlaznih snaga od 10W obično se primjenjuju elektronski

pojačivači a za veće snage električni, pneumatski, hidraulički, magnetni i sl. Na
sljedećoj slici (sl. 6.2.) date su karakteristike pojedinih pojačivača.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 6.2. Karakteristike pojačivača

a) linearni pojačivač
b) nelinearni pojačivač (postoji zona neosetljivosti gdje nema

proporcionale)

c) pojačivač relejnog tipa

za x<Δx=>y=0
za x> Δx=>y=y

d) relejni pojačivač sa petljom histereze

2. HIDRAULIČKI POJAČIVAČ

Sl.6.3. Hidraulički pojačivač

Sila na klipu zavisi od aktivne površine klipa. Veličina izlazne snage zavisi

od kapaciteta pumpe i pritiska ulja.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 6.5. Odnos ulaznih i izlaznih jačina struja

odnosno koeficijenti pojačanja struja

Na sljedećem primjeru obrade materijala prikazan je sistem automatske kontrole.

Sl. 6.6 Kontrola obrade materijala

Za d/2 kontakti su spojeni a za drugu vrijednost oni su razdvojeni.

;

- moment inercije

η – faktor pojačanja

k – krutost
m – koeficijent el. meh. veze
I – mjerni uređaj je podešen na zadatu vrijednost x

;

-Δ=x

-y uređaj emituje signal

II – tu se signal transformiše u nov signal y

pogodan za aktiviranje

izvršnog organa III

Dejstvo izvršnog organa pomjera radni organ za Δl, i mjeri se pomoću

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

povratne sprege IV, i signal y

pa kada se ovi izjednače nema više pobude.

Sl. 6.7. Kontrola procesa

I – mjerni uređaj
II – uređaj za transformaciju
III – izvršni organ
IV – povratna sprega
V – radni organ

Jednačina mjernog uređaja :
y – stvarna vrijednost parametara
x

– zadata vrijednost prečnika d

– izlazni signal u vidu napona

Uređaj za transformaciju :

Izvršni organ :

Povratna sprega :
Jednačina radnog organa :_
Pa će ukupna prenosna funkcija mjernog sistema biti :

Kada govorimo o sistemu trebamo imati u vidu da je sistem skup objekata

(elemenata, komponenata) objedinjenih međusobnim vezama na takav način da
čine organizovanu cjelinu sposobnu da izvrši određene funkcije kao odgovor na
uticaj pod čijim dejstvom se nalazi jedan ili više objekata skupa.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Tablica T

Blok dijagram sistema

Prenosna funkcija

Međutim, za primjenu ovih prenosnih funkcija prethodno je potrebno

pomjeranjem blokova unutar posmatranog blok dijagrama, izolovati parcijalne
konfiguracije koje odgovaraju konfiguraciji u tablici T

Nekoliko osnovnih pravila algebre blok dijagrama su :

pomjeranje diskriminatora (sabirača) ispred bloka – slučaj istih prenosnih
funkcija,

100

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 7.1.

pomjeranje dikriminatora (sabirača) ispred bloka – slučaj različitih prenosnih funkcija

Sl. 7.2.

pomjeranje tačke račvanja ispred bloka

Sl. 7.3.

pomjeranje tačke račvanja iza bloka

Sl. 7.4.

pomjeranje tačke račvanja ispred dikriminatora (sabirača)

101

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 7.8.

Pod pretpostavkom linearnih zavisnosti sistem je opisan jednačinom :

Primjenom Laplasove transformacije na prethodne relacije mogu se napisati

sljedeće prenosne funkcije :

Ovim prenosnim funkcijama odgovaraju parcijalni blok dijagrami na sl. 7.9.

Sl. 7.9.

103

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Spajanjem parcijalnih blok dijagrama dobija se blok dijagram sistema kao

na sl.7.10.

Sl. 7.10.

Pomjeranjem diskriminatora ispred bloka W

i tačke račvanja iza bloka W

sledi blok dijagram na sl. 7.11.

Sl. 7.11.

Međusobnom zamjenom položaja dva diskriminatora i spajanjem serijski

povezanih elemenata u prethodnom dijagramu dobija se blok dijagram na sl. 7.12.
gde su T

= A

, T

= A

i T

= A

vremenske konstante sistema.

Eliminisanjem dva izolovana unutrašnja zatvorena kola slijedi jednokonturno kolo
s negativnom povratnom spregom kao na sl. 7.13.

Sl. 7.12.

104

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

.
.
.

vektorski matični oblik prethodnih jednačina je :

matrice

matrični oblik jednačina

Prva od osnovnih dimnamičkih jednačina opisuje ponašanje stanja sistema i

naziva se jednačina stanja, a druga definiše izlaz iz sistema i predstavlja jednačinu
izlaza.

U ovim jednačinama je x(t) – (nx

) matrica, kolona ili n – dimenzioni

vektor stanja sistema; u(t) i y(t) – skalarni ulaz, odnosno izlaz sistema; a –
konstanta (nxn) matrica sistema ili objekta; b – konstanta (nx1) matrica ulaza ili
upravljanja; c – konstanta (nx1) matrica izlaza, a d je konstanta prolaza, ili
direktnog prenosa (koja je za realne sisteme u većini slučajeva jednaka nuli).

106

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

U slučaju multivarijabilnog linearnog kontinualnog sistema s parametrima

invarijantnim u vremenu i r promjenljivih na ulazu i m promjenljivih na izlazu,
vektorsko – matrične jednačine stanja i izlaza se

izražavaju u obliku

y(t)= Cx(t)+Du(t)

gde je :

u(t) – tzv. g-dimenzionalni vektor ulaza, y(t) – m-dimenzionalni vektor izlaza, a B i
C predstavljaju (nxr), odnosno (mxn) matricu ulaza, D je (mxr) matrica prolaza,
dok x(t) i A ostaju nepromjenjene (nx1) i (nxn) matrice.

Kod zatvorenih sistema u slučaju klasičnog jednokonturnog sistema

automatskog upravljanja sa jediničnom povratnom spregom na sl. 7.15. upravljački
signal u(t) se formira dejstvom greške na odgovarajući regulator ili korekcioni
element. Pri opisivanju objekta upravljanja pomoću promjenljivih stanja, klasična
koncepcija povratne snage se proširuje tako da se umjesto povratne sprege izlaza,
kao povratne sprege koriste svih n promjenljivih stanja. Specijalan slučaj povratnih
sprega promjenljivih stanja su linearn epovratne sprege, ili sistemi s linearnim
povratnim spregama promjenljivih stanja. Upravljački signal u(t) se formira
proizvodom razlike referentnog ulaza u sistem (t) i zbira opterećenih promjenljivih
stanja sistema sa faktorom pojačanja K.

Sl. 7.15.

gde je :

(nx1) matrica faktora opterećenja (pojačanja

podešavanja) povratnih sprega promjenljivih stanja.

Blok dijagram skalarnog sistema sa linearnim povratnim spregama

promjenljivih stanja izgleda kao na sl. 7.16. Faktori K i k uvijek se smatraju
sastavnim dijelovima regulatora iako fizički mogu biti razdvojeni u sistemu.
Jednačina stanja i jednačina izlaza zatvorenog sistema na slici 7.16. glase :

107

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Generalizacijom dijagrama promjenljivih stanja posmatranog sistema trećeg

reda mogu se za odgovarajuće postupke dekompozicije konstruisati dijagrami
promjenljivih stanja sistema n-tog reda, čime su određene i odgovarajuće osnovne
dinamičke jednačine ovog sistema.

DIREKTNA DEKOMPENZACIJA PRENOSNE FUNKCIJE

Blok dijagram promjenljivih stanja se konstruiše sljedećim postupcima :

1. Promjenljivu sa najvećim izložiocem u imeniocu prenosne funkcije (član s

)

redukovati na jedinicu i napisati kompleksni lik izlaza u obliku :

2. Uvesti kompleksni lik pomoću relacije i promenljive E(s)

i izraziti ga relacijom

3. Izraziti kompleksni lik izlaza u funkciji E(s),

4. U prethodnom izrazu za y(s), kompleksni lik E(s) uz koeficijent b

zameniti

relacijom za E(s), odakle sređivanjem rezultuje :

gde su koeficijenti :

= b

– a

; β

= b

– a

; β

= b

– a

; β

= b

5. Nacrtati posljednje dobijene relacije za E(s) i y(s) u obliku blok dijagrama na

sl. 7.17. i izabrati izlaze iz integratora za promjenljivu stanja sistema.

109

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 7.17.

Iz dijagrama promjenljivih stanja na sl. 7.17. slijede osnovne dinamičke

jednačine:

s matricama, odnosno konstantnog direktnog dejstva

;

odnos između originalnih i novoformiranih koeficijenata b

i β

; i=0, 1, 2, 3 može

se izraziti u matematičkom obliku

Generalizacijom dijagrama na sl. 7.17. u kome su izostavljena početna

stanja, za pravilan normalizovan sistem n-tog reda je dat graf stanja (sl. 7.18.).

110

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 7.19.

3. Povezati sve parcijalne blok dijagrame promjenljivih stanja u jednu cjelinu,

kao što je to dato na sl. 7.20. i izlaze iz integratora izabranih za promjenljive
stanja sistema.

Sl. 7.20.

Kaskadna dekompozicija (poznata je pod imenom Gileminove (Guillemin)

dekompozicije), primjenjuje se na prenosne funkcije u obliku proizvoda
faktora i ima prednosti što se tiče mogućnosti praćenja uticaja polova i nula
prenosne funkcije na sistem.

