studenti.rs home page

MATEMA TIKA 

ODABRANA POGLAVLJA  

MATEMATIČKA INDUKCIJA, FUNKCIJE, IZVODI 

 

 

B A H R U D I N   H R N J I C A  

B I H A Ć   1 9 9 6 ,   R E P R I N T   2 0 1 0  

2

   

Bahrudin Hrnjica 

  MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA 

www.bhrnjica.wordpress.com 

 

 

2 

 

 
 

 

 

 

 

 

background image

4

 

Predgovor

 

Bahrudin Hrnjica 

  MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA 

www.bhrnjica.wordpress.com 

 

 

4 

 

Sadržaj 

 
 

Predgovor ................................................................................... 3

 

 

Matematička indukcija ....................................... 6

 

1.1

 

Teorija o matematičkoj indukciji ...................... 7

 

1.2

 

Primjer primjene matematičke indukcije....... 10

 

1.3

 

Zadaci za praktičnu primjenu matematičke indkucije  13

 

1.4

 

Zadaci za samostalan rad uz povremeno gledanje rješenja  27

 

1.5

 

Rješenja zadataka za samostalan rad .............. 29

 

 

 

Funkcije .............................................................. 31

 

2.1

 

Pojam funkcije................................................... 32

 

2.2

 

funkcije jedne nezavisno promjenjive ........... 33

 

2.2.1

 

Način izražavanja funkcije ................................... 34

 

2.2.2

 

Osobine funkcije .................................................... 35

 

2.2.3

 

Inverzina funkcija ................................................. 43

 

2.2.4

 

Složena Funkcija .................................................. 45

 

2.2.5

 

Funkcija zadana u parametarskom obliku ............ 46

 

2.3

 

Pregled osnovnih elementarnih funkcija ....... 48

 

2.3.1

 

Nešto iz historije ................................................... 48

 

2.3.2

 

Linearna funkcija (jednačina pravca) ..................... 52

 

2.3.3

 

Kvadratna funkcija ............................................... 53

 

2.3.4

 

Kubna funkcija ..................................................... 54

 

2.3.5

 

Stepena funkcija .................................................... 54

 

2.3.6

 

Eksponencijalne funkcije ....................................... 55

 

2.3.7

 

Logaritamska funkcija .......................................... 56

 

2.3.8

 

Hiperbolne funkcije ............................................... 57

 

2.3.9

 

Trigonometrijske funkcije....................................... 60

 

2.3.10

 

Arkus funkcije ...................................................... 60

 

 

 

Izvod funkcije.................................................... 63

 

3.1

 

Povijest izvoda .................................................. 64

 

3.1.1

 

Konstrukcija tangente ............................................ 64

 

3.1.2

 

Srednja i trenutna brzina ...................................... 67

 

3.2

 

Pojam IzvodA funkcije .................................... 68

 

3.3

 

Izvodi Elementarnih Funkcija ........................ 70

 

3.3.1

 

Izvod algebarskog zbira dvije funkcije .................... 73

 

3.3.2

 

Izvod prooizvoda i količnika dvije funkcije ............ 74

 

3.3.3

 

Izvodi trigonometrijskih funkcija ........................... 78

 

3.3.4

 

Izvod inverzne funkcije .......................................... 80

 

3.3.5

 

Izvod hiperbolnih funkcija ..................................... 84

 

3.3.6

 

Tablice pravila i osnovnih izvoda ........................... 86

 

3.4

 

Diferencijal funkcije ......................................... 87

 

3.5

 

Geometrijska interpretacija direfencijala ....... 90

 

3.6

 

Izvod drugog i viših redova ............................ 94

 

3.6.1

 

Izvodi funkcija datih u parametarskom obliku ...... 98

 

3.6.2

 

Mehanička interpretacija drugog izvoda ................. 99

 

3.6.3

 

Diferencijali višeg reda .........................................100

 

 

5

 

Predgovor

 

Bahrudin Hrnjica 

  MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA 

www.bhrnjica.wordpress.com 

 

 

5 

 

 

 

background image

7

 

Matematička indukcija

 

Bahrudin Hrnjica 

  MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA 

www.bhrnjica.wordpress.com 

 

 

7 

 

1.1

 

TEORIJA O MATEMATIČKOJ INDUKCIJI 

 

eki  studenti  i  srednjoškolci  pri  prvom  susretu  sa  matematičkom  indukcijom 
dobiju  nekakav,  nazvao  bih  »induktivni  otpor«  u  moždanoj  zavojnici.  Radi 

smanjivanja i potpunog uklanjanja induktivnog otpora predlažem vam slijedeće. 

 

» Zaboravite sve što ste znali, do sada, o Principu matematičke indukcije!«.

 

 

Kada ste obrisali i uklonili sve moždane vijuge glede matematičke indukcije, uvest ću vas 
u  nju  jednim  drugim  u  biti  istim  putem.  Prije  nego  što  krenem  u  tu  čudesnu  i 

nevjerovatnu  stvarnost  ispričat  ću  vam  priču  ko  je  kriv  za  to  što  nemate  sna,  i  za  sve 
noćne more koje dobijate od matematičke indukcije. 

 
Sve je počelo ne tako davno, negdje blizu 20-tog stoljeća, kada je L. Peano  ljetovao oko 

Venecije.  U  to  doba  dosta  se  govorilo  o  brojevima,  posebno  na  gradskim  trgovima  i 
pijacama. Ali Peana, kao matematčara, nije zanimalo koliko šta košta, nego nešto sasvim 

drugo.  On  je  razmišljao  o  tome  kako  sve  te  brojeve,  koji  su  tako  često  u  razgovoru  i 
upotrebi, definiše i zasnuje na matematičkim osnovama, odnosno kako brojeve definisati 

pomoću jednog zatvorenog neproturiječnog i konačnog skupa aksioma.  
 

Jednog dana tako je i bilo... 
 

Definicija 1: 

Skupom Prirodnih bojeva zovemo svaki skup N za čija ma 
koja dva elementa 

?

 i 

?

′

 postoji odnos da 

?

′

 slijedi poslije 

?

, i 

koji zadovoljavaju slijedeće aksiome. 

 

Aksioma 1: 

1 je prirodan broj.  

( To je revolucionarno otkriće koje je mali korak za ljude sa trga, a 
veliki za Peana) 

 

Aksioma 2: 

Svaki prirodan broj 

?

 ima svoj slijedeći broj 

?

′

. 

 

 

Aksioma 3: 

?

′

≠ 1

. (Ili,  jedan nije slijedeći broj ni za koji prirodan broj) 

 

Aksioma 4: 

?

′

= ?

′

→ a = b

. Dva prirodna broja su jednaka ako su im 

jednaki njihovi sljedeći brojevi.

 

 
 

Napomena: Ova aksioma proizašla je nakon napornog rada na njivi gdje je Peano 
brao tek sazreli limun. »I limun je žut, zar ne«.  

 

N 

Želiš da pročitaš svih 100 strana?

Prijavi se i preuzmi ceo dokument.

Prijavi se Napravi nalog

Ovaj materijal je namenjen za učenje i pripremu, ne za predaju.

Slični dokumenti