UNIVERZITET SINGIDUNUM

Prof. dr Jovan S. Rašeta

FINANSIJSKA I

AKTUARSKA

MATEMATIKA

Peto izdanje

Beograd, 2009.

S A D R Ž A J

Prvi deo

Finansijska matematika

ELEMENTARNI POJMOVI
procenti, promili, glavnica, kamatna stopa, interes . . . . . . . . . . . . 3

I. Prost interesni raun

1. Budua vrednost sa prostim interesom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Sadašnja vrednost u prostom interesnom raunu . . . . . . . . . . 14

3. Delimina plaanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Prost interesni raun u kreditnim poslovima . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Izjednaene vrednosti - ekvivalenti (srednji rok plaanja) . . . 19

II. Diskontni raun

1. Osnovne relacije eskonta i diskonta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Relacije izmeu prostog interesa i prostog diskonta . . . . . . . . 26

III. Podruja primene teorije prostog interesa

1. Lombardni raun (založni zajam) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Tekui (poslovni) raun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Potrošaki krediti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Eskontovanje i prolongacija menica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III

IV. Složeni interes

1. Faktor akumulacije (izraunavanje krajnje vrednosti kapitala) . . 51

2. Faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaivanju . . . . . . . . 56

3. Relativna i konformna kamatna stopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Diskontni i eskontni faktor u složenom interesu . . . . . . . . . . . 60

5. Hipotekarni krediti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Sukcesivna plaanja (uplate i isplate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1. Faktor dodajnih uloga (III - nansijske tablice) . . . . . . . . 63

6.1.1. Ulaganje eše od obraunavanja interesa . . . . . . . . . 66

6.1.2. Ulaganje ree od obraunavanja interesa . . . . . . . . . 67

6.1.3. Promenljivi ulozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2. Faktor aktuelizacije (IV tablice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Vežbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7. Otplata zajmova i kredita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.1. Izrada plana otplate zajma sa jednakim anuitetima . . . . . 77

7.2. Izrada plana otplate zajma sa jednakim otplatama
(sa nejednakim anuitetima) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8. Konverzija dugova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V. Pojedinosti

1. Donošenje investicionih odluka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.1.

Rizik izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.2. Metode ocene e kasnosti investicionih ulaganja . . . . . . . 98

1.3. Kompjuterizovane nansijske funkcije . . . . . . . . . . . . . 103

1.4. Kompleksno vrednovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Drugi deo

Aktuarska matematika

1. Osiguranje života pojam i znaaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2. Osnovni principi osiguranja života . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3. Vrste osiguranja života . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4. Formiranje tarifa u osiguranju života . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6. Funkcija raspodele i zakon verovatnoe rizika . . . . . . . . . . . 236

6.1. Binomna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2. Poisonova raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.3. Eksponencijalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.4. Geometrijska, paskalova i negativna binomna raspodela . . 242

6.5. Ravnomerna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.6. Normalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.7. Gamma raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7. Model kolektivnog rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8. Simulacije osiguranih sluajeva u vremenu . . . . . . . . . . . . . 262

8.1. Analiza rizinosti portfelja - modeliranje
uestalosti i iznosa šteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.2. Uloga i znaaj formiranja rezervi u osiguranju . . . . . . . 270

8.3. Simuliranje promena u rezervama . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.4. Solventnost i samopridržaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.5. Potrebna rezerva u relaciji sa strukturom portfelja . . . . . 288

8.6. Pojedinosti iz poslovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9. Stohastiki aspekti rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

9.1. Dinamika ravnoteža rizika u vremenu i prostoru . . . . . 299

9.2. Promene rizinosti portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3. Održavanje stabilnosti portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

9.4. Procena nastalih neprijavljenih šteta . . . . . . . . . . . . . . . 311

9.5. Franšiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10. Reosiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

TABLICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

P R E D G O V O R

Ovo je drugo izdanje udžbenika koji je pripremljen za studente UNIVER-

ZITETA SINGIDUNUM - Fakultet za nansijski menadžment i osiguranje u Be-
ogradu, za predmet Finansijska i aktuarska matematika, kao i za master – posle
diplomske studije.

Prvo izdanje ovog udžbenika je štampano 2005 godine i sada je u izvesnoj

meri izmenjeno, uglavnom u prvom i treem delu.

Autor je imao u vidu pre svega osnovne ciljeve: obrazovni i vaspitni,

pa je gradivo u ovoj knjizi obradio prema programu Nastavno-naunog vea
fakulteta. U toku jednog semestra, trebalo bi da studenti shvate kvantitativne
nansijske odnose a sa druge strane da uvide mesto, ulogu i znaaj nansijskih
i aktuarskih kvanti kacija u rešavanju ekonomskih zadataka. Udžbenik je kon-
cipiran tako da odgovori tim ciljevima i da može da se koristiti kao prirunik
posle završenih studija.

Osnovu gradiva u ovom udžbeniku ine dve grane primenjene matematike

u kojima se operiše sa promenama vrednosti novca u vremenu: nansijska i aktu-
arska matematika. Zbog spajanja u jednu celinu izvršeno je znatnije reduciranje
gradiva na najvažnije oblasti.

Finansijska matematika tretira i obrauje zadatke u kojima se novane vred-

nosti, u nansijskim tokovima, menjaju u vremenu sa kvanti kovanjem interesa
za koji se razlikuje poetna od krajnje vrednosti nekog kapitala.

Aktuarska matematika, u širem smislu, predstavlja primenu matematike

statistike i teorije stohastikih procesa u osiguranju imovine i lica. U užem smi-
slu ona se ograniava na primenu teorije verovatnoe i nansijske matematike u
osiguranju života.

Opšti i aktuarski aspekti neživotnog osiguranja izloženi su u treem delu,

dok su aspekti matematike osiguranja života (aktuarska matematika) izloženi u

VII

PRVI DEO

FINANSIJSKA

MATEMATIKA

Kod procentnog rauna sve veliine su povezane proporcijom

G : P = 100 : p

Gde je: G - glavnica

P - uveanje glavnice (prinos ili prihod)

p - procenat

Obraun uveane glavnice, odnosno krajnje vrednosti kapitala, naziva se

kapitalizacija.

Kod prostog interesnog rauna, proporcija koja povezuje veliine je druga-

ija od gore navedene proporcije procentnog rauna

K : i = 100 : pg

Gde je: K - kapital (glavnica)

i - interes (kamata)

p - procenat

g - vreme u broju godina

U privrednom poslovanju, kao i u svakodnevnoj praksi, vrši se promet nov-

ca i novanih vrednosti i uspostavljaju dužniko poverilaki i kreditni odnosi.

U novanom prometu, dolazi do plaanja ili deponovanja (ulaganja) novca.

Transakcije (plaanja) se vrše tokom vremena.Uložen novac u banku po protoku
nekog vremenskog perioda donosi interes.

Kod prostog obrauna interesa, interes izražen u procentu od jedinice uloga

nazivamo kamatnom stopom.

Novac i novane vrednosti nisu stalne ve se menjaju u vremenu. Promenu

vrednosti novca u vremenu izražava interes, kao razlika izmeu poetne i krajnje
vrednosti kapitala.

Do pojave kompjutera, obraun interesa odnosno izraunavanja u vezi sa

interesom, vršila su se korišenjem pomonih - nansijskih tablica.

Izraunavanje interesa u kompjuterskoj eri vrši se automatski, preko odgo-

varajuih programskih aplikacija (softvera).

Veliki broj prirunih kalkulatora ima nansijske funkcije sa kojim, ako

znamo algoritam, možemo vršiti razna izraunavanja radi rešavanja i vrlo slo-
ženih zadataka.

Jugoslovensko bankarstvo - Kamatne i anuitetne tablice, Beograd, 1973.

Meutim, bez obzira na tehnika sredstva sa kojima vršimo izraunavanja,

moramo znati smisao i svrhu izraunavanja.

Interes je promenljiva veliina, koja zavisi:

a) od iznosa glavnice i naina (dinamike) deponovanja,

b) od trajanja perioda deponovanja

c) od visine i vrste kamatne stope.

d) d naina obrauna interesa

Glavnica K (kapital) je poetna vrednost koju poverilac pozajmljuje odno-

sno na koju dužnik plaa poveriocu interes (kamatu).

Interesna stopa (p) poveava glavnicu za godinu dana, odnosno za obraun-

ski period, i stoga je vrednost novca promenljiva veliina.

Ona pokazuje koliko novanih jedinica dužnik plaa na svakih 100 jedinica

kapitala za godinu dana.

Dodavanje interesa kapitalu (glavnici) naziva se kapitalisanje.
Kapitalisanje se vrši istekom vremena upotrebe kapitala, koje može biti u

godinama, mesecima ili danima.

Kada je kapitalisanje godišnje, uz kamatnu stopu se navodi oznaka (pa) što

je skraenica od per annum, za polugodišnje kapitalisanje oznaka je (ps) od per
semestre, za tromeseno kapitalisanje (pq) od per quartale i za meseno (pm) od
per mensem.

Ukoliko se kapitalisanje i pripisivanje interesa vrši poetkom perioda re je

o anticipativnom obraunu, a ukoliko se kapitalisanje i pripisivanje interesa vrši
krajem perioda, re je o dekurzivnom obraunu.

Uobiajeno je takoe da se, ulaganja poetkom perioda nazivaju anticipativ-

nim a ulaganja krajem perioda dekurzivnim.

Interesna stopa može biti prosta ili složena, tako da govorimo o prostom ili

složenom kapitalisanju (ukamaivanju ili obraunavanju interesa).

Složeni interesni raun imamo kada se posle svakog perioda ukamai-

vanja interes pripisuje glavnici tako da se u sledeem obraunu obraunava i
interes na interes.

Prost interesni raun

obeležavamo, naješe sa G (poetno slovo od glavnice) u prostom interesnom
raunu, i sa K

u složenom interesnom raunu.

U anglosaksonskoj praksi, poetni kapital se obeležava sa P (principal) ili

PV (present value).

Isto je i kod kamatne stope, koja može biti u obliku procenta (p%), ili u obli-

ku interesne stope (i), pri emu je i = p/100.

Na primer ako je data kamatna stopa 5% , pretvaranjem u interesnu stopu

(koja je u obliku koe cijenta), znai da 5 treba da podelimo sa 100, tako da je, u
ovom primeru

i= 5/100 = 0,05

Korišenjem interesne stope, kao oblika izražavanja kamatne stope, dobija-

mo jednostavnije obraune interesa, jer se smanjuje broj raunskih operacija.

Interesna stopa i nije ništa drugo do interes koji se ostvaruje na jedinicu ka-

pitala. Prema tome, ako je poetni kapital P=1 tada je I= i.

Kada dužinu trajanja plasmana kapitala (uloga) iskazujemo u diskretnim je-

dinicama vremena, preglednije je da koristimo oblik razlomka t = broj diskretnih
jedinica / vremenski period.

Ako je vremenski period godina, onda imenilac u razlomku ima vrednost 1

kada brojilac izražava broj godina trajanja plasmana.

Na primer, trajanje plasmana 3 godine t= (3/1)
Ako je vremenski period semestar (šest meseci), onda imenilac ima

vrednost 2.

Na primer, trajanje plasmana 4 semestra (dve godine) t= (4/2)
Ako je vremenski period kvartal (tri meseca), onda imenilac ima vrednost 4
Na primer dva kvartala t= (2/4) = ( ½ ), ( jedan semestar ili pola godine)
Ako je vremenski period mesec, onda imenilac ima vrednost 12.
Na primer 5 meseci t= (5/12)
Ako je vremenski period dan, onda imenilac ima vrednost 365 ili 366 (eg-

zaktno vreme) ili 360 (uprošena godina)

Na primer 23 dana t=(23/365)
Kada na napred navedeni nain izrazimo interesnu stopu i dužinu trajanja

plasmana kapitala, izraunavanje interesa je znatno lakše i preglednije.

Kada se ulaže poetni kapital na poznati rok sa poznatom interesnom sto-

pom, iznos interesa (I) se izraunava po formuli

I=Pit

Iz ove osnovne formule lako izraunavamo bilo koju veliinu kada su ostale

tri poznate.

Poetni kapital se izraunava kada se iznos interesa podeli sa interesnom

stopom i trajanjem ulaganja.

P = I/it

Interesna stopa se izraunava kada iznos interesa podelimo sa poetnim ka-

pitalom i trajanjem ulaganja

i= I/ Pt

Trajanje ulaganja se izraunava kada iznos interesa podelimo sa poetnim

kapitalom i interesnom stopom

t= I/Pi

Vreme u anglosaksonskom prostom interesnom raunu može biti:

1) egzaktno zadato vreme (Exact Time) sa brojem dana trajanja perioda

od ulaganja do obrauna, osim prvog dana kada je ulog stavljen pod
interes.

2) Aproksimativno vreme ( Approximate Time) kada se svaki mesec rauna

sa trajanjem 30 dana.

Isto tako se razlikuje i nain odreivanja prostog interesa:

1) Obian interes kada se izraunavanje vrši sa trajanjem jedne godine 360

dana

2) Egzaktan interes kada se izraunavanje vrši za taan broj dana u godini

365 ili 366 dana kada je godina prestupna.

Na ovaj nain dobijamo dva pravila obrauna u prostom interesnom raunu:

1) Bankarsko pravilo ( Banker´s Rule) koje se koristi kod kreditiranja, sa

egzaktnim vremenom i egzaktnim interesom i

2) Tržišno pravilo (Market´s Rule) koje je sada retko u upotrebi

Vremenska linija se može segmentirati na periode jednakog trajanja, uzima-

jui za jedinicu, dan, mesec, godinu za jedinicu.

Na primer poetkom nekog perioda koji traje 14 meseci izvrši se uplata K

sa interesnom stopom i

, zatim posle isteka t

vremenskih jedinica izvrši se uplata

sa interesnom stopom i

Ovaj primer na vremenskoj liniji izgleda ovako:

Potrebno je uvek tano uoiti momenat plaanja. Na ovom primeru vi-

dimo da je plaanje K

anticipativno za period t

a plaanje K

dekurzivno za

isti period t

. Isto tako, za plaanje K

možemo rei da je ono anticipativno u

odnosu na period t

Pošto je ukupno trajanje period izraženo u mesecima, periodi na vremen-

skoj liniji u obliku razlomka imaju u imeniocu 12 (godina ima 12 meseci)

2. SADAŠNJA VREDNOST U PROSTOM

INTERESNOM RAUNU

Isto tako, kada su poznati: budua vrednost kapitala FV (poetni kapital uve-

an za ostvareni interes), interesna stopa i trajanje ulaganja, možemo izraunati
poetnu vrednost kapitala

P = FV/ (1+(i)(t))

Operaciju dobijanja poetne vrednosti kapitala u prostom obraunu interesa

prikazujemo na vremenskoj liniji

FV = P(1+it)
FV/ (1+(it) = P(1+it) / (1+it)
FV/(1+it) = P

Princip svoenja buduih vrednost na neto sadašnju vrednost kasnije

emo upoznati kod ocene investicionog ulaganja prema kriterijumu NPV (neto
sadašnje vrednosti)

3. DELIMINA PLAANJA

Kod deliminih plaanja teorijski postoje dva pravila: Trgovako (Merchant´s

Rule) i Ameriko (United States Rule).

Kod odobravanja zajma sa prostim interesom, u ranom periodu kapitalizma,

postojalo je trgovako pravilo za izraunavanje krajnje vrednosti kapitala. Daje-
mo primer: Zajam je odobren u iznosu 5.000 sa rokom dospea od 15 meseci, sa
interesnom stopom 9% pa(d).

Dužnik vraa posle 4 meseca 1200 i posle 9 meseci 950. Izraunati stanje

duga po isteku 15 meseci, prema trgovakom pravilu obrauna.

S = P(1+it)

X = - $5000 (1+ (0,09)(5/4) + $1200 (1 + (0,09)(11/12) + $950 (0,09)(1/2)

X = - $ 5562,50 + $ 1299 + $ 992,75 = - $3270,75

Balance Due

Vidimo da se javlja razlika koja po US pravilu ne mora uvek da bude vea,

jer zavisi od rasporeda plaanja u datom periodu. Pravilo US se primenjuje kada
se kupovina neke robe vrši sa više menica (u primeru na strani 44, primenjen je
klasian metod, koji daje isti rezultat kao US pravilo).

5. IZJEDNAENE VREDNOSTI - EKVIVALENTI

(SREDNJI ROK PLAANJA)

Zlatno nansijsko pravilo glasi: Novane vrednosti se mogu uporediti samo

ako su svedene na isti datum u vremenu.

Na pitanje koje je povoljnije plaanje: a) jednokratno 3.000 dospeva za 45

dana ili b) dve rate od kojih prva 1.500 dospeva za 30 dana i druga 1.500 za 60
dana. iznosu 1.500, možemo dobiti razliite odgovore, u zavisnosti od toga kome
smo postavili takvo pitanje.

Samo neki e sa pravom primetiti da odgovor zavisi od veliine interesa

koji se zaraunava, dok ostale odgovore možemo podeliti u dve grupe.Ima ljudi
koji su skloni anticipiranoj potrošnji putem kredita ali i onih koji prema takvoj
potrošnji imaju averziju. Bankarstvo posreduje izmeu onih koji štede i ti šted-
ni ulozi su znaajan deo kreditnog potencijala koje banke odobravaju. Razume
se da štediše na svoje depozite ostvaruju interes, dok oni koji uzimaju kredite
plaaju interes. U bankarskom poslovanju štedišama se odobravaju pasivne a od
zajmotražioca naplauju aktivne kamate.Interesna stopa štednje je uvek manja
od interesne stope kredita, jer razlika mora da obezbedi rizik povrata kredita,
kao i troškove i zaradu banke.

Problem izjednaene vrednosti, u kome treba odrediti rok jednokratnog

plaanja sa poznatom sumom koja zamenjuje nekoliko rata koje dospevaju
tokom nekog odreenog perioda ilustrujemo kao jedan od primera izjednae-
nih vrednosti.

Formulišimo sada napred navedeno pitanje prema sledeem: Dužnik pove-

riocu treba da plati, za 30 dana od sada,1500 dinara sa interesom u prostom inte-
resnom raunu i=0,05 a potom posle 30 dana još 1500 dinara, sa istim interesom,
tj. ukupan dug treba da bude izmiren posle 60 dana. Dužnik ovu obavezu može
da izvrši jednokratnim plaanjem 3.000 dinara, ali da bi postigli ekvivalentno
plaanje,postavlja se pitanje roka plaanja.

Za rešavanje ovog zadatka postavimo date podatke na vremensku liniju

Potrebno je da izraunamo buduu vrednost prve rate na dan dospea

druge rate

FV = P(1+(i)(t))

FV = 1.500 (1+ (0,05)(30/365)) = 1.506,16

Znai budua vrednost ukupne obaveze dužnika na dan plaanja poslednje

rate iznosi 1.506,16 + 1.500= 3.006,16 dinara i taj iznos je vei od 3.000 sa ko-
jim dužnim hoe da izmiri dug. Znai, iznos 3.000 dinara dužnik treba da plati u
nekom roku pre isteka 60 dana.

Da bi odredili rok jednokratnog plaanja postaviemo jednainu u kojoj

uzimamo da je krajnja vrednost 3.006,16 a poetna jednokratni iznos plaanja
3.000 dinara.

3.006,16= 3.000(1+(0,05)((60-t)/365))
3.006,16/3.000 =(1+(0,05)((60-t)/365))
t= 45 dana.

Prema tome, objektivno se alternative plaanja izjednaavaju ako se jedno-

kratno plaanje izvrši u roku od 45 dana.

Kao drugi primer ekvivalencije, kao instruktivan razmotrimo sledei primer.
Poznata nam je sadašnja vrednost P= 4.500 dinara, koja se dobija iz nepo-

znatih uloga u iznosu X od kojih prvi dospeva za 105 dana a drugi za 195 dana,
ako je u ukupnom periodu interesna stopa konstantna i iznosi i=0,075.

U našem primeru, srednja stopa iznosi

= (40.000+90.000+150.000)/60.000= 280.000/ 60.000 = 4,6666

tako da je srednji rok

=(3.600.000+10.800.000+22.500.000)/ (4,6666 x 60.000)

=36.900.000/ 279.996 = 131,787 dana

Raun proveravamo prema de niciji jednakosti interesa:

(60.000 x 4,6666 x 131,787) / 36.500 = (10.000 x 4 x 90 / 36.500) +
(20.000 x 4,5 x 120/36.500)+(30.000 x 5 x 150/36.500)= 1.010,95 dinara.

II.

Diskontni raun

1. OSNOVNE RELACIJE ESKONTA I DISKONTA

Uveanje kapitala sa obraunatim prostim interesom se naziva eskont. Obratna

operacija, umanjenje budue vrednosti kapitala za interes koji je pripisan poetnom
kapitalu naziva se diskont. Eskontnim obraunom dobijamo poetni kapital uvean
za interes, a diskontnim raunom dobijamo iz budueg kapitala poetni kapital.

Eskont i diskont mogu biti u prostom i složenom interesnom raunu.
Eskontno diskontni obrauni sa prostim interesom, primenjuju se kod pla-

anja, odnosno prometa, u kojima se koriste hartije od vrednosti: blagajniki za-
pis (Promisory Note), menica, obveznica (Bond) itd.

Razmotrimo jedan instruktivan primer.
Poetni kapital P=100 uveavamo prostim interesom za godinu dana sa inte-

resnom stopom i=0,10. Dobiemo buduu vrednost kapitala (poetni kapital uve-
an za interes 110 jer je I= P(i)(1)= 100(0,01)=10 FV=P+I= 100+10

Ako sada od budue vrednosti kapitala izraunamo interes sa interesnom

stopom 0,10 dobiemo interes I = 110 x 0,10 = 11.

Ako sada od budue vrednosti oduzmemo tako obraunati interes 110-11=

99 vidimo da dobijamo manji iznos od poetne vrednosti kapitala koji smo uvea-
vali sa interesnom stopom 0,10.

Ovaj primer nam pokazuje da iznos diskonta jednak iznosu eskonta ne mo-

žemo dobiti prostim množenjem krajnje (budue) vrednosti kapitala sa interesnom
stopom kao u sluaju eskonta, odnosno izraunavanja prostog interesa.

Ako diskontnu stopu obeležimo sa (d), tada je ona u relaciji sa interesnom

stopom (eskontnom stopom). U anglosaksonskoj literaturi se relacije izmeu in-
teresne stope prostog interesa sa kojom se vrši eskont i diskontne stope, naziva
kupon ekvivalencije (Coupon Equivalent)

d = i / (1+it)

i = d/(1-(d)(t))

2. RELACIJE IZMEU PROSTOG INTERESA I

PROSTOG DISKONTA

Uporednim razmatranjem eskonta i diskonta sledi

raun eskonta (prostog interesa)

raun diskonta

P = FV/ (1+(i)(t))

P = FV(1-dt)

FV(1-dt) = FV/ (1+(i)(t))

Posle skraivanja sa FV na obe strane

1-dt = 1/ (1+(i)(t)

1+it = 1/ (1-(d)(t))

it = dt/ (1-(d)(t))

i posle skraivanja sa t

i = d/ (1-(d)(t)

U primeru koji smo razmatrali buduu (krajnju) vrednost kapitala 110 treba

pomnožiti sa diskontnom stopom (d) da bi dobili iznos diskonta koji treba oduzeti
od krajnje vrednosti kapitala da bi dobili poetnu vrednost kapitala.

Prema tome, diskontna stopa u ovom primeru iznosi d= 0,1/(1,1) tako da je

110(0,1/(1,1) = 10 i 110-10 = 100

Interesni raun na sto (ili više sto) se koristi kada je poznata uveana

vrednost kapitala za interes.Tada koristimo sledee proporcije, u zavisnosti od
datog vremena

(K+I): 100+pg)= K:100

(K+I): (100+pg)= I:pg (za vreme u godinama)

(K+I): (1200+pm)=K:1200

(K+I): (1200+pm)= I: pm (za vreme u mesecima)

(K+I): (36000+pd)=K:36000

(K+I): (36000+pd)=I: pd (za vreme dato u danima)

Primeri:

1. Koliko interesa e platiti dužnik za pozajmljenih 40.000 din. za 4 godine uz

kamatnu stopu 5% prostog interesa godišnje.