PARALELNA DEKOMPOZICIJA PRENOSNE FUNKCIJE

Paralelna dekompozicija (nazvana je još i Fosterovom, Lurijeovom i

Herisajdovom dekompozicijom), se primjenjuje na prenosne funkcije sa pozitivnim

112

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

polovima i bazira se na razvijanju prenosne funkcije u zbir parcijalnih prenosnih
funkcija. Pošto se polovi prenosnih funkcija mogu javiti kao prosti ili višestruki (i
to realni i konjugovano kompleksni), razlikovaćemo slučaj prostih i slučaj
višestrukih polova.

A) PRENOSNA FUNKCIJA SA PROSTIM POLOVIMA

Blok dijagram promjenljivih stanja sistema sa kontroliše i konstruiše

sledećim postupkom :

1. Pošto se u zbir parcijalnih prenosnih funkcija može razviti samo strogo

pravilna prenosna funkcija (m=n-1), posmatrana prenosna funkcija se
izražava u obliku zbira konstante i strogo pravilne prenosne funkcije.

gdje su koeficijenti :
β

= b

; β

= b

– a

= b

; β

= b

– a

; β

= b

– a

2. Direktnom dekompozicijom strogo pravilne prenosne funkcije izraziti je

u obliku zbira parcijalnih razlomaka.

gdje su : p

; j=1,2,3 poznati polovi prenosne funkcije, a K

; i=1,2,3

određene konstante.

3. Na osnovu prethodne relacije konstruisati blok dijagram promjenljivih

stanja za strogo pravilan dio prenosne funkcije i dodati mu blok koji
odgovara prenosnoj funkciji :

kao što je dato na slici 7.21.

113

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Za primjenu Rautovog kriterijuma u odnosu na algebarsku jednačinu n- tog

reda sa realnim i konstantnim koeficijentima a

+ a

n-1

+ ... + a

s+ a

= 0,

potrebno je formirati Rautovu tablicu koja se dobija sukcesivnim koracima kao što
slijedi :

KORAK 1 :

Pomoću koeficijenta jednačine formirati prve dve vrste Rautove tablice

prema rasporedu :

S lijeve strane prve vreste se upisuje promjenljiva s

a uz sljedeće vrste

izložilac promjenljive s se za po jedan smanjuje.

KORAK 2 :

Članovi treće vrste se određuju Rautovim algoritmom pomoću članova prve

dvije vrste,

sve dok se za njihovu vrijednost ne dobiju nule.

KORAK 3 :

Rautovim algoritmom pomoću članova posljednje dvije vrste, tj. s

n-1

, s

n-2

odrediti članove sljedeće vrste,

115

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Uvrštavanjem ovako određenih članova formirati četvrtu, tj. s

n-3

vrstu (datu

odvojeno od već formiranog dijela tablice),

KORAK 4 :

Rautovim algoritmom nastaviti sa formiranjem ostalih vrsta tablica, sve dok

se vrste ne izjednače sa nulom. U opštem slučaju Rautova tablica sadrži n+1 vrstu,
s time da se posljednje dvije vrste, tj. s

-1

i s

svode samo na po jedan član.

7.4.2. Hurvicov kriterijum stabilnosti

Prema Hurvicovom kriterijumu stabilnosti algebarska jednačina n- tog

stepena :

ima sve korjene na lijevoj s ravni, tj. sistem čija je to karakteristična jednačina je
stabilan ako i samo ako su sve subdeterminante Δ

, Δ

, ... Δ

Hurvicove nxn matrice

pozitivne, tj. Δ

> 0, Δ

> 0, ... Δ

> 0

7.4.3. Grafoanalitički (frekventni) kriterijumi stabilnosti

116

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 7.23.

Sl. 7.24.

Najkvistov kriterijum stabilnosti počiva na relaciji

;

gde je : p – broj polova prenosne funkcije GH(s) na desnoj strani s- ravni,
z – broj korjena karakteristične jednačine sistema na desnoj strani s- ravni,

- ukupan broj obilazaka konture GH(s) oko kritične tačke (-1, j0) s time da se

obilasci u smjeru suprotno od kazaljke na satu (K.H.C.) smatraju pozitivnim i
obratno.

Kriterijum stabilnosti zavisi od toga da li prenosna funkcija GH(s) ima

polove na desnoj strani s- ravni (p 0; slučaj 1.) ili ih nema (p = 0; slučaj 2.),
glasi :

118

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

SLUČAJ 1.

Prenosna funkcija otvorenog kola GH(s) ima polove na desnoj strani s-

ravni, p 0.

Zatvoren sistem je stabilan ako i samo ako za promjenu kompleksne

promjenljive s uzduž Najkvistove konture u smjeru K.H.C. kontura GH(s) obiđe

oko kritične tačke (-1, j0) u smjeru suprotno od K.H.C. tačno onoliko puta ( )

koliko prenosna funkcija GH(s) ima polova p na drsnoj strani s- ravni, = p. U

svakom drugom slučaju zatvoreni sistem je nestabilan.

SLUČAJ 2.

Prenosna funkcija otvorenog kola GH(s) nema polova na desnoj strani s-

ravni; p = 0.

Zatvoreni sistem je stabilan ako i samo ako za promjenu kompleksne

promjenljive s uzduž Najkvistove konture u smjeru K.H.C. kontura GH(s) ne
obilazi oko kritične tačke (-1, j0). Prolazak konture GH(s) kroz kritičnu tačku (-1,
j0) za navedenu promjenu kompleksne promjenljive s znači da je sistem
marginalno stabilan.

Najkvistova kontura na sl. 7.23. a) se svojim elementima C

, C

i C

preslikava u odgovarajuće elemente GH(s) konture sljedećim postupkom :

Element C

Zamjenom s = jω u prenosnoj funkciji GH(s) i variranjem

ω od ω = 0 do ω

, što rezultuje u a. – f. (frekventnu) karakteristiku

GH(jω).

Element C

Zamjenom s = E exp (Jθ); R

u prenosnoj funkciji

GH(s) što zbog pretpostavke strogo pravilne ili pravilne prenosne
funkcije GH(s) rezultuje preslikavanjem u koordinatni početak ili u
tačku na realnoj osi. Prema tome, element C

Najkvistove konture bez

uticaja je obilazak konture GH(s) oko kritične tačke (-1, j0).

Element C

Zamjenom s = jω u prenosnoj funkciji GH(s) i variranjem

ω od ω = 0 do ω

čime je simetrična u odnosu na realnu osu

frekventnoj karakteristici GH(jω) dobijenoj preslikavanjem elemenata
C

Najkvistove konture.

Prema tome, preslikavanjem Najkvistove konture u GH(s) ravni se svodi na

konstrukciju frekventne karakteristike GH(jω) i njoj simetrične karakteristike GH(-
jω) kao što je to prikazano na sl. 7.25. na kojoj puna linija odgovara GH(jω)
karakteristici, a isprekidana linija karakteristici GH(-jω). Postupak konstruisanja

119

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

;





Prema tome, a-f. karakteristika zadovoljava jednačinu kružnice

poluprečnika K/4, sa središtem u tački (-K/4; 0), pri čemu, karakteristici G(j ω)
odgovara polovina kružnice sa negativnim ordinatama, pa konture G(s) za faktore
pojačanja K = 1,2,3 i promjenu ω od ω

do ω

i izgledaju kao na sl. 7.26.

Sl. 7.26.

Prenosna funkcija G(s) ima jedan pol na desnoj strani s- ravni, p=1, pa da bi

sistem bio stabilan, kontura G(s) mora jedanput da obiđe oko kritične tačke (-1, j0)
u smjeru suprotnom K.H.C. Sa sl. 7.26. se vidi za faktor K=1 kontura G(s) ne
obilazi oko tačke (-1, j0), pa je :

;

Dakle, zatvoreni sistem je stabilan i karakteristična jednačina nema korjene na
desnoj strani s- ravni. Faktor pojačanja K=2, za koji kontura G(s) prolazi kroz
kritičnu tačku (-1, j0), ima za posljedicu zatvoreni sistem na granici stabilnosti
(marginalno stabilan sistem).

121

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 7.27.

U slučaju prostog ili višestrukog pola prenosne funkcije GH(s) u

koordinatnom početku i slučaju para konjugovano kompleksnih polova na
imaginarnoj osi, Najkvistova kontura izgleda kao na sl. 7.27. a), odnosno 7.27. b).
Prema tome za ispitivanje stabilnosti je pored prethodnih elemenata Najkvistove
konture, potrbno preslikati i dodatne elemente konture C

, odnosno C

i C

Element C

Zamjenom

u prenosnoj

funkciji GH(s), što rezultuje u lik beskonačno velikog poluprečnika sa

uglom

gdje je n- broj polova u koordinatnom početku.

Za n=1,2,3 ovi uglovi su :

;

pa odgovarajući elementi konture GH(s) izgledaju kao na sl. 7.28.

122

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

8.1. Opšti zahtjevi izbora regulatora

Nije moguće unaprijed reći koji je od regulatora najpogodniji jer dinamika

sistema ne zavisi samo od dinamičkih svojstava regulatora nego i od dinamičkih
svojstava tehnološkoig procesa, kao i od karaktera djelovanja poremećajnih
veličina. Prema tome, kada se govori o izboru regulatora, pod tim se
podrazumjevaju i konkretni uslovi koji predstavljaju polaznu osnovu za njegov
izbor, a to su :

statičke i dinamičke karakteristike procesa,

mjesto, veličina i oblik djelovanja poremećaja,

zahtjevi na kvalitet ponašanja SAU (tačnost, pretek stabilnosti i brzina odziva

sistema).

