1.
Osnovni pojmovi
matri ˇcne algebre
U ovom dijelu definirat ´ce se osnovni pojmovi matriˇcne algebre i navesti neka osnovna
svojstva matrica koja se koriste u daljnjem tekstu. Eksplicitni dokazi navedenih tvrdnji,
kao i detaljniju analizu navedenih pojmova, mogu´ce je na´ci u ve´cini knjiga o linearnoj
algebri, vidi na primjer Stang (2003.), Kurepa (1978.), Horvati´c (2004.) i drugi.
1.1. Pojam matrice i osnovne matri ˇcne operacije
Matrica
Matrica reda m
·
n je pravokutno polje (tabela, shema) elemenata od m redaka i n stupaca,
a zapisuje se:
A
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
..
.
..
.
a
k1
a
k2
. . . a
kn
..
.
..
.
..
.
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= [
a
ij
]
,
i
=
1
,
2
, . . . ,
m
j
=
1
,
2
, . . . ,
n
.
(1.1)
•
•
PRIMJER 1.1.
Primjeri matrica su i matrica x
= [
1
5
9
]
koja se naziva i vektor redak i matri-
ca y
=
⎡
⎣
76
51
28
⎤
⎦
koja se naziva i vektor stupac. Matrica B
=
1
7
3
2
8
4
je matrica
reda 2
·
3 .
Transponirana matrica
Za danu matricu A reda m
·
n transponirana matrica A
(ponekad se koristi i oznaka
A
T
) je matrica reda n
·
m koja se dobije zamjenom redaka i stupaca polazne matrice A .
1
1. Osnovni pojmovi matriˇcne algebre
•
•
PRIMJER 1.2.
Transponirana matrica matrice A
=
1
2
3
−
2
5
4
je matrica A
=
A
T
=
⎡
⎣
1
−
2
2
5
3
4
⎤
⎦
.
Za matricu y
=
⎡
⎣
1
6
7
⎤
⎦
, transponirana matrica je y
=
y
T
= [
1
6
7
]
, tj. vektor
stupac “postaje” vektor redak.
•
•
NAPOMENA 1.1.
Uobiˇcajeno je da se vektor stupac ozna ˇcava bez oznake transponiranja (
ili
T
), a
vektor redak s oznakom transponiranja. Naime vektor redak smatra se transponiranim
vektorom pridruˇzenog vektor stupca, kao ˇsto je dano u primjeru 1.2.
Jednakost matrica
Jednakost matrica A
= [
a
ij
]
i B
= [
b
ij
]
mogu´ce je definirati ako i samo ako su matrice
istog reda, tj. imaju jednak broj stupaca i redaka. U tom slu ˇcaju, matrice A i B reda m
·
n
su jednake ako je za svaki i
=
1
, . . . ,
m i za svaki j
=
1
. . . ,
n :
a
ij
=
b
ij
.
(1.2)
Jednakost matrica ozna ˇcava se A
=
B .
Zbroj matrica
Ako su matrice A i B reda m
·
n , zbroj matrica A
+
B je matrica C reda m
·
n , za koju
vrijedi:
c
ij
=
a
ij
+
b
ij
,
i
=
1
, . . . ,
m
i
j
=
1
, . . . ,
n
.
(1.3)
Razlika matrica
Ako su matrice A i B reda m
·
n , razlika matrica A
−
B je matrica D reda m
·
n , za koju
vrijedi:
d
ij
=
a
ij
−
b
ij
,
i
=
1
, . . . ,
m
i
j
=
1
, . . . ,
n
.
(1.4)
•
•
PRIMJER 1.3.
Za matrice A
=
1
2
3
4
i B
=
1
1
1
1
zbroj matrica je matrica C
C
=
A
+
B
=
1
2
3
4
+
1
1
1
1
=
2
3
4
5
,
2
1. Osnovni pojmovi matriˇcne algebre
•
•
PRIMJER 1.5.