Ovde je: K= 40.000; g= 4; p=5%; I= ?
Pošto je vreme u godinama koristimo formulu (1.3)
I= 40.000 x 5 x 4/100= 8.000 din.

2. Koliko interesa e platiti dužnik za pozajmljenih 120.000 din. za 9 meseci uz

kamatnu stopu 8% prostog interesa godišnje.

Ovde je: K= 120.000; m=9; p=8%; I= ?
Pošto je vreme u mesecima koristimo formulu (1.4)

I = 120.000 x 8 x 9 /1200 = 7.200 din.

3. Koliki interes e dužnik platiti za pozajmljenih 500.000 dinara, za 45 dana

uz kamatnu stopu 7% prostog interesa godišnje.

Ovde je: K= 500.000; d=45; p=7%; I= ?

Pošto je vreme u danima koristimo formulu (1.5)
I= 500.000 x 45 x 7 /36.500 = 4.315,07 din.

4. Koliki interes e dužnik platiti za pozajmljenih 300.000 dinara, za period od

23.jula do 15 septembra, uz kamatnu stopu 7% prostog interesa godišnje.

Ovde najpre moramo da izraunamo koliko dana ima u periodu od 23.jula

do 15 septembra.

- u julu

9 dana

- u avgustu

31 dan

- u septembru 15 dana
ukupno

55 dana

Ovde imamo K= 300.000; d=55; p=7%; I=?
koristimo formulu (1.5)

I = 300.000 x 55 x 7/36.500= 3.164,38 din.

Dakle,

The Basic Simple Interest Formula

I = Pit

I = interest

P = principal

i = rate per year

t = time in years

U aktuelnom vremenu (2007 godina) u Srbiji uglavnom posluju strane banke kojima

upravljaju stranci. Oni su naviknuti na anglosaksonsku notaciju u finansijskim iskazima i
zbog toga neke pojedinosti prikazujemo u interpretaciji na engleskim jeziku.

III.

Podruja primene

teorije prostog interesa

Obrauni kod lombardnih zajmova se vrše slino kao kod eskontovanja i

diskontovanja menica. Lombardni zajam se može vratiti pre roka ili posle roka
ili o roku.

Lombardni zajmovi se odobravaju sa rokom od tri meseca. Za raunanje

interesa, meseci se raunaju po kalendaru a godina sa 360 dana.

U sluaju zakašnjenja dužnik od roka do dana regulisanja zajma plaa in-

teres na zajam izraunat interesnom stopom za 1% veom nego što je normalna
interesna stopa.Od dana regulisanja obaveze do narednog roka primenjuje se nor-
malno odreena stopa.

2. TEKUI (POSLOVNI) RAUN

Preduzea ostvaruju nansijski promet u poslovanju sa bankom i esto radi

nansiranja svojih poslovnih aktivnosti koriste kredite banke. Banka prilikom
odobravanja kredita nekom preduzeu istovremeno otvara tekui (kontno-koren-
tni) raun tog preduzea.

Na raunu banka prati nansijske promene uplata i isplata, i na osnovu toga

vrši obraun kamate. Obraun se po pravilu vrši dva puta godišnje (30.06. i 31.12.)
i vanredno prilikom likvidacije rauna.

Kamatni broj (Kbr) je iznos koji se izraunava množenjem iznosa uplate/

isplate sa brojem dana (d).

Broj dana se izraunava na dva naina:
Po pozitivnom metodu, raunanje broja dana vrši se od datuma transakcije

do datuma obrauna, dok se po negativnom metodu, broj dana izraunava za pro-
tekli period od dana transakcije do poetka obraunskog perioda.

Kamatni klju (D) je kolinik izmeu 36.000 i kamatne stope (ako se rauna

da godina ima 360 dana), odnosno kolinik izmeu 36.500 i kamatne stope ako se
rauna da godina ima 365 dana.

Pomou salda kamatnog broja i kamatnog kljua, tj. iz njihovog kolinika

izraunava se interes. Ako je saldo kamatnog broja dugovni, klijent plaa interes,
a ako je potražni banka plaa interes klijentu.

i = Kbr / D

Prilikom zakljuka tekueg rauna, banka naplauje troškove, prema broju

manipulativnih pozicija (stavki) i po svakom izvodu.

Osim toga, u skladu sa poslovnom politikom, banke naplauju i proviziju za

obavljanje platnog prometa, koja se može obraunavati od ukupnog prometa ili na
neki drugi nain (npr od najveeg iznosa u periodu).

Pozitivna metoda:

Datum

Opis

Rok

Iznos

Kbr

Datum

Opis

Rok

Iznos

Kbr

01.01. po.stanje

31.12. 181

7.240 25.02. uplata

15.03

107

3.745

10.01. pla.dob.

12.01. 169

2.535 10.04. uplata

20.05

902

20.04. isplata eka 30.04.

610

15.05. uplata

30.05.

155

30.06. saldo

za izr.

30.06

Saldo Kbr = (7.240+2.535+610) – (3.745+902+155) = 5.583

Kamatni klju D = 36.000 / 6 = 6.000

Interes = saldo Kbr / D

Interes (dinara)=5.583.000/6000=930,50 dinara

Ukupan promet: 40+15+10+35+22+5 = 127

127.000 x 1,5% = 1.905 dinara

Negativna metoda:

Datum

Opis

Rok

Iznos

Kbr

Datum

Opis

Rok

Iznos

Kbr

01.01. po.stanje

31.12.

25.02. uplata

15.03

2.590

10.01. pla.dob.

12.01.

180 10.04. uplata

20.05

140

3.080

20.04. ispl.eka

30.04. 120

1.200 15.05. uplata

30.05. 150

750

30.06. saldo

za izr.

30.06

181

543

Saldo Kbr= -180-1200+2.590+3.080+750+543=5.583

Kamatni klju D= 36.000/6= 6.000

Interes= saldo Kbr/ D

Interes (dinara)=5.583.000/6000=930,50 dinara

Ukupan promet: 40+15+10+35+22+5= 127

Provizija:127.000 x 1,5%= 1.905 dinara

3. POTROŠAKI KREDITI

Kod potrošakih kredita, kreditori vrlo esto obraunavaju interes unapred

interesnim raunom od sto. Interes se u prvom mesecu rauna na ceo dug, a potom
u ostalim mesecima sukcesivno na ostatatak duga po odbitku otplate. Iznos otplate
glavnice, za koji se umanjuje ostatak duga, izraunava se tako što iznos kredita
podelimo sa brojem meseci perioda otplate.

Otplata= K/m

Interes u prvom mesecu I

= K p%

/ 100m = Kp/1200 ; m=12

Interes u drugom mesecu I

= (K- K/m)(p/1200)

= (Kp/1200)-(Kp/(1200m))

= (Kp/1200)(1-(1/m))

Interes u treem mesecu se obraunava na ostatak duga, kada su odbijene

dve mesene otplate

2K/m , tako da je I

= (K-2K/m)(p/1200)= (Kp/1200)(1-(2/m))

Interes u poslednjem m-tom mesecu

=(Kp/1200)(1-(m-1)/m)= (Kp/1200)(1/m)

Prema tome, ukupan interes je jednak:

U=(Kp/1200)

1+(1-(1/m))+ (1-(2/m))+ (1-(3/m))+...+ 1/m

U= (Kp (m+1)/2)/ 1200 U=Kp(m+1)/ 2400

U=Kp(m+1)/2400

Formula za kredit po navedenim uslovima je sledea:

= PMT(12%/12,6,12000)

Oznake u zagradi imaju sledea znaenja: 12% je kamatna stopa (pa)d, 12 je broj

meseci u godini i pokazuje da se godišnja kamata obraunava relativnom mesenom
stopom, 6 je broj mesenih rata i 12000 iznos duga. Formula daje rezultat = 2070,58.

Ako bi godišnju kamatnu stopu 12% preraunali na mesenu konformnu

imali bi sledeu situaciju

1+ 0,12

(1/12)

- 1}x 100 = 0,9489%.

Plan otplate za kredit 12.000, za m= 6, sa jednakim mesenim anuitetima

(ratama kredita), sa konformnom kamatnom stopom, anuitet je

a = Kr

(r-1)/ (r

-1)

a = (12000 x 1,009489

x 0,009489) / (1,009489

-1) = 2.066.94

Period

Iznos duga

Kamata

otplata duga

anuitet

12.000,00

113,87

1.953,08

2.066,94

10.046,92

95,33

1.971,61

2.066,94

8.075,31

76,62

1.950,32

2.066,94

6.084,99

57,74

2.009,21

2.066,94

4.075,79

38,67

2.028,27

2.066,94

2.047,52

19,43

2.047,52

2.066,94

401,66

12.000,01

12.401,64

Vidimo da je u ovom sluaju mesena rata manja.

Metod sa proporcionalnom kamatnom stopom (prvi sluaj), sa 12% (pa)d, i

metod sa konformnom kamatnom stopom, sa 12,573 % (pa)d, daju isti iznos me-
senog anuiteta.

Potrošae kod kreditiranja svakako zanima iznos mesene rate koju e ot-

plaivati i dužina perioda otplate pa se ne može smatrati prevarenim zbog po-
grešnog iskaza kreditora o visini kamatne stope koju primenjuje.

4. ESKONTOVANJE I PROLONGACIJA MENICA

Ovi pojmovi su povezani sa odstupanjem od ugovorenog roka plaanja

duga. Eskontovanje menice znai naplata menice pre roka na koji glasi. Prolon-
gacija menice znai naplata menice posle roka njenog dospea.

U prvom sluaju se primenjuje eskontni a u drugom diskontni raun.
Odnos poverioca i dužnika je sledei: ako poverilac ima eskont dužnik e

imati diskont (umanjenje interesa) i obratno ako poverilac ima diskont, dužnik e
imati eskont (poveanje interesa).

Eskontovanje ima znaenje kupovanja menice pre njenog dospea a dis-

kontovanje ima znaenje prodaje menice pre njenog dospea na naplatu.

Kod menica, odnosno prilikom njihovog eskontovanja, javljaju se sledee

veliine:

• Nominalna vrednost menice (menina suma) je vrednost na menici o roku

dospea, prema datumu koji je u menici naveden.

• Eskontovana vrednost menice je umanjena vrednost menice za obraunati

eskont od dana eskontovanja do roka dospea navedenog u menici.

• Eskont je obraunati interes koji plaa kupac podnosiocu menice na

eskont.

• Interes na nominalnoj vrednosti menice je iznos koji se izraunava iz

množenja menine sume sa kolinikom broja dana od dana eskontovanja
do dospea menice i divizora

Interes na nominalnoj vrednosti menice izraunava se po obrascu

I = Kn pd / 36000+pd

(ako godinu raunamo sa 365 dana, u imeniocu e umesto 36000 biti 36500)

Ili po obrascu I= S/ (1+ (p/100)(d/360)

Divizor je pojam koji se esto upotrebljava kao sinonim za kamatni klju.

Broj dana d, od 15.marta do 30 maja jednako je 16+30+30= 76

(za k,360 i p= 6% D= 6.000)

I= 360.000 x 6x76/ (36.000+ 6x76) = 4.502,96

Tako da je eskonovana suma menice K

= 360.000 – 4.502,96 = 355.497

Premda se u zadacima uglavnom traži izraunavanje vrednost menice ili

eskontovana vrednost menice, kao i eskontovani iznos, možemo izraunavati, ako
su dati potrebni podaci, broj dana za koji se pre roka menica eskontuje (d) ili
eskontnu stopu (p).

Ako je data vrednost menice (K

), vrednost eskonta (i),ili eskontovana vred-

nost menice na dan eskonta (K

-i) i eskontna stopa p%, sa izborom za vrednost G

(G=360 ili 365 dana u godini), možemo izraunati broj dana za koji se pre roka
menica eskontuje

ili

Prolongacija menice

Javljaju se sluajevi kada dužnik, umesto da plati iznos za menicu koja je

dospela, ispostavlja novu menicu sa novim rokom, ili ispostavi novu menicu a
takoe izvrši i delimino plaanje.

U prvom sluaju, kada dužnik vrši samo zamenu stare menice sa novom

sa produženim rokom, na nominalnu vrednost koja je upisana na staroj menici,
obraunava se interes do datuma dospea novog roka i tako obraunati interes se

sabira sa nominalom stare menice i upisuje kao nova menina suma. Treba obratiti
pažnju da u ovom sluaju dužnik povlai (zamenjuje) staru menicu. Meutim, ako
se stara menica ne povlai, tada dužnik na novoj menici upisuje meninu sumu
samo u visini interesa do novog roka.

U kombinaciji sa deliminim plaanjem menine sume po staroj menici, vrši

se zamena stare menice a kod obrauna nove menine sume se delimino plaanje
uzima u raun kao odbitna stavka.

Reeskont i prolongacija reeskonta menica

U nansijskom prometu se obavljaju i meubankarska plaanja tj. tj. jedna

banka može biti dužnik ili poverilac druge banke. U njihovom platnom prometu
jedna banka može da eskontovane menice eskontuje kod druge banke i ta nansij-
ska operacija se naziva reeskontom.

Banka koja daje menice u reeskont mora te menice da iskupi o roku, gotovin-

skim plaanjem ili zamenom sa novim menicama, odnosno prolongacijom.

Prolongacija reeskonta je u suštini novi reeskont iz ije se reeskontovane

vrednosti isplauje jedan deo dospelih menica u reeskontu.

Isplata duga sa menicama

U nansijskom prometu se javljaju sluajevi kada se dug plaa sa eskonto-

vanjem nekoliko menica, sa poznatim meninim sumama i pologom jedne menice
koju treba popuniti

Ilustrujemo primer:

Dužnik plaa dug u iznosu 600.000 dinara sa rokom 16.05.2004 godine.

Dug izmiruje davanjem jedne menice od 200.000 sa rokom 15.07.2004 i drugu
menicu od 100.000 sa rokom 14.08.2004 godine.

Potrebno je izraunati na koju sumu treba da glasi trea menica sa rokom

3.09.2004 godine, da bi se isplatio ukupan dug, ako je eskontna stopa 6%

Šema sa poznatim elementima

Datum eskontovanja 16.05.2004 g

R.Ralevi, M.orevi, N.Savi: Matematika za ekonomiste, V izdanje, Savremena admini-

stracija, Beograd, 1975. str.192: Rest-netta-apoint

Eskontna vrednost tree menice

303.500,00

Eskont tree menice

5.668,08

Menina suma tree menice

309.168,08

Potpuna šema:

Zbir meninih vrednosti poznatih menica

300.000

- eskont poznatih menica

3.500

eskontovana vrednost poznatih menica

296.500

eskontovana vrednost svih menica

600.000

eskontovana vrednost nepoznate menice

303.500

eskont tree menice

5.668,08

menina suma tree menice

309.168,08

obraunao:__________________

Kontrola:

eskont svih menica (3.500 + 5.668,08) = 9.168,08

K = (200.000 + 100.000 + 309.168,08) = 609.168,08

i = 9.168,08 – eskont 6%

(K-i) = 600.000,00

Kontrolisao:________________

Sluaj diskontovanja menice imamo kada menicu koja dospeva za naplatu

ranije upotrebimo za plaanje koje dospeva kasnije.

U odnosu na eskontovanje ovde diskontovanu vrednost sabiramo sa izno-

som na menici, tj. pripisujemo glavnici diskontovanu vrednost.

Kao i kod eskontovanja i kod diskontovanja možemo imati obraun sa jed-

nom ili sa više menica istog donosioca (korisnika).

Napomene:

Kada se eskont obraunava od nominalne vrednosti menice sa raunom

od sto, za vreme od dana eskontovanja do dana dospea menice, takav obraun
eskonta se naziva

komercijalni eskont

Kod komercijalnog eskonta je interes (eskont)

E= K

d / D

Meutim, ako izraunamo interes na sadašnju vrednost menice (vrednost

menice umanjene za eskont)

= (K

d) / D

dobijamo tzv.

racionalni eskont

Iz relacija:

+(K

d) / D i K

)/ (D+d)

racionalni eskont E

možemo izraunati iz kolinika E

=(d

)/D+d

Menina suma se može izraziti zbirom eskontovane sume i racionalnog

eskonta

= K

Ako uporedimo racionalni eskont E

sa komercijalnim eskontom E

Vidimo da je komercijalni eskont vei E

Razlika izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta

IV.

Složeni interes

Ako uvedemo poznatu smenu i = p/100 dobijamo relaciju

Kn= K(1+i)

Ponder (1+i)

sa kojim se poetni kapital K množi na desnoj strani jednako-

sti, naziva se faktorom akumulacije.

Ako stavimo r=1+i ; ( r se naziva dekurzivnim interesnim faktorom)

krajnju vrednost kapitala možemo razviti u geometrijski niz

Kn = K, Kr, Kr

, ... Kr

n-1

, Kr

Interesna stopa u obliku i

/m je interesna stopa (i) kada je m=1.

Pošto je m obraunski period kapitalisanja m=1 kada je kapitalisanje

godišnje.

Prema tome, ako je kapitalisanje meseno m=12; ako je kapitalisanje kvar-

talno m=4; ako je kapitalisanje dnevno m=365 itd.

Napred navedena interesna stopa je proporcionalna (relativna)

Korišenjem relacije

= K (1+i)

u razliitim zadacima iz tri poznate veliine izraunavamo etvrtu koja se traži.

Na primer faktor akumulacije (1+i)

neposredno dobijamo iz kolinika

Kn/K.

Interesnu stopu možemo izraunati po formuli

i = (Kn/K)

1/n

– 1

Period ulaganja (n) se izraunava raunom logaritma

, postavljanjem jednaine

log Kn-log K= n log(1+i)

n = (log Kn-logK)/ log(1+i)

logKn - log K = log (Kn/K)

Primer:

Poetna vrednost uloga K=10.000 ; Krajnja vrednost uloga Kn=12.762,82
Interesna stopa i=0,05 Koliko godina traje ulaganje u složenom interesu.
n= (4,105946496 – 4)/ 0,021189299 = 5

Vrednosti dekurzivnih interesnih faktora, za odreeno vreme (n) i odreene

procente (p), nalaze se u Prvim nansijskim tablicama, gde je

= 1 + p/100 = I

= (1 + p/100)

= I

= (1 + p/100)

= I

= K I

Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje, posle n godina uz p% (pa)d

krajnju vrednost kapitala dobijamo kada poetnu vrednost kapitala pomnožimo
sa dekurzivnim interesnim faktorom u kome je kamatna stopa odreena za tra-
janje perioda.

Godišnja kamatna stopa se deli sa brojem perioda ukamaivanja i na taj na-

in dobijamo relativne (proporcionalne) kamatne stope.

Na primer, godišnjoj kamatnoj stopi od 10% odgovara dnevna kamatna sto-

pa 10/365= 0,0274% , ili kamatna stopa za 75 dana

= 75

0,0274 = 2,0548%

= K

p/m

odnosno

= K(1+p/100m)

b) Kod anticipativnog obrauna interesa krajnju vrednost kapitala dobijamo

kada glavnicu pomnožimo sa anticipativnim interesnim faktorom

2) Koliko danas vredi kapital koji dospeva za 15 godina u iznosu 10.000,

ako je kapitalisanje uz 6% (pa) d.

Ovde je:

= 10.000; p = 6%; m = 1; n = 15

r = 1+6/100 = 1,06

= 1,06

= 2,396558

K = 10.000 / 2,396558 = 4.172,65

2. FAKTOR AKUMULACIJE

PRI NEPREKIDNOM UKAMAIVANJU

Pragmatini razlozi i primena tehnikih sredstava kod izraunavanja, nalagali

su da se ukamaivanje kapitala vrši u diskretnim vremenskim trenucima, (dani, me-
seci, kvartali, semestri i godine), premda je vreme kontinuelno. Uvoenje kompju-
terske obrade u poslovanje omoguava da broj perioda ukamaenja može da teži u
beskonanost, tj. vremenska jedinica može da bude proizvoljno mala.

Ranije smo videli kako se izraunava krajnja vrednost kapitala kada se ukamai-

vanje vrši m puta u toku godine, odnosno kada se vreme tretira kao diskretna veliina.

Posmatranje vremena u kontinuitetu nalaže da se odredi granina krajnja

vrednost kapitala K

, kada n

= K

lim

(1+(p/100m)

Na osnovu injenice, ako m

tada i K

i uvoenjem smene p/100m= 1/K

sledi formula za neprekidno ukamaivanje u svakom vremenskom trenutku.

= K

np/100

Prema tome, faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaivanju je izraz

np/100

ili e

Naime, stavljajui da je = ln(1+i)

= Ke

K=K

- t

i=e

-1

—

(1+i)

—

(1+i

)

1+i = (1+i

)

odakle je i

-1

Pošto je i

= i= p

/ 100

sledi p

/ 100 =

-1

= [1+(p%(pa)d)]

1/m

– 1

Ako imamo godišnju proporcionalnu interesnu stopu (i) a tražimo:

• dnevnu konformnu stopu, odnosno kada je m= 365

konformna kamatna stopa za jedan dan

a za d dana

• mesenu konformnu stopu, m=12

Napomena:
U ovoj relaciji mesene konformne stope uzeto je da godina ima 360

dana, a jedan mesec 30 dana.

Zbog toga imamo

Egzaktna dnevna proporcionalna interesna stopa je u prostoj godini

365 deo godišnje proporcionalne stope. Ako mesec ima 30 dana onda je
egzaktna mesena konformna stopa

U navedenom primeru polugodišnja konformna kamatna stopa je

tako da po de niciji ulog koji se dva puta godišnje kapitališe daje isti efekat kao
pri godišnjem kapitalisanju

10.000 ( 1+0,048808848)

= 10.000(1+0,10)

= 25.937,42

Primeri:

1. Izraunati polugodišnju konformnu kamatnu stopu ako je godišnja

kamatna stopa 6%(pa)d.

=[1,06)]

1/2

– 1 = 0,029563

2. Izraunati mesenu konformnu kamatnu stopu ako je godišnja kamatna

stopa 10%

=[1,10)]

1/12

– 1 = 0,007974

3. Ako danas uložimo 10.000 uz 10% (pa)d , izraunati stanje uloga

posle 10 godina ako se kapitalisanje vrši polugodišnje sa konformnom
kamatnom stopom.

Prvo moramo izraunati polugodišnju konformnu kamatnu stopu

Ako uporedimo dobijeni rezultat sa rezultatom iz primera primene

relativne kamatne stope, videemo da je K

Zbog ovoga se konformna kamatna stopa esto naziva ekvivalentna stopa.
Konformnu stopu p

možemo izraziti i preko prvih nansijskih tablica.

Ako uzmemo da je p relativna (proporcionalna) stopa

5. HIPOTEKARNI KREDITI

Krediti koji se odobravaju na bazi zaloge nepokretnosti nazivaju se hipotekar-

nim kreditima. Ovi krediti su po pravilu dugoroni krediti i sa velikim iznosima.

Ovi krediti su uglavnom namenski, npr. u nansiranju stambene izgradnje, a

korisnici mogu biti i pravna i zika lica.

Poznati su stambeni krediti koji se mogu odobravati i bez hipoteke, ali se

naješe hipoteka odnosi na predmetni stan koji se kupuje, tj. izgrauje na kredit.
Izgradnja stana može biti tek zapoeta a može biti i neposredno useljiv.

Kod namenskih kredita, banka vrši isplate do visine odobrenog kredita pre-

ma dospelim situacijama koje su predviene u ugovoru o kreditu i te isplate se vrše
isporuiocu (dobavljau), odnosno graditelju.

Banke kod planiranja hipotekarnih kredita imaju nansijske aranžmane

sa graditeljima koji su korisnici novanih sredstava, jer moraju da vode rauna
kod usklaivanju obima korišenja kredita sa rokovima otplata, tj. o likvidnosti
hipotekarnih kredita.

Dužnik može zapoeti sa otplatom hipotekarnog kredita neposredno po nje-

govom odobravanju, tako da se anuiteti zadrže u banci izvesno vreme pre isplate
dobavljau.

Osim pravnih osobenosti koje su važne zbog obezbeivanja garancija da e

kredit biti otplaivan u saglasnosti sa odredbama ugovora, u nansijskom smislu
su bitne dve pratee pojave:

a) obaveza ueša korisnika kredita

b) obaveza depozita korisnika kredita

Od momenta kada korisnik kredita uplati svoje ueše u banku, do momenta

kada se ta sredstva prebace na raun dobavljaa, može proi izvesno vreme, tako
da se sa tim uplatama poveava ukupni kreditni potencijal banke.