8.2. Izbor regulatora s obzirom na karakteristike objekta regulacije

Da bi se utvrdilo u kojoj mjeri regulator utiče na kvalitet ponašanja SAU i

da bi se izvršio njegov izbor mora se izvršiti konkretizacija, prethodno izloženih
stavova.   Pretpostavimo   da   na   ulaz   sistema   djeluje   promjenljiva   veličina   oblika
jedinične odskočne funkcije. Sam proces je višeg reda, koji karakteriše i kašnjenje
višeg reda i pripada grupi procesa sa samoizjednačenjem (p- procesi ili procesi sa
statizmom).   Kod   procesa   sa   samoizjednačenjem   promjena   izlazne   veličine   se
odvija sa konstantnim usporenjem sve dok ne dostigne novu stacionarnu vrijednost
koja odgovara novouspostavljenoj ravnoteži materijalnog ili energetskog balansa
između   ulaza   i   izlaza.   Realni   procesi   ovog   tipa   su   česti   i   raznovrsni,   npr.   u
procesnoj industriji (rezervoari sa tečnošću i sl.).

Primjenom proporcionalnog regulatora na takve procese dobili bismo da je

greška ustaljenog stanja

gdje je :

(p)-

prenosna funkcija

objekta upravljanja (procesa)

Pošto je prenosna funkcija p- regulatora :

(p)=K

a signal poremećajnog dejstva

u obliku

tada je

124

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Greška ustaljenog stanja, dakle zavisi od pojačanja regulatora K

pojačanja procesa K

. Kako je veličina K

unaprijed data i ne može se mijenjati,

veličina greške sve može podešavati samo promjenom pojačanja regulatora. U

slučaju upotrebe integralnog regulatora

greška ustaljenog stanja bi

bila jednaka nuli, te se kaže da I regulator statičku grešku sistema svodi na nulu.

PI – regulator se upotrebljava u onim slučajevima kada se samo sa P

regulatorom ne može dovoljno smanjiti statička greška a da se ne promjeni
stabilnost, ili kada bi I regulator delovao presporo.

Djelovanje PD regulatora ogleda se u mogućnosti kompenzacije kašnjenja

procesa.

Regulator PID djelovanja ispunjava sve neophodne uslove za ostvarivanje

željenog kvaliteta ponašanja sistema u stacionarnom i prelaznom režimu rada.
Najčešće se primjenjuje za regulaciju onih procesa gdje ostali tipovi regulatora ne
zadovoljavaju. Međutim, podešavanje vrijednosti parametara ovog regulatora dosta
je složen zadatak, tako da se mora vršiti sa velikom pažnjom i preciznošću. Naime,
promjena vrijednosti jednog od parametara najčešće dovodi do manje ili veće
promjene vrednosti ostalih parametara.

8.3. Metode izbora regulatora

Postupak izbora regulatora je dosta složen zadatak, jer se ni jedan stvaran

proces ne može potpuno tačno opisati matematičkim modelom, zbog čega rješenje
izbora regulatora u većini slučajeva samo približno zadovoljava. Za ove metode
koje su aproksimativnog karaktera imamo da se realni tehnološki aproksimira, npr.
procesom reda sa čistim kašnjenjem. Takođe se pretpostavlja da na ulaz procesa
djeluje poremećaj na veličini u obliku odskočne funkcije vremena (najnepovoljniji
slučaj).

Za osnovne polazne podatke za izbor regulatora uzimaju se :

125

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

3. Sljedeća i najvažnija faza je vremenski izbor tipa regulatora. Prvo se na

osnovu odnosa / T` i ustaljenog tipskog prelaznog procesa nalazi
veličina R

. Za svaki konkretan primjer konstruiše se dijagram

=f(

`/T`).

4. Relativno vrijeme smirenja / T` treba da bude manje od dozvoljenog.

Ukoliko P regulator ne ispunjava postavljene zahtjeve, prelazi se na
regulator složenijeg zakona djelovanja.

5. Ako je prethodno opisanim postupkom odabran P regulator, ostaje još

da se provjeri greška ustaljenog stanja, koja takođe mora biti manja od
dozvoljene. Ako taj uslov nije ispunjen prelazi se na PI regulator.

9. KOREKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG
UPRAVLJANJA POMOĆU LOGARITAMSKIH
KARAKTERISTIKA MODULA I FAZE

Danas je poznato više inženjerskih (grafoanalitičkih) metoda korekcije

SAU, ali ćemo se ovdje zadržati na metodi frekventnih logaritamskih karakteristika
modula i faze (Bodiovi dijagrami).

Treba napomenuti da postoje i čisto analitičke metode korekcije, odnosno

sinteze, bazirane na rješavanju diferencijalnih jednačina sa variranjem pojedinih
parametara korekcionih elemenata, koje su povezane sa korišćenjem savremenih
računskih mašina i razradom odgovarajućih algoritama. Ovdje ćemo se zadržati
samo na metodi korekcije SAU.

Ideja metoda zasniva se na postojanju veze između prelaznog procesa i

logaritamsko-frekventne   karakteristike,   koja   se   izračunava   na   jedan   veoma
jednostavan način. Naime, kada se zna željeni oblik prelaznog procesa, onda se
vrlo   lako   može   nacrtati   željena   logaritamska   karakteristika   modula   i   faze   koja
odgovara tom procesu. Odgovarajući korekcioni elementi (uskladnici) su veoma
važni za SAU. Željena logaritamska karakteristika modula i faze otvorenog kola
(Boudov dijagram) crta se prema polaznim zahtjevima za projektovanje SAU i
prema   osnovnim   pokazateljima   procesa.   Osnovni   zahtjevi   obično   obuhvataju
traženu   tačnost.   SAU   (uslovljenu   potrebnim   koeficijentom   pojačanja)   vrijeme

127

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

smirenja prelaznog procesa, traženu rezervu stabilnosti po fazi i modulu, odnosnu
određeni preskok, propusni opseg, brzinu odziva i dr.

Sl. 8.1.

Svi ovi parametri prikazani su na jednoj tipičnoj logaritamskoj

karakteristici, sl. 8.1. koji odgovara SAU, čija prenosna funkcija otvorenog kola
ima oblik :

Željena logaritamska karaklteristika modula i faze može se podjeliti na tri

dijela : prvi – niskofrekventni, drugi – srednjefrekventni i treći – visokofrekventni
dio.

Niskofrekventni dio karakteristike obuhvata interval od minimalnih

početnih frekvencija pa do prve prelomne frekvencije ω

, i njen nagib iznosi

gdje je n- stepen koji označava tip sistema. Ovaj početni

(niskofrekventni) dio karakteristike mora da prođe kroz tačku sa ordinatom
M

=20 log K i apscisom ω

=1 gde je K- faktor pojačanja sistema.

Srednjefrekventni dio obuhvata interval od prve prelomne frekvencije ω

pa do one prelomne frekvencije koja prva slijedi iza presječne frekvencije ω

(tj. do

frekvencije ω

). Ovaj srednjefrekventni dio logaritamske karakteristike modula i

faze je veoma značajan jer od njegovog oblika zavisi kvalitet prelaznog procesa
sistema.

128

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Frekvencija ω

takođe se može odrediti iz slike 8.1. prema vrijednostima

, ω

i ω

sljedećom relacijom :

S obzirom da postoji relativno mali broj varijanti logaritamskih amplitudno-

frekventnih karakteristika koje se u praksi određuju (ispituju) to se za detaljnije
proračune sistema automatskog upravljanja daje u vidu nomograma veza
parametara njihovih tipičnih radnih karakteristika u vremenskom položaju i
frekventnom položaju kao na sl. 8.1. i 8.3. i 8.4.

Sl. 8.3.

Sl. 8.4.

Na ovoj slici ima dvije vrste dijagrama. Na gornjem nomogramu dati su

dijagrami (krive) zavisnosti veličina x

i M

od ω

/ ω

i M

, a na donjem

130

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

odgovarajuće krive zavisnosti ω

/10, ω

/ ω

i ω

/ ω

i M

, gdje je ω

najniža frekvenca oscilovanja odskočnog odziva.

Sl. 8.5.

Kada se zna logaritamska karakteristika modula i faze nekorigovanog

sistema i kada se nacrta željena logaritamska karakteristika koja odgovara željenom
prelaznom procesu, on daje mogućnost određivanja tipa i parametara
odgovarajućeg korekcionog elementa. Proračun korekcionih elemenata, međutim,
zavisi od toga kako se oni povezuju u osnovno kolo – redno, paralelno ili
kombinovano kao što je to dato na sl. 8.5.

9.1. Redni korekcioni elementi

Još jednom ćemo naglasiti da se u knjizi mogu naći oznake istog značenja i

to G(s) = W(s) sa kompleksnom promenljivom (s) i G(p) = W(p) sa kompleksnom
promenljivom (p) kao vrijednosti za prenosne funkcije.

Korekcioni elementi koji se postavljaju u direktnu granu sistema

automatskog upravljanja kao što je to na (sl. 8.5. a), nazivaju se "redni" korekcioni
elementi ili "redni uskladnici". Prenosna funkcija otvorenog kola jednog

131

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

toga se primjenjuje u slučajevima kada treba povećati rezervu stabilnosti i propusni
opseg sistema.