Umnoˇzak matrica A
=
2
1
4
−
1
3
1
i B
=
⎡
⎣
2
0
−
1
1
1
1
⎤
⎦
moˇze se definirati jer
matrica A ima tri stupca ˇsto je jednako broju redaka matrice B , tj.
A
2
·
3
B
3
·
2
=
C
2
·
2
.
(1.11)
Umnoˇzak matrica A i B , matrica C , jednak je:
C
=
AB
=
2
1
4
−
1
3
1
⎡
⎣
2
0
−
1
1
1
1
⎤
⎦
=
2
·
2
+
1
·
(
−
1
) +
4
·
1
2
·
0
+
1
·
1
+
4
·
1
(
−
1
)
·
2
+
3
·
(
−
1
) +
1
·
1
(
−
1
)
·
0
+
3
·
1
+
1
·
1
=
7
5
−
4
4
.
(1.12)
Skalarni umnoˇzak (produkt) vektora
Neka su x i y vektori reda n (matrice reda n
·
1 ), tj. x
= [
x
1
· · ·
x
n
]
i y
=
[
y
1
· · ·
y
n
]
. Skalarni umnoˇzak (produkt) vektora x i y je:
x
,
y
=
x
y
= [
x
1
· · ·
x
n
]
·
⎡
⎣
y
1
..
.
y
n
⎤
⎦
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
· · ·
+
x
n
y
n
=
n
i
=
1
x
i
y
i
.
(1.13)
•
•
NAPOMENA 1.2.
Iz (1.13) slijedi da je skalarni umnoˇzak vektora x sa “samim” sobom:
x
,
x
=
x
x
=
x
2
1
+
x
2
2
+
. . .
+
x
2
n
=
n
i
=
1
x
2
i
,
a vrijednost:
(
x
,
x
)
1
/
2
=
x
2
1
+
x
2
2
+
. . .
+
x
2
n
=
n
i
=
1
x
2
i
=
x
(1.14)
naziva se euklidskom normom (ili L
2
normom) vektora x i ozna ˇcava se
x
.
4
1.1. Pojam matrice i osnovne matriˇcne operacije
•
•
PRIMJER 1.6.
Skalarni umnoˇzak vektora x
= [
1
5
−
1
3
]
i y
= [
4
0
3
1
]
je broj:
x
,
y
=
x
y
=
4
i
=
1
x
i
y
i
= [
1
5
−
1
3
]
·
⎡
⎢
⎣
4
0
3
1
⎤
⎥
⎦
=
1
·
4
+
5
·
0
+ (
−
1
)
·
3
+
3
·
1
=
4
.
(1.15)
Kvadratna matrica
Matrica A reda m
·
n je kvadratna ako je broj redaka matrice jednak broju stupaca, tj. ako
je m
=
n . Za takvu matricu kaˇze se da je reda n .
•
•
PRIMJER 1.7.
Matrica A
=
1
1
1
0
je kvadratna matrica drugog reda.
Simetri ˇcna matrica
Kvadratna matrica A reda n je simetriˇcna ako je A
=
A
, tj. ako je:
a
ij
=
a
ji
,
za svaki i
,
j
=
1
, . . . ,
n
.
(1.16)
•
•
PRIMJER 1.8.
Matrica A
=
⎡
⎣
0
1
2
1
2
3
2
3
−
1
⎤
⎦
je simetriˇcna, jer je A
=
A
.
Za sve kvadratne matrice A i B jednakog reda su umnoˇsci AB i BA dobro definirani, ali
je op´cenito:
AB
=
BA
.
(1.17)
•
•
PRIMJER 1.9.
Za kvadratne matrice A
=
1
1
1
0
i B
=
0
2
1
0
vrijedi:
AB
=
1
2
0
2
i BA
=
2
0
1
1
,
tj. AB
=
BA
.
(1.18)
Op ´cenito: Komutativnost mnoˇzenja matrica ne vrijedi za proizvoljne matrice A i B reda
m
·
n i n
·
m .
5