Kod depozita korisnika, banka na taj depozit obraunava interes, ali sa pa-

sivnim kamatnim stopama, koje su niže od onih sa kojima se obraunava interes u
odobrenim kreditima (aktivne kamatne stope).

Ilustrujemo plan otplate hipotekarnog kredita.U Excelu – u osenenim elijama

upisujemo iznos glavnice i kamatnu stopu i automatski dobijamo plan amortizacije.

Prikazane su samo prve dve godine otplate.

Kamata

Glavnica

10.00%

50,000

0.007974

Dužina otplate

10 godina

120 meseci

648.88

Period

ostatak kamata

otplata

anuitet

50,000

399

250

648.88

49,750

397

252

648.88

49,498

395

254

648.88

49,243

393

256

648.88

48,987

391

258

648.88

48,729

389

260

648.88

48,469

386

262

648.88

48,206

384

264

648.88

47,942

382

267

648.88

47,675

380

269

648.88

47,407

378

271

648.88

47,136

376

273

648.88

46,863

374

275

648.88

46,588

371

277

648.88

46,310

369

280

648.88

46,031

367

282

648.88

45,749

365

284

648.88

45,465

363

286

648.88

45,178

360

289

648.88

44,890

358

291

648.88

44,599

356

293

648.88

44,306

353

296

648.88

44,010

351

298

648.88

43,712

349

300

648.88

43,412

346

303

648.88

43,109

344

305

648.88

42,804

341

308

648.88

42,496

339

310

648.88

Izraunate vrednosti za jedinicu uloga, razliite periode i kamatne stope,

predstavljene su u nansijskim tablicama III, u formi :

= III

Za iznos uloga u, zbir krajnjih vrednosti e biti S

= u III

Ukoliko je ulaganje vršeno krajem svakog obraunskog perioda (dekur-

zivno) uz interesnu stopu p% i dekurzivnom raunanju interesa, tada zbir kraj-
njih vrednosti n uloga iznosi

= ( r

–1)/ (r-1)

A kod korišenja III nansijskih tablica

odnosno za uloge

koji iznose (u) novanih jedinica, na dan poslednjeg uloga e biti

n-1

= u (1 + III )

Ako uporedimo ove formule vidimo da plaanja krajem obraunskog perio-

da poinju za jedan obraunski period kasnije od plaanja poetkom obraunskog
perioda. Zbog toga se kod plaanja krajem obraunskog perioda poslednje plaa-
nje ne ukamauje.

Kod ulaganja poetkom perioda imamo sledeu šemu

n-1

n-2

n-3

n-1

Slika 1.

Sn =

ur(r

–1)/(r–1)

Primer:

Poetkom svake godine ulažemo u banku po 1.000 dinara. Koju sumu emo

imati u banci na kraju pete godine ako se vrši godišnje kapitalisanje sa složenim
interesom 4% (pa) d.

Ovde imamo da je u = 1.000 p = 4% n = 5 m = 1

= (1.000 x 1,04 (1,04

–1) / ( 1,04 – 1) = 5.632,98

FV(4%,5+1,1000,0) = 6.632,98

= 6.632,98 – 1000 = 5.632,98

Napomena:

Kada koristimo nansijsku funkciju FV za izraunavanje stanja sume an-

ticipativnih uloga, na kraju godine n, parametar n se uveava za 1 a od
rezultata se oduzima vrednost jednog uloga.

Kod ulaganja krajem perioda imamo sledeu šemu

n-1

n-2

u Sn

n-1

Slika 2.

= (100/p) u[(1+ p/100)

-1]

FV = (p%(pa)d,n,u,0)

Najpre moramo izraunati mesenu konformnu kamatnu stopu

= 1,10

(1/12)

– 1= 0,007974 0,7974%

zatim izraunavamo r

= 1,007974

i na kraju dobijene vrednosti unosimo u formulu za zbir anticipativnih uloga

120

=1000 III 1000 · 1,007974 (1,007974

120

–1)/(1,007974–1)

0,7974%

120

= 1007,974 (1,59369) / 0,007974

120

= 201.455,64

6.1.2. ULAGANJE REE OD OBRAUNAVANJA INTERESA

Ovakvi sluajevi uglavnom imaju teorijski znaaj, jer je praktinije izrau-

navanje krajnje vrednosti do odreene skadence pojedinanih uloga, sa nansij-
skim tablicama I, a zatim te vrednosti sabrati.

Poimo od jednostavnog sluaja sa godišnjim kapitalisanjem i ulaganjem

svake druge godine. Tada prvi ulog diskontujemo za 2 godine, tj. stanje uloga po-
sle drugog kapitalisanja bie

S1= u1 (1+p/100)

Svaki sledei ulog takoe diskontujemo sa diskontnim faktorom

(1+p/100)

Na taj nain dobijamo niz iznosa u vremenskim trenucima kada se vrši uplata

novog uloga i na osnovu toga možemo izraunavati krajnju vrednost svih uloga.

Kod ulaganja koje je ree od kapitalisanja, stanje sukcesivnih uloga mo-

žemo tražiti na dan poslednjeg uloga ili u nekom momentu posle poslednjeg
uloga. Kao i u sluajevima kada je ulaganje sinhronizovano sa kapitalisanjem,
odnosno kada su ulaganja eša od kapitalisanja, isto tako i u sluaju kada su

ulaganja rea od kapitalisanja, moramo voditi rauna o tome da li su ulaganja
anticipativna ili dekurzivna.

Stanje uloga se može tražiti upotrebom relativne ili konformne stope.
Stanje uloga se izraunava posle svakog kapitalisanja, a prvo se traži na dan

prvog kapitalisanja. Prvi ulog sa pripisanim interesom ukamauje se u sledeem
kapitalisanju, tako da umesto uloga bez interesa,za svako naredno kapitalisanje
uzimamo ulog uvean za interes iz prethodnog obraunskog perioda.

6.1.3. PROMENLJIVI ULOZI

Izraunavanje krajnje vrednosti za promenljive uloge, ukoliko promenlji-

vost uloga nije po aritmetikoj ili geometrijskoj progresiji, praktino se obavlja si-
multanim izraunavanjima za svaki ulog posebno, a onda se pojedinani rezultati
diskontuju ili eskontuju na isti vremenski trenutak.

Kod uloga koji se poveavaju u aritmetikoj progresiji za p% zbir svih anti-

cipativnih uloga, na kraju n-te godine e biti:

= u(r

n-1

n-2

+...+ r

+ r)+ d[r

n-1

+2 r

n-2

+ ... +(n-1)r

+(n-1)r]

Kako je prvi deo ovog zbira u(r

n-1

n-2

+...+ r

+ r) = III

ako stavimo

Q= r

n-1

+ 2r

n-2

+...+ r

(n-2) + r(n-1) (*)

možemo napisati

= u III

+ dQ

Kada u relaciji (*) pomnožimo levu i desnu stranu (r) tj. interesnim dekur-

zivnim faktorom, dobiemo

Qr= r

+ 2r

n-1

+...+ r

(n-2) + r

(n-1)

Sada oduzimanjem

Qr –Q = r

+ r

n-1

+...+ r

– r( n-1)

što možemo napisati u obliku

sledi

-1)/r

(r-1) =

-1)/(r-1)

-n

gde su izrazi u faktoru aktualizacije za jednu novanu jedinicu pojedinog uloga
uz p% za n perioda:

-1)/r

(r-1) budua vrednost a

-n

diskontni faktor

Primer:

Neka je n = 8; u = 50; p% = 5;

=PV= 50

(1,05

-1)/(1,05-1)

1,05

-8

= 50(0,477455/ 0,05) 0,676839

= 323,16

Ako je u ovom primeru kapitalisanje neprekidno, u tom sluaju je

Kod korišenja nansijskih tablica, faktor aktuelizacije je predstavljen IV

nansijskim tablicama

–1)/r

(r–1) = IV

odnosno, ako imamo m puta ulaganje i kapitalisanje

–1)/r

(r–1) = IV

p/m

Obrazac za faktor aktuelizacije se može dobiti i na sledei nain:
Imajui u vidu da je budua suma svih dekurzivnih uloga na kraju n-tog

perioda S

= U(100/p) [(1+P/100)

-1] a onda tu vrednost diskontujemo sa fak-

torom r

-n

Iz ovakve interpretacije faktora aktuelizacije, vidimo da ga karakterišu e-

tiri veliine: (C

) -

sadašnja vrednost niza uloga

, (u) -

visina uloga

, (i) -

interes

(n) -

period ulaganja

Kada su ulaganja anticipativna (poetkom perioda), sadašnja vrednost je

C´

= u[(1-(1+i)

-n

]

(1+i) / i

Kod korišenja IV nansijskih tablica, kod anticipativnih uloga imamo

n-1

C´

= u(1 + IV )

odnosno za m puta kapitalisanja i m puta ulaganja u toku godine

mn-1

C´

= u(1 + IV )

p/m

Kada su plaanja poetkom obraunskih perioda sa dekurzivnim obraunom

interesa, faktor aktuelizacije izraunavamo po formuli

= 1+

-1)/r

(r-1)

Odnosno sa korišenjem nansijskih tablica

n-1

= IV

U ovoj formuli se vidi da se broj obraunskih perioda umanjuje za 1, tj. pla-

anje na poetku prvog obraunskog perioda ne diskontujemo jer je izvršeno na
dan kada se traži sadašnja vrednost C

Na sledeoj liniji prvi period ima poetak u taki 0 a kraj u taki 1, drugi

period poinje u taki 1 a završava u taki 2 itd. Tako možemo rei da je od take
0 do take 8 proteklo 8 jedininih perioda.

Posmatrajmo sada trenutak (

) nekog plaanja koji prikazujemo na ovoj vre-

menskoj skali

Neka je jedinini period mesec, (na skali imamo oznaeno 8 meseci). Prvi

mesec na skali poinje od 0.

Možemo da kažemo da je prva uplata (

) na kraju drugog meseca (perioda) ali je

isto tako tano da je prva uplata na poetku treeg meseca (perioda). Isto tako možemo
da kažemo da je poslednja uplata (

) na kraju petog ili na poetku šestog meseca.

Kada neku transakciju ili obraun vezujemo za poetak nekog perioda kaže-

mo da je transakcija ili obraun anticipativno tj. izvršeno unapred.Ako transakciju
(plaanje, obraun itd.) vezujemo za kraj nekog perioda, onda kažemo da je tran-
sakcija dekurzivna.

Plaanja u nizu sukcesivnih perioda (uplate, isplate) nazivamo anuitetima.
Uoimo razliku i uporedimo sledee anuitete

a) anticipativni anuiteti

b) dekurzivni anuiteti

U ovom primeru, kod anticipativnih anuiteta imamo isti broj anuitetalata (4

zvezdice) kao i kod dekurzivnih. Meutim, kod anticipativnih imamo n=3 prote-
kla perioda a kod dekurzivnih imamo n=4 perioda.

Dakle, kod anticipativnih uplata je (n-1) broj perioda je za 1 manji od broja

anuiteta, a kod dekurzivnih (n) je broj perioda jednak sa brojem anuiteta.

Zbir anuiteta možemo izraunavati u bilo kom momentu. Znaajna su dva

momenta, koja se nazivaju:

1) Sadašnja vrednost

(Present Value

)

2) Budua vrednost

(Future Value)

Kod obinih anuiteta,

(ordinary annuity or annuity immediate)

, sadašnja vred-

nost PV

(Present Value)

je vezana sa jednim periodom pre prvog plaanja, dok je

budua vrednost

(Future Value)

vezana za momenat poslednjeg plaanja.

Lociranje sadašnje vrednosti (PV) i budue vrednosti (FV), na vremenskoj

skali, kod obinih anuiteta

Sadašnju vrednost obinih anuiteta

( Present Value for an Ordinary annui-

ty)

izraunavamo pomou formule

An(ord) = R[1-(1+i)

-n

] / i

Saglasno konvenciji o standardu SOA

An= Ra

Ako su ulozi anticipativni sadašnju vrednost niza uloga izraunavamo

po formuli

u(1-r

-n

)r/(r-1)

Buduu vrednost na kraju perioda poslednjeg uloga daje formula u(r

-1)r/(r-1)

The notation of the Society of Actuaries (SOA)

Takoe je sa drugim oznakama: za r=1+i ; u=R u (r

-1)/(r

r-1)

7. OTPLATA ZAJMOVA I KREDITA

Nain otplaivanja zajma može biti razliit.Razmotriemo sluaj sa jed-

nakim anuitetima.

Anuitet je suma sa kojom se otplauje zajam u utvrenim rokovima, koja

u sebi sadrži interes i otplatu glavnice.

Plaanje interesa se može poklapati sa plaanjem anuiteta i sada razmatra-

mo taj sluaj.

Kada se zajam otplauje (amortizuje) sa jednakim anuitetima, dužnik pla-

a krajem svakog perioda amortizacije stalnu veliinu. Pošto zajam mora biti
jednak zbiru svih diskontovanih anuiteta na dan isplate zajma, to e diskontova-
na vrednost na dan isplate anuiteta koji se plaa biti:

Krajem prve godine a/r

Krajem duge godine a/r

…
krajem n-te godine a/r

r=(1+p/100)

Zbir svih sadašnjih vrednosti anuiteta jednak je zajmu

K= a/r + a/r

+…+ a/r

Ako ovaj izraz pomnožimo sa r, imamo

Kr= a + a/r + a/r

+ …+ a/ r

n-1

Kr- K = a – a/r

Kr-K=(a+a/r+a/r

+...+ a/r

n-1

)- (a/r +a/r

+...+ a/r

)= a- a/r

K(r-1) = a (1- 1/r

) ; a-a/r

= a (1- 1/r

)

Tako da imamo K= a ( 1- (1/r)) / (r-1)

ili

K= a ( r

-1) / r

(r-1)

Tako smo dobili formulu za izraunavanje anuiteta a= K

(r-1) / ( r

-1)

Ako je plaanje anuiteta i kapitalisanje m puta godišnje, imamo

K= a ( r

n m

-1) / r

n m

(r-1)

a= K

n m

(r-1) / ( r

-1)

Napomena:

Interesni inilac r =(1 + p/100m)

Kako je u formuli K= a ( r

-1) / r

(r-1)

–1) / r

(r–1) = IV

odnosno u formuli K= a ( r

n m

-1) / r

n m

(r-1)

n m

–1) / r

n m

(r–1) = IV

sledi a = K/ IV a = K/ IV

p p

n n

Pošto je V

= 1/ IV

p p

n nm

to je anuitet a = K V i a= K V

p p

7.1. IZRADA PLANA OTPLATE ZAJMA SA JEDNAKIM ANUITETIMA

Kada izraunamo iznos anuiteta, pristupamo sainjavanju plana otplate za-

jma. Plan otplate zajma vrši se prema sledeoj šemi

100.000 – 18.463= 81.537

U drugom anuitetu se sadrži 4% interesa (81.537 x 4%= 3.261,48) tako da

kada ovaj interes oduzmemo od anuiteta dobijamo otplatu glavnice

22.463- 3.261,48= 19.201,52

Ostatak duga posle drugog anuiteta iznosi 81.537 - 19.201,52= 62.335,48

U treem anuitetu kamata iznosi

62.335,48 x 4% = 2.493,42

a otplata glavnice

anuitet – interes 22.463 – 2.493,42 = 19.969,58

Posle treeg anuiteta ostatak duga je

62.335,48-19.969,58= 42.365,90

Kada na ostatak duga obraunamo kamatu 4%

42.365,90 x 4%= 1.694,63

i za ovaj interes umanjimo anuitet dobiemo otplatu glavnice

(22.463 – 1.694,63=20.768,36

Tako glavnica posle otplate etvrtog anuiteta iznosi

42.365,90-20.768,36=21.597,54

Na ovaj ostatak duga zaraunavamo 4% interesa, tako da je interes 863,90

Otplata ostatka duga 21.597,54 i interesa 863,90 daje u zbiru iznos posled-

njeg anuiteta.

Radi preglednosti podatke možemo prikazati tabelom

Ostatak duga

Interes

Otplata

Anuitet

100.000

4.000

18.463

22.463

81.537

3.261

19.201

22.463

62.336

2.493

19.970

22.463

42.366

1.695

20.768

22.463

21.598

864

21.598

22.463

307.837

12.313

100.000

112.315

7.2. IZRADA PLANA OTPLATE ZAJMA SA JEDNAKIM OTPLATAMA

(SA NEJEDNAKIM ANUITETIMA)

Kod ovog plana polaznu osnovu ini otplata b= K/n
U ovom sluaju anuiteti opadaju po aritmetikoj progresiji, tj. Svaki sledei

anuitet je manji za godišnji interes na otplatu (bp/100)

Prvi anuitet a

= b( 1+ np/100)

Drugi anuitet a

= a

– (bp/100)

Trei anuitet a

= a

– 2 (bp/100)

…
a

= a

– n (bp/100)

Šema za ovaj amortizacioni plan je

Period ot-

plaivanja

Iznos

Interes

Otplata

Anuitet duga

Kp/100

K/n

= (K/n)(1+ np/100)

K – K/n

(K – K/n)p/100

K/n

= a

– (bp/100)

K – 2(K/n)

(K – 2(K/n)/100

K/n

= a

– 2 (bp/100)

Kada izraunate vrednosti unesemo u tabelu dobijamo

Ostatak duga

Interes

Otplata

Anuitet

100.000

4.000

20.000

24.000

80.000

3.200

20.000

23.200

60.000

2.400

20.000

22.400

40.000

1.600

20.000

21.600

20.000

800

20.000

20.800

12.000

100.000

112.000

8. KONVERZIJA DUGOVA

Konverzija duga se vrši sporazumno, na predlog dužnika a uz pristanak poverio-

ca. Naješe dužnik traži da plaa manji anuitet, sa produžavanjem perioda otplate.

Sa matematikog stanovišta za konverziju zajma su karakteristina dva sluaja:

1) dan promene uslova se poklapa sa danom plaanja anuiteta

2) dan promene uslova se ne poklapa sa danom plaanja anuiteta

U prvom sluaju, kada se dan promene uslova poklapa sa danom plaanja

anuiteta, potrebno je najpre izraunati ostatak duga a potom se pravi plan kao da
je ostatak duga dat na zajam prema novim uslovima.

Ako se dan promene uslova ne poklapa sa danom plaanja anuiteta, ostatak

duga se izraunava sa korekcijom ostatka duga na dan plaanja zadnjeg anuiteta.
Korekcija se vrši sa prostim interesom.

Meusobna zamena dva niza uloga

Ako su sadašnje vrednosti dva niza uloga jednake, tada se ti nizovi mogu

meusobno zameniti.

Ako imamo niz od n dekurzivnih godišnjih uloga po

novanih jedinica, taj

niz možemo zameniti sa nizom od n

godišnjih dekurzivnih uloga. Interesna stopa

je p%(pa)d sa godišnjim kapitalisanjem. Treba odrediti visinu novog uloga a

Postavljamo relaciju

u[ 1-(1+i)

-n

]

/ i = a

[ 1-(1+i)

-n*

]

/ i

a odavde sledi

= u[ 1-(1+i)

-n

]/ [ 1-(1+i)

-n*

]

Pojedinosti

Pristup odluivanja je znaajan kod plasmana slobodnih sredstava osigura-

nja. Naroito posle objavljivanja radova H. Markoviza ukupna problematika -
nansijskih derivata i upravljanje rizicima aktive izlazi iz okvira osiguranja, prem-
da prirodno ima puno dodirnih taaka.

Mi ovde razmatramo opšti pristup riziku izbora, koji je tretiran u teoriji od-

luivanja.

U pristupu teorije odluivanja, oluke o prihvatanju ili ne prihvatanju rizika

razmotriemo posle uvoda u temu, u narednom izlaganju .

Odluka se može doneti:

1. na osnovu obaveštenja a priori

2. na osnovu oekivanog gubitka

3. na osnovu obaveštenja a priori i istraživanja na osnovu uzorka

Polaznu osnovu u teoriji odluivanja ine kriterijumi- akcije i efekti mogu-

ih odluka, tj. baza kriterijuma sa matricom efekata:

Ishodi akcije

...

e11

e12

...

e1j

...

e1n

e21

e22

...

e2j

...

e2n

ai1

ai2

...

aij

...

ain

em1

em2

...

emj

...

emn

gde su: ai - mogue akcije

Sj - mogui ishodi

eij - efekti akcije ai za ishod Sj

Rezultat svakog eksperimenta u statistici mogue je tumaiti kao donošenje

jedne od moguih odluka.

Na primer A={a} oznaava skup svih moguih odluka (a)

vezanih za jedan

statistiki eksperiment, tako da rezultat statistikog eksperimenta ini ureena n-
torka realnih brojeva x=(x

,...,x

) koju interpretiramo kao vrednost koju je uzeo

uzorak X=(X

,...,X

), iz prostora uzorka ={X}, tj. iz skupa svih ureenih n-

torki realnih brojeva x=(x

,...,x

Prostor uzorka uzimamo kao skup svih moguih ishoda statistikog

eksperimenta , ili je skup u kome n-dimenzionalna sluajna promenljiva
X=(X

,...,X

), uzima vrednosti sluajnog uzorka.

U teoriji odluivanja, de niše se funkcija odluivanja d(.) iz preslikavanja

prostora uzorka u skup odluka A.

Na taj nain svakom moguem ishodu x statistikog eksperimenta pridružu-

jemo tom funkcijom jednu odluku a:d(x)=a.

Kada nam je poznata raspodela verovatnoa u prostoru uzorka, odno-

sno kada imamo raspodelu verovatnoa n-dimenzionalne sluajne promenljive
x=(x

,...,x

), u principu (bar teorijski) svaki problem je rešen.

Uzimajui da raspodele verovatnoa nad skupom A zavise od parametra i

da su sa vrednošu tog parametra potpuno odreene.

Pri tome skup svih vrednosti parametra oznaavamo sa ={}.
U principu, poznavanjem vrednosti parametra , znai poznavanje raspode-

le nad skupom A, tj. znamo kolike su verovatnoe pojedinih odluka (a).

Meutim, ta raspodela naješe nije poznata i jedino znamo da pripada ne-

kom skupu raspodela, a takoe nam nije poznata vrednost .

Postavlja se pitanje kako izabrati funkciju odluivanja i opšti pristup tom

problemu je sledei:

1. De nišemo funkciju gubitka L(a;) kao numeriku funkciju nad pro-

izvod prostorom A, tj. funkciju koja svakoj odluci

A i svakoj vrednosti

parametra , pridružuje broj L(a;) koji reprezentuje gubitak pri toj odluci i pri
tom parametru.

Oigledno, može se de nisati i funkcija dobitka U(a;).

Na primer

U(a;) = - L(a;)

2. De nišemo funkciju rizika, na taj nain što svakom ishodu statistikog

eksperimenta x A, odgovara preko funkcije odluivanja d, jedna odluka a=d(x) i
funkcija gubitka L(d(x);).

Na taj nain, pre pristupanja statistikom eksperimentu (“uzimanju” uzor-

ka), ishod je n-dimenzionalna sluajna promenljiva X, tako da funkcija gubitka
postaje sluajna promenljiva

L(d(x);).

U principu se razlikuju dve grupe kriterijuma (akcija) u zavisnosti da li po-

laze ili ne polaze od verovatnoe.

Ukratko emo navesti poznate kriterijume, kao i njihove osnovne karakteristike.

Min-max kriterijum

minimizira gubitak koji može nastati izborom pogrešne

odluke. Iz matrice gubitaka bira se opcija koja donosi najmanji gubitak.

Max-min je kriterijum

kojim se odreuje najnepovoljniji (pesimistiki) is-

hod svih akcija, sa izborom opcije sa najmanjim gubitkom. Kriterijum izražava
krajnji oprez pri odluivanju.

Max-max je tzv. kriterijum optimizma

jer sugeriše izbor one akcije koja daje

najvei dobitak.

Hurvicz-ov kriterijum

je kompromis izmeu kriterijuma optimizma i kriteri-

juma pesimizma.Kriterijum se formuliše tako što se prvo opredeljuje odreeni koe-
cijent optimizma, a potom na bazi njega odrediti oekivani efekat svoje odluke.