Primjenom integralnog rednog korekcionog elementa dolazi do faznog

zaostajanja signala i do smanjenja statičke greške sistema.

Integralno-diferencijalni redni korekcioni elemenat unosi tražen pomjeraj u

početku negativan, zatim sa porastom frekvenci dolazi na nulu da bi pri daljem
rastu   frekvenci   postao   pozitivan.   Redno   vezani   korekcioni   elementi   obično   se
primjenjuju   kod   sistema   automatskog   upravljanja   male   snage.   Njihovom
primjenom   postiže   se   veća   stabilnost   sistema   i   ubrzanje   prelaznog   procesa   uz
istovremeno proširenje propusnog opsega.

Međutim primjena rednih korekcionih elemenata ima i sljedeće negativne

strane :

sniženje veličine osnovnog signala, zbog čega je potrebno njegovo dopunsko
pojačanje što ograničava ovakvu korekciju sistema po snazi;

povećanje propusnog opsega dovodi do povećanja osjetljivosti sistema na
šumove;

neophodnost usaglašavanja otpora korekcionih elemenata sa ulaznim i
izlaznim otporima elemenata sistema na koji se vezuje korekcioni elemenat.

Primjer : korekcija sistema i određivanja odgovarajućeg rednog

korekcionog elementa ćemo navesti. Ako je za jedan sistem automatskog
upravljanja data njena odgovarajuća prenosna funkcija otvorenog kola u obliku

potrebno je pomoću ove prenosne funkcije ispitati stabilnost sistema i utvrditi da li
su karakteristike sistema dobre ili treba vršiti korekciju. Pretpostavka je da
prenosna funkcija korigovanog sistema ne treba da bude manja od 40 radijana u
sekundi a da rezerva stabilnosti sistema po fazi treba da bude 30°. Pri tome opšti
koeficijent pojačanja korigovanog sistema treba da ostane nepromjenjen, tj. ravan
nekorigovanom.

Rješenje ovih primjera izvedeno je preko Bodovog dijagrama prikazanog

na (sl. 9.1.), gdje je sa logaritamske karakteristike modula i faze, koja odgovara
datoj prenosnoj funkciji, očitava ω

=30s

-1

i γ=6°. Na istom dijagramu crta se

željena logaritamska karakteristika modula i faze tako da se u oblasti niskih
frekvenci poklopi sa nekorigovanom karakteristikom, zatim da u oblasti srednjih
frekvenci logaritamska kriva modula ima nagib od

i da prođe kroz

novu presjječnu frekvencu ω

` = 40s

-1

a da u oblasti visokih frekvenci ostane

paralelna nekorigovanoj karakteristici. Povlačeći pravu pod nagibom

133

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

kroz željenu presječnu frekvencu ω

` = 40s

-1

nalazimo tačku ω

gdje ona sječe

nekorigovanu karakteristiku i sa dijagrama neposredno očitavamo njenu vrijednost,
koja u ovom slučaju iznosi ω

=20s

-1

. Drugu željenu presječnu frekvencu ω

određujemo iz izraza za fazno-frekventnu karakteristiku Bodovog dijagrama pri
zadatoj presječnoj frekvenci ω

` = 40s

-1

; γ=30° ;

Iz ovog izraza (jednačine) nalazimo ω

=52s

-1

Oduzimanjem ordinata nekorigovane od željene logaritamske karakteristike

modula dobija se karakteristika modula traženog rednog korekcionog elementa
koja je prikazana na sl. 9.1b,

Numerička vrijednost parametara dobijenog korekcionog elementa

očitavaju se direktno sa logaritamske karakteristike modula i u ovom slučaju one
iznose :

Sl. 9.1.

134

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

prenosna funkcija otvorenog kola prenosnog sistema (prevedena iz kompleksnog u
frekventni domen stavljajući s=jω) može se približno napisati u obliku :

Da bi se nacrtala logaritamska karakteristika modula (Bodov dijagram) za

korigovan i nekorigovan sistem, gornja jednačina može se prevesti na oblik :

Iz ovog izraza može se dobiti modul paralelno vezanog korekcionog

elementa (paralelnog uskladnika) kako slijedi :

Kada se znaju nekorigovana i željena (korigovana) logaritamska

karakteristika modula i faze, onda se iz njihove razlike (pomoću Bodovog
dijagrama) lako dobija zbirna logaritamska karakteristika modula

Kada se od ove zbirne karakteristike oduzme logaritamska karakteristika

obuhvaćenih elemenata sistema dobija se logaritamska karakteristika
odgovarajućeg korekcionog elementa. Cio postupak određivanja paralelnih
uskladnika pomoću Bodovog dijagrama pokazaće se na sljedećem primjeru.

Primjer :

Korekcija sistema i određivanje odgovarajućeg paralelnog korekcionog

elemeta ostvariće se na sljedeći način :

ako je za jedan sistem automatskog upravljanja dat njegov blok dijagram na sl.
9.2.

Sl. 9.2.

s upisanim prenosnim funkcijama otvorenog kola pojedinih elemenata,

potrebno je pomoću Bodovog dijagrama ispitati stabilnost sistema i

136

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

izvršiti njegovu korekciju uvođenjem paralelno vezanih korekcionih
elemenata (uskladnika) tako da vrijeme smirivanja korigovanog sistema ne
bude veće od 0,8c a veličina preskoka ne veća od 50%.

Odgovarajuća nekorigovana i korigovana (željena) logaritamska

karakteristika modula i faze, sa ilustracijom dobijanja logaritamske karakteristike
paralelnog korekcionog elementa (uskladnika) grafičkim putem prikazano je u vidu
Bodovog dijagrama na sl. 9.3. na kojoj su nanijete numeričke vrijednosti
parametara.

Sl. 9.3.

137

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

za svako realno i pozitivno c

Ako apsolutna vrijednost funkcije f(t) ispunjava uslov

Primjenom L- transformacije linearna diferencijalna jednačina sa

konstantnim koeficijentima iz originalnog vremenskog domena preslikava se u
algebarsku jednačinu u domenu kompleksne promjenljive

s=p=c+jω

Na taj način problem rješavanja dif. jednačine u vremenskom domenu svodi

se na rješavanje algebarske jednačine u domenu kompleksne promjenljive p.
Primjenom L- transformacije u znatnoj mjeri se uprošćava postupak pri rješavanju
linearnih dif. jednačina.

Pošto je određeno rješenje u p- domenu potrebno je izvršiti inverzne

transformacije da bi se dobilo rješenje u vremenskom domenu. Transformacija
funkcije F(p) iz domena kompleksne promjenljive p u vremensku funkciju F(p)
naziva se inverzna Laplasova transformacija. Ona je definisana integralom u
kompleksnoj ravni :

Veličina c izabrana je tako da se sve singularne tačke funkcije F(p) nalaze

lijevo od prave Re[p]=c u kompleksnoj p- ravni.

Operacija inverzne L- transformacije obilježava se simbolički sa

139

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 10.1. šema rješavanja funkcionalnih jednačina pomoću L i L

-1

transformacije

10.1. Sračunavanje Laplasove transformacije

Na osnovu napred iznijetog operacija L- transformacije sastoji se u

sračunavanju integrala u granicama od t=0 do t= proizvoda vremenske funkcije
f(t) i funkcije e

kompleksne promjenljive p. L- transformacijom neke vremenske

funkcije f(t) uvijek se dobija odgovarajući tip algebarske relacije. Navedimo
nekoliko primjera sračunavanja L- transformacije.

10.1.1. Transformacija jedinične odskočne funkcije

Funkcija σ(t) koja ima vrijednosti 0 za t<0 i vrijednosti 1 za t>0 definiše

jediničnu odskočnu funkciju.

L- transformacija funkcije σ(t)=1 određujemo sračunavanjem integrala :

10.1.2. Transformacija sinusne funkcije

140

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

10.1.4. Transformacija eksponencijalne funkcije

Za eksponencijalnu funkciju oblika

f(t) = e

-at

L-transformacija glasi :

10.2. Važne osobine Laplasove transformacije

Praktična primjena Laplasove transformacije zahtjeva poznavanje osnovnih

pravila i osobina čime se olakšava rad i proširuje primjena priručnih tablica.

U ovom odjeljku navode se bez dokaza, najvažniji stavovi i teoreme

Laplasove transformacije koji se koriste pri rješavanju linearnih dif. jednačina sa
konstantnim koeficijentima. Zadržava se i dalje označavanje

a) Stav linearnosti

Laplasova transformacija je linearna. To znači :

Iz satava linearnosti sledi :

ako su F

(p) i F

(p) L- transformacije od funkcija f

(t) i f

(t) tada je a

(p)+a

(p)

Laplasova transformacija funkcije a

(t)+ a

(t). U važnosti je i inverzan stav.

b) Laplasova transformacija izvoda

Laplasova transformacija izvoda funkcije f(t) čija je L- transformacija

F(p) dobija se kao :

L- transformacija drugog izvoda glasi :

142

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

u opštem slučaju za n- ti izvod funkcije f(t) biće :

c) Stav sličnosti

Laplasova transformacija funkcije f(at), kod koje je realna promjenljiva t

pomnožena sa realnim pozitivnim faktorom a jednaka je :

(za a>0 i realno).

d) Laplasova transformacija funkcije kašnjenja

Stav translacije –

Laplasova transformacija funkcije kašnjenja f(t-τ) kada je :

τ>

0 i

f(t-

τ)

=0 za

t≤

dobija se kao

e) Stav kompleksne transformacije

Laplasova transformacoja funkcije

jednaka je :

f) Laplasova transformacija integrala

Laplasova funkcija integrala funkcije f(t) jednaka je :

g) Teorema početne vrijednosti

Ako je f(0

) početna vrijednost funkcije f(t) tada je :

za t>o

h) Teorema konačne vrijednosti

Kopnačna vrijednost funkcije f(t) kada t→ jednaka je :

143

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Stavljajući p=p

dobija se koeficijent A

Postupajući na isti način, sukcesivno određuju se i ostali koeficijenti A

(k=1, 2, ...n).

