КВАДРАТНА ЈЕДНАЧИНА И КВАДРАТНА
ФУНКЦИЈА
Ментор: Ученик:
Београд
Увод
Математика је широки киомплекс идеја, а њена историја
нас упознаје са низом најплеменитијих замисли небројeних
поколења.
Алгебра је средином ХIX века била само наука о
једначинама.
У тој алгебри разматрају се линеарне и квадратне
једначине, али без употребе било каквог алгебарског
формализма.
Међу тим једначинама разликујемо три типа:
х
2
+ 10х =39, х
2
+ 21 =10х, 3х + 4 =х
2
који су се разматрали појединачно и уз предпоставку да су
коефицијенти само позитивни бројеви.
3
КВАДРАТНА ЈЕДНАЧИНА
Дефиниција:
Једначина облика
аx
2
+ bx + c=
0
где је
x
непозната, а
a, b, c
реални бројеви
а
≠0, јесте
квадратна једначина по
x,
са коефицијентима
a, b, c
.
Пример:
Ученици једног одељења договорили су се да за време рапуста свако пошаље по
једну разгледницу осталим ученицима. Колико је било ученика у одељењу ако је
укупно послато 992 разгледнице?
Решење:
Ако са n означимо број ученика, онда је укупан број послатих разгледница
n(n- 1),
па треба наћи природан број n, тако да буде испуњено
n(n-1)
=992. Дакле,
треба решити једначину
n
2
-n
=992,
n
ЄN. Испитаћемо сада ову једнчину и испод
ње низ еквивалентних једначина које нас воде до решења:
n
2
- n - 992=
0
, n
N
n
2
-32n+31n-31*32=
0
, n
N
n
2
–n-31n+31n-31*32=
0
, n
N
n(n-32)+31(n-32)=
0
, n
N
(n-32)(n+31)=
0,
n
N
n
=32 или
n
= -31,
n
N
пошто -31 није природан број, долазимо до закључка да ова једначина има
jединствено решење
n
1
=32.
Све квадратне једначине можемо да поделимо на
потпуне
и
непотпуне
квадратне
једначине.
Квадратна једначиана је
потпуна
ако је
b
≠0,
c
≠0 и
а
≠0.
Квадратна једначина је
непотпуна
ако је
b
=0 или
c
=0. Према томе, непотпуне квадратне
једначине су:
аx
2
+ bx =
0
,
аx
2
+ c=
0
,
аx
2
=
0
.
Непотпуна квадратна једначина
1
0
Једначина
аx
2
=
0. Пошто је ово квадратна једаначина, онда је
а
≠0, па је
једначина
аx
2
=
0 еквивалентна са једначином
х
=0.
Видимо да је решење једначине
аx
2
=
0 (
а
≠0) је
х
1
=х
2
=0.
2
0
Једначина
аx
2
+ c=
0,
c
≠0. Зато што је
а
≠0, ова једначина је еквивалентна са
једначином
х
2
=
.
4
