Binarne operacije
Od početka matematičkog obrazovanja, susrećemo se sa binarnim operacijama na
skupovima brojeva: oduzimanje, sabiranje, deljenje, množenje. Takođe, upoznali smo iskazne
binarne operacije: konjukcija, disjunkcija, ekvivalencija, implikacija, kao i skupovne binarne
operacije: unija, razlika i presek.
Svaka od navedenih operacija, primenjena na neka dva elementa x,y
∈
A daje, kao
rezultat
operacije
neki element c
∈
A.
U tekstu koji sledi, navešću definiciju binarne operacije.
Definicija 1.
Ako je skup A
≠
∅
, onda je funkcija f : A
2
→
A , binarna operacija na skupu A , tj.
(
∀
(
a , b
)
∈
A
2
) (
∃
1
c
∈
A
)
( f ( a,b ) = c )
Binarnu operaciju f zovemo
unutrašnja
binarna operacija skupa A , a uređeni par ( A, f )
grupoid
( skup A je
zatvoren u odnosu na operaciju f
).
Specijalno, funkcija f : A
→
A je
unarna operacija
na skupu A.
U praksi, binarna operacija se obično obeležava „infiksno“, a ne „prefiksno“ i umesto
simbola f, g, h,... koji se koriste za obeležavanje funkcija , koriste se već poznati simboli:
+. - , : ,
∙ ,˄ ,˅ ,
⇒
,⇔ ,
∪
,∩ ,
∖
ili, što ću činiti ubuduće kada je reč o binarnim operacijama
uopšte, ili o nekim specijalno formiranim operacijama, npr. simboli : ◦,
∗
,
⊕
,
⊗
,
△
, ...
Dakle,
∗
je binarna operacija na skupu A, ( A
≠
∅
)
ako i samo ako
(
∀
(
a , b
)
∈
A
2
) (
∃
1
c
∈
A
) ( a
b
∗
¿
c
)
.
Često se srećemo sa operacijama, koje nisu definisane za sve elemente skupa A
2
, tj. rezultat
operacije je element skupa A , pod određenim uslovima.
Takve operacije definišemo posebno.
Definicija 2.
Parcijalna ( uslovna )
binarna operacija skupa A, ako je skup A
1
≠
∅
i A
1
⊂
A
2
, onda se
funkcija f : A
1
→ A
Primer 1.
a. Neka je A = N skup prirodnih brojeva. Podsećam , da su sabiranje i množenje unutrašnje
binarne operacije skupa i množenje unutrašnje binarne operacije skupa i množenje
unutrašnje binarne operacije skupa
N
, tj.
(
∀
a , b
∈
N
)(
a
+
b
∈
N
∧
a
⋅
b
∈
N
)
,
zbog čega su (
N ,
+)
i
(
N ,
⋅
)
grupoidi.
b. Oduzimanje u skupu
N
prirodnih brojeva , je parcijalna operacija. Poznato je da rezultat
oduzimanja proizvoljnih prirodnih brojeva, nije uvek prirodan broj, (
N ,
−)
nije grupoid ,
tj. važe formule
(
∀
a , b
∈
N
)(
a ≤ b
⇒
a
−
b
∉
N
)
i
(
∀
a , b
∈
N
)(
a
>
b
⇒
a
−
b
∈
N
)
c. Sabiranje, množenje i oduzimanje su unutrašnje binarne operacije skupa celih brojeva
Z ,
tj. (
Z ,
+)
,
(
Z ,
⋅
)
i
(
Z ,
−)
su grupoidi.
d. Deljenje u skupu prirodnih brojeva je parcijalna operacija. Poznato je da važi
(
∀
a , b
∈
N
)
( b
¿
a
⇒
a
:
b
∈
N
)
.