U opštem slučaju biće :

inverzna transformacija funkcije F(p) određuje se na taj način što se za svaki član
parcijalnog razlomka odredi inverzna transformacija :

2. Korjeni su međusobno različiti

U prvom slučaju radilo se međusobno različitim korjenima ali realno. U

ovom slučaju bitno je da su korjeni međusobno različiti. Izraz N(p) pri tome može
da sadrži konjugovano kompleksne korjene (oni su međusobno različiti) ali ne
višestruke korjene, odnosno ne binomne članove oblika (p-p

)

gdje je k>1.

Pretpostavimo da je izraz polinoma N(p) napisan u obliku :

pri čemu polinom n(p)=0 ne sadrži korjen p

. Funkcija F(p) može sada da se napiše

u obliku :

Iz ove relacije proizilazi i slijedi :

za p=p

ovaj izraz postaje :

a odavde

145

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

jer je

pa je za p=p

U opštem slučaju možemo da napišemo algoritam za određivanje

koeficijenta A

Takođe, rješenje inverzne transformacije dato je u opštem slučaju i glasi :

Za slučaj da su koeficijenti polinoma N(p) realni ali među korjenima

(polovima) p

, p

, ... p

imamo konjugovano kompleksne korjene oblika :

postupak u primjeni izložene metode bio bi sljedeći :

10.4. Primjena Laplasove transformacije na

rješavanje diferencijalnih jednačina

Umjesto sračunavanja složenih L i L

-1

transformacija koriste se tablične

vrijednosti koje sadrže vremenske funkcije f(t) i odgovarajuće funkcije kompleksne
promenljive F(p) kao Laplasove transformacije.

f(t)

F(p)

impulsna funkcija σ(t)

odskočna funkcija σ(t)

nagibna funkcija γ(t)

146

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

izraz na desnoj strani rastavimo u obliku parcijalnih razlomaka.

Slijedi :

Rješenje (odziv sistema) u domenu kompleksne promenljive p glasi :

Primjenom inverzne Laplasove transformacije nalazimo rješenje (odziv

sistema) y(t) u vremenskom domenu :

Primjer B :

Za dati oscilatorni sistem prikazan na sl. 10.2. primjenom L- transformacije,

odrediti zakon kretanja y=y(t) mase m. Poznati su :

m=25 kg

ω=4 s

-1

c=50 Nm

-1

y(0)=0

k=75 Nsm

-1

y'(0)=2 ms

-1

=12,5 N

148

sinωt

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. 10.2.

Rješenje :
Diferencijalna jednačina kretanja mase m glasi :

ili

Primjenom L- transformacije na svaki član dif. jednačine dobija se :

Poslije smenjivanja brojnih vrijednosti i početnih uslova i sređivanja

jednačine nalazimo :

daje

=1 i

Konstante A i B određujemo iz identiteta
za p

= -1

za p

= -2

slijedi

iz identiteta

149

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Primjer C :

Na oscilatorni model prikazan na sl. 10.3. dif. jednačine kretanja mase m

glase :

Primjenom L- transformacije dobija se

poslije eliminacije promjenljive z

dobijamo prenosnu

funkciju u obliku :

Sl. 10.3.

11. II DIO – RJEŠENI ZADACI IZ SAU SA UPUTSTVOM
ZA RAD

151

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ZADATAK 1.

Opšte rješenje – matematički aspekt
Kao što je poznato, potpuno ili opšte rješenje linearne dif. jednačine sa

konstantnim koeficijentima sastoji se iz dva dijela koja čine : homogeno rješenje i
partikularno rješenje.

Data je dif. jednačina

y=y(t)

Homogeno rješenje potražićemo u obliku y=e

αt

Karakteristična jednačina glasi : α

+2 α-3 α=0

Korjeni karakteristične jednačine su :

-3

Homogeno rješenje dif. jednačine dobijamo u obliku :

Partikularno rješenje date dif. jednačine možemo da odredimo pod pretpostavkom
da na ulazu u sistem imamo poznatu funkciju. Neka je u našem slučaju na ulazu u
sistem funkcija x(t) = t

potražićemo partikularno rješenje u obliku :

Posle zamjene u datu dif. jednačinu dobijamo :

Poslije sređivanja po opadajućim stepenima r

dobijamo :

152

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Homogeno i partikularno rješenje nalazimo u obliku :

Potpuno rješenje glasi :

iz početnih uslova dobijamo :

Očigledno su :

stacionarni odziv

154

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

nestacionarni odziv

Sl. z.1.

ZADATAK 3.

Linearizacija
U opštem slučaju datu kontinualnu funkciju y=f(x) najčešće aproksimiramo

polinomom n- tog reda. Linearizacija zahtjeva aproksimaciju dijela funkcije f(x)
pravom linijom, tj. polinomom prvog reda. Najčešće se dio funkcije f(x)
zamjenjuje tangentom u blizini neke karakteristične tačke, koja u većini slučajeva
označava ravnotežno stanje sistema. Na sl. z.2.a i z.2.b prikazan je prelaz od
aproksimacije pomoću sečice na aproksimaciju pomoću tangente u blizini tačke
[x

, f(x

)], koja u većini slučajeva označava ravnotežno stanje sistema.

Sl. z.2.

Jednačina prave linije koja se poklapa sa sečicom glasi :

od ove relacije prelazimo na tangentu u tački [x

, f(x

)] ako pustimo da h teži nuli.

Jednačina tangente funkcije f(x), u tački x

, glasi :

Očigledno da je potrebno da poznajemo vrijednosti funkcije f(x) u tački x

. U

specijalnom slučaju, kada je x

=0, imaćemo :

155

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ili

Za Ф=0 biće

kako su :

dobijamo

ZADATAK 4.

Za rezervoar prikazan na sl. z.4. poznati su :

/s] – protok doticanja tečnosti

/s] – protok isticanja tečnosti

Pretpostavimo da je rezervoar napunjen tečnošću do nivoa x

pri kome se

uspostavlja ravnoteža

= Q

Kao što je poznato, izlazni protok
Q

zavisi od hidrostatičkog

pritiska, odnosno od visine
tečnog stuba "h" i površine
izlaznog presjeka A

157

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.4.

Posmatranje započinjemo od nekog trenutka t = t

, kada je uspostavljeno

ravnotežno – stacionarno stanje prema Q

= Q

= Q :

Pretpostavimo da se protok priticanja tečnosti iznenada poveća za ΔQ

. Očigledno

je da će se i nivo tečnosti povećati za neku veličinu Δh, pa će se povećati i protok
isticanja za ΔQ

. Priraštaj nivoa tečnosti može da se izrazi kao :

gdje je A- površina rezervoara (osnove) i konstantna po visini rezervoara. Poslije
sređivanja dobijamo :

Relacija za Q

kao što se vidi predstavlja nelinearni karakter.

U blizini ravnotežnog stanja [h

, Q

] možemo da izrazimo priraštaj protoka

isticanja ΔQ

u linearnom obliku.

gdje je sa K- označen koeficijent pravca tangente povučene u tački [h

, Q

Postupak linearizacije poslije zamjene i
sređivanja dobija se :

uvešćemo smjenu Δh = ay i ΔQ

= bx pa

ova gornja jednačina prelazi u oblik :

158

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

i date početne uslove :

karakteristična jednačina i njeni korjeni su :

Homogeno rješenje :

Partikularno rješenje :

Diferenciranjem i zamjenom u datoj dif. jednačini i poslije sređivanja po sint i cost
dobijamo :

Iz identiteta slijedi :

Partikularno rješenje :

Potpuno rješenje glasi :

Za date početne uslove biće,

935

374



pa slijedi :

ZADATAK 6.

160

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Odrediti potpuno rješenje dif. jednačine

za početne uslove

Rješenje :

ZADATAK 7.

Koristeći pravila algebre blok dijagrama, uprostiti strukturno date blok

dijagrame i odrediti odgovarajuće prenosne funkcije. Dobijene rezultate analitički
provjeriti :

Sl. z.6.

Koristeći osnovna pravila za pojednostavljivanje povratne paralelne sprege dobija
se sljedeći ekvivalentni blok dijagram :

161

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.6.d

Na primjer, za : W

(s)=1, W

(s)=s, W

(s)=1/s

dobija se

Analitički dobijeni rezultat se može provjeriti na sljedeći način :

Potrebno je izraziti signal X

(s) samo u funkciji od ulazne veličine X

(s)

163

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Ako jednačinu riješimo po X

(s)

koja kada se vrati nazad postaje :

ZADATAK 8.

Odrediti analitički oblik frekventnih karakteristika osnovnih prenosnih

organa. Dati grafičku interpretaciju samo za dio frekventne karakteristike pri
promjeni učestanosti ω [0, - ].
Osnovni prenosni organi dati su sljedećim prenosnim funkcijama, a određivanje i
skiciranje odgovarajućih karakteristika biće dato za neke konkretne usvojene
numeričke vrijednosti njihovih komponenti.