Opredeljenje odreenog koe cijenta optimizma je subjektivno ili zasnovano

na prethodnim eksperimentima.Na bazi oekivanih efekata svake akcije bira se
ona akcija za koju su oekivani efekti maksimalni.

Laplasov kriterijum

se zasniva na dodeljivanju jednake verovatnoe svakom

ishodu, sa izborom akcije sa maksimalnim oekivanim efektom.

Bajesov kriterijum

se zasniva na verovatnoama aposteriori ili na subjektiv-

nim verovatnoama, koje se koriste kao prave (apriorne).

Za svaku akciju se odreuje oekivani efekat a izbor se vrši na osnovu mak-

simalnog efekta, ukoliko su efekti pozitivni, odnosno minimalnog efekta ukoliko
su efekti gubici.

Prema Bajesovom kriterijumu, za optimalnu akciju je oekivani rizik mini-

malan.

Kriterijum maksimalne verodostojnosti

se zasniva na pridruživanju verovat-

noe svakom ishodu i izborom akcije u okviru ishoda sa maksimalnom verovatno-
om za koju je efekat maksimalan.

Kriterijum oekivane novane vrednosti

, zasniva se na matrici efekata i

vrednostima verovatnoa koje je mogue pridružiti ishodima.

Pridruživanje verovatnoe svakom ishodu je subjektivno i stvar procene do-

nosioca odluke.Iz matrice efekata utvruju se oekivane novane vrednosti i na
osnovu njih se bira akcija sa optimalnom oekivanom novanom vrednosti.

Kriterijum oekivanih žaljenja

, zasniva se na utvrenim vrednostima žalje-

nja iz matrice efekata i verovatnoa ishoda.Izbor akcije se vrši prema minimumu
vrednosti oekivanih žaljenja.

Ovaj kriterijum omoguava donosiocu odluke da pronae oekivanu vred-

nost perfektne informacije.

Perfektna informacija odgovara oekivanom žaljenju najbolje akcije prema

kriterijumu oekivanih žaljenja, tj. ona predstavlja maksimalnu vrednost koju do-
nosilac odluke sme da plati radi prikupljanja dodatnih informacija u cilju smanji-
vanja neizvesnosti u razmatranom problemu.

Kriterijum oekivane vrednosti iz centralne tendencije

.Optimalna akcija je

ona kod koje je najvea oekivana sadašnja vrednost, sa najmanjom standardnom
devijacijom.

Kriterijum koe cijenta varijacije

. Odreuje se iz kolinika standardne de-

vijacije i oekivane vrednosti, pri emu se polazi od toga da manja standardna
devijacija odražava manji rizik (uži interval varijacija moguih ishoda).Bira se
ona akcija sa najmanjim pozitivnim koe cijentom varijacije.

Kriterijum funkcije korisnosti

, zasniva se na izražavanju subjektivnog stava do-

nosioca odluke prema riziku.Bira se akcija sa najveom oekivanom korisnošu.

Kriterijum ekvivalentne sigurnosti

.Ovaj kriterijum se takoe zasniva na

izražavanju subjektivnog stava donosioca odluke prema nošenju rizika.

Ako je donosilac odluke kod alternativnog odluivanja indiferentan izmeu

jedne od alternativa i sigurne sume novca koja mu je na raspolaganju, onda ova
suma novca predstavlja ekvivalent sigurnosti.

Prema ovom kriterijumu sugeriše se izbor alternativne odluke koja ima naj-

vei ekvivalent sigurnosti.

Sada emo pokazati primenu prethodno obrazloženih teorijskih postavki.
Rizik prihvatamo ili ga odbacujemo. Neprihvatanje rizika (odluka a

) i pri-

hvatanje rizika (odluka a

), vrši se inspekcijom dva sluaja koja sadrži prostor

uzorka. Jedan sluaj je prihvatljiv (1) a drugi sluaj nije prihvatljiv (0), tako da
prostor uzorka sadrži tri elementa

A={(1,1),(0,0),(1,0).

Možemo de nisati najviše 8 funkcija odluivanja (2

) i to:

(0,0)

(1,0)

(1,1)

Oigledno je da su funkcije odluivanja d

i d

trivijalne, dok je npr. d

sasvim razumna.

Lako uoavamo da princip min-max daje minimum maksimuma funkcije

rizika za funkciju odluivanja d

1. Primer odluka na osnovu obaveštenja a priori:

Kriterijum je maksimalna oekivana dobit kod izbora odluke ija se realiza-

cija oekuje u toku odreenog vremenskog perioda.

Osigurava razvija novi portfelj i ima dilemu: da li da proizvod neposredno

prodaje u toku pet godina ili da prodaju ustupi brokerskoj organizaciji

Kako je budua prodaja neizvesna, nju možemo klasi kovati u tri nivoa:

jaka, srednja i slaba.

Ako se odlui da sam prodaje (odluka d1), ostvarie istu dobit pri jakoj

prodaji 120 NJ, po srednjoj 40 NJ, a pri slaboj prodaji e ostvariti gubitak 10 NJ.

Ako prodaju ustupi brokerskoj organizaciji (odluka d2), ostvarie pri jakoj

prodaji ist dobitak 60 NJ, pri srednjoj prodaji ist dobitak 20 NJ i pri slaboj pro-
daji ist dobitak 5 NJ.

Šema dve odluke i tri dogaaja je sledea

120

- 10

Slaba prodaja je najnepovoljniji dogaaj i zato od njega polazimo. Kod od-

luke d

preduzee je na gubitku za 10 NJ, a kod odluke d

ist dobitak je 5 NJ.

Oigledno, izbor e pasti na drugu odluku .
U ovakvim primerima možemo uoiti da nije racionalno osloniti se na

princip min-max, kada je mogunost najgoreg dogaaja u razliitim situacijama
minimalna.

Prihvatljiviji je pristup da se kod izbora odluke uzme u obzir verovatnoa

nastupanja pojedinih dogaaja i pomou nje izraunata oekivana dobit za svaku
odluku. Tada izbor pada na odluku sa najveom oekivanom dobiti.

Ovakva dilema se redovno pojavljuje u osiguranju života, gde prodaju u sopstvenoj režiji prate

relativno visoki ksni troškovi u prvim godinama lansiranja programa, koje osigurava uvek
želi da minimizira.

Ako prethodni primer dopunimo sa informacijom o verovatnoi za pojedine

vrste prodaje:

Prodaja

Verovatnoa

0,30

0,50

0,20

Formiramo sledeu šemu:

Prodaja

odluka (d

)

odluka (d

)

verovatnoa (p)

dobit D

verovatnoa (p)

dobit D

0,30

120

0,30

0,50

0,20

-10

-2

0,20

Vidimo da je oekivana dobit vea kod odluke d

Ovakvi zadaci se rešavaju i putem oportunog gubitka (do koga dolazi ako se

propusti izbor najbolje odluke).

Kod jake prodaje najbolja je odluka d

jer obezbeuje 120 NJ iste dobiti.

Oportuni gubitak kod odluke d

je 120-120=0, kod odluke d

je 120-60=60.

Prodaja

odluka (d

)

odluka (d

)

verovatnoa (p)

pOG

verovatnoa (p)

pOG

0,30

0,50

0,20

Vidimo da je u datom primeru najmanji oportuni gubitak kod odluke d

(sopstvena prodaja), koju emo izabrati. Ovaj metod se naziva minimax opor-
tuni gubitak.

Iz takvih parova vrednosti, uzetih kao promenljive X i Y može se doi do

razliitih oblika funkcije korisnosti.

Funkcije korisnosti tipa a) utvruju se polazei od toga da ljudi normalno

pridaju vei znaaj veim sumama novca nego manjim.

Takve funkcije su karakteristine za subjekte koji nisu skloni riziku, koji pre-

feriraju manje novane iznose uz veu sigurnost nego velike iznose sa rizikom.

Funkcije korisnosti tipa b) su linearne i karakteristine za lica koja su indi-

ferentna na rizik.

Funkcije korisnosti tipa c) utvruju se za lica kod kojih je karakteristina

sklonost prihvatanja rizika.

3. Primer odluivanja na osnovu obaveštenja a priori i istraživanja na

osnovu uzorka.

U ovaj primer uvodimo i obaveštenja dobijena na osnovu uzorka i na taj

nain se dobija revidirana verovatnoa a priori, odnosno dobija se verovatnoa
aposteriori pomou koje se izraunava oekivana dobit.

Korekcija verovatnoe apriori vrši se korišenjem Bijesove teoreme.
Dilema izmeu sopstvene prodaje ili ustupanja prodaje iz primera 1, uz ras-

polaganje sa verovatnoom apriori koja se pridružuje jakoj, srednjoj i slaboj pro-
daji, može da se odloži da bi se ocenila prodaja. Neka rezultat uzorka pokazuje da
e prodaja biti srednja (S).

Verodostojnost rezultata formuliše se prema sledeem.Verovatnoa srednje

prodaje je 90%.

Meutim, kada je prodaja jaka, oko 20% uzorka pokazuje prodaju kao sred-

nju, a kada je ona slaba, 30% uzorka je pokazuje kao srednju.

Ovo su uslovne verovatnoe nastajanja S za dogaaje

Verovatnoe a posteriori primenom Bajesove teoreme dobijamo prema sle-

deem:

Dogaaji

Verovatnoa

a priori

(

)

Uslovna vero-

vatnoa

(S/

)

(

(S/

)

Verovatnoa

a posteriori

(

/S)

0,30

0,20

0,06

0,11

0,50

0,90

0,45

0,78

0,20

0,30

0,06

0,11

Zbir

1,00

0,57

1,00

Sada izraunavamo oekivane dobiti na osnovu verovatnoe a posteriori

Prodaja

odluka (d

)

odluka (d

)

verovatnoa (p)

a posteriori

dobit (D

)

verovatnoa (p)

a posteriori

dobit (D

)

0,11

120

13,20

0,11

6,60

0,78

31,20

0,78

15,60

0,11

-10

-1,10

0,11

0,55

1,00

43,30

1,00

22,75

Uoavamo da je oekivana dobit sa a posteriori verovatnoama manja od

oekivane dobiti sa a priori verovatnoama i za jednu i za drugu odluku, ali i u
ovom sluaju je bolje donošenje odluke o sopstvenoj prodaji (odluka d

1.2. METODE OCENE EFIKASNOSTI INVESTICIONIH ULAGANJA

Razvoj nansijskog tržišta, sa pojavom novanih derivata koji imaju svojstvo

prinosa, potpuno se izmenilo klasino shvatanje pojma investicionih ulaganja.

Promena oblika angažovanja kapitala, koje se registruje u aktivi bilansa

ne mora biti u smeru osnovnih sredstava za koja je vezan klasian pojam inve-
sticija, ve uopšte u hartije od vrednosti (obveznice, akcije drugih preduzea i
druge prinosne hartije), sa kojima se može trgovati na primarnom i sekundarnom
nansijskom tržištu.

U savremenoj teoriji

, akcenat u vrednovanju nije samo prinos koji se od

investiranja oekuje ve i rizik koji taj prinos može dovesti u pitanje, odnosno
zbog koga je prinos varijabilan pa ak i potpuno neizvesan.

Portfolio teorija, koju je utemeljio Markovitz H.M, razvija se u dva prav-

: normativni i pozitivni. Pozitivna portfolio teorija je razvila dva osnovna

modela: model vrednovanja kapitala CAPM (Capital Asset Pricing Model) i

Prof. Dr Milovan Staniši; Doc. Dr Ljubiša V. Stanojevi : Analiza rizika investicionih proje-

kata sa posebnim osvrtom na vremenski reverzibilni model markovljevih lanaca.Fakultet za
nansijski menadžment i osiguranje, asopis “Finansije, bankarstvo, revizija, osiguranje”, broj
4; oktobar-decembar 2004. godine.

Dr Dejan B. Šoški: Hartije od vrednosti upravljanje portfoliom i investicioni fondovi; Drugo

izdanje str.127. Ekonomski fakultet Beograd 2001.

tada je kapitalna vrednost u odnosu na trenutak t

= (b

/ r + b

t+1

+ … + b

t+n

) – (a

/ r + a

t+1

+ a

t+n

/ r

)

ovde r= 1+ p/100 imamo dekurzivni interesni inilac.

Ako je interesna stopa promenljiva, tada je

= [(b

/ (1+p

/100) + b

t+1

/ (1+p

/100)

+ … + b

t+n

/(1+p

/100)

] –

- [(a

/(1+p

/100) + a

t+1

/(1+p

/100)

+ a

t+n

/ (1+p

/100)

]

Ako je kamatna stopa konstantna r=(1+p/100), tada je diskontna stopa
1/r, tj. zbir diskontovanih razlika primitaka i izdataka

= NP

+ (NP1/r) + (NP2/r

)+...(NPn/r

)

Primer:

Vek projekta

Neto primici

Diskontni faktor

sa p= 11,5%

(2 x 3)

- 166.436

1,0000

- 166.436

- 252.370

0,8967

- 226.300

- 378.595

0,8043

- 304.504

483.462

0,7214

348.769

483.050

0,6470

312.533

482.623

0,5803

280.066

482.178

0,5204

250.925

481.782

0,4667

224.848

477.159

0,4186

199.740

869.062

0,3754

326.246

Neto sadašnja vrednost projekta

1.212.583

Neto sadašnja vrednost projekta

1.212.583

100

Za izraunavanje neto sadašnje vrednosti investicionog ulaganja možemo

koristiti nansijsku funkciju NPV(rate,value1,value2,...)

U konkurenciji više investicionih varijanti (projekata) bolja je ona opcija

koja ima veu neto sadašnju vrednost.

Interna stopa rentabiliteta

Interna stopa rentabiliteta je diskontna stopa koja svodi neto sadašnju vred-

nost projekta investicije na nulu. Tu diskontnu stopu lako izraunavamo kada zna-
mo algoritam.

De nicija interne stope rentabiliteta ukazuje da je kod nerentabilnog investi-

cionog ulaganja stopa negativna.

0 =

Ako kod jedne investicije investiciona ulaganja: a

, a

, … a

vršimo u momentima:

...t

a prihode od investicije:

, b

, … b

ostvarujemo u momentima:

...t

tada iz relacije

101

Premda je metod interne stope rentabiliteta široko rasprostranjen kod ocene

e kasnosti investicionog ulaganja, ovaj metod nije preporuljiv ako se u periodu
eksploatacije investicije povremeno javljaju neto gubici, tj. javljaju se dopunska
investiciona ulaganja.Tada e neto sadašnja vrednost menjati predznak više od
jedan put, pa praktino dobijamo više od jedne interne stope rentabiliteta.

Meutim, kombinovanje ocene sa navedena dva metoda, veoma su korisne.

1.3. KOMPJUTERIZOVANE FINANSIJSKE FUNKCIJE

U nansijskom menadžmentu je razvijen niz nansijskih operacija, koje su

pojmovno odreene sa algoritmom kompjuterskih izraunavanja. Toga e u bu-
dunosti biti sve više, pre svega zbog uštede vremena i opšeg poveanja efektiv-
nosti. Ve sada je Excel neizostavan alat za razliita izraunavanja.

U prethodnom izlaganju upoznali smo i koristili smo neke od nansijskih

funkcija, kao na primer:

PMT, PV i FV.

Ovde emo sa numerikim podacima iz primera koje smo ve pokazali, uka-

zati na povezanost ovih funkcija.

U primeru kredita 12000 na 6 meseci sa 12% (pa)d, videli smo da mesena

rata iznosi 2,070.58 dinara PMT(12%/12,6,12000)= 2,070.58

Ako bi poetkom šestomesenog perioda ulagali po 2,070.58 dinara, sadaš-

nja vrednost tih uloga sa 12% (pa)d bila bi

PV(12%/12,6,2070.58, ,0) = 12000 dinara

Ako bi postavili pitanje, koliki meseni iznos treba da štedimo sa 12% (pa)

d, da bi posle 6 meseci imali 12.000 dinara, odgovor je

PMT(12%/12,6, ,12000)= 1,950.58 dinara

Primer:

1) Ako bi u narednih 10 godina, krajem svake godine ulagali po 10.000 sa 4%

(pa)d, kolika bi bila sadašnja vrednost tih uloga ( poetkom 10-godišnjeg perioda).

103

= 10.000 (1,04

-1) / 1,04

(1,04-1) = 81.108,96

Za izraunavanje se može koristi nansijska funkcija PV (

Present value

)

PV(4%,10,10000,0)=81.108,96

2) Ako bi u narednih 5 godina, krajem svake godine ulagali po 1.000 sa 4%

(pa)d, kolika bi bila sadašnja vrednost tih uloga ( poetkom 5-godišnjeg perioda).

= 1.000 (1,04

-1) / 1,04

(1,04-1) = 4.451,82

PV(4%,5,1000,0)=4.451,82

1.4. KOMPLEKSNO VREDNOVANJE

Možemo formulisati niz ocena, po razliitim kriterijuma za vrednovanje bilo

kog sistema (projekat, portfelj osiguranja i sl.), pri emu svaki kriterijum ima re-
lativan uticaj koji nije unapred poznat.

U kompleksnom vrednovanju ni jednom kriterijumu unapred ne dajemo vei

ili manji znaaj u odnosu na druge, tj. unapred ne istiemo njihovu hijerarhiju.
Svaki kriterijum izražavamo skalarnom veliinom-ocenom.

Metodološki, u opštem sluaju, ne ulazei u opis kriterijuma, postavlja se

problem njihovog sintetizovanja.

Ovakvi problemi se rešavaju komplikovanim modelima u kojima polaznu

osnovu ine korelacione matrice.

Prikazaemo originalan metod, inae razvijen radi ocene relativne stabil-

nosti portfelja osiguranja u njihovom razvoju, a koji se kao što smo napomenuli
može koristiti i za kompleksnu ocenu investicionih ulaganja.

Ovaj metod ima nekoliko dobrih osobina. Na primer, model omoguava po-

reenja dobijenih rezultata u prostoru i vremenu jer sadrži etalon (kontrolni por-
tfelj) koji ima ulogu repera.

Broj kriterijuma poveava dimenzije korelacione matrice ali nije ogranien

tj. u principu možemo imati bilo koji konanan broj (s obzirom na mogunosti
kompjuterske obrade).

Osnovni zadatak je da ocenimo koji investicioni projekat daje najbolje er-

fekte, tj. rang boniteta, ako sve projekte vrednujemo istim kriterijumima.

104

Realna i uvedena hipotetika stanja projekata de nišu matricu stanja

Matrinim množenjem

-1

ili posredno preko koe cijenata proste

korelacije, dobija se korelaciona matrica

oblika

0,263

0,189

- 0,041

0,263

0,228

0,193

0,189

0,228

0,081

- 0,041

0,193

0,081

det

= 0,823

Sada je potrebno rešiti matrinu jednainu da bi matricu izrazili polinomom

i odredili nule polinoma.

Prvo odreujemo matricu

,iz relacije

- 4E (zbir elemenata

po glavnoj dijagonali-trag matrice R je 4) ; P

–3

0,263

0,189

–0,041

0,263

–3

0,228

0,189

0,228

–3

0,081

–0,041

0,193

0,081

–3

iz matrinog množenja A

-2,893

-0,49

-0,321

0,148

-0,49

-2,841

-0,39

-0,378

-0,321

-0,39

-2,905

-0,135

0,148

-0,378

-0,125

-2,954

= 1/2 tr

= –5,796

sada odreujemo matricu

po istom postupku kao i

106

2,903

-0,49

-0,321

0,148

-0,49

2,955

-0,39

-0,378

-0,321

-0,39

2,891

-0,125

0,148

-0,378

-0,125

-2,842

matrinim množenjem

dobijamo

2,707

0,228

0,127

-0,091

0,228

2,664

0,16

0,18

0,127

0,16

2,731

0,046

-0,091

0,18

0,047

2,752

= 1/3 tr

= 3,618

-0,911

0,228

0,127

-0,091

0,228

-0,954

0,16

0,18

0,127

0,16

- 0,887

0,046

-0,091

0,18

0,047

-0,866

= A

-0,823

0,000

-0,823

0,000

-0,823

0,000

-0,823

Elementi traga ove matrice jednaki su vrednosti determinante R (-1)

= 1/4 tr A

= –0,823

Dobijeni skalari Pi : P1; P2; P3; P4 su koe cijenti karakteristinog polino-

ma korelacione matrice R.

107

dobijamo Y1= A3/D3 = 1,42 Y2= B3/D3 = 1,799 Y3=C3/D3=1,501

Normirajui vektor je b=1/

—

= 0,342

Iz proizvoda vektora b i skalarnih veliina Yi, dobijamo vektor

X =bY

0,486; 0,616; 0,514; 0,342

odnosno vektor Rzs=

—

1,505 X

0,596; 0,755; 0,63; 0,419

Ostaje da polaznu matricu stanja pomnožimo transponovanim vektorom

Rzs

Na taj nain dobijamo agregatnu ocenu projekata:

Stanja portfelja

agregatni

kriterijumi

max

min

27,82 30,534 32,7

29,46

29,3

30,7

30,6

35,298

25,37

31,1

35,2

30,8

34,0

Kontrolu vršimo tako što se sve ocene moraju nai u granicama (min max).

Zakljuujemo da projekti imaju sledei rang:

Rang:

1 2 3 4 5 6 7

Stanje: C

(sve ocene stanja se nalaze izmeu H-max i H-min).

Najbolje je stanje portfelja C, prema agregiranim kriterijumimama (a,b,c,d)

a najslabije je stanje projekta A.

U odnosu na primenjenu metodologiju potrebno je uoiti sledee:

109

Ako utvrdimo razlike najvee i najmanje vrednosti kriterijuma

Max

0,25

Min

0,142

Max-Min

0,108

Sa druge strane razlike

Hmax

35,298

31,126

35,217

30,88

34,041

Hmax-Hi

4,172

0,081

4,418

1,257

vidimo da kolinik (Hmax-Hi)/(Max-Min) daje elemente vektora Rzs

k1 = 4,172/7 =

0,596

k2 = 0,081/0,108 = 0,755

k3 = 4,418/7 =

0,631

k4 = 1,257/3 =

0,419

Na taj nain ostvarujemo konanu kontrolu ovog složenog postupka.
Relativni uticaj kriterijuma (u ovoj jednokratnoj oceni stanja) je sledei

kriterijum

element Rzs

uticaj %

0,596

24,823

0,755

31,445

0,631

26,281

0,419

17,451

Diskusija rezultata:

Stanje projekta C je najbolje po agregiranoj oceni, uprkos tome što najsla-

bije zadovoljava kriterijum d. Zatim slede stanja F, G, B..., dok je stanje projekta
A najslabije.

Sva stanja se nalaze izmeu hipotetikog stanja H max i H min.
H-max je najbolje hipotetiko stanje projekta, a H-min najslabije, kod jed-

nokratne ocene stanja.

Kod ocena u narednom periodu, novi vektor H-max se može uporediti sa

prethodnim.

110

Primenjene matematike metode koje se koriste u osiguranju života na-

zivaju se aktuarskom matematikom. Osiguranje života, na naunoj osnovi za-
sniva se na teoriji verovatnoe. Premda je osiguranje života bilo poznato u
najranije doba, po principima uzajamnosti, ono je tek sa primenom rauna ve-
rovatnoe (Izveštaj o vrednostima životnih renti-holananin John de Wit 1671
god. i prvih tablica smrtnosti - engleski astronom E.Halley 1693 god.), odnosno
sa primenom zakona velikih brojeva i sa demografskim statistikim podacima,
postavljeno na naunu osnovu.

1. OSIGURANJE ŽIVOTA POJAM I ZNAAJ

Neke vrste osiguranja života su speci ni oblici štednje u kojoj, osim ka-

matne stope i dužine perioda ulaganja, esencijalnu ulogu ima verovatnoa smrti
osiguranog lica.

Osiguranje života, na naunoj osnovi, sprovodi se ve preko dvestape-

deset godina. Ono, pored znaaja za pojedince, kao delatnost ima veliki druš-
tveni i privredni znaaj. Pored klasinih vrsta osiguranja života (osiguranje
kapitala i osiguranje rente) koje su imale izuzetno važnu ulogu dok se nije ra-
zvio sistem socijalnog osiguranja ( socijalno-obavezno penzijsko i zdravstve-
no osiguranje), do sada se razvio veliki broj marketinški oblikovanih vrsta. Na
primer: osiguranje miraza, ili kapitala za poetni biznis, osiguranje stipendije
za školovanje itd.

