SEMINARSKI RAD
IZ
MATEMATIKE
TEMA:
Matematička logika
Vektori
Pojam i vrste numeričkih funkcija
Linearna zavisnost
Izvodi i diferencijali funkcija sa jednim argumentom
Prof. dr. Esad Jakupović
Kiseljak,2014. Godine
MATEMATIČKA LOGIKA
Osnovno sredostvo sporazumjevanja među ljudima je jezik. Razlikujemoviše vrsta jezika
sporazumjevanja, kao što su npr. slikarski, muzički, govorni književni jezik. Matematički jezik je
najviši oblik naučnog jezika. Matematici je potreban jezik pomoću koga se sporazumjevamo bez
dvosmislenosti i nedoriječnosti. Najsličniji matematičkom jeziku su govorni književni jezik.
Osnovu u matematičkom jeziku čine izrazi ili termini, a najprostiji matematički izrazi su
konstante i promjenjive.
Konstante
su potpuno određeni matematički objekti, tj. veličine kojima sevrijednost ne mijenja,
npr. 0; 2; 2/3;
Promjenjive
su simboli koji mogu predstavljati bilo koji element iz nekogdatog skupa. Dati skup
se naziva oblast definisanosti promjenjive.
Vrijednost matematičkog izrazi je konstanta koja se dobije nakon što se u izrazu svi simboli
promjenljivih
zamjene odgovarajućim vrijednostima (konstantama) i izvrše naznačene operacije.
Matematičke formule
su rečenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih
ne može, nedvosmisleno i jednoznačno, utvrditi vrijednost istinitosti.
Za prve važe ovi principi:
1. principi uključenja trećeg, što znači da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit,
2. princip kontradikcije, što znači da nema iskaza koji je i istinit i neistinit.
Matematičke formule koje sadrže promjenjive kojima vrednost nije definisana i za koje se zbog
toga ne može jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti
su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne formule, iskaznefunkcije ili
predikati
.
Predikati
postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenljivih uvrste konstante,
tj, vrijednosti promjenljivih, Za predikate sa jednom, dve, tri, itd, promjenljivih se kaže da su
dužine: jedan,dva, tri, itd
Stav
je u matematici naziv za tačan iskaz.
NAPOMENA:
Vezivanjem prostih iskaza, označenih iskaznim slovima p, q,..., pomoću znakova logičkih
operacija dobili smo složenije iskaze. Vezujući ove složene iskaze pomoću znakova logičkih
operacija dobijamo još složenije. Svi ovi iskazi se nazivaju
iskazne formule
ili logičke formule.
Uobičajeno je da se iskazne formule definišu ovako:
1. Iskazna slova su iskazne formule.
2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A
∧
B), (Av B), (A
⇒
B), (A
⇔
B), ┐a takođe iskazne
formule.
3. Iskazne formule mogu se obrazovati samo konačnim brojem primjena 1) i 2), uz mogućnost
korišćenja konvencije o brisanju zagrada.
Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj.
Objašnjenje nekih značajnijih pojmova u vezi s rasuđivanjima i dokazivanjima
u matematici:
Definicija
je rečenica, ili skup rečenica, kojom se određuje sadržina nekog pojma.
Pojam
je misaoni sadržaj termina ili simbola. Razlikujemo osnovne iizvedene pojmove. Osnovni
pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same posebi bez potrebe da se objašnjavaju nekim
drugim pojmovima.
Izvedeni pojmovi su oni pojmovi koje objašnjavamo pomoću osnovnih I drugihizvedenih
pojmova.
Pretpostavke
su rečenice od kojih se polazi kao tačnih u nekomrasuđivanju.
Posledice
su rečenice koje su, iz pretpostavki, dobijene logičkimrasuđivanjem i zaključivanjem.
Aksiome
su polazne rečenice koje se po dogovoru uzimaju kao tačne i čijase istinitost ne
dokazuje.
Teoreme
su izvedene rečenice zasnovane na aksiomima ili prethodnodokazanim tvrdnjama.
Dokaz
je put logičkog rasuđivanja i zaključivanja od pretpostavki od posljedica tj. niz koraka od
kojih je svaki korak ili aksioma ili već dokazanateorema
VEKTORI
Za veličine koje definišemo (određujemo) samo brojnom vrijednošću kažemo da su skalarne
veličine ili kraće
skalari
. Prema tome, svaki bioj se može smatrati skalarom. Veličine koje se tako
određuju su npr.dobit određenog preduzeća u određenom periodu, površina ili zapremina
poslovnog ili drugog prostora, i dr.
Za veličine koje određujemo brojnom vrijednošću, pravcem i smjerom kažemo da su
vektorske
veličine
ili kraće
vektori
. Vektore možemo predočiti u geometrijski i analitički (numerički). Za
izučavanje ekonomije
je značajnije analitičko predstavljanje vektora, ali ih je za njihovo dobro
razumjevanje potrebno geometrijski
objasniti.
U geometriji se vektor definiše kao orijentisana (usmjerena) duž sa slijedećim elementima:
Dužinom,intenzitetom, modulom ili apsolutna vrijednostću, tj. rastojanjem između krajnje i
početne tačke određene brojnom vrijednošću.(sl.1)
(sl.1)
Razlikujemo: vektore vezane za tačku, vektore vezane za pravu i slobodne vektore.
Vektori vezani za tačku imaju istu početnu tačku, a jednaki su ako su im moduli isti, nosači isu i
smjerovi isti.
Vektori vezani za pravu se ne mogu odvojiti od prave - nosača, a jednaki su ako imaju iste
module i iste smjerove.
Slobodni vektori su jednaki ako imaju iste module i smjerove, a leže na istoj ili paralelnim
pravama.