Sl. z.7.

164

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

dio karakteristike, za promjenu ω [0, +

], prikazan je na sl.z.9.

Dio hodografa frekventne karakteristike, za promjenu ω [0, + ], prikazan je na
slici z.10.

Za njegovo skiciranje, može se formirati sljedeća tablica tb. 1.

100

166

Sl. z.9.

Sl. z.10.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ZADATAK 9.

Data je prenosna funkcija otvorenog kola sistema refulisanja

Odrediti osnovne pokazatelje frekventnog odziva sistema regulisanja

osnovne strukture.

Osnovni pokazatelji frekventnog odziva sistema regulisanja (ili u opštem

slučaju, sistema bilo koje strukture) su : rezonantna učestanost ω

, rezonantno

izdizanje A

, pokazatelj oscilatornosti A

i prenosni opseg Ω

. Svi se oni mogu

odrediti ukoliko je poznat analitički izraz amplitudne frekventne karakteristike
sistema, ili ukoliko je poznat njen grafički izgled. U ovom zadatku će se razmatrati
samo prvopomenuti izraz.

Kako je sistem regulisanja osnovne strukture (jednačina povratne sprege),

može se napisati :

a iz identiteta :

određuje se stepen prigušenja i neprigušena (sostvena) učestanost sistema

=0,50.

Analitički izraz za amplitudnu frekventnu karakteristiku može se preuzeti iz

odnosa :

167

Sl. z.11.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Svi polovi su sa negativnim realnim dijelom, pa se može odrediti DGTL.

ZADATAK 11.

Odrediti vrednost pozicione statičke greške sistema regulisanja, datog

svojim blok dijagramom na sl. z.13.

Sl. z.13.

Na osnovu blok dijagrama dobija se :

odnosno posije zamjene :

pa nije teško vidjeti da E(s) zadovoljava uslove za primjenu DGTL. Zamjenom
dobija se :

169

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ZADATAK 12.

Za sistem regulisanja, prenosne funkcije otvorenog kola

odrediti karakteristike stacionarnog stanja i pokazatelje prelaznog procesa u
vremenskom i frekventnom domenu.

Pojačanje otvorenog kola :

- pojačanje zatvorenog kola :

dobija se :

- statičke greške regulisane veličine :

- prelazni proces

170

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

-vrijeme smirenja sa dijagrama z.18. za

dobija se

-trenutak nastupanja preskoka iz izraza

-period oscilacija

-broj oscilacija

Sl. z.18.

-pretek faze za

-pokazatelj oscilatornosti

ZADATAK 13.

Na slici z.19. prikazan je blok dijagram jednog sistema regulisanja. Ispitati

dinamičko ponašanje sistema i nacrtati izgled prelaznog procesa u dva slučaja :

a) kada je dati objekat regulisan proporcionalnim regulatorom prvog reda;
b) kada je dati objekat regulisan integralnim regulatorom nultog reda.

a) diferencijalna jednačina ponašanja objekta je :

a regulatora

172

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.19

Uslovi sprezanja su :

Eliminacijom spregnuto promenljivih

, dobija se diferencijalna

jednačina ponašanja regulacijskog kola :

Odskočni odziv dat je na sl. z.20.

Sl. z.20.

b) U ovom slučaju, jednačina ponašanja regulatora je :

Sledeći ranije izloženu proceduru dobija se diferencijalna jednačina

ponašanja regulacijskog kruga.

173

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Pošto   koeficijenti   prenosne   funkcije   otvorenog   kola   odnosno   zatvorenog   kola
pripadaju   skupu   realnih   brojeva   ovdje   se   korjenovi   karakteristične   jednačine
sistema   javljaju   uvijek   kao   realni   i/ili   konjugovano-kompleksni,   tako   da   je
simetričnost hodografa GMK uvijek obezbjeđena (prisutna).

5. Tok hodografa GMK u blizini beskonačno dalekih tačaka

Ugao φ asimptota, u odnosu n apozitivni pravac realne ose u s ravni određuje se iz :

Kada postoji samo jedna asimptota, koja tada može da bude samo realna osa (iz
razloga simetričnosti), tačku presjeka asimptota nema smisla određivati.

6. Segmenti realne ose koji pripadaju GMK

Segmenti realne ose između p

i p

i lijevo

od z1 pripadaju hodografu GMK, jer se
desno od uočene tačke sa tih segmenata
nalazi neparan broj nula i polova prenosne
funkcije otvorenog kola W

(s), sl. z. 21.

7. Tačke spajanja i/ili odvajanja hodografa GMK

Ove se tačke mogu odrediti na dva načina. Prvo iz :

pa je

čija su rešenja

odnosno

Sva rješenja polazne jednačine ne moraju da budu tačke odvajanja i/ili spajanja, jer
ona daje samo potreban uslov. Zato valja dobijeni rezultat provjeriti. U ovim

175

Sl. z.21.

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

slučajevima kada su sva ta rješenja realna, potrebno je samo provjeriti koja od njih
leže na segmentima realne ose koji pripadaju GMK. To praktično znači da su to
rješenja koja zadovoljavaju karakterističnu jednačinu sistema upravljanja.

ZADATAK 15.

Dat je sistem regulisanja svojim blok dijagramom. Potrebno je skicirati

hodograf GMK i za

= 1,50 odrediti prenusnu funkciju zatvorenog kola u

faktorizovanom obliku, ne rješavajući karakterističnu jednačinu. Odrediti takođe
kritičnu vrijednost faktora pojačanja

i analizirati karakter prelaznog procesa, s

obzirom na izgled hodografa GMK.

Sl. z. 22.

Sa slike se vidi da je

Skiciranje hodografa GMK obaviće se prema poznatim pravilima :

1. polazne tačke GMK

2. završne tačke GMK

Prenosna funkcija otvorenog kola ima tri nule u beskonačnosti.

3. broj grana

176

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

8. uglovi pod kojima grane GMK napuštaju kompleksne polove i/ili pristižu u
beskonačne nule

(s).

(s)

nema ni konjugovano kompleksnih nula ni polova.

9. tačka presjeka hodografa GMK sa imaginarnom osom

Određivanje tačke presjeka hodografa GMK sa imaginarnom osom u s- ravni ima
dvostruki značaj. Prvo, omogućeno je da se preciznije nacrta hodograf, a drugo,
dolazi do kritične vrijednosti faktora pojačanja

, za koji će se sistem

regulisanja naći na granici stabilnosti

Iz karakteristične jednačine sistema dobija se :

Prvi uslov Hurvicovog kriterijuma je zadovoljen za :

Smjenjujući

=60 u karakterističnoj jednačini sistema, dobija se :

a koristeći uslov oscilatorne granice stabilnosti po Mihajlovu, za određivanje

koristi se smjena

Do istog rezultata može se doći polazeći od
stavljajući

Tada se dobija :

178

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

odnos već ranije dobijene vrijednosti za ω. Na osnovu prethodnih podataka može
se sa dovoljnom tačnošću skicirati hodograf GMK sl. z.24.

Sl. z.24.

Na crtežu su unijete i označene tačke presjeka asimptota, tačke odvajanja, kao i
same asimptote koje olakšavaju crtanje hodografa. Sve neophodne vrijednosti
stvarnog faktora pojačanja određuju se iz jednačine :

Tačka za

= 1,5 fiksirana je probanjem tačaka

na hodografu, sl. z.25.

Sl. z.25.

179

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Skicirati hodograf GMK sistema regulacije prenosne funkcije otvorenog

kola :

i naznačiti njegovu specifičnost. Odrediti vrijednost faktora pojačanja K

u tački

odvajanja hodografa i za istu tačku provjeriti da li zadovoljava kriterijum
argumenta (ugla).

2. Nema konačnih nula

3. n = 4

4. Simetričnost zadovoljava

5. n = 4, m=0, k=0,1,2,3.

6. Vidi sliku sl. z.26.

Spajajući potezima, npr. tačku

, sa svim polovima prenosne funkcije otvorenog

kola (p

, p

), očitavajući uglove koje zaklapa poteg, što je na crtežu

izostavljeno zbog preglednosti, dobija se :

181

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

što pokazuje da je zadovoljen kriterijum ugla. Jedina specifičnost hodografa GMK
je da postoje dvije konjugovano-kompleksne tačke odvajanja hodografa, što
pokazuje da one ne moraju da se nalaze na realnoj osi sl. z.26.

Sl. z.26.

ZADATAK 17.

Koristeći Rautov kriterijum ispitati stabilnost sljedećih SAU, čija je

karakterističn ajednačina data sa :

a) Koristeći vrijednosti koeficijenta karakteristične jednačine i pomoćnih
koeficijenata :

182

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Preostali pomoćni koeficijenti uzimaju sljedeće vrijednosti :

Konačni izgled Rautove tablice bio bi :

Lako se uočava (tablica u desnom dijelu) da kao posljedica primjene graničnog
procesa, postoje dvije promjene oznaka, sa 0 na (- ) i sa (- ) na (+1) pa je sistem
nestabilan sa dva korjena karakteristične jednačine sa pozitivnim realnim dijelom.

ZADATAK 18.

184

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Dinamički sistem je definisan jednačinama stanja u standardnoj formi.

Odrediti fundamentalnu matricu koristeći se Laplasovim transformatorom, a zatim
naći opšte rješenje jednačina stanja.

Jednačina stanja je oblika :

Formulisaćemo matricu [SI-A].

Pošto je njena determinanta,

za fundamentalnu matricu dobijamo sljedeći izraz u domenu kompleksne
promjenljive S.