113

osiguravaa, bez obzira što osigurani rizici, odnosno interesi koji su sa njima
povezani, imaju stohastiki karakter.

Bankarske organizacije prikupljaju slobodna novana sredstva graana

uglavnom na dva naina

: ulozima na štednju i preko tekuih rauna graana.

Štediša (deponent) na novane uloge (depozite) u bankama ostvaruje interes,

a banke obezbeuju kreditne potencijale iz kojih odobravanjem kredita ostvaruju
kreditnu kamatu.

Iz razlike ostvarene kamate i interesa koji se pripisuje depozitima štediša,

banke pokrivaju troškove poslovanja i ostvaruju pro t.

U nansijskoj matematici upoznali smo izraunavanja krajnjih vrednosti ka-

pitala ukamaivanjem jednog poetnog ili više sukcesivnih uloga . Kod jednokrat-
nog poetnog uloga krajnju vrednost kapitala izraunavali smo po formuli

= K (1+ p/100)

Kod niza sukcesivnih uloga po 1 u godišnjim razmacima tokom n godina,

koji se godišnje kapitališu sa složenim interesom, formira se niz prema sledeem:

Na kraju prve godine 1 uloženo poetkom godine naraste na 1+i.
Na ovaj iznos poetkom sledee godine sa uloženim 1 imamo (1+i)+1.
Na kraju druge godine pripisivanjem interesa imamo

[(1+i)+1](1+i) = (1+i)

+(1+i).

Na kraju tree godine imamo

(1+i)

+(1+i)

+(1+i).

Ako napišemo z=(1+i) dobijamo niz: z+z

+... z

n-1

+ z

To je geometrijska progresija, kod koje suma predstavlja krajnju vrednost

svih depozita, na kraju perioda ulaganja. (u nansijskoj matematici: faktor do-
dajnih uloga)

Kn = z(z

-1)/(z-1)

Sadašnja vrednost svih buduih anticipativnih uloga po 1, tokom n godina 1

K = 1+

[

n-1

- 1)/(z

n-1

)(z-1)

]

Slavko Cari: Bankarski poslovi i hartije od vrednosti, str 52, Savremena administracija

Beograd 1981

115

Na primer, ako poetkom svake godine, u periodu 20 godina ulažemo po

10.000, a naš štedni ulog se svake godine kapitališe sa složenim interesom 4%
godišnje, na kraju perioda emo imati

Kn = 309.692.

Ako želimo da na poetku svake godine , u periodu 20 godina, podižemo

iznos 10.000 godišnje, a naš štedni depozit se svake godine kapitališe sa složenim
interesom 4% godišnje, potrebno je sada uložiti

K = 10.000 x

[

1+(1.04

-1) / (1,04

x0,04)

]

= 141.339,39

Proverimo ovu raunicu 309.692= 141.339,39 x 1,04

Vidimo da godine starosti deponenta, odnosno verovatnoa smrti i doživlje-

nja, nemaju nikakav uticaj na visinu interesa koji se pripisuje štednom ulogu.

U osiguranju života, ove verovatnoe imaju esencijalni znaaj. Krajnjoj

vrednosti depozita, u osiguranju života je korespondentna osigurana suma, a po-
etnoj vrednosti depozita premija osiguranja.

Verovatnoa da e osoba koja sada ima x godina doživeti x+t godina, izrau-

nava se iz biometrijske funkcije l

= l

x+t

/ l

Pošto je funkcija l

pozitivna i difercijabilna u intervalu (x, x+d

), verovat-

nou da e lice staro x godina umreti u tom intervalu jednaka je

– l

x+dx

) / l

Ako bi neka osoba koja sada ima x godina osigurala za sluaj doživljenja da

joj se isplati posle isteka n godina, 1 osigurane sume, sada treba da plati iznos (

), što se aktuarski izraunava prema sledeem:

(

) = (1+i)

-n

= V

, gde je V= 1/ (1+i) diskontni faktor

dalje, kada diskontujemo broj živih lica starosti x+n godina i broj živih lica starosti
x godina dobijamo da je

x+n

) =D

x+n

i ( V

) =D

116

= V

[[

U osiguranju, kod osiguranja za sluaj doživljenja, uslov za isplatu je da

osiguranik bude u životu po isteku n godina, odnosno kod zajednikog osiguranja
dva lica, uslov za isplatu je da oba lica budu živa na dan ugovorene isplate.

Dve osobe, A i B, koje imaju pristupnu starost x i y , imaju složenu verovat-

nou da zajedno prežive sledeih n godina.

To je verovatnoa

=(l

x+n

)( l

y+n

) =

Verovatnoa da ni osoba A ni osoba B nee doživeti x+n godina je

= 1+

–(

)

Verovatnoa da e posle n godina samo osoba A biti živa

=(1-

)

Verovatnoa da e posle n godina samo osoba B biti živa

=(1-

)

Isplata osigurane sume kod osiguranja života može biti povezana sa slua-

jem smrti osiguranika, ili sa nekim buduim dogaajem, odnosno rokom.

Uslovi osiguranja, u okviru kojih se naroito reguliše obaveza isplate osigu-

rane sume, utvruju se unapred i oni ine sastavni deo ugovora o osiguranju.

Osiguranje je postojalo u razliitim društvenim zajednicama

, na princi-

pima uzajamnosti i solidarnosti, bilo da je propisivano zakonom (Hamurabijev
zakon oko 2.250 godine p.n.e.) ili je primenjivano kao obiaj.

Meutim, osiguranje života sa novanim naknadama u sluaju ostvarivanja

osiguranog sluaja za koje su uplate premije morale da se vrše unapred, bilo je
mogue tek sa pojavom rauna verovatnoe

, primenom zakona velikih brojeva i

demografskih statistikih podataka.

Da bi uoili razliku izmeu štednje u banci i osiguranja života, uporeujemo

efekte oroene štednje u banci na period n= 20 godina, koja se kapitališe jedan put
godišnje dekurzivno 5%(pa)d, sa osiguranjem života.

Dobrosav Ogrizovi: Ekonomika osiguranja, ZOIL Sarajevo 1985 g.

C.D.Daykin,T.Pentikainen, and M.Pesonen: Practical Risk Theory for Actuaries, Claim reser-

ving rules str. 240 Chapman Hill, London 1993

118

Za primer uzimamo mušku osobu sada staru x=20 godina i drugu mušku

osobu sada staru x=50 godina.

Ako u banci posle 20 godina dobijamo Kn= 10.000 tražimo odgovor ko-

liko sada treba jednokratno uložiti. Odgovor dobijamo tako što Kn podelimo sa
(1,05)

, odnosno dobijamo da je K= 3.768,90

Sumu od 3.768,90 može sada uložiti lice staro 20 godina ili lice staro 50 godina

i ugovoriti da posle 20 godina iznos od 10.000 može podii lice sa ovlašenjem.

Vidimo da ni pristupna starost ni pol lica ne igra nikakvu ulogu u izrauna-

vanju budue vrednosti.

Kod osiguranja života, lice koje je sada staro X godina može zakljuiti ugo-

vor o osiguranju života, sa trajanjem n godina:

a) na sluaj smrti

b) na sluaj doživljenja

c) mešovito i na sluaj smrti i na sluaj doživljenja

U primeru muške osobe X=20, n=20 u osiguranju a) na sluaj smrti, osi-

gurava neposredno posle smrti osigurane osobe isplauje 10.000 a jednokratna
premija za to osiguranje iznosi 206,49. Meutim ako osigurana osoba ostane živa
posle 20 godina, osiguranje prestaje i osiguravajua kompanija nee ništa isplatiti
jer se nije ostvario osigurani sluaj.

Kod osiguranja b) na sluaj doživljenja, osigurava po isteku 20 godina pla-

a ako je osiguranik živ 10.000 a ako je osiguranik ranije umro ne plaa ništa. Za
ovakvo osiguranje jednokratna premija iznosi 3.634,52

Kod osiguranja c) na sluaj smrti i na sluaj doživljenja, osiguravajue druš-

tvo e svakako isplatiti 10.000 i to u sluaju smrti neposredno posle ostvarivanja
tog dogaaja ili za sluaj doživljenja na kraju perioda osiguranja. Za ovo osigura-
nje jednokratna premija je (206,49 +3.634,52)= 3.841,01

Vidimo da je sadašnja uplata kod osiguranja 3.841,01 dok je u banci 3.768,90.

Razlika se pojavljuje zbog toga što kod osiguranja za sluaj smrti osiguranika
isplata sledi neposredno, dok bi taj efekat u banci mogli dobiti tek sa razoroava-
njem, naravno sa eskontom.

Uoimo razliku (3.841,01 – 3.768,90)= 72,11.
U primeru muške osobe X=50, n=20 u osiguranju a) na sluaj smrti, osigu-

rava neposredno posle smrti osigurane osobe isplauje 10.000 a jednokratna pre-
mija za to osigiguranje iznosi 1.973,84. Meutim ako osigurana osoba ostane živa
posle 20 godina, osiguranje prestaje i osiguravajua kompanija nee ništa isplatiti
jer se nije ostvario osigurani sluaj.

119

2. OSNOVNI PRINCIPI OSIGURANJA ŽIVOTA

Osiguranje života se sprovodi zakljuivanjem ugovora, po kome osiguranik

(ugovara osiguranja) pod ugovorenim uslovima plaa osiguravau premiju osigu-
ranja a osigurava isplauje za predvieni sluaj ugovorenu osiguranu sumu.

Premija osiguranja može biti jednokratna ili u ratama. Kada je premija jed-

nokratna naziva se miza, a kada je ugovoreno plaanje premije u ratama, rata može
biti mesena, tromesena, polugodišnja ili godišnja.

Postoje vrste osiguranja života kod kojih može biti ugovoreno da se premi-

ja plaa doživotno, ali se naješe plaa odreeni broj godina, odnosno unapred
odreeni broj rata.

Rate premije osiguranja mogu biti jednake ili promenljive. Osigurana suma

takoe može biti konstantna ili promenljiva.

Dospee isplate osigurane sume, koju vrši osigurava, zavisi od toga šta je

ugovoreno kao osigurani sluaj.

Osigurani sluaj, u osiguranju života, može biti doživljenje do utvrenog

roka ili smrt osiguranog lica pre isteka nekog unapred odreenog roka.

Osiguranje života se zasniva na dva osnovna principa: princip velikih bro-

jeva, prisutan u pretpostavci da portfelj osiguranja bitno ne odstupa od tablica
smrtnosti, tj. da se postiže slian rezultat kao da su se osigurala sva lica iz tablica
smrtnosti.

Prema iskustvenim normama, portfelj sa više od 500 osiguranih lica, na pri-

bližno jednake osigurane sume zadovoljava ovaj princip.

Drugi princip, je princip ekvivalencije ili jednakosti zbira sadašnjih vred-

nosti svih premija, koje osiguranici imaju da uplate, sa sadašnjom vrednosti svih
isplata koje e Osigurava imati da isplati svim osiguranicima, odnosno korisnici-
ma osiguranja za vreme trajanja osiguranja

Sadašnja vrednost u osiguranju života se izraunava pomou diskontne stope Dx/Dx+t, a ne

kao u nansijskoj matematici.

121

Interesna stopa kod izraunavanja komutativnih brojeva je 3%; 4%;4,5%,

što oigledno u uslovima devalvacije nije dovoljno,tako da se osigurane sume
obezvreuju.

Posledica toga je gubtak poverenja i interesa osiguranika, mada devalvacija

nastupa mimo volje osiguravaa i osiguranika, kao svojevrsna preraspodela nov-
anog kapitala koju vrši monetarna vlast.

Budui da je tako, ima primera u svetu da je država nadoknaivala osigu-

ravaima gubitak u premijskoj rezervi, odnosno revalorizaciju osiguranih suma.
(Finska i Izralel)

Osiguranje života se razvilo iz potrebe ljudi da, sa nastupanjem odreenog

roka ili nastupanjem osiguranog sluaja-smrti, obezbeuju planiranu sumu novca
(osiguranu sumu).

Osiguranje života je specijalan vid štednje, o kojoj svako lice u aktivnom

dobu mora da vodi rauna, bilo zbog obezbeenja sredstava za starost- sa osigura-
njem na sluaj doživljenja, ili zbog obezbeivanja sredstava za vanredne izdatke,
osiguranjem na sluaj smrti.

Osiguranje života pretstavlja kombinaciju osiguranja od rizika i štednje.

Mešovito osiguranje, na sluaj smrti i na sluaj doživljenja je jedno od osnovnih i
verovatno najrasprostranjenijih osiguranja života.

Premda je osiguranje života poelo masovno da se razvija pre 250 godina, u

uslovima u kojima nije bila institucionalizovana kolektivna socijalna zaštita (pen-
zijsko, invalidsko i zdravstveno osiguranje),do danas nije izgubilo u aktuelnosti,
što je evidentno u svetu.

Osiguranje života zasnovano na demografskoj statistici, odnosno na princi-

pima koji su slini sadašnjim, poelo je masovno da se razvija u XVII veku. Danas
poznata kao najstarija tablica smrtnosti datira iz 1746 godine.To je tzv. Deparcie-
ux-ova tablica.

Takoe su poznate tablice publikovane 1806 godine Duvillardove tablice,

zatim tablice 17 engleskih društava iz 1843 godine, “amerikanske tablice” iz 1868
godine, tablice 23 nemaka društva iz 1883 godine, zatim francuske tablice iz
1900 godine i austrijsko- maarske tablice iz 1900 godine itd.

Da bi se sprovodilo osiguranje života, odnosno izraunala potrebna premija

za ovo osiguranje, potrebni su statistiki podaci iz kojih se vidi tok života i izumi-
ranja jedne grupe lica sa jednom unapred odreenom starošu.

Takvi statistiki podaci su prikupljani na dva naina: iz podataka za jednu

grupu lica iste starosti ili iz podataka za više grupa lica razliite starosti. U pr-
vom sluaju je za izradu tablica smrtnosti potrebno statistiko praenje u dugom

Antonije Tasi: Osiguranje u teoriji i praksi br.2 1990 godine.

122

Verovatnoa života jednog lica u relaciji

=1- {[ (l

- l

x+n

)]/ l

}

pokazuje statistikim putem dobijen brojni odnos živih lica tokom vremena.

Verovatnoa, da od l

lica starih x godina izvesan broj ne doživi x+1-vu go-

dinu, iznosi q

. Dakle, q

je verovatnoa smrti jednog lica.

Ove dve verovatnoe ine potpuni skup moguih ishoda i budui da je

=1, kada izraunamo jednu od verovatnoa (smrti ili života), uvek mo-

žemo izraunati i suprotnu verovatnou.

=1- p

= d

= (l

- l

x+n

)/ l

Intenzitet smrtnosti je verovatnoa jednog lica x godina da e umreti za be-

skrajno kratko vreme-trenutno- svedena na jednu godinu

Od l

lica starih x godina, posle n godina bie živih l

x+n

lica. Zato je ve-

rovatnoa da e lice staro x godina, posle n godina biti živo, data jednainom
/nP

= l

x+n

Suprotna verovatnoa, da e od l

lica starih x godina, u toku n godina umreti

- l

x+n

lice,

data je jednainom

/nq

=(l

-l

x+n

)/l

= 1- /nP

(zbir /nP

+/nq

=1.)

Verovatno trajanje života dobijamo iz jednaine

x+n

=1/2

tj. dobijamo da je l

x+n

Na primer ako tražimo verovatno trajanje života za mušku osobu sta-

ru 30 godina, u tablicama nalazimo l

= 94147 i kada ovaj broj podelimo sa 2

/2)=47073,5 što odgovara starosti 73<x<74, odnosno verovatno trajanje života

tog lica je izmeu 73 i 74 godina.

Srednje trajanje života lica starog x godina izraunava se na osnovu toka

jedne grupe od l

lica. Od ovih lica x+1-vu godinu doživi l

x+1

lice.

124

Od ovih, l

x+1

lica doživelo je x+2-gu godinu starosti l

x+2

lica itd.

Sva lica iz grupe l

lica proživela su ukupno

x+1

x+2

+... godina

Jedno lice proživi

=(l

x+1

x+2

+...)/l

Ova jednaina ne obuhvata vreme koje su preživela lica umrla u toku (x+1-

ve),(X+2-ge)... godine starosti.Pošto ova lica nisu uzeta u raun izlazi kao da je
odmah u poetku x+1-ve godine bilo živih l

x+1

, a ne l

lica, u poetku x+2-ge go-

dine l

x+2

živih a ne l

x+1

itd.

Ta greška se popravlja na sledei nain:

A) Uzima se kao da su lica umrla u toku (x+1)-ve godine umrla na kraju

(x+1)-ve godine tj. da su sve do kraja (x+1)-ve godine bila u životu l

lica, do kraja

(x+2)-ge godine da su bila u životi l

x+1

lice itd.

B) Uzima se kao da su lica umrla u toku godine, umrla u sredini te godine.

Kada ove dve pretpostavke izrazimo formulama, dobijamo

1) e

=(l

x+1

+...)/l

=1+e

2) e

=1/2+l

x+1

x+2

+... / l

= 1/2 + e

i njihova aritmetika sredina daje srednje trajanje života.

Na primer, za lice staro 40 godina izraunavamo:

1) e

=26,78 ; 2) e

=27,78 e

=27,28 godina.

U teoriji osiguranja života se u odnosu na ugovorene uslove isplate osigu-

rane sume, koju vrši osigurava, razlikuju dve osnovne grupe osiguranja života:
osiguranje kapitala i osiguranje rente. Kod osiguranja kapitala isplata osigurane
sume se vrši po pravilu jednokratno, dok se kod osiguranja rente isplate osigurane
sume vrše višekratno u unapred odreenim rokovima.

125

Izraunavanje komutativnih brojeva za ispodgodišnje plaanje

Napomena: najpre treba obraunati komutativne brojeve N

r oznaava broj

uplata premije za jednu godinu.

Ukoliko je plaanje mesecno r =12, za kvartalno r = 4, za polugodišnje r = 2.

(za r=12

(12)

= N

0,4664

k je kamatna stopa (3%; 3,5%;4%; 4,5 %)

gde je

, k je kamatna stopa (3%; 3,5%;4%; 4,5 %)

(za r=12

(12)

= d

0,974009

______________________________________________

Napomena:

1) Komutativni brojevi za osiguranje dva lica se izraunavaju isto kao i za jedno lice stim što
se prethodno mora izraunati q

i osnovni komutativni brojevi l

i d

2) Autor je za svoje potrebe napravio softversku aplikaciju sa kojom generiše komutativne
brojeve. U prilogu su dati izvodi tablica.

127

Specijalni komutativni brojevi koji se koriste u aktuarstvu penzijskog

osiguranja

u relaciji sa komutativnim brojevima osiguranja života

+ D

x+1

) = l

x+1/2

= S

Za aktuarstvo penzijskog osiguranja potrebno je pratiti tok izmena u statusu

aktivnih (zaposlenih) lanova penzijskog fonda po starosnim grupama.

Kod promene broja lanova penzijskog fonda važni su podaci o broju lica:

– koja napuštaju posao NPx

– koja su umrla dx

– koja su postala invalidi IPx

– koja su ostvarila pravo na starosnu penziju Spx

128

Zbog invalidnosti:

Zbog odlaska u starosnu penziju:

130

3. VRSTE OSIGURANJA ŽIVOTA

Postoje veoma razliite klasi kacije osiguranja života i razliiti komer-

cijalni (marketinški) nazivi pojedinih vrsta i tipova ugovora osiguranja života.
Za ugovarae osiguranja, odnosno osiguranike, važno je da dobro proue prava,
obaveze i ogranienja po konkretnoj polisi, zbog mogue zablude.

Dobrovoljno penzijsko osiguranje se bitno razlikuje od klasinog osiguranja

line rente, premda u našoj praksi, neki osiguravai svoje ponude osiguranja line
rente nazivaju penzijskim osiguranjem!

Isto tako, kod domaeg najviše rasprostranjenog klasinog mešovitog osi-

guranja na sluaj smrti i na sluaj doživljenja, ugovorena osigurana suma za
sluaj smrti je konstantna i ne zavisi od toga u kojoj godini perioda osiguranja
osiguranik umre.

Meutim, kod nekih inostranih kompanija, slino osiguranje za sluaj smr-

ti i doživljenja, bitno se razlikuje. Ugovorena osigurana suma za sluaj smrti se
eskontuje (umanjuje) prema tzv. otkupnoj vrednosti za sluaj smrti. Brokeri osigu-
ravaa na ovu razliku ne ukazuju.

Meutim, ugovarau osiguranja, koji na ovu razliku ne obrati pažnju može se uini-

ti da za istu premiju kod ovog drugog osiguranja dobija veu osiguranu sumu.

Slian sluaj imamo kod osiguranja iste rente i osiguranja rente sa garanto-

vanim periodom isplate. U prvom sluaju renta koju osigurava isplauje vea je
od rente sa garantovanim periodom isplate.

Kod doživotnog osiguranja za dve osobe može biti ugovoreno “second-

to-die” (samo u sluaju smrti druge osobe).

Zajedniku rentu na dva života ne treba mešati sa zajednikom život-

nom rentom.

Kod osiguranja zajednike rente na dva života, isplata rente se vrši sve

do smrti oba osiguranika, a kod zajednike životne rente isplate se gase nakon
prve smrti.

131

Prema nainu na koji se prodaju, u SAD postoje etiri osnovne vrste osigu-

ranja života:

– Obino životno osiguranje (cca 59% ukupnog osiguranja života u SAD)

– Industrijsko životno osiguranje

– Grupno životno osiguranje (cca 40%)

– Kreditno životno osiguranje

U praksi se svi ugovori osiguranja života mogu podeliti na dve vrste

• ugovori koji pružaju samo osiguranje života (osiguranje na odreeni rok) i

• ugovori koji ukljuuju element štednje ili investicija, (nazivaju se esto

gotovinske polise).

Prema ovom sistemu podele imamo:

– Osiguranje na odreeni rok

– Doživotno osiguranje

– Darovno osiguranje

– Univerzalno osiguranje života

– Prilagodljivo osiguranje života

– Promenljivo osiguranje života

U klasi kaciji osiguranja života, podela se može izvršiti prema sledeim

kriterijumima

• Prema nainu zakljuivanja ugovora:

– sa lekarskim pregledom

– bez lekarskog pregleda

• Prema broju osiguranih lica:

– individualno

– grupno

• Prema osiguranom sluaju:

– na sluaj smrti

– na sluaj doživljenja

– mešovito (sluaj smrti ili doživljenja)

Z.Petrovi, T.Petrovi: Osiguranje života, Glosarijum Beograd 2003

J.Koovi P.Šuleji: Osiguranje; Ekonomski fakultet Beograd 2002 g

133

– sa utvrenim rokom (term x)

• Prema nainu isplate osigurane sume:

– osiguranje kapitala

– osiguranje rente

• Prema korisniku osiguranja:

– lino

– u korist treeg

Sa stanovišta formiranja tarifa, možemo razlikovati sledee vrste osiguranja

života:

– Osiguranje kapitala

– Osiguranje stalnog kapitala

– Osiguranje promenljivog kapitala

1.1. Doživotno osiguranje kapitala, može biti:

1.1.1. neposredno doživotno osiguranje kapitala

1.1.2. odloženo doživotno osiguranje kapitala

1.2. Privremeno osiguranje kapitala može biti:

1.2.1.neposredno privremeno osiguranje kapitala

1.2.2.odloženo privremeno osiguranje kapitala

Osiguranje rente može biti u sledeim oblicima:

– Osiguranje stalne rente

– Osiguranje promenljive rente

– Osiguranje iste rente

– Osiguranje rente sa garantovanim periodom isplate

2.1. Osiguranje doživotne rente može biti:

2.1.1. Osiguranje neposredne doživotne rente

2.1.2. Osiguranje odložene doživotne rente

2.2. Osiguranje privremene rente može biti:

2.2.1. Osiguranje neposredne privremene rente

2.2.2. Osiguranje odložene privremene rente

134

U novoj amerikoj i kanadskoj literaturi

esto sreemo aktuarske formule

koje nisu zasnovane na klasinim komutativnim funkcijama.

