LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
UVOD
Sistemi linearnih jednačina spadaju među najstarije matematičke probleme, i imaju
mnoge primene, kao što su obrada digitalnih signala, procene, predviđanje, kao i linearno
programiranje, i aproksimacija nelinearnih problema u numeričkoj analizi. Postoji mnogo
načina da se reši sistem linearnih jednačina kao što su Gausov postupak ,
Kramerova
metoda itd...
Uopšteno, sistem sa
m
linearnih jednačina i
n
nepoznatih se zapisuje na sledeći način:
gde su
nepoznate, a brojevi
su koeficijenti sistema.
DEFINICIJE I REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
Definicija:
Jednačinu sa
n
promenljivih
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+
...
+ a
n
x
n
= b
gde koeficijenti
a
i
nisu svi istovremeno 0, nazivamo linearnom algebarskom jednačinom;
njena leva strana je linearna forma sa
n
promenljivih.
Skup rešenja ove jednačine je skup svih
n–
torki brojeva (
x
1
,
x
2
, ... ,
x
n
) koje tu
jednačinu identički zadovoljavaju.
1
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Definicija:
Sistem od
m
³
2 linearnih algebarskih jednačina sa
n
³
2 promenljivih
x
1
,
x
2
, ... ,
x
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+
...
+ a
1
n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+
...
+ a
2
n
x
n
= b
2
...................................................
a
m
1
x
1
+ a
m
2
x
2
+
...
+ a
mn
x
n
= b
m
nazivamo nehomogenim sistemom ako slobodni članovi
b
i
nisu svi istovremeno 0, u
suprotnom je homogen.
Skup rešenja ovog sistema jednačina je skup svih
n–
torki brojeva (
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
) koje
identički zadovoljavaju sve jednačine sistema.
Zapisi sistema:
Skraćeni zapis sistema:
Matrični zapis sistema:
, odnosno
AX=B
.
Matrica
A
je matrica sistema, a matrica
je proširena matrica sistema.
Postoje sledeće mogućnosti u smislu rešavanja sistema:
1. Sistem nema ni jedno rešenje – nesaglasan je;
2. Sistem ima jedinstveno rešenje
– saglasan je.
3. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja
KRAMEROVA TEOREMA
Ako je determinanta
D
sistema od
n
nehomogenih jednačina sa
n
promenljivih različita
od nule, tada taj sistem ima jedinstveno rešenje
x
j
= D
j
/D
,
gde je
D
j
determinanta koja se
2