Primenom inverznog Laplasovog transformatora dobijamo fundamentalnu

matricu u domenu vremenske promjenljive t.

Vremenski odziv sistema je dat sa :

čiji podintegralni dio iznosi :

Prema tome imamo :

185

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ZADATAK 19.

Nacrtati blok dijagram za dinamički sistem koji je predstavljen

diferencijalnom jednačinom sljedećeg oblika :

gdje je : v(t)- ulaz sistema a y- izlaz iz sistema.

Ako jednačinu rješimo po najvišem izvodu dobijamo,

integraleći

dva puta dobićemo i

kako je to prikazano na sl. z.28. Kontura je tako

zatvorena da zadovoljava zahtjeve date diferencijalnom jednačinom :

Kompletan dijagram je prikazan na sljedećoj slici :

Sl. z.28.

ZADATAK 20.

187

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Nacrtati blok dijagram za dinamički sistem dat diferencijalnom jednačinom

sljedećeg oblika :

Kako se kod ove diferencijalne jednačine izvod nalazi na desnoj strani, to u odnosu
na prethodni primjer moramo imati dodatni član koji u dijagramu obezbjeđuje
izvod d/dt. Stoga u želji da eliminišemo taj izvod pretpostavićemo da je ulaz u prvi
integrator

. Stoga je

Ovo se može simulirati kako je prikazano na slici z.29.

Sl. z.29.

Odnosno na slici z.30.

Sl. z.30.

ZADATAK 21.

188

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.32.

Dodatni član

se vraća na ulaz prvog integratora. Sistem se još uvijek

može simulirati u formi koja je pokazana, ali uz modifikaciju blokova koji sadrže
multiplikativne faktore

c, d, e,

gde su

, b

pravilni multiplikativni faktori.

Nazovimo takođe ulaz u prvi integrator sa . Vrijednost ostalih tačaka na slici
z.33. su označene. Blok dijagram je tada simulacija diferencijalne jednačine oblika,

Prepoznajući da izlaz ove simulacije mora biti jednak sa

dobijamo :

Zamjenom dobijamo :

Sakupljajući članovi su :

Poredeći ovu jednačinu sa prvom, zahtjevi za

, b

su nađeni

izjednačavanjem odgovarajućih članova. Oni su :

190

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.33.

Kompletni dijagram je dat na slici z.34.

Sl. z.34.

Ovo je kompletna procedura dobijanja dijagrama za linearne sisteme, i

koristi se za dobijanje standardne formule linearnih vektorsko-matričnih
diferencijalnih jednačina.

191

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.36.

Sistemi sa više ulaza i izlaza

Za multivarijabilne sisteme prilaz u konstrukciji blok dijagrama je u suštini

isti. Ovo je predstavljeno na sljedećim primjerima .

ZADATAK 23.

Nacrtati blok dijagram za multivarijabilni dinamički sistem dat sistemom

diferencijalnih jednačina sljedećeg oblika :

Dijagram ćemo nacrtati koristeći se rpincipima iz ranijih primjera. Svaka od

datih diferencijalnih jednačina u sistemu imaće svoj osnovni pravac integraljenja a
oni će međusobno biti povezani bočnim vezama u zavisnosti od članova u
diferencijalnim jednačinama.

Dijagram simulacije je prikazan na slici z.37.

193

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.37.

ZADATAK 24.

Predstaviti multivarijabilni sistem pomoću blok dijagrama, ako je dat

njegov matematički model u obliku sistema diferencijalnih jednačina :

Pošto u drugoj jednačini zadatog sistema na desnoj strani imamo član sa

izvodom , to ćemo prvo taj član prebaciti na lijevu stranu jednačine kao što je to
učinjeno u primeru z.20. Dijagram simulacije je prikazan na sledećoj slici z.38.

194

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Odrediti matricu prenosnih funkcija i nacrtati odgovarajući blok dijagram.
Pošto početni uslovi nisu dati smatraćemo da su nule. Da bi došli do

matrice prenosnih funkcija potrebno je uzeti Laplasov transforat datog sistema
diferencijalnih jednačina čime dobijamo :

ako ih riješimo po Y

(s), Y

(s)

Sada možemo napisati matricu prenosnih funkcija H(s) :

Blok dijagram prenosnih funkcija je predstavljen na slici z.39.

Sl. z.39.

196

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ZADATAK 26.

Sistem sa dva ulaza i dva izlaza je opisan sljedećim skupom diferencijalnih

jednačina :

Odrediti matricu prenosne funkcije sistema i nacrtati odgovarajući blok dijagram.

Uzimanjem Laplasovog transformata datih diferencijalnih jednačina uz

početne uslove ravne nuli dobijamo sljedeći sistem algebarskih jednačina u
domenu kompleksne promenljive (s) :

Iz dobijenog sistema algebarskih jednačina direktno pišemo matricu funkcije
sistema :

Dijagram prenosne funkcije sistema je predstavljen na slici z.40.

Sl. z.40.

197

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Sl. z.43.

Ako je sistem vremenski nezavisan tada matrice A(t), B(t), C(t), D(t) predstavljaju
matrice konstanata pišući ih A,B,C,D.

Koncepcija kontrolabilnosti i observabilnosti dinamičkog sistema

U problematici upravljanja dinamičkim sistemima na dva osnovna pitanja

treba dati odgovore i to u smislu da li ili ne postoji mogućnost kontrole, odnosno
upravljanja sistemom. Ova bi pitanja mogla biti i ovako formulisana :

1. Možemo li "prenijeti" sistem iz bilo kakvog početnog stanja u bilo koje

drugo očekivano stanje u konačnom vremenu uz primjenu pogodnog
upravljačkog pobuđivanja?

2. Poznavajući izlazni vektor stanja za neku konačnu dužinu vremena, da

li smo u stanju odrediti početno stanje sistema?

Odgovori na oba ova pitanja su dati od strane Kalman-a pod pojmom

kontrolabilnosti i observabilnosti sistema.

KONTROLABILNOST SISTEMA

Za dinamički sistem se kaže da je kontrolabilan ako je moguće prenijeti

stanje iz bilo kog početnog stanja x(0) u bilo koje drugo očekivano stanje x(t

) za

određeni, konačni vremenski interval putem upravljačkog vektora U(t).

Ponekad se očekuje da se prenese i izlaz sistema iz jednog početnog stanja

u bilo koje drugo očekivano stanje.

199

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

OBSERVABILNOST SISTEMA

Za dinamiči sistem se kaže da je observabilan ako se svako stanje x(t

)

može kompletno identifikovati mjerenjem izlazne veličine y(t) za vrijeme
konačnog vremenskog intervala. Dinamički sistem koji nije kompletno
observabilan implicira da je neka od njegovih promjenljivih stanja "izolovana" za
observaciju.

Prema tome, pitanje kontrolabilnosti i observabilnosti sistema predstavlja

jednu od važnih uloga kod upravljanja dinamičkim sistemom. Matematički test
kontrolabiliteta i observabiliteta uveden od strane Kalman-a je veoma elegantan ali
ne i fizički dovoljno očigledan kako ćemo to kasnije vidjeti. Alternativni test dat od
strane Džilberta upotrebljava kanonički model stanja obezbjeđujući pri tome bolji
fizički tretman samog problema koji dovodi do boljeg osećaja problema.

Kontrolabilnost dinamičkog sistema

Kontrolabilnost uvodi zavisnost promjenljivih stanja sistema od ulaza

sistema. Razmotrićemo sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom koji je linearan i
vremenski nezavisan. Neka je sistem definisan normalnom jednačinom stanja :

gde je x n- dimenzioni vektor stanja, u- kontrolni (upravljački) signal, A, nxn
matrica, b, nx1 matrica.

Uzmimo da je početno stanje sistema x(0) i konačno očekivano stanje x(t).

Sistem opisan prethodnom jednačinom je kontrolabilan ukoliko je moguće
konstruisati kontrolni signal takav da u konačnom vremenskom intervalu 0<t≤t

prenese stanje sistema iz vrijednosti x(0) u vrijednost x( t

) .

Pretpostavićemo prvo da su karakteristične vrijednosti matrice A sve

međusobno različite tako da se matrica A može dijagonalizovati a jednačina stanja
napisati u konačnom obliku.

Ova jednačina bi se mogla napisati i u formi komponenata, oblika :

200

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

vrijednosti, dijagonalizacija nije moguća, odnosno jednačinu stanja ne možemo
svesti na kanoničnu formu. U takvim slučajevima, možemo transformisati matricu
A u Džordanovu kanoničnu formu definišući novu promjenljivu stanja,

gde je V- modifikovana Vander-Mondeova matrica. Matrica A mora biti data u
Bušovoj formi. Jednačina stanja se sada transformiše u sljedeći oblik :

Za sistem sa višestrukim karakterističnim vrijednostima ,

Džordanova matrica J ima sljedeći oblik :

Uslovi kompletne kontralabilnosti se mogu sada iskazati na sledeći način :

1. Elementi bilo koje vrste od V

-1

B koji odgovaraju posljednjoj vrsti

Džordanovog bloka nisu svi jednaki nuli.

2. Elementi svake vrste V

-1

B koji odgovaraju različitim karakterističnim

vrijednostima nisu svi jednaki nuli.

Džilbertova metoda testiranja kontrolabilnosti navedena u gornjem tekstu

zahtjeva da sistem bude transformisan u konačni model stanja ili Džordanovu
kanoničnu formu.

