SADRŽAJ
UVOD
2
1. DEFINICIJA I KONVERGENCIJA BROJNIH NIZOVA
3
1.1. Definicija brojnih nizova
3
1.2. Konvergencija brojnih nizova
4
2. VRSTE NIZOVA
7
2.1. Aritmetički niz
7
2.2. Diferencijalne jednačine
10
2.3. Monotoni nizovi. Primena.
11
3. NIZOVI NEODREĐENOG OBLIKA
15
4. GEOMETRIJSKI NIZ
16
4.1. Teorija geometrijskog niza
16
4.2. Primena geometrijskog niza u ekonomiji 18
4.3. Zenonovi paradoksi. Beskonačni geometrijski niz 20
ZAKLJUČAK
23
LITERATURA
24
Nizovi i geometrijski niz
2
UVOD
Cilj ovog seminarskog rada je prezentovanje nizova sa posebnim osvrtom na
geometrijski niz. Тema je veoma kompleksna pa joj se samim tim mora posvetiti posebna
pažnja, njenim se objašnjenjima se mora prići maksimalno odgovorno.
Rad se sastoji iz četiri delova i svaki od njih predstavlja celinu za sebe, i pokušava da
nas zainteresuje problem koji se opisuju.
U prvom delu rada upoznaćemo se sa definicijom i konvergencijom brojnih nizova. U
drugom delu rada upoznaćemo se sa vrstama nizova, iskljucujući geometrijski niz koji će
detaljnije biti analiziran i prezentovan u nekom od sledećih delova rada. U trećem delu rada
upoznaćemo se i kakvi su to nizovi neodređenog oblika. U četvrtom, a samim tim i
poslednjem delu, upoznaćemo se sa teorijom geometrijskog niza i njenom primenom.
Iz svega ovoga proizilazi zaključak, koji će sumarno prikazati sve navedeno, izvedeno
iz analize zadate teme. U završnom delu rada dat je pregled relevantne literature koja je
korišćena prilikom izrade ovog rada.
Nizovi i geometrijski niz
4
1.2. Konvergencija brojnih nizova
Definicija 1.2.1.
Niz (
a
n
) je konvergentan
ako postoji konačan broj
a
∈
R i ako za
svako
ɛ >
0 postoji
N
(
ɛ
)
∈
N tako da je:
za svako
n ≥ N
(
ɛ
). Broj
a
je
granična vrednost
(
granica
,
limes
) niza (
a
n
). U ovom slučaju se
kaže da niz (
a
n
) konvergira ka
a
i piše se:
Definicija 1.2.2
. Niz (
a
n
) je
divergentan
ako nije konvergentan. Pri tome, ako za
svako
M >
0 postoji
N
(
M
)
∈
N tako da je
a
n
≥ M
, odnosno
a
n
≤ - M
za svako
n
∈
N
(
M
),
kažemo da niz
određeno divergira
ka +
∞
, odnosno ka
-∞
, što redom zapisujemo sa
Teorema 1.2.1.
Ako je niz
(
a
n
)
konvergentan, tada je njegova granica jedinstvena.
Dokaz.
Pretpostavimo suprotno, da konvergentan niz (
a
n
) ima dve granice
a ≠
b
.
Takođe, za
ɛ
izaberimo polurastojanje između brojeva
a
i
b
, tj.
Tada iz Definicije 1.2.1. sledi da postoje brojevi
N
1
;N
2
∈
N tako da je:
za svako
n ≥ N
1 i
n ≥ N
2 redom. Ako je
N
∈
N
veći od brojeva
N
1 i
N
2, dalje sledi:
za svako
n
∈
N
, tj.
Nizovi i geometrijski niz
5
Dobijena nejednakost ne može da važi jer je uvek
|b - a|
= |
a - b|
. Odavde zaključujemo da
pretpostavka
a ≠
b
nije tačna, pa tvrđenje teoreme važi. Primetimo da su
N
1 =
N
1(
ɛ
),
N
2 =
N
2(
ɛ
) i
N
=
N
(
ɛ
) konkretni brojevi jer je i
ɛ
konkretno izabran broj.
Ekvivalentno tvrđenje Teoremi 1.2.1 u negiranom obliku je sledeće. Ako niz nema
jedinstvenu granicu, on je divergentan.
Definicija 1.2.3.
Niz (
a
n
) je
nula–niz
ako je:
Teorema 1.2.2.
Ako je niz
(
a
n
)
konvergentan sa granicom
tada je (
b
n
)
= (
a
n
-
a
) nula–niz.
Dokaz. Iz pretpostavke
sledi da za svako
ɛ >
0 postoji broj
N
(
ɛ
)
∈
N tako da je:
za svako
n ≥ N
(
ɛ
). Tada je očigledno i
za svako
n ≥ N
(
ɛ
), tj.
Primer 1
. Za konstantu
C
∈
R
i
n
∈
N
, posmatramo
konstantan niz
sa opštim članom
a
n
=
C
i ispitujemo njegovu konvergenciju.
3
Neka je
ɛ>
0 proizvoljan broj. Kako je
3
Stefanović L.,Ranđelović B.,Matejić M. „Teorija redova“, Studenski kulturni centar Niš, 2010.,str.2-4.
Nizovi i geometrijski niz
7
2. VRSTE NIZOVA
2.1. Aritmetički niz
Realan niz
(
a
n
)
=
(
a
1
, a
2
,
…
, a
n
,
…
)
naziva se aritmetički niz ako je razlika bilo koja
dva susedna člana tog niza konstantna. Drugim rečima, niz
(
a
n
)
je aritmetički ako postoji
realan broj
d
takav da je:
a
2
−
a
1
=
a
3
−
a
2
=…=
a
n
+
1
−
a
n
=…=
d
… (1)
Jednakosti (1) mogu se kraće napisati u obliku:
a
n
+
1
−
a
n
=
d
(
n
=
1,2
,
…)
… (2)
Broj
d
obično se zove razlika aritmetičkog niza
(
a
n
)
.
Primetimo da je aritmetički niz
(
a
n
)
potpuno određen svojim prvim članom
a
1
i
razlikom
d
jer jednoakost (2) daje indukcijsku definiciju niza
(
a
n
)
. Pretpostavimo da su
poznati prvi član
a
1
aritmetičkog niza
(
a
n
)
i njegova razlika
d
. Tada se iz (2) za n=1 dobija,
a
2
, za n=2 dobija se
a
3
itd. U stvari, polazeći od jednakosti (2) nije teško izvesti formula za
opšti član
a
n
aritmetčkog niza
(
a
n
)
. Naime, iz (2) dobijamo:
a
2
−
a
1
=
d
a
3
−
a
2
=
d
⋮
a
n
−
1
−
a
n
−
2
=
d
a
n
−
a
n
−
1
=
d
odakle posle sabiranja, izlazi:
a
n
−
a
1
=(
n
−
1
)⋅
d ,
a
n
=
a
1
+(
n
−
1
)⋅
d
… (3)
Prema
tome,
aritmetički
niz
ima
oblik:
(
a
1
, a
1
+
d , a
1
+
2
⋅
d , a
1
+
3
⋅
d ,
…
, a
1
+
(
n
−
1
)
⋅
d ,
…
)
.