Suštinska aktuarska razlika je u tome što evropski aktuari (škola klasinog ak-

tuarstva osiguranja života) verovatnoe života tretiraju sa diskretnim funkcijama ras-
podele, a ameriko-kanadska škola sa neprekidnim raspodelama verovatnoa.

Zbog toga na primer, umesto klasine interpretacije intenziteta smrtnosti

= (l

x+1

– l

)/ 2l

(3.1)

U interpretaciji neprekidne raspodele verovatnoa smrtnosti, intenzitet

smrtnosti je

= - (l

’

/ l

) gde je l

’

prvi izvod funkcije (dl

)= l

’

(3.2)

dalje sledi

= - 1/l

(dl

) = - d log l

/ d

(3.3)

Integraljenjem ove jednaine u granicama od x do x+1 dobijamo

log (l

x+1

/ l

) =

(3.4)

i odavde

x+1

/ l

= p

(3.5)

Na kraju imamo

= e

– u

(3.6)

gde je u odreeni integral funkcije intenziteta smrtnosti sa granicama od x do x+1.

Na ovaj nain je postavljen temelj za sve aktuarske formule u interpretaciji

bez komutativnih brojeva.

Life Insurance Products and Finance Charting clear cours: D.B. Atkinson (FSA) and J.W.Dallas

(FSA) Published by the Society of Actuaries 2000; Schanmburg Illinois.

136

Klasina teorija sa komutativnim brojevima, u periodu pre pojave kompju-

tera, imala je ogroman znaaj u praksi.

Sa druge strane savremeno aktuarstvo se ne može zamisliti bez kompjuter-

ske tehnologije u kojoj se svi prorauni (naravno i integrali) vrše sa numerikim
algoritmima.

U takvom savremenom pristupu, bez obzira na matematiku eleganciju,

nismo dobili novu teoriju osiguranja života. Ipak, kolege naši aktuari, ukoliko
imaju nameru da se okušaju na ameriko-kanadskom tržištu, moraju detaljno da
proue aspekte nove teorije, a posebno mnogobrojne tržišne modalitete i tipove
ugovora koji su zasnovani na razliitim poreskim rešenjima od jedne do druge
države u SAD.

Isto tako, nailazimo na pojavu da se tarife osiguranja života zasnivaju na tzv.

ultimativnim tablicama (umesto na tablicama smrtnosti) ili da se kod osiguranja na
sluaj smrti koriste jedne tablice, a kod osiguranja na doživljenje druge

Nažalost naše klasine aktuarske osnove

u osiguranju života još nisu osa-

vremenjene.

Kod nekih vrsta osiguranja u našoj praksi, uvažavane su razlike u polu,

tj. primenjivale su se posebne tablice smrtnosti za žene i za muškarce. Me-
utim, i dalje se iste tablice primenjuju npr. kod osiguranja kapitala na sluaj
smrti i osiguranja rente, gde je bitna verovatnoa doživljenja. Isto tako, kod
osiguranja dva života pomone tablice za izjednaenu starost, za sluaj x=y ,
ne predviaju poveanje pristupne starosti za tari ranje (ista premija za dva
osigurana lica kao za jedno)!

Tables de mortalite TD 73-77 et TV 73-77:

Pierre Petauton: Theorie et pratique de l

assurance

vie, str.206,207.

Program obuke aktuara : ZOR JUGOSLAVIJA; Beograd 1968-1969 g.

Predavanja: Anton Potonjak; Branko Manojlovi; Radovan-Raka Sreji; Stevan Rusinjak.

Literatura: M.Radojkovi: Osnovi matematike osiguranja Beograd 1930 g

Sretenovi-Veselinovi: Osiguranja na život sa osnovama kombinatorike i rauna verovatnoe
Beograd 1929 g.

I.Lah: Najlepše poglavlje zavarovalne matematike; Glasnik udruženja aktuara br.1 1937 god.

V.Vrani: Osnovi nansijske i aktuarske matematike; Školska knjiga, Zagreb 1947 g

137

za individualno odloženo doživotno osiguranje kapitala, na sluaj smrti

= M

x+k

/ D

ili

x,n

za individualno neposredno privremeno osiguranje kapitala, na

sluaj smrti

= (M

– M

x+n

) / D

ili

k/n

za individualno odloženo privremeno osiguranje kapitala, na

sluaj smrti

= (M

x+k

– M

x+k+n

) / D

Osiguranja kapitala koji u periodu osiguranja sukcesivno raste

ili

x,n

za individualno neposredno osiguranje kapitala, na sluaj

smrti

ili

k/n

za individualno odloženo privremeno osiguranje kapitala,

na sluaj smrti

Napomena:
U sluaju kada kapital opada znak + ispred

menja se u minus.

1.2. Mešovito osiguranje kapitala za sluaj smrti i doživljenja

Ovo je kombinovano osiguranje, koje može biti neposredno privremeno

= (M

– M

x+n

+ D

x+n

) / D

ili odloženo privremeno

k/n

= (M

x+k

– M

x+k+n

+ D

x+k+n

) / D

139

1.3. kod osiguranja kapitala koji u periodu osiguranja sukcesivno opada

ili

x,n

za individualno neposredno privremeno osiguranje kapitala

ili

k/n

za individualno odloženo privremeno osiguranje kapitala

2.1. Osiguranje stalne line rente

Oznaka za jednokratnu premiju doživotne neposredne line rente je

sa godišnjim plaanjima

= N

/ D

a sa m plaanjima godišnje

(m)

= N

(m)

/ D

(m)

ili manje precizno sa godišnjim tablicama komutativnih brojeva

esto se umesto mize traži iznos osigurane sume za jedinicu premije. Ranije

smo rekli da se ona dobija iz reciprone vrednosti premije

S = D

/ N

odnosno za jedinicu bruto premije npr. ako je (++= 0,10)

S = D

(1- 0,10) / N

Ako se ova renta isplauje m puta u toku godine, tada je osigurana suma za

jedinicu jednokratne bruto premije

S = D

(m)

(1- 0,10) / N

(m)

Oznaka za jednokratnu premiju odložene doživotne rente je

i sa godiš-

njim ratama rente, jednokratna premija iznosi

140

kod osiguranja line rente koja sukcesivno opada

ili a

x,n

za neposrednu privremenu linu rentu

{[(S

x+1

– S

x+n

)/D

] / D

}-[(n-1)

]

Navedeni i drugi aktuarski simboli olakšavaju meusobne komunikacije ak-

tuara širom sveta, jer e iste pojmove na primer sa izrazom

x ,

imati i aktuari iz

Francuske i aktuari iz Japana.

Kao što smo napred naveli, plaanje premije, osim jednokratno prilikom

zakljuivanja osiguranja, može biti u ratama, koje dospevaju u odreenim ugovo-
renim rokovima (meseno, kvartalno, polugodišnje, godišnje tj m puta u godini),
tokom itavog perioda osiguranja ili u periodu n godina.

Iznos rate premije izraunavamo tako što jednokratnu premiju dotinog osi-

guranja podelimo sa mizom za neposrednu linu rentu (jer je isti sluaj kao da
rentu plaa ugovara osiguranja). U zavisnosti od toga da li se premija plaa pri-
vremeno ili doživotno i miza ove rente e biti za privremenu ili doživotnu nepo-
srednu linu rentu.

Kada se premija plaa u ratama, imamo sledee sluajeve:

a) doživotno plaanje premije

b) privremeno plaanje premije

Plaanje premije u ratama ima sve karakteristike rente, sa tom razlikom što

plaanje vrši ugovara osiguranja.

Tarifu za bilo koje osiguranje života, sa plaanjem godišnjih premija for-

miramo na taj nain što jednokratnu premiju ugovorenog osiguranja podelimo sa
jednokratnom premijom za osiguranje rente koja se isplauje jedanput godišnje.
Na taj nain dobijamo ratu premije, odnosno u njenom recipronom iskazu dobi-
jamo osiguranu sumu.

Kod doživotnog plaanja premije u jednakim godišnjim ratama, prema na-

pred navedenom imamo

Godišnja rata premije = (Miza ugovorenog osiguranja) / a

Kod privremenog plaanja premije n godina, u godišnjim jednakim rata-

ma, imamo

Godišnja rata premije = (Miza ugovorenog osiguranja) / (

)

142

Kod formiranja tarifa postoje dva aktuarska pristupa u vezi sa plaa-

njem premije osiguranja života u ratama, koje dospevaju u periodu kraem
od jedne godine.

U jednom pristupu ispodgodišnje plaanje se tretira kao kreditiranje osigu-

ranika, sa tarifom premija koje su obraunate za godišnje rate.

U ovom sluaju na primer kod mesenog plaanja premije osnovna rata je

jedna dvanaestina godišnje premije uveana za kamatu, kod kvartalnog plaanja
osnovna rata je jedna etvrtina godišnje premije uveana za kamatu itd.

U drugom aktuarskom pristupu, kod izrade tehnikih aktuarskih osnova,

obraunavaju se pomoni komutativni brojevi za ispodgodišnje periode.

Ovi komutativni brojevi nose u eksponentu simbol (m). Na primer, m=12

pokazuje da se radi o mesenim periodima, m=2 da se radi o polugodišnjim
periodima itd.

U skladu sa navedenim, imenilac bi kod mesene rate premije koja se plaa

n godina, bio izražen u obliku mize za neposrednu privremenu rentu koja se ispla-
uje svakog meseca tokom n godina.

(12)

U saglasnosti sa navedenim:

Mizu za neposrednu doživotnu rentu koja e se isplaivati m puta godišnje

doživotno, može se napisati u oblicima

(m)

= N

(m)

/ D

ili

(m)

m [(N

/ D

) – (m-1)/2m]

Miza za neposrednu privremenu rentu koja e se isplaivati m puta godišnje,

može se napisati u sledeim oblicima

(m)

= (N

(m)

-N

x+n

(m)

)/Dx

ili

(m)

= m{[(N

-N

x+n

)/Dx] - [(m-1)/2m][1-(D

x+n

)]}

143

Razmotrimo sledei primer

Muška osoba stara x=40 godina osiguralo je kapital K=100.000 dinara da se

isplati naslednicima posle njegove smriti. Režijski troškovi su 40‰ od osigurane sume.
(Koriste se tablice 1982 za muškarce sa 5%.)

a) Koliko iznosi jednokratna bruto premija?

b) Koliko iznosi godišnja doživotna premija?

c) Koliko iznosi godišnja premija ako se ugovori plaanje godišnjih premija

za 20 godina?

d) Koliko iznosi mesena premija ako se ugovori da se plaa tokom 20

godina?

= 3182,6808 ; N

= 207796 ; N

= 44630 ; D

= 13077,7198

= 0,2433666 A

=207796/13077,7198=15,8893

a) Jednokratna neto premija iznos (100.000 · 0,2433666) = 24336,66
Neto premiju treba poveati za režijski dodatak. Pošto je poveanje osigura-

ne sume za 40‰

proporcionalno sa poveanjem premije, sledi

Bruto premija (24336,66 · 1,04) = 25310,13

b) Doživotna godišnja bruto premija za K=1 P(A

)=M

/ N

/ a

(24336,66 / 15,8893) ·1,04= 1531,64

c) Privremena godišnja premija
prvi nain:

= M

= 0,2433666

/20

= (N

– N

)/D

=12,4766

Bruto premija (0,2433666 / 12,4766) · 100000 · 1,04 = 2028,60

Drugi nain:

/(N

-N

)]=0,0195

Bruto premija (0,0195 · 100000 · 1,04) = 2028,60

145

d) Miza za neposrednu privremenu rentu koja se plaa meseno iznosi

= 12{[

- (11/24)]·[1 – (D

x+n

/ D

)]}

U ovom zadatku x = 40; n = 20

/20

= 12{[

/20

- (11/24)]·[1- (D

/ D

)]}

/20

= 12{[ (N

-N

)/D

] – 0,45833·[1- (4099,5898

/ 13077,7198)]}

/20

=12[ 12,47663 – (0,45833·0,6865)]

/20

=12( 12,47663 – 0,31465)= 145,9437

Bruto premija (0,2433666 / 145,9437) · 100000 · 1,04 = 173,42

U zavisnosti od toga kako je ugovorena isplata rente i plaanje premije, kao

i da li se kod osiguranja rente vrši povratak uplaene premije imamo varijante
osiguranja rente.

Dajemo pregled izraunavanja osigurane sume za varijante osiguranja rente,

sa napomenom da je kod primera sa bruto premijom režijski dodatak 10%.

Kod osiguranja odložene doživotne line rente koja se prima m puta u toku

godine a premija plaa godišnje i u sluaju smrti vraa uplaena bruto premija,
npr. ako je (++= 0,10) , tada osigurana suma iznosi

S=[(N

- N

x+k

) (1-0,10)- (R

- R

x+k

– nM

x+n

)] / m N

x+n

(m)

Ako je odložena doživotna renta sa godišnjim isplatama i m godišnjih rata

bruto premije, bez povrata u sluaju smrti, osigurana suma iznosi

S= m(N

(m)

– N

x+k

(m)

) (1- 0,10)/ N

x+k

Kod ovog osiguranja, sa ugovorenim povratom premije u sluaju smrti, osi-

gurana suma iznosi

S=[ m(N

(m)

- N

x+k

)(1-0,10) – (R

(m)

- R

x+k

(m)

– n M

x+k

(m)

] / N

x+k

Osiguranje odložene doživotne line rente koja se prima m puta godišnje,

za jedinicu premije koja se plaa m puta godišnje, bez povrata premije u sluaju
smrti, osigurana suma iznosi

146

S= [m(N

(m)

- N

x+n

(m)

)(1-0,10)]/ (N

x+n –

x+n+k

)

Osiguranje odložene privremene godišnje line rente za jedinicu bruto pre-

mije koja se plaa m puta u godini, sa povratkom u sluaju smrti

S= [m(N

(m)

- N

x+n

(m)

)(1-0,10)] - [ R

(m)

– R

x+n

(m)

– n M

x+n

(m)

/ (N

x+n –

x+n+k

)

Osiguranje odložene privremene line rente koja se prima m puta u toku

godine, za jedinicu bruto premije koja se plaa m puta u godini, bez povratka u
sluaju smrti

S= [(N

(m)

- N

x+k

(m)

)(1-0,10)]/ (N

x+k

(m)

–

x+n+k

(m)

)

Osiguranje odložene privremene line rente koja se prima m puta u toku

godine, za jedinicu bruto premije koja se plaa m puta u godini, sa povratkom u
sluaju smrti

S= [(N

(m)

- N

x+n

(m)

)(1-0,10)] - [ R

(m)

– R

x+n

(m)

– n M

x+n

(m)

/ m(N

x+n

(m)

–

x+n+k

(m)

)

148

6. PREMIJA ZA OSIGURANJE DVA LICA

U okviru teme koju u ovoj prilici izlažemo, dajemo krai osvrt na osiguranje

dva lica, obuhvaena jednim ugovorom o osiguranju. Osnove ovog osiguranja su
kod nas manje poznate od individualnog osiguranja.

U teoriji i praksi se mogu povezati osiguranja dva osigurana lica, tako da

isplata osigurane sume zavisi od dužine života dve osobe.

Na primer, kod osiguranja rente može biti ugovoreno da se renta isplauje

samo dok su oba lica (naješe brani par) u životu, ili dok je i drugo lice u životu,
samo posle smrti jednog od osiguranih lica itd.

Aktuarske osnove za formiranje tarifa osiguranja dva lica, možemo pripre-

miti prema sledeem

Ukoliko je kod izravnavanja tablice smrtnosti korišena Gompercova jednai-

na, po Simpsonovom metodu (metod prosene starosti) koriste se sledee relacije

= a

gde je

[

(log c

+ log (1+ c

x-y

)

]

/ log c

Ukoliko je kod izravnavanja tablice smrtnosti korišena Mekhemova jed-

naina, po De Morganovom metodu (metod izjednaene starosti) koriste se sle-
dee relacije

x>y ; z = y+t; x-y =h;

gde su x i y pristupne starosti.

t =log [( 1+c

)/2] / log c

Vidoje Ž.Veselinovi, str.193-226.

149

Zbir zbirova

= C

x+1 y+1

+...

U klasinim osnovama osiguranja života dva lica dve pristupne starosti se

svode na jednu. Za pristupnu starost mlae osobe uveanu za t (izraunato po
formuli 1. ili 2.), na osnovu tablica komutativnih funkcija za dva lica, možemo
odrediti sve potrebne parametre za formiranje tarifa, na isti nain kao i kod indi-
vidualnog osiguranja.

Kompjuterska tehnologija nam olakšava izraunavanja, tako da sada jed-

nostavno odreujemo q

, iz relacije 1-(1-q

)(1-q

na osnovu ega, za dati par

pristupnih starosti x i y, formiramo tabelu komutativnih brojeva i izradu svih tarifa
za osiguranje života tog para osoba.

Ilustrujemo jednokratne premije (mize) kod pojedinih vrsta osiguranja živo-

ta dva lica.

Doživotna neposredna godišnja zajednika životna renta,

= N

/ D

Privremena neposredna godišnja zajednika životna renta, najviše n godina.

= (N

– N

x+n y+n

)/ D

Odložena doživotna godišnja zajednika životna renta

= N

x+k y+k

/ D

Jednostrana renta za sluaj nadživljenja. Kod ovog osiguranja lice A osigu-

rava rentu koja se isplauje licu B posle njegove smrti, doživotno.

U domaoj praksi kod nas je ova renta izmeu dva svetska rata bila vrlo

popularna sa komercijalnim nazivom “udovika renta”.

Uslov za isplatu rente, jeste da lice B nadživi lice A.

Miza osiguranja je

x/y

= a

– a

151

Uzajamna renta na sluaj nadživljavanja. Kod ovog osiguranja renta se

isplauje posle prve smrti (umrlo lice A ili B), doživotno

Miza osiguranja je

[

]

/ xy

= a

x/y

+ a

y/x

= a

+ a

– 2a

Uzajamna renta do smrti oba osiguranika (zajednika renta na dva života)

Miza osiguranja je

(2)

= a

+ a

[

]

/ xy

= a

+ a

– a

Odložena renta na sluaj nadživljavanja

Miza osiguranja je

x/y

–

Privremena renta za sluaj nadživljenja

x/y

Odloženo osiguranje kapitala na sluaj smrti, takvo da se osigurana suma

isplauje onom licu koje preživi, na kraju godine u kojoj je jedno osigurano lice
umrlo. Ako u periodu odloženosti budu živa oba osiguranika, osigurana suma se
isplauje na kraju godine isteka odloženosti.

Miza za ovo osiguranje

(1- d a

x+k y+k

)

Kod osiguranja kapitala za dva lica, osim ranije pomenutog mešovitog, raz-

motriemo samo privremeno osiguranje kapitala na sluaj smrti

Miza za ovo osiguranje je

152

V[P(A

)].

Ako se za isto osiguranje premija plaa doživotno ali najviše

godina, pre-

mijska rezerva e biti obeležena sa

P(A

)].

U sluaju mešovitog osiguranja kapitala, kada se premija plaa za vreme

trajanja osiguranja

P(A

x,n]

)].

7.1. KNJIGOVODSTVENA METODA UTVRIVANJA STANJA

PREMIJSKE REZERVE

Stanje fonda premijske rezerve utvruje se krajem svake poslovne godine,

na taj nain što se saldu prethodne godine dodaju neto premije iz tekue godine,
uz kapitalisanje sa istom stopom koja je primenjena kod izraunavanja komuta-
tivnih brojeva.

Grupa od l

lica osigurala se i odmah uplatila l

P(A

) dinara.

U tom momentu totalna premijska rezerva iznosi l

V[P(A

)] =l

P(A

)

Iz ove jednaine se vidi da je pojedinana premijska rezerva u momentu osi-

guranja jednaka premiji. Posle godinu dana, odnosno u momentu kada osigurana
lica budu stara x+1 godinu, ove uplate e porasti na:

P(A

) v

U istom tom momentu osigurava e za svako umrlo lice isplatiti po 1 dinar,

a kako je u (x+1) godini umrlo dx lica, to e stanje fonda premijske rezerve na
kraju prve godine biti:

P(A

)v - dx

U tom momentu ima l

x+1

živih lica a premijska rezerva svakog pojedinca iznosi

V[P(A

)].

Prema tome, imamo sledeu jednainu:

x+1 1

V[P(A

)] =l

P(A

)v- d

Na poetku druge godine fond premijske rezerve e biti uvean za l

x+1

P(A

)

dinara, pa e na kraju druge godine, posle isplate za svako umrlo lice od d

x+1

lica,

po 1 dinar, fond premijske rezerve imati sledee stanje:

154

x+1 2

V[P(A)] =l

x+1 1

V[P(A

)] + l

x+1

P(A

)[ v- d

x+1

=P(A

)(l

x+1

v)- (d

x+1

)

Na ovaj nain možemo izraunati vrednost fonda premijske rezerve posle t

godina preko jednaine:

x+1 t

V[P(A

)] ={l

x+t -1 t -1

V[P(A

)] +l

x+t - 1

P(A

)}v -d

x+t-1

=P(A

)(d

x+1

t-1

+...+l

x+t-1

v)- (d

t-1

x+1

t-2

+... +d

x+t –1

)

7.2. RETROSPEKTIVNA METODA UTVRIVANJA STANJA

PREMIJSKE REZERVE

Kada se stanje premijske rezerve utvruje iz podataka za protekli period, od

datuma poetka osiguranja do datuma utvrivanja stanja premijske rezerve, radi se
o retrospektivnoj metodi utvrivanja stanja premijske rezerve.

Po ovoj metodi premijska rezerva pretstavlja razliku zbira ukapitalisanih

svih uplata i ukapitalisanih svih isplata.

Ako jednainu po kojoj izraunavamo premijsku rezervu knjigovodstvenom

metodom podelimo sa v

x+t

,dobiemo:

x+t t

V[P(A

)] =P(A

)(D

x+1

+...+D

x+t-1

- (C

x+1

+...+C

x+t-1

)

Iz ove jednaine sledi:

V[P(A

)] =[P(A

) (N

-N

x+t

)/ D

x+t

] - (M

- M

x+t

)/D

x+t

Ovu jednainu možemo napisati u obliku

V[P(A

)] =(D

/ D

x+t

)[P(A

)

]

Jasno vidimo da je D

x+t

koe cijent kojim se množi razlika zbira diskon-

tovanih uplata i isplata i na taj nain dobija sadašnja vrednost, tj. u momentu kada
se traži premijska rezerva.

Ako je osiguranje izvršeno uplatom mize, tada umesto P(A

)

treba staviti

mizu, a ako se radi o takvoj vrsti osiguranja da u toku t godina nije bilo nikakvih
isplata, tada je umanjitelj nula.

155

Na osnovu principa jednakosti uplata i isplata možemo postaviti sledeu

jednainu:

P(A

)[l

+(l

x+1

)/v +(l

x+2

)/v

+...+(l

x+t-1

)/v

t-1

+(l

x+t

)/v

+...)]=

/v + (d

x+1

)/v

+...+(d

x+t-1

)/v

+ (d

x+t

)/v

t+1

+...

Množenjem sa v

i prebacivanjem izvršenih uplata i isplata do momenta t

godina na levu stranu jednaine, a isplata i uplata koje e se izvršiti posle t godina,
na desnu stranu jednaine, dobijamo:

P(A

)(l

+ l

x+1

t-1

+...+ l

x+t-1

v) - (d

t-1

+ d

x+1

t-2

+...+d

x+t-1

=(d

x+t

/v + d

x+t+1

+...) - P(A

)(l

x+t

+ (l

x+t+1

)/v +(l

x+t+2

)/v

+...)

Pošto je leva strana, kao i kod retrospektivne metode, l

x+1 t

V[P(A

)], to mo-

žemo napisati:

x+t t

V[P(A

)] =[ (d

x+t

/v)+(d

x+t+1

)/v

+...] - P(A

)[ (l

x+t

+(l

x+t+1

)/v +

+(l

x+t+2

+...]

Kada ovu jednainu podelimo sa v

x+t

dobijamo:

x+t t

V[P(A

)] =(C

x+t

x+t+1

+...) - P(A

)(D

x+t

x+t+1

+...)=

x+t

- P(A

x+t

odnosno

V[P(A

)] =[(M

x+t

)] - P(A

)[(N

x+t

)] = A

x+t

- P(A

x+t

Kada se premija plaa najviše n godina, tada e biti

P(A

)] =A

x+t

P(A

)

/n-t

x+t

Vidimo da je premijska rezerva ( po prospektivnoj metodi) razlika izmeu

zbira diskontovanih vrednosti buduih isplata i buduih uplata, diskontovanih na
momenat kada se traži premijska rezerva.