202

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Međutim test kontralabilnosti koji je razvio Kalman može takođe biti

primjenljiv na bilo koji model stanja (kanonični ili neki drugi). Njega ćemo u
daljem tekstu samo navesti bez dokazivanja.

Dinamički sistem n-tog reda, sa višestrukim ulazom i višestrukim izlazom,

linearni i vremenski nezavisan sa n-dimenzionim upravljačkim vektorom definisan
jednačinom stanja :

biće kompletno kontrolabilan ako i samo ako je rang matrice kombinovane na
sljedeći način :

ravan

ZADATAK 27.

Razmotriti dinamički sistem sa tačke gledišta kontrolabilnosti ako je

definisan jednačinom stanja :

Prvo ćemo transformisati datu jednačinu stanja u kanoničnu formu. U tu svrhu
ćemo formirati karakterističnu jednačinu za matricu A.

koja nam daje karakteristične vrijednosti

Odabirajući Vander-Monde matricu kao modelnu možemo pisati :

203

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Pošto je rang matrice 3 jednak redu sistema n = 3 sistem je kompletno
kontrolabilan.

Observabilnost dinamičkog sistema

Razmotrimo model stanja dinamičkog sistema n- tog reda sa jednim

ulazaom i jednim izlazom koji je linearan i vremenski nezavisan. Njegove
jednačine stanja su date u obliku :

Jednačine stanja se mogu transformisati u kanoničnu formu putem linearne
transformacije

x= mz

. Rezultujuće stanje nakon transformacije i odgovarajuće

jednačine su :

Dijagonalizacija vrši dekuplovanje stanja tako da ni jedno stanje ne sadrži

informaciju o bilo kojem drugom stanju, tj. svako stanje mora biti posebno
observabilno. Ovo praktično znači da bi neko stanje bilo observabilno kroz izlaz u
njegov odgovarajući koeficijent u jednačini ne smije biti nula. Ako je bilo koji

nula, tada odgovarajući

može imati bilo koju vrijednost bez da njegov efekat

pokazuje uticaj na izlaz

. Stoga potreban a istovremeno i dovoljan uslov za

kompletno stanje observabiliteta sistema je sadržano u tome da ni jedan ne
smije biti nula.

Ako je u pitanju dinamički sistem sa više ulaza i više izlaza gdje je izlazni

vektor nakon kanonične transformacije dat sljedećim izrazom :

205

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

odnosno,

onda je potreban i dovoljan uslov za kompletnu observabilnost u

tome da ni jedna od kolona matrice ne smije biti nula.

Kalmanov test observabilnosti dinamičkog sistema je definisan na sljedeći

način.

Linearni i vremenski nezavisan dinamički sistem reda

sa višestrukim

ulazom i višestrukim izlazom, dat sistemom jednačina :

je kompletno observabilan ako i samo ako je rang matrice kompozita,

reda

ZADATAK 28.

Odrediti zakon upravljanja koji minimizira indeks performanse dat izrazom:

a za sistem definisan jednačinom stanja oblika

Pretpostavljajući zakon upravljanja u obliku :

Karakteristične vrijednosti matrice su date sa :

Da bi sistem bio stabilan potrbno je da k

, k

> 0. Iz jednačine imamo :

206

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

uz upravljačku konfiguraciju predstavljenu slikom z. 45.

Sl. z.45.

ZADATAK 29.

Data je matrica A dinamičkog sistema. Ispitati stabilnost. Provjeriti

stabilnost sistema po Rutu i Hurvicu.

Karakteristična jednačina – polinom,

208

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

predstavlja opšti oblik kubne jednačine.

smjenom dobijamo :

=19;

=14;

Karakteristična jednačina je :

209

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

6-K>0

6-K

K<6 0<K<6

ZADATAK 31.

Matrica dinamičkog sistema data je u obliku

Odrediti odgovarajuću fundamentalnu matricu.

=9;

211

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

Ukupna fundamentalna matrica biće :

ZADATAK 32.

Dinamički sistem je definisan jednačinom :

=[0 1]

Odrediti da li je sistem upravljiv (kontrolabilan) i mjerljiv (opservabilan). Provjeriti
pomoću Kalmanovih matrica.

Džilbertova metoda

= -1

= -2

212

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

ZADATAK 33.

Odrediti fundamentalnu matricu

za matricu koeficijenata :

214

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

215

AUTOMATSKO VOĐENJE I REGULISANJE SUVREM SUSTAVA

18. Voronov A.A. "Teorija lineinih sistema avtomatičeskovo upravlenia",

Višajšaja Škola Moskva, 1977.

19. Milojković B. "Osnovi regulisanja", Mašinski fakultet, Beograd, 1972.
20. Šurina T. "Analiza i sinteza servomehanizama i procesa regulacije",

Školska knjiga, Zagreb, 1974.

21. Grujić Lj. "Algebarska metoda", rukopis, Beograd, 1975.
22. Stojić M. "Kontinualni sistemi automatskog upravljanja", Građevinska

knjiga, Beograd, 1978.

23. Debeljković Đ. "Projektovanje linearnih sistema", Mašinski fakultet,

Beograd, 1981.

24. Sekulić M. "Osnovi teorije automatskog upravljanja-servomehanizmi",

Naučn aknjiga, Beograd, 1982.

25. Savić V. "Osnovi uljne hidraulike", Zenica, 1991.
26. Korebov J. "Rešeni zadaci iz osnov ateorije sistema i linije automatskog

upravljanja", Naučna knjiga, Beograd, 1985.

27. Nikin B. "Elementi linearne algebre", Tehnički fakultet "Mihajlo Pupin",

Zrenjanin, 1985.

217

Želiš da pročitaš svih 222 strana?

Prijavi se i preuzmi ceo dokument.

Prijavi se Napravi nalog

Automatsko vođenje i regulisanje suvremenih sustava

Prijava dokumenta

Problemi sa sadržajem

Problemi sa kupovinom i pristupom

Tehnički problemi

Kršenje pravila

Ostalo

Želiš da pročitaš svih 222 strana?

Slični dokumenti

Pojam i značaj logistike u špediciji

Spoljašnji saobraćaj u industrijskom kompleksu

Analiza propisa u oblasti bezbednosti saobraćaja

Uvod u pravo

Gospodarstvo BiH

Sociologija skripta

Skripta sociologija za pravni fakultet

Bezbednost drumskog saobraćaja: dobra praksa za sprovođenje upravljanja bezbednošću saobraćaja

Nuklerana medicina

Preduzetnicka ekonomija

Erp sistemi

Znacaj upravljanja organizacionim promenama

Primena elemenata sportskih igara u mlađem školskom uzrastu

Projektni pristup obrade sadržaja iz upoznavanja okoline

Društvo spektakla

Pojam, uloga, karakteristike i značaj tradicionalnih organizacionih struktura: primer kompanije “Siemens”

Timski rad u projektnim aktivnostima na primeru kompanije Nordeus

Razvoj komunikacionih veština dece sa oštećenjem sluha u predškolskim ustanovama

Subjekti za borbu protiv organizovanog kriminaliteta

Osnovne odlike menadžera i njegova uloga pri donošenju poslovnih odluka: primer kompanije „apple“

Rendgenska analiza proteina: kristalizacija i analiza strukture lizozima

Aktivnosti u prirodi i njihov značaj u upoznavanju okoline

Poreska konkurencija i strane direktne investicije u globalnom okruženju

Javne nabavke: pojam, načela i postupak

Aspekti savremenog elektronskog bankarstva

Kratke narodne umotvorine u funkciji razvoja govora dece predškolskog uzrasta

Informatika – skripta

Objektno orijentisano programiranje

Pregled istraživanja u psihologiji ličnosti: teme, metode i značaj

Plan rada ASAP 2024

Poluprovodnici

Bosna srednji vijek

Razvijanje sposobnosti za uočavanje i rešavanje problema u funkciji uspešne realizacije zadataka nastave

Colin Campbell: analiza umetničkog opusa

Web 2.0: karakteristike, podela i marketing u socijalnim medijima

Web 2.0: karakteristike, podela i marketing u socijalnim medijima

Kodeks korporativnog upravljanja

Analiza osnovnih funkcija menadžmenta na primeru preduzeća Swisslion-Takovo d.o.o

Makroekonomska ravnoteža

Seminarski rad – Biznis plan

Sigurnost i zaštita računarskih sistema

Monetarizam

Didaktika kao naučna disciplina: skripta

Zlostavljanje i zanemarivanje dece i rad sa zlostavljanom decom

Analiza faktora koji utiču na rezultate rada

Struktura podataka i algoritmi: pojam, strukture, kodiranje i programske strukture

Radioaktivna kontaminacija okoline i čoveka i principi dekontaminacije

Kombinatorika: seminarski rad

Regulativa finansijskog izveštavanja i uloga lokalne poreske administracije

Lečenje kardiovaskularnih bolesti kod pasa i mačaka

Seminarski rad

Društveno odgovorno poslovanje kompanije a1 u Srbiji

Sistem bezbednosti republike srbije – pojam, cilj i zadaci

Cena kao instrument marketing miksa

Digitalna transformacija i novi poslovni modeli

Digitalna obrada signala

Struktura podataka i algoritmi: pojam, strukture, kodiranje i programske strukture

Uticaj antropogenih turističkih vrednosti na razvoj turizma u istočnoj hercegovini

Seminarski rad

Primena ISO 45001 u savremenom poslovanju

Tip dokumenta

Oblasti

Popularni predmeti

Institucije