1
matematički praktikum
VJEROVATNOĆ
A
Zadatak 1.
U kutiji se nalazi 10 bijelih i 5 crnih kuglica. Istovr
emeno se vade dvije kuglice. Naći
vjerovatnoću događ
aja:
A-
izvuč
ene su kuglice iste boje,
B-
izvučene su kuglice različ
itih boja.
Rješenje:
Iz kutije u kojoj je 15 kuglica dv
ije možemo izvuć
i na
2
15
nač
ina. Iz skupa od 10 bijelih kuglica, dvije
možemo izvuć
i na
2
10
nač
ina,
a iz skupa od 5 crnih, dvije možemo izvuć
i na
2
5
nač
ina, pa je
12
11
2
15
2
5
2
10
A
P
,
11
10
2
15
1
5
1
10
B
P
Zadatak 2.
Iz grupe od 10 bračnih parova sluč
ajno se bir
a 8 osoba. Kolika je vjerovatnoća da među
izabranima ne postoji brač
ni par?
Rješenje:
Iz grupe od 20 osoba 8 možemo izabrati na
8
20
načina. Od 10 brač
nih parova treba izabrati 8 ko
ji ć
e dati
po jednog predsavnika, i taj izbor se može napraviti na
8
10
nač
ina. Iz svakog od 8 izabranih parova
predstavnika možemo izabrat
i na 2 načina ( biramo muškarca ili ž
enu) a to je 2
8
nač
ina pa imamo:
8
20
2
8
10
8
A
P
=
091
,
0
Zadatak 3.
U prvoj kutiji se nalaze tri bijele i dvije crne kugl
ice, a u drugoj jedna bijela i č
etiri
crne.
a)
Sluč
ajno se bira kutija i vad
i kuglica. Kolika je vjerovatnoća da je izvač
ena kuglica bijela?
b)
Slič
ajno se bira kutija, vadi kuglica i ona
je bijela. Kolika je vjerovatnoća da je kuglica izvađ
ena iz
prve kutije.
Rješenje:
H
1
-
hipoteza da je kuglica izvađ
ena iz prve kutije, a
H
2
- iz druge kutije,
A -
događaj da je izvađ
ena bijela kuglica.
Jasno je
2
1
H
P
H
P
2
1
. Primj
enom formule totalne vjerovatnoć
e dobijamo:
5
2
5
1
2
1
5
3
2
1
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
A
P
2
2
1
1
Na osnovu Bajesove formule imamo:
4
3
5
2
5
3
2
1
A
P
H
/
A
P
H
P
A
/
H
P
1
1
1
Zadatak 4.
U
svakoj od dvije kutije se nalazi po 10B i 5C kuglica. Iz prve kutije se vadi kuglica i
prebacuje u drugu, zatim se iz druge vadi kuglica i prebacuje u prvu. Na kraju se iz prve kutije vadi kuglica.
Kolika je vjerovatnoć
a da je ta kuglica bijela?
2
matematički praktikum
Rješenje:
Uvedimo hipoteze:
1
H
: BB
16
11
3
2
16
11
15
10
H
P
1
3
2
15
10
H
/
A
P
1
BC
:
H
2
16
5
3
2
16
5
15
10
H
P
2
5
3
15
9
H
/
A
P
2
CB
:
H
3
16
10
3
1
16
10
15
5
H
P
3
15
11
H
/
A
P
3
CC
:
H
4
.
16
6
3
1
16
6
15
5
H
P
4
3
2
15
10
H
/
A
P
4
Ako sa A označimo događaj da je izvuč
ena bijela kuglica, dobijamo:
4
4
3
3
2
2
1
1
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
A
P
5
3
16
5
3
2
3
2
16
11
3
2
+
3
2
3
2
16
6
3
1
15
11
16
10
3
1
Zadatak 5.
U prvoj kutiji se nalazi 10 B , 5 C i jedna zelena kuglica, a u drugoj kutiji je 5 B i 10 C kuglica.
Sluč
ajno se bira jedna kutija i iz nje se po modelu,
bez vraćanj
a, vade
dvije kuglice. Ako su obje izvađ
ene
kuglice bi
jele boje, kolika je vjerovatnoć
a da je izabrana prva kutija?
Rješenje:
A -
obje izvuč
ene kuglice su bijele boje,
H
1
– izabrana prva kutija,
H
2
-
izabrana druga kutija.
Sada je
2
1
H
P
H
P
2
1
,
2
2
1
1
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
A
P
=
14
15
4
5
2
1
15
16
9
10
2
1
21
2
2
1
8
3
2
1
=
336
79
336
16
63
21
1
16
3
Nakon primjene Bajesove formule
79
63
79
8
2
336
3
336
79
8
3
2
1
A
P
H
/
A
P
H
P
A
/
H
P
1
1
1
Zadatak 6.
U prvoj kutiji se nalazi 3B i 2C a u drugoj 3B i 4C kuglica. Iz prve kutije se u drugu prebacuju
dvije kuglice. Nakon toga se iz druge kutije vadi po modulu,
bez vraćanj
a, 5 kuglica.
Naći vjerovatnoću da
se među njima nalaze tač
no tri bijele kuglice.
Rješenje:
A -
događaj da su izvuč
ene tri vijele kuglice.
H
1
–
prebač
ene BB, H
2
–
prebač
ene BC , H
3
-
prebač
ene CC.
,
10
3
2
5
2
3
1
H
P
5
9
2
4
3
5
/
1
H
A
P
5
3
2
5
1
2
1
3
2
H
P
,
5
9
2
5
3
4
/
2
H
A
P
10
1
2
5
2
2
3
H
P
.