Kada premijsku rezervu izraunavamo prema poslednjoj jednaini, potreb-

no je obratiti pažnju na sledee:

157

1) Kod odloženih osiguranja (bilo da se radi o osiguranju rente ili o osigura-

nju kapitala), kada je t=k ili t>k, odloženost je prošla, pa zato kod osiguranja rente
u umanjeniku treba da bude a

x+t

umesto

k-t/

x+t

. Kod osiguranja kapitala, umesto

k-t/

x+t

treba u tom sluaju uzeti A

x+t

2) Kada je n=t ili n<t, tada su sve premije uplaene pa je zbog toga umanjitelj

P(A

)

/n-t

x+t

=0.

i izraunavanje premijske rezerve se svodi na izraunavanje mize za isto osiguranje,
ali lica starog x+t godina.

3) proizvod premije i a

x+t

, sve dotle dok x+t ne postane vee za 1 od najdu-

blje starosti u tablicama smrtnosti, vei je od nule, pa je zato umanjitelj u jednaini
uvek vei od nule dok x+t ne postane vee od najdublje tabline starosti.

7.4. OBRAUN MATEMATIKE REZERVE SA

BRUTO PREMIJOM OSIGURANJA

Kod neto metoda obrauna premijske rezerve uzima se neto premija, odno-

sno kod obrauna premijske rezerve ukupna neto premija se deli na pokrie rizika
u tekuoj godini i na premijsku rezervu.

U obraunu premijske rezerve sa bruto premijama, pored pokria rizika u

tekuoj godini i formiranja premijske rezerve za naredni period, javljaju se i akvi-
zicioni troškovi koji se rasporeuju na itav period opsiguranja.

Razlikujemo tri naina obrauna premijske rezerve sa bruto premijama:

1) metod rezervne premije

2) metod dovoljne premije

3) metodi sa raznim raunskim osnovama

Razmatraemo samo prvi nain.

Neto premija koja se plaa n godina

uveava se za s/a

tako da dobijamo

P(a

)+s/a

158

7.5. PREMIJSKA REZERVA KOD OSIGURANJA KAPITALA NA

UTVRENI ROK, SA PLAANJEM PREMIJE U RATAMA:

Osnovne relacije za obraun matematike rezerve za term - x osiguranje su:

t,m/12 V

x,n

= t,m/12 V

x,n

- [ (a

x+t, m/12 , n-t m/12

) / (a

x,n

)]

t,m/12 V

x,n

= V

n-tm/12

– P

x,n

x+t m/12 , n-t m/12

- [ (a

x+t, m/12 , n-t m/12

) / (a

x,n

)]

Zamenom izraza na desnoj strani relacije u funkciji komutativnih brojeva i

odgovarajuim sreivanjem, dobija se formula za obraun matematike rezerve
za Term- x osiguranje.

Formula je osnovna formula za Term- x po metodi Zillmera.

Ako se isplata osiguranog kapitala vrši na utvreni rok,(bez obzira da li je

osigurano lice u momentu dospea isplate u životu ili je umrlo), kada se navrši n
godina od dana osiguranja, a premija se plaa m godina,ali najviše do smrti osigu-
ranog lica, obraun premijske rezerve vrši se za:

a) sluaj kada je m < n

b) m = n.

Sluaj m<n i t<m

Za obraun premijske rezerve se koristi formula:

P(A

)]=II

n-t

P(A

) [ (N

x+t

- N

x+m

)/D

x+t

160

Primer:

x=40 n=20 m=15 t=5

P(A

)]= II

P(A

) [ (N

- N

)/D

P(A

)]= 0,55526- [0,0015965 · 7,878765 · 1,21665]

P(A

)]= 0,53995

Sluaj t=m

Primer:

x=40 n=20 m=15 t=15

P(A

)]=II

=0,8219

Sluaj m<t<n

Primer:

x=40 n=20 m=15 t=18

P(A

)]=II

=0,9246

Sluaj t=n

Premijska rezerva je jednaka 1.

Sluaj m=n

Primer:

x=40 n=20 m=20 t=5

P(A

)] =II

– [

-N

)/D

=0,5553-0,45368=0,1016

Sluaj t=m

Premijska rezerva je jednaka 1.

Numeriki primeri koji slede preuzeti iz knjige Prof. Vidoje Veselinovi: Osiguranje na život.

161

Sluaj t=n

Premijska rezerva je nula.

Sluaj m=n i t<n

Primer:

x=40 n=20 m=20 t=10 e=0,02

/20

)]=(D

)[

/20

)

/10

]=0,9817

Sluaj t=n

Premijska rezerva je nula.

b) Privremena renta sluaj kada renta raste

Koristimo formule kao i za sluaj kada renta opada s tim da se umeso -e

uzima +e a umesto

stavljamo

7.7. MATEMATIKA REZERVA KOD OSIGURANJA

PROMENLJIVOG KAPITALA

a) Kapital raste sukcesivno iz godine u godinu za kapital koji se isplau-

je u prvoj godini osiguranja

)]=(D

x+t

)[

)

]

gde je

=(R

-R

x+t

)/D

- t (M

x+t

)

)=[ (R

-R

x+n

) - t (M

x+t

)] /(N

- N

x+m

)

Primer:

x=40 n=20 m=15 t=10

/20

)]=(D

)[

/20

)

/10

)] =1,6098

163

Sluaj t=m

)]=(D

x+m

)[

)

]

Primer:

x=40 n=20 m=15 t=15

/20

)]=(D

)[

/20

)

/15

]

Sluaj m<t<n

)]=(D

x+t

)[

)

]

Primer:

x=40 n=20 m=15 t=18

/20

)]=(D

)[

/20

)

/15

/18

]=0,993

Sluaj t=n

Premijska rezerva je nula.

Sluaj m=n i t<m=n

Primer:

x=40 n=20 m=20 t=15

/20

)]=(D

)[

/20

)

/15

]=1,2036

Sluaj t=n

Premijska rezerva je nula.

b) Kapital raste sukcesivno iz godine u godinu za n% od kapitala koji se

isplauje u prvoj godini osiguranja

Sluaj m<n i t<m

)]=(D

x+t

)[

)

]

164

Primer:

x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=10

/20

)]=(D

)[

/20

)

/10

]=0,0475

Sluaj t=m

)]=(D

x+t

)[

)

]

Primer:

x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=15

/20

)]=(D

)[

/20

)

/15

]=0,0693

Sluaj m<t<n

)]=(D

x+t

)[

)

]

Primer:

x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=18

/20

)]=(D

)[

/20

)

/15

]=0,0326

Sluaj t=n

Premijska rezerva je nula.

Sluaj m=n i t<m

Primer:

x=40 n=20 m=20 e=0,02 t=15

/20

)]=(D

)[

/20

)

/20

]=0,0167

Sluaj t=n

Premijska rezerva je nula.

166

7.8. METODE GRUPNOG OBRAUNA MATEMATIKE REZERVE

Osim metoda obrauna matematike rezerve za individualno osiguranje, u

teoriji osiguranja života

su razvijene i metode grupnog obrauna za više osigu-

ranih lica, iz potrebe osiguravaa da periodino utvruje ukupnu visinu matema-
tike rezerve portfelja.

Ove metode su imale izvanredan znaaj u uslovima kada nisu postojali kom-

pjuteri, dok je njihova primena u savremenim uslovima izgubile znaaj.

Kod metoda grupnog obrauna matematike rezerve se razlikuju metode

koje daju rezultate jednake sa individualnim obraunima, od metoda sa konanim
rezultatom koji je razliit od individualnih obrauna.

U prvu od ove dve grupe svrstavaju se:

– Karupova metoda
– Altenburgerova metoda
– Whitingova metoda
– Fouretova metoda

U drugoj grupu su najpoznatije metode:

– Lidstonova metoda (z-metoda)
– “T” metoda

Sve metode grupnog obrauna matematike rezerve su aproksimativne tj.

daju približne rezultate.

Karupova metoda:

Polazei od de nicije da je matematika rezerva razlika izmeu sadašnje

vrednosti buduih osiguranih suma (oekivanih plaanja osiguravaa za ugovore-
ne sluajeve) i sadašnje vrednosti neto premija (oekivanih uplata osiguranika za
ugovorena osiguranja), opšti obrazac koji kod individualnog obrauna glasi

S V

= SA

–

gde je S osigurana suma, SP neto premija za osiguranu sumu.

Kod obrauna matematike rezerve, kod istovrsnog osiguranja za grupu osi-

guranih lica, imamo

(SV

) =A

S- atSP

E.Zwingi: Verziherung mathematik, Bazel 1945. god.

167

U praksi se uzimlo da su datumi roenja osiguranika, kao i pristup u osigura-

nje, ravnomerno rasporeeni u toku godine, tj. uzima se 1.VII kao sredina godine.
Isto tako, proteklo trajanje osiguranja se iskazuje sa t+ ½ , umesto t.

Altenburgerova metoda:

Ova metoda se naziva i “metoda pomonih brojeva”, odnosno “metoda

Cilmerovih pomonih brojeva”.

Bitna karakteristika ove metode je da se transformacija opšteg obrasca izra-

žava funkcijom parametara (bilo godina starsosti doživljenih u trenutku obrau-
na, ili godina roenja osiguranika, nezavisno od vremena koje preostaje do roka
plaanja poslednjih premija). Pomoni brojevi se, za razliku od metoda Karupa,
utvruju i za konstante i za promenljive.

Na primer kod mešovitog osiguranja (na sluaj smrti i doživljenja), obrazac

za obraun matematike rezerve individualnog osiguranja, po prospektivnoj neto
metodi glasi

x,n =

x+t,n-t

- a

x+t, n-t

ili u razvijenom obliku

x,n

= [(M

x+t

– M

x+n

+ D

x+n

) /D

x+t

] – P(N

x+t

– N

x+n

)/D

x+t

= (M

x+t

)- P(N

x+t

)+P(N

x+n

x+t

)- (M

x+n

)/D

x+t

odnosno za osiguranu sumu S jedinica

x,n

= S(M

x+t

)- SP(N

x+t

)+ (1/D

x+t

)(SPN

x+n

–SM

x+n

-SD

x+n

)

s obzirom da je M

x+n

= v N

x+n

-N

x+n+1

x+n

= N

x+n

- N

x+n+1

sledi

x+n

- M

x+n

= N

x+n

– v N

x+n

= d N

x+n

; d= 1- (1/r) ; v= 1/[1+(p/100)]

Ibid

str.277

169

Kada se zameni

x+n

- M

x+n

sa dN

x+n

dobijamo

x,n

=SA

x+t

- SPa

x+t

+ K/D

x+t

; K=SPN

x+m

+SdN

x+n

K je Altenburgerov koe cijent, konstanta nezavisna od proteklog trajanja t,
PS neto premija za osiguranu sumu S.

Prema tome, za grupu istih osiguranika u momentu obrauna x+t godina,

matematika rezerva se obraunava po obrascu

x,n

= A

x+t

S – a

x+t

SP + (1/D

x+t

Završna tabela obrauna matematike rezerve po metodu Altenburgera

je sledea:

x+t

Ax-t(‰)

ax+t

(1/Dx+t)‰

(2x5)

(3x6)

(4x7)

tVx,n

(8-9+10)

...

( )

Whitingova metoda

Kao kod Altenburgerove metode i u primeni ove metode sesva osiguranja

grušpišu iskljuivo po starosti osiguranika u momentu obrauna rezerve. Razlika
je u nainu obrauna koe cijenta K.U Altenburgerovom metodu se komutativni
brojevi svode na starost osiguranika u momentu isteka osiguranja, dok se u Wihi-
tingovom metodu komutativni brojevi uzimaju u momentu poetku osiguranja tj.
prema pristupnoj starosti osiguranika.

170

8. PREINAENJA ZAKLJUENOG

OSIGURANJA ŽIVOTA

(OTKUP, PROLONGACIJA I KAPITALIZACIJA)

Ugovorene nansijske obaveze u ugovoru o osiguranju, izmeu ugovaraa

i društva za osiguranje, svedene na sadašnju vrednost, moraju biti u ravnoteži.
Zbog toga matematika rezerva u osiguranju života ima veoma važnu ulogu. Ona
omoguava da se jedno zakljueno osiguranje u toku trajanja preinai. Na primer,
može se skratiti ili produžiti period kod temporernih (privremenih) osiguranja,
menjati dužina prvobitno ugovorenog perioda odloženosti, pa ak i prelaziti iz
jedne u drugu vrstu osiguranja života.

Raznovrsna preinaenja osigurava treba uvek da ponudi bilo da se od osigu-

ranika traži doplatna premija ili mu se vraa deo matematike rezerve kao otkup.

Matematika rezerva omoguava i odobravanje kratkoronih pozajmica, na-

ravno sa kamatom i ta mogunost je za osiguranike posebno interesantna.

Ugovori o osiguranju moraju biti u saglasnosti sa Zakonom o obligacionim

odnosima, posebno sa odredbama iz glave XXVII.

Ovim zakonom je u lanu 945 regulisano da osigurava nema pravo da

isplatu neplaene premije o dospelosti traži sudskim putem, ve mora preporue-
nim pismom da pozove ugovaraa da plati dospelu premiju u roku koji mu daje,
ne kraem od mesec dana.

U ovoj opomeni, osigurava može samo, ako su dotle plaene bar tri godiš-

nje premije, izjaviti ugovarau osiguranja da smanjuje osiguranu svotu na iznos
otkupne vrednosti osiguranja, a u suprotnom sluaju da raskida ugovor.

Prema lanu 954 Zakona o obligacionim odnosima:
(1) na zahtev ugovaraa osiguranja života zakljuenog za ceo život osigura-

nika, osigurava je dužan isplatiti mu otkupnu vrednost polise, ako su dotle plae-
ne bar tri godišnje premije.

172

(2) u polisi moraju biti navedeni uslovi pod kojima ugovara može zahtevati

isplatu njene otkupne vrednosti, kao i nain kako se ta vrednost izraunava, sagla-
sno uslovima osiguranja.

U praksi je est sluaj da se u uslovima osiguranja daju izvesne pogodnosti.

Na primer, mogunost kapitalizacije osiguranja posle dve plaene godišnje premi-
je.Tada se, umesto raskida ugovora osiguranja koji sledi po odredbama lana 945
ZOO, vrši redukcija osigurane sume

(kapitalizacija) i osiguranje ostaje na snazi sa smanjenom osiguranom su-

mom bez daljeg plaanja premije osiguranja.

Naravno, kapitalizacija osiguranja može da se izvrši na zahtev ugovaraa

osiguranja i posle tri, etiri itd. plaene godišnje premije.

Zahtev za kapitalizacijom se može izvršiti kada je ugovara prestao sa da-

ljim plaanjem premije, (ali su plaene najmanje dve godišnje premije) a može biti
povezan i sa zakljuivanjem novog ugovora o osiguranju života.

Kod preinaenja zakljuenih osiguranja potrebno je utvrditi visinu obaveza

osiguravaa po zakljuenom osiguranju, na dan preinaenja.

Kod obrauna za osiguranja kod kojih je prestala obaveza plaanja premije,

obaveza osiguravaa iznosi

t,m/12 V

x,n

= A

x+t m/12 , n-t m/12 W

gde su: x prisutna starost osiguranika na dan poetka osiguranja

n ugovoreno trajanje osiguranja

t, m/12 proteklo vreme osiguranja od poetka osiguranja do dana obrauna

x+t m/12 starost osiguranika u momentu obrauna matematike rezerve

n-t m/12 preostalo vreme ugovorenog trajanja osiguranja od momenta obrauna

mat. rezerve

t,m/12

x,n

matematika rezerva u momentu obrauna

x+t m/12,

n-t m/12 vrednost budue obaveze (osigurana suma odnosno

kapitalisana vrednost) na dan obrauna matematike rezerve za jedan dinar
osigurane sume, odnosno kapitalisane vrednosti

W iznos ugovorene osigurane sume sa jednokratnom uplatom premije, dodatne

osigurane sume odnosno kapitalisane (redukovane) vrednosti.

Kod term x osiguranja, u funkciji komutativnih brojeva, primenjuje se formula

173

9. OBAVEZA OSIGURAVAA

KOD KAPITALISANIH (REDUKOVANIH) I

OTKUPNIH VREDNOSTI

Kada se izvrši kapitalizacija osiguranja života, osigurava ostaje i dalje u

obavezi prema osiguraniku, ali sa smanjenom osiguranom sumom ili ako je na
zahtev osiguranika došlo do skraivanja perioda osiguranja, može ostati prvobitno
ugovorena osigurana suma ali sa kraim periodom osiguranja.

Ako osiguranik izvrši otkup osiguranja, tada osigurava posle isplate otkupa

nema druge obaveze prema dotinom osiguraniku.

Postoji više metoda za obraun kapitalisanih (redukovanih) osiguranja života.
Najpoznatija i u praksi naješe korišena je metoda po kojoj se Zillmerova

matematika rezerva upotrebljava kao jednokratna bruto premija za osiguranje sa
smanjenom osiguranom sumom sa trajanjem osiguranja koje odgovara preostalom
trajanju od momenta prestanka plaanja premije do ugovorenog isteka osiguranja
i starosti osiguranika u momentu prestanka plaanja premije.

Prema tome ova metoda polazi od sledeeg:

– osnovica za obraun je Zillmerova matematika rezerva kao jednokratna

uplata za preostalo trajanje osiguranja.

– pribavni troškovi = 35 ‰ od osigurane sume, dok režijski troškovi ()

naješe uzimaju 1 ili 2‰ za preostalo trajanje osiguranja.

– diskontna kamatna stopa iznosi 3% (stopa kod obrauna komutativnih

brojeva)

– stope kapitalizacije i otkupa mogu se raditi za svaku pristupnu starost, ali

naješe se uzima izjednaena pristupna starost 37 godina.

175

Za izraunavanje redukovanih (kapitalisanih) i otkupnih vrednosti koriste se

sledei opšti obrasci:

Napomena:

Kapitalizacija osiguranja koja se vrši zbog prestanka plaanja rata premija,

naravno pod uslovom da je tako ugovoreno prilikom zakljuivanja osiguranja,
esto se vrši sa primenom jednostavne formule:

Nova osigurana

suma

Osigurana suma

iz polise

broj plaenih godišnjih rata

broj ugovorenih godišnjih rata

176

Aktuarstvo je primenjena matematika i matematika statistika u osiguranju.

Aktuarstvo se bavi procenama i kvanti kacijama rizika, opisuje i sistematizuje
numerike karakteristike rizika, u sluajnim procesima u kojima se rizici ostvaruju
sa ekonomski štetnim posledicama.

Aktuarski zadaci se rešavaju primenom opštih matematiko-statistikih me-

toda, kao i specijalnih metoda koje se primenjuju iskljuivo u osiguranju.

1. PRIMENA KLASINE STATISTIKE I

TEORIJE VEROVATNOE

Izraz statistika ima znaenje metoda kvantitativnog istraživanja masovnih

pojava kao i prikazivanje rezultata takvog istraživanja. U XVII veku, kada datira-
mo poetak naunog aktuarstva, u Evropi su postojale

: nemaka

Univerzitetska

statistika

i engleska

Politika aritmetika

U Nemakoj je statistika imala zadatak da sistematizuje i izloži podatke o

teritoriji, stanovništvu, privredi, javnim nansijama i vojsci, bez pretenzije koja je
ispoljena u Engleskoj, gde je statistika orijentisana i na iskorišavanje statistikih
podataka u cilju istraživanja prirodnih zakonomernosti.

U izveštaju koji su podneli u Britanskom Naunom društvu, Lordmer Lon-

dona Džordž Graunt i njegov saradnik Vilijem Peti, 1662 godine, konstatovano
je da ispitivanje podataka o broju umrlih lica dovodi do saznanja o opštim odno-
sima i postojanju

zakona smrtnosti

. To je bio prvi korak korišenja statistike

Dr Sava Obradovi; Dr Milica Senti: Osnovi statistike analize, str. 27; Nauna Knjiga,

Beograd, 1967. g.

179

Naravno, nema potrebe da se pravi neka distinkcija, odnosno granica izmeu

statistike i aktuarstva. Naprotiv, za aktuarstvo su veoma korisna pravila grupisanja
statistikih podataka u preglednim tabelama.

Stoga se u aktuarstvu niz statistikih podataka, ureenih po jednom obeležju ili

po prostornoj, odnosno po vremenskoj podeli, naziva serijom koja se svrstava u jednu
od tri grupe: serija strukture, vremenska serija ili prostorna (geografska) serija.

Potrebno je imati u vidu da, kod sluajeva ukazivanja na dinamiku u sta-

tistikoj masi, u kojoj su bitne promene obima ili delova tokom vremena a ne
ispitivanje strukture mase, tada moramo napustiti metod izlaganja podataka po
obeležjima. Ukratko, za ispitivanja promena rizinosti tokom vremena koristimo
vremenske serije a ne serije strukture.

Kada želimo da utvrdimo postojanje razlika u posmatranim pojavama u dis-

tribuciji po prostoru (geografskim podrujima), tada podatke prikazujemo u odgo-
varajuim geografskim serijama.

Pomenuto diferenciranje strukture i dinamike statistike mase naravno ne

iscrpljuje sve aspekte opšte statistike i posebne aktuarske analize. Predmet anali-
ze ne mora biti samo struktura pojave ili njene promene u datom vremenu, ve to
može biti i meuzavisnost karakteristika te strukture, kao i njihove uslovljenosti
od razliitih faktora. Isto tako, kod promena (dinamike) pojava, možemo pored
ispitivanja razvojne tendencije tokom vremena, obuhvatiti i naporedne promene
samih faktora koji utiu na te promene.

Kao što je poznato, teorija verovatnoe se razvijala nezavisno i paralelno sa

klasinom statistikom i jedina veza ove dve discipline je bila u tome, što osnovni
zakon verovatnoe: zakon velikih brojeva poiva na velikoj statistikoj masi.

U suštini, poetak razvoja teorije verovatnoe oznaava momenat kada je re-

lativna frekvencija, dobijena iz distribucije frekvencija statistike mase, uzeta kao
srednja vrednost dogaaja koji se ponavljaju i nazvana verovatnoa apriori.

U tom metodološki deduktivnom pristupu, eksperimentalno naješe ba-

canjem metalnog novia ili kocke sa oznaenim stranama, potvruje se zakon
verovatnoe iz koga se može izraunati matematiko oekivanje ili matematika
nada, po vrednosti jednakoj aritmetikoj sredini koja se na drugaiji nain izra-
unava iz statistike serije.

Ovo emo ilustrovati sledeim primerom: ako stranice jedne kocke obeležimo

brojevima: 1, 2, 3, 4, 5 i 6. iz zbira tih brojeva možemo izraunati aritmetiku sredinu

Xi / n = (1+2+3+4+5+6)

= 21/6
= 3,50

181

Prema teoriji verovatnoe, polazi se od hipoteze da veliki broj ponavljanje

bacanja kocke daje jednake šanse svim ishodima tj. da važi zakon verovatnoe:

1/6

Matematiko oekivanje po de niciji jednako je zbiru unutrašnjeg proizvo-

da vrednosti koju na sluaj uzima promenljiva X i verovatnoe p sa kojom sluaj-
na promenljiva uzima tu vrednost.

Ovo u matematikom izrazu pišemo

= (1 x 1/6)+(2x 1/6)+(3x 1/6)+(4x 1/6)+(5x 1/6)+(6x1/6)

= (1+2+3+4+5+6) x 1/6
= 3,50

Ovde smo ilustrovali odnos aritmetike sredine koja je elementarni pojam

statistike i matematikog oekivanja reda 1. tj E(X), koje je elementarni pojam ma-
tematike statistike. Meutim to nije jedina veza zbog koje je tokom vremena došlo
do spajanja klasine statistike i teorije verovatnoe u matematiku statistiku. Na
primer, iste numerike vrednosti dobijamo izraunavanjem varijanse po statisti-
kom metodu i centralnog momenta drugog reda koji se naziva disperzija E(X

1.1. POJMOVI: PROSTA, SLOŽENA I USLOVNA VEROVATNOA

Neki sluajni dogaaj se može ostvariti na više naina.Na primer sluajan do-

gaaj da od etiri žetona obeleženih sa 1, 2, 3 i 4 izvuemo žeton sa parnim brojem.
Taj dogaaj e se ostvariti ako izvuemo žeton broj 2 ili žeton broj 4.

