Машински факултет -Скопје
Домашна работа по нумеричка анализа
(корени на полиноми)
Професор : проф. д-р. Љубица Стефанова
Асистент : доц. д-р Роза Ацеска
Изработил : Димитри Лазаревски
Број на индекс : А1779
Паралелка и насока : В / ЕЕ
Скопје,10 Октомври 2011
Со примена на методот на преполовување,последователни приближувања,Њутн-
Рафсоновиот метод, методот на тетиви и комбинирани методи ги добиваме решенијата
на равенки од типот f(x)=0 , но овие методи може да се искористат и за проближно
одредување корени на полиноми.
Нека е даден полиномот
P(x) = a
o
x
n
+ a
1
x
n-1
+ … + a
n-1
x
+ a
n
, a
0
≠
0
Проблемот се разгледува за определување на границите само за позитивните реални
корени на полиномот, зошто одредување на границите на неговите негативни корени се
сведува на претходниот проблем за полиномот P(-x). ако се λ и μ, λ < μ, границите на
позитивните корени на P(-x) ,тогаш -λ и –μ се границите на негативните корени на P(x).
Теорема : Бројот 1+
к
√
B
/
a
0
e мајорант за позитивните корени на P(x) при што a
o
>0, a
к
е
првиот негативен коефициент на P(x) и B најголемиот (по апсолутна вредност) негативен
коефициент.
Доказ : Претпоставката a
o
>0 не претставува некое ограничување, зошто равенките P(x)=0 и
P(-x)=0 се еквивалентни, така што корените се исти, па ако a
o
<0,во P(x) тогаш ќе го
разгледаме P(-x).
Ако x
o
>0 е корен на P(x), тогаш ќе биде точно
a
o
x
o
n
+ … = - a
k
x
o
n-k
- … (равенка 2)
каде што на левата страна се членовите на полиномот со позитивни коефициенти, а на
десната со негативни.
Ако x
o
> 1+
к
√
B
/
a
0
, ќе добиеме дека (x
o
+1)
к
>
B
a
0
, а оттука
a
o
x
o
n
>
x
0 n
(
x
0
−
1
)
k
(равенка 3)
Доколку се разгледа десната страна на равенка 2
-a
o
x
o
n-к
- ...
≤
B(x
o
n-к
+ …)
≤
B(x
o
n-к
+ x
o
n-к-1
+ … + x
o
+ 1) = B
x o n-к+1
−
1
x o
−
1
¿
B
x o n-к+1
x o
−
1
од x
o
> 1 следува и дека
x o
x o
−
1
> 1, т.е.
x o к-1
(x o
−
1
)
к-1
> 1 ,така што од веќе докажаното
-a
o
x
o
n-к
- ... < B
x o n-к+1
x o
−
1
следува и