5
9
2
6
3
3
/
3
H
A
P
4
matematički praktikum
Sada je
0
H
/
A
P
H
/
A
P
2
1
,
56
1
3
8
3
3
H
/
A
P
3
56
4
3
8
3
4
H
/
A
P
4
56
24
3
8
2
4
1
4
H
P
3
56
4
3
8
3
4
H
P
4
pa je
4
4
3
3
2
2
1
1
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
A
P
392
5
56
40
56
16
56
24
56
4
56
4
56
1
56
24
2
2
2
Zadatak 10.
U prvoj posudi se nalaze 2 bijele i 1 crna kuglica,a u drugoj posudi 1 bijela i 5 crnih kuglica.
Premjestimo jednu kuglicu iz prve u drugu posudu. Zatim izvucimo jednu kuglicu iz druge posude. Ako je
ona bijela, oderediti
vjerovatnoću
da je premještena kuglica bila bijela.
Rješenje:
I – posuda 2 bijela 1 crne
II – posuda 1 bijela 5 crnih
H
1
– premještena je crna kuglica
H
2
– premještena je bijela kuglica
A –
događaj
da je
izvučena
bijela kuglica
3
1
H
P
1
,
3
2
H
P
2
7
1
H
/
A
P
1
,
7
2
H
/
A
P
2
21
5
21
4
21
1
7
2
3
2
7
1
3
1
H
/
A
P
H
P
H
/
A
P
H
P
A
P
2
2
1
1
8
,
0
5
4
21
5
7
2
3
2
A
P
H
/
A
P
H
P
A
/
H
P
2
2
2
Zadatak 11.
Od 12 razli
č
itih pari cipela u ormaru, na slu
č
ajan na
č
in izvla
č
i se 6 cipela. Kolika je
vjerovatno
ć
a da
ć
e se me
đ
u 6 izvu
č
enih cipela na
ć
i bar jedan par iste vrste?
Rješenje:
A - bar jedan par
A
- sve razli
č
ite cipele.
6
24
- ukupan broj mogu
ć
nosti da se iz 12 pari cipela izvu
č
e 6 cipela
6 pari od 12 pari biramo na
6
12
=
924
na
č
ina
Iz jednog para jednu cipelu biramo na dva na
č
ina a iz 6 pari na 2
6
na
č
ina.
439
.
0
10488
4608
6
24
6
12
2
A
P
6
pa je
56
.
0
439
.
0
1
A
P
1
A
P
A
P
1
A
P
-
Vjerovatnoća
suprotnog
događaja
Zadatak 12.
Da li je ve
ć
a vjerovatno
ć
a da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednom pojavi 6 ili da se u 24
bacanja 2 kocke na obje bar jednom pojavi 6.
Rješenje:
4 bacanja 24 bacanja
A - baca se jedna kocka i pala je šestica B - bacaju se 2 kocke i pale su obje 6
A
- nije pala šestica
B
- nisu pale obje šestice
5
matematički praktikum
482
.
0
6
5
A
P
4
508
.
0
36
35
B
P
24
517
.
0
482
.
0
1
A
P
1
A
P
491
.
0
508
.
0
1
B
P
1
B
P
Pa je
B
P
A
P
Zadatak 13.
Pet kuglica raspore
đ
eno je u 10 kutija. Za svaku kuglicu je vjerovatno
ć
a da je ona stavqena u
kutiju ista. Kolika je vjerovatno
ć
a da je 8 kutija prazno?
Rješenje:
Pet kuglica u 10 kutija se može smjestiti na 10
5
na
č
ina.
Od 10 kutija biramo dvije na
2
10
na
č
ina , a 5 kuglica u 2 kutije se može spakovati na
2
2
5
na
č
ina, pa
je
0135
.
0
100000
30
45
10
2
2
2
10
5
5
A
P
Zadatak 14.
Strijelac ga
đ
a istu metu dva puta, a onda još onoliko koliko je pogodaka ostvario u prvoj
seriji. Opiši skup ishoda
i doga
đ
aja A – da je strelac pogodio ciq ne manje od tri puta, B – da je ga
đ
anje
zapo
č
eio pogotkom, C – da je u tre
ć
em ga
đ
anju pogodio metu, D - da je metu pogodio ne više od jednom
Rješenje:
1111
,
1110
,
1100
,
1101
,
101
,
100
,
011
,
010
,
00
1111
,
1110
,
1101
A
1111
,
1110
,
1100
,
1101
,
101
,
100
B
1111
,
1110
,
101
,
011
C
100
,
010
,
00
D
33
.
0
9
3
A
P
,
66
.
0
9
6
B
P
,
44
.
0
9
4
C
P
,
33
.
0
9
3
D
P
Zadatak 15.
Iz špila od 32 karte biraju se 2 karte a) odjednom b) sa vra
ć
anjem. Neka je doga
đ
aj
A – izvu
č
ena je bar jedna dama
B – izvu
č
en je bar jedan pik. Da li su doga
đ
aji A i B nezavisni
Rješenje:
Doga
đ
aji su nezavisni ako vrijedi:
B
A
P
B
P
A
P
(*)
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
a) A – izvu
č
ena je bar jedna dama B – izvu
č
en je bar jedan pik
A
- nama dame
B
- nema pika
762
.
0
2
32
2
28
A
P
238
.
0
762
.
0
1
A
P
1
A
P
556
.
0
2
32
2
24
B
P
444
.
0
B
P
1
B
P
42
.
0
2
32
2
21
B
A
P
58
.
0
42
.
0
1
B
A
P
1
B
A
P
1
.
0
58
.
0
44
.
0
24
.
0
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
105
.
0
444
.
0
238
.
0
B
P
A
P
B
A
P
B
P
A
P
pa su doga
đ
aji zavisni