P(A+B)=P(A)+P(B)

U ovom primeru neka je dogaaj A izvlaenja žetona broj 2 a dogaaj B

izvlaenje žetona 4.

P(A)= ¼ P(B)=1/4 P(A+B)=1/4 +1/4=2/4=1/2

Postoje sluajni dogaaji koji su uslovljeni drugim sluajnim dogaajem.

182

P(AB) je složena verovatnoa

P(AB)=P(A)P(BIA)= P(B)P(AIB)

dok su uslovne verovatnoe

P(AIB)=P(AB)/P(B) i
P(BIA)= P(AB)/P(A)

Numeriki primer primene

Na osnovu statistike šteta dobili smo raspodelu verovatnoa šteta u portfelju

Verovatnoa da šteta nastane P(I=1I q) =0,9 a da šteta ne nastane

P(I=0 I 1-q) = 0,1

Uslovne verovatnoe iznosa štete ako ona nastane su sledee

P(I=1 I B=200)= 0,1/0,9 = 0,11111

P(I=1 I B=400)= 0,3/0,9 = 0,333333
P(I=1 I B=800)= 0,4/0,9 = 0,444444
P(I=1 I B=1500)= 0,1/0,9 = 0,111111

Iz ovih uslovnih verovatnoa izraunavamo E(B) i Var (B)

184

Riziko premija po polisi (pure premium) je matematiko oekivanje E(X) a

rizinost ocenjujemo koe cijentom varijacije V=

/ E(X)

Ovo možemo da izraunamo na dva naina

Prvi nain

E(X)= 0(0,1)+200(0,1)+400(0,3)+800(0,4)+1500(0,1)= 610
E(X

)= 0

(0,1)+200

(0,1)+400

(0,3)+800

(0,4)+1500

(0,1)=533.000

Var(X)= E(X

)-(E(X))

= 533.000-610

=160.900

Drugi nain

E(X)= qE(B)= 0,9(677,78)=610
E(X

)= qE(B

)= 0,9((Var( B) +((B))

)=0,9(132.839,51+677,78

)=533.003

Var(X)=E(X

)-(E(X))

=533.003-610

=160.900

1.2. OSNOVNI AKSIOMI I TEOREME VEROVATNOE

0 P(A) 1 za svaki dogaaj A.

P(A)=1 siguran dogaaj ima verovatnou 1.

P()=0 nemogu dogaaj ima verovatnou 0.

Ako su A i podskupovi (dogaaji) u S, koji se meusobno iskljuuju,

A=Ø, tada je P(AU)=P(A)+P(), znai verovatnoa unije A i je zbir nji-
hovih verovatnoa.

Ako ima n sluajnih dogaaja koji se meusobno iskljuuju A1,A2,...,An

P(A1UA2UA3U...UAn)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

Naješe se javlja potreba kombinovanja verovatnoa na principima sabira-

nja i množenja.

Na primer, za dva dogaaja A1 i A2, verovatnoa da e nastupiti ili A1 ili A2

jednaka je zbiru verovatnoa svakog pojedinog dogaaja umanjenog za verovat-
nou da e oba dogaaja nastupiti istovremeno.

P(A1UA2)=P(A1)+P(A2) – P(A1A2)

Aditivna teorema verovatnoe

185

Isto tako, ak i u sluaju da nam je potpuno nepoznata verovatnoa pojave

štete možemo npr. izraunati koliko je potrebno zakljuenih osiguranja N da sa
verovatnoom ne manjom od

, apsolutna vrednost razlike frekvencije šteta X/N i

verovatnoe pojave štete p bude manja od

U ovom sluaju je potrebno rešiti po N nejednainu

(X/N) - p

)

Nauno obja šnjenje Zakona velikih brojeva prvi put je dao 1713. godine Ja-

kub Bernuli (zakon velikih brojeva u Bernulijevoj formi - teorema)

. Spomenuta

teorema Jakuba Bernulija utvruje da se frekvencija dogaaja u velikom broju
eksperimenata približava (konvergira) verovatnoi tog dogaaja.

Zakon velikih brojeva ima najveu ulogu u praktinim primenama teorije

verovatnoe, zato što njegova osobina da, pri odreenim uslovima, sluajne pro-
menljive postaju nesluajne, omoguava da se sa velikom pouzdanoš u predska-
žu rezultati masovnih sluajnih tj. pojava koje se ponavljaju.

Mogunosti ovakvih predskazivanja rezultata masovnih sluajnih pojava još

su više proširene drugom grupom graninih teorema, poznatih pod nazivom “cen-
tralne granine teoreme”.

Ove teoreme se ne odnose na granine vrednosti sluajnih promenljivih, ve

na granine zakone raspodele. Tako, jedna od najznaajnijih teorema utvruje da
zakon ra spodele verovatnoa sume dovoljno velikog broja sluajnih promenljivih
teži normalnom zakonu raspodele pri dovoljno opštim uslovima, koji se svode na
to da uticaj pojedinih sabiraka na sumu bude ravnomerno mali. Razliiti oblici
centralne granine teoreme razlikuju se i meu sobom po uslovima kojima se usta-
novljava spomenuta granina osobina raspodele sluajnih promenljivih.

Razliiti oblici zakona velikih brojeva zajedno sa razliitim oblicima central-

ne granine teoreme ine skup takozvanih graninih teorema teorije verovatnoe.
Pomou njih se dobijaju ne samo naune prognoze rezultata masovnih sluajnih
pojava ve se ocenjuje i tanost tih prognoza.

Izložiemo najprostije oblike graninih teorema. Najpre emo razmotriti te-

oreme koje se odnose na grupu “zakona velikih brojeva”, a zatim teoreme koje se
odnose na grupu “centralne granine teoreme”.

Poimo od važnog pojma u teoriji verovatnoe: konvergenciju u vero-

vatnoi.

Detaljnije kod odreivanja nivoa izravnavanja rizika.

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenjeno

izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 216

187

Dat je niz sluajnih promenljivih:

X1, X2,…,Xn…

De nicija 1. Ako postoji takva sluajna promenljiva X da je za svaki proi-

zvoljan pozitivan broj

ispunjena relacija:

onda kažemo da niz sluajnih promenljivih (

) konvergira u verovatnoi sluajnoj

promenljivoj

De nicija 2. Ako postoji takav niz konstanti C1, C2,…, Cn,…, da je za svaki

proizvoljan pozitivan broj

ispunjena relacija:

onda za niz X1, X2,…,Xn… kažemo da zadovoljava zakon velikih brojeva.

Za niz X1, X2,…,Xn… se, takoe kaže da zadovoljava zakon velikih broje-

va ako konvergira u verovatnoi ka jednoj konstanti C.

Teorema koju je ebišev objavio 1867. godine

, a koja sada nosi njegovo

ime, predstavlja jedan od najpoznatijih oblika zakona velikih brojeva. Ona uspo-
stavlja vezu izmeu aritmetike sredine vrednosti posmatrane sluajne promenlji-
ve i njenog matematikog oekivanja.

Za sluajnu promenljivu X sa matematikim oekivanjem M(X) =

i disper-

zijom D(X) =

, izvodimo

eksperimenata povezanih sa sluajnom promenlji-

vom

i izraunajmo aritmetiku sredinu uoenih vrednosti sluajne promenljive

Oznaimo vrednost sluajne promenljive

u prvoj realizaciji sa

u drugoj sa

itd. Oigledno, skup promenljivih

, X

,…,X

predstavlja

nezavisnih sluaj-

nih promenljivih od kojih svaka ima istu raspodelu verovatnoa kao i

Aritme-

tika sredina

tih promenljivih:

jeste linearna funkcija sluajnih promenljivih

, X

,…,X

Prema osobinama

matematikog oekivanja i disperzije imamo:

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenjeno

izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 218

188

Kada

, onda

teži nuli, pa sledi:

što je i trebalo dokazati.

Ovo je najprostiji sluaj jedne od osnovnih tvrdnji u teoriji verovatnoe - za-

kona velikih brojeva. Znaenje ovog osnovnog zakona predstavljeno je sledeim:
s obzirom da svaka pojedina sluajna promenljiva može esto da uzme vrednosti
koje se dosta ra zlikuju od svoje srednje vrednosti (ima veliku disperziju), to se
aritmetika sredina veeg broja sluajnih promenljivih ponaša potpuno drugaije.
Ona ima uvek vrlo malu disperziju i s velikom verovatnoom uzima vrednosti
vrlo bliske svojoj srednjoj vrednosti. Objašnjenje ove injenice je jednostavno:
pri izraunavanju aritmetike sredine sluajna odstupanja, pozitivna i negativna,
pojedinih sluajnih promenljivih kompenziraju se uzajamno.

Teorema ebiševa se lako može uopštiti na složeniji sluaj, kada sluajne

promenljive

, X

,…,X

imaju razliita matematika oekivanja

i razliite dis-

perzije

(

=1,2,...,n). U tom sluaju se pokazuje da, uz izvesna ogranienja, ari-

tmetika sredina teži u verovatnoi ka odreenoj nesluajnoj veliini. Formulacija
opšteg oblika teoreme ebiševa je sledea:

Teorema ebiševa. (ebiševljev Zakon velikih brojeva)

. Ako su

, X

, …, X

nezavisne sluajne promenljive s matematikim oekivanjima

,…,

i dis-

perzijama

, ...,

, i ako su sve disperzije manje od istog konstantnog broja

< C

(

= 1,2,...,

), onda, pri rašenju

aritmetika sredina uoenih vrednosti

sluajnih promenljivih

, X

,…,X

konvergira u verovatnoi ka aritmetikoj sre-

dini njihovih matematikih oekivanja.

Dokaz. Iz nejednakosti ebiševa u obliku:

dobija se uopštena teorema ebiševa:

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenjeno

izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 220

190

Zakon velikih brojeva u formi ebiševa može se uopštiti i na zavisne sluaj-

ne promenljive. Uopštenje je dao A. A. Markov.

Teorema Markova

Ako je dat niz zavisnih sluajnih promenljivih

, X

, …,X

i ako

onda aritmetika sredina

teži u verovatnoi ka aritmetikoj

sredini matematikih oekivanja tih promenljivih, to jest ka

Razmotrimo i teoremu A. M. Ljapunova. Kao što smo videli, teoremom e-

biševa utvrujemo da vrednost verovatnoe odstupanja aritmetike sredine slu-
ajnih promenljivih od aritmetike sredine njihovih matematikih oekivanja ne
premaša po apsolutnoj vrednosti pozitivan broj

u obliku nejednaine s donjom

granicom te vrednosti, što daje izvesnu neodreenost rezultata. Teorema Ljapuno-
va daje tanu vrednost verovatnoe tog dogaaja.

Teorema Ljapunova.

Ako nezavisne sluajne promenljive

, X

,…,X

za-

dovoljavaju sledee uslove:

1. sve sluajne promenljive imaju odreeno matematiko oekivanje;

2. sve sluajne promenljive imaju konanu disperziju;

3. nijedna od promenljivih se ne izdvaja znatno po vrednosti izmeu ostalih

promenljivih; onda je:

gde

srednja disperzija.

Teorema Bernulija, koja ustanovljava vezu izmeu frekvencije pojavljivanja do-

gaaja

i njegove verovatnoe, može se dokazati kao posledica teoreme ebiševa.

44 Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 220

45 Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 221

191

gde je

- broj pojavljivanja dogaaja

eksperimenata

aritmetika

sredina verovatnoa realizacije dogaaja

u tim eksperimentima.

Ova teorema ima veliki praktian znaaj, jer je teško ostvariti iste uslove ek-

sperimenta dovoljno mnogo puta. Zato treba uporeivati frekvenciju dogaaja ne
sa verovatnoom tog dogaaja za ksirane uslove, ve sa aritmetikom sredinom
verovatnoa izraunatih za razliite uslove.

Još jednom naglašavamo da osnovna postavka zakona velikih brojeva, jasno

izražena u njegovom nazivu, sadrži u sebi suštinu statistikih metoda. Za pojedini
ishod eksperimenta, za pojedini rezultat posmatranja - zakon velikih brojeva ni-
šta ne utvruje. Ali, pri dovoljno velikom broju eksperimenata frekvencije pojave
ovog ili onog dogaaja pribli žno su jednake njihovim verovatnoama (teorema
Bernulija). Drugim reima, zakon velikih brojeva pokazuje da su naši zakljuci
potpuno zasnovani u odnosu na dogaaj koji je povezan sa svakim od dovoljno
velikog broja jednorodnih eksperimenata izvedenih u nepromenjenim uslovima.
Otuda sledi da je za obezbeenje mogunosti primene statistikih metoda na izu-
avanju ovih ili onih pojava neophodno da odgovarajui dogaaji imaju ne jedi-
nini, ve masovni karakter.

Posle spomenutih teorema principijelno nove rezultate dobio je A. N. Kolmo-

gorov. On je dobio uslove, potrebne i dovoljne, pod kojima je niz uzajamno nezavi-
snih sluajnih promenljivih

, X

,…,X

,. ..

potinjen zakonu velikih brojeva.

Teorema Kolmogorova

glasi: Ako su sluajne promenljive

, X

,…,X

,…

nezavisne i zadovoljavaju uslov

, onda se niz

, X

,…,X

, …

potinjava strogom zakonu velikih brojeva:

Hinin je pokazao da ako su sluajne promenljive

(

= 1, 2,…,

ne samo

nezavisne nego i s jednakom raspodelom, onda je postojanje matematikog oe-
kivanja

M(X

)

dovoljan uslov primene zakona velikih brojeva. Ako je

M(X

) = a,

onda teorema Hinina glasi:

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 223

193

Lokalna i integralna teorema Muavr-Laplasa polazi od toga da je izrauna-

vanje verovatnoa binomne raspodele po formuli

veoma teško

za velike vrednosti, ali da se za ove vrednosti binomna raspodela

može da aproksimira normalnom

Lokalna teorema Muavr-Laplasa

kaže da Binomna raspodela teži normal-

noj sa sred njom vrednošu

= np

i disperzijom

npq,

to jest:

gde je

i 0 <

< 1.

Integralna teorema Muavr-Laplasa kaže da.

erovatnoe binomne raspodele

oblika

mogu da se aproksimiraju integralom Gauso-

ve normalne raspodele na sledei nain:

gde je:

(

) i

(

) su vrednosti Laplasove funkcije za

t =

t = t

Praktino, aproksimacija binomne raspodele normalnom raspodelom je do-

voljno tana kada je

> 5 za

0,5 i kada je

> 5 za

> 0,5.

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 226

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 227

194

Prema osobinama karakteristine funkcije, karakteristina funkcija sluajne

promenljive

jednaka je:

što znai da i

ima normalnu raspodelu

(

Neka je sada sluajna promenljiva

gde nezavisne sluajne promenljive

(

= 1, 2, . . . ,

imaju istu raspodelu verovatnoa, to jest za koje je:

= … =

u tom sluaju je:

Standardizovana sluajna promenljiva

prema tome, ima oblik:

Za sluajnu promenljivu

ovako de nisanu, važi sledea teorema.

Teorema (Lindberg-Levija)

. Kad

teži beskonanosti, raspodela verovat-

noa sluajne promenljive

teži normalnoj raspodeli na sledei nain:

gde su

a i b

proizvoljni realni brojevi.

Na ovaj nain dobili smo karakteristinu funkciju normalne raspodele

1) to jest, sluajna promenljiva

(0, 1), a

(

Iz tvrenja Lindberg-Levija neposredno proizlazi posledica koja ima pose-

ban praktian znaaj:

Posledica 1.

Ako su sluajne promenljive

,…,X

nezavisne i imaju istu

raspodelu verovatnoa, pri emu je:

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 234

196

M(X

)

D(X

) =

(

= 1,2,...,

)

onda raspodela verovatnoa sluajne promenljive:

teži normalnoj raspodeli s parametrima

, to jest:

Dokazali smo centralnu graninu teoremu za specijalan, ali važan sluaj sa-

biraka s jednakom raspodelom. Štaviše, i u dovoljno širokoj klasi uslova ona je
zadovoljena i za sabirke s nejednakim raspodelama verovatnoa. Teorema Ljapu-
nova se upravo odnosi na ovaj sluaj.

Teorema -

(Ljapunova)

. Ako se za niz uzajamno nezavisnih sluajnih

promenljivih

,…

može da odabere takav pozitivan broj

> 0 da je ispu-

njen uslov:

onda je:

gde je:

Za primenu teoreme Ljapunova u sluaju sabiraka s jednakim raspodelama

verovatnoa, dovoljno je da disperzije sabiraka budu konane i razliite od nule.

Teorema Muavr-Laplasa, predstavlja specijalan sluaj centralne granine te-

oreme. U stvari, ako sa

oznaimo broj rea lizacija dogaaja

-tom ponavljanju

Svetozar V. Vukadinovi

Elementi teorije verovatnoe i matematike

statistike (Tree izmenje-

no izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 235

197

2. DOMEN TEORIJE VEROVATNOE

SA PRIMERIMA

Zamislite situaciju da se nalazimo u dubokoj mranoj jami koja se rava na

10 tunela. Jedan od tih tunela vodi u smrt a devet ka slobodi.

Pre nego što bismo se odluili kojim tunelom krenuti, jer povratka nema,

grozniavo bi tražili bar neki znak prepoznavanja tunela koji vodi u smrt, da
ga izbegnemo. Nee nas ni malo utešiti što je verovatnoa

izbora pogrešnog

tunela p=0,1.

Šta ova verovatnoa zapravo znai? Ona nam daje informaciju o prosenom

izboru ali ne i o izboru u jednom ponavljanju. Ova verovatnoa se naziva aprior-
nom verovatnoom. Ona nam govori da e u ponovljenim takvim situacijama, od
10.000 ljudi približno njih 9.000 nai put u slobodu, dok e rizik smrti pogoditi
približno 1.000 ljudi.

Meutim, ne znai da e od prvih 100 ljudi njih 10 otii u smrt., jer se može

desiti da od prvih 100 ni jedan ne ode u smrt, kao što se može desiti da u smrt ode
znatno više od 10.

Ako prvih 100 od 10.000 ljudi obeležimo sa n1=100; broj ljudi koji su otišli

u smrt obeležimo sa k1, dobiemo verovatnou aposteriori p

= k

/ (n

1=100

). Ta

verovatnoa može biti razliita od verovatnoe apriori.

Razlika izmeu verovatnoe apriori i verovatnoe aposteriori e biti sve ma-

nja kada se poveava broj N

Organizovanje zaštite ekonomskog interesa (putem osiguranja) ne znai da

se gubitak nee javiti.

Gubitak pojedinaca se osiguranjem unapred distribuira (transferiše) sa poje-

dinca na sve subjekte iji su ekonomski interesi u nezavisnim rizicima, ali sa istom
verovatnoom ostvarivanja rizika.

Jedna od interpretacija zakona velikih brojeva.

199

Razmotrimo sledei primer.
Neka je apriori verovatnoa brodoloma na jednoj pomorskoj maršuti P=0,1.

Neka ima 10 brodova i 10 trgovaca ija se roba prevozi i neka svaki od njih ima
jednaku vrednost robe. Svaki trgovac može svu svoju rorbu ukrcati na jedan brod
ili robu rasporediti na svih 10 brodova.

U prvom sluaju, ako potone brod na koji je trgovac ukrcao svu svoju robu,

on e pretrpeti veliki gubitak, ali ako taj brod ne potone, trgovac e imati 1/10 robe
više nego da je robu rasporedio po 1/10 na svaki brod.

U ovom primeru 1/10 vrednosti robe je riziko premija osiguranja koju

treba da plati svaki trgovac da bi sauvao ukupnu vrednost svoje robe u riziku
gubitka – osigurani interes (osiguranu sumu).

Da bi ovo bilo sasvim jasno pretpostavimo da je vrednost robe svakog tr-

govca 1.000.000 dinara, tako da je ukupna vrednost (suma osiguranja) na svih 10
brodova 10.000.000 dinara, a na svakom brodu po 1.000.000 dinara.

Kako svaki trgovac unapred plaa 1.000.000 x 0,1 = 100.000 dinara, to e

njih 10 ukupno obezbediti 1.000.000 dinara riziko premije, što je u visini vrednosti
na jednom brodu koji e potonuti.

Naravno i za ovaj primer važi da e se verovatnoa aposteriori razlikovati

od verovatnoe apriori, tj. da je potrebno ponavljanje situacije rizika N puta, kao
bi sa poveanjem broja N, ova razlika izmeu apriori i aposteriori verovatnoe,
bila sve manja.

Statistika ostvarivanja rizika nam omoguava da za svaki rizik ponovljenih

situacija možemo izraunati verovatnou i matematiko oekivanje gubitka, od-
nosno štetnih posledica izraženih u novcu.

Te izraunate veliine su karakteristike rizika kojim opisujemo rizinost

u sluajnom procesu. Kasnije emo videti da su takoe veoma važni i meusobni
odnosi rizika, raspodela gustine verovatnoa itd.

Nauna disciplina koja izuava, opisuje i sistematizuje numerike ka-

rakteristike rizika i sluajnih procesa u kojima se rizici ostvaruju, naziva se
teorijom rizika.

Teorija rizika je veoma važna za delatnost osiguranja imovine i lica. Odre-

eni pojmovi koji se u teoriji rizika javljaju esto se bitno razlikuju od njihovog
opšte poznatog znaenja.

Na primer, verovatnoa, rizik i rizinost su u svakodnevnom životu opšti

pojmovi. Kada kažemo “verovatno je to tako...” mi ustvari izbegavamo odreenje
da nešto zaista jeste, jer može biti i da nije.

Rizinost je pojam koji se odnosi na veliinu rizika a koja je uslovljena stepenom i trajanjem

neizvesnosti, kao i visinom kapitala u riziku.

200

Mogui rezultati zbira su:

Ukupno imamo n

= 36 varijacija sa ponavljanjem

, a u njima se zbir:

Vidimo npr. da je verovatnoe zbira za zbir 6 vea od verovatnoe za zbir 3.

Zbir svih verovatnoa je 1.

Posmatrajmo sledee primere:

1) U bacanju novia pojava grba donosi igrau dobitak 20 dinara a pojava

pisma gubitak od 10 dinara. Koja cena jednog bacanja novia, pri velikom
broju ponavljanja bacanja garantuje da organizator igre izjednai uplate i
isplate?

Odgovor:

Cena jednog bacanja novia je 5 dinara jer je matematiko

oekivanje E(X)= 20 x 0,5 – 10x 0,5 = 5.

Naravno nas ne zanima kocka i primer je uzet zbog uoavanja zakona ve-

rovatnoe.

2) Tri nezavisna poslovna poduhvata angažuju kapital sa rizikom gubitka,

prema sledeem:

B.Ivanovi: Matematika za ekonomiste, str. 53, Nauna knjiga, Beograd, 1966.

202

Verovatnoa gubitka

0,3

0,4

0,3

Gubitak (u jedinicama kapitala)

Koliki je proseni poslovni gubitak?

Odgovor:

Prosean poslovni gubitak je 12,50 jedinica kapitala.

E(X) = 0 x0,3 + 20 x 0,4 + 15 x 0,3 = 12,50

Prosean poslovni gubitak izjednaavamo sa matematikim oekivanjem

gubitka kapitala. Prema tome, u navedenim poslovnim poduhvatima, koji se više
puta ponavljaju, ostvarili bi gubitak ako iz dobiti ne pokrivamo prosean po-
slovni gubitak.

Matematiko oekivanje gubitka kapitala jednako je zbiru proizvoda gubit-

ka kapitala i pripadajue verovatnoe gubitka.

3) U nekom poslu dobit od 20 jedinica kapitala ostvaruje sa verovatnoom

p1=0,5 , ali je mogu i gubitak koji se ostvaruje verovatnoom p2=0,5 u
visini od 10 jedinica kapitala.

Možemo postaviti dva pitanja:

– Da li svaki pojedinani sluaj u ponavljanju takvog posla donosi

dobitak?

– Koliko iznosi prosean dobitak?

Odgovor na prvo pitanje je oigledno ne, dok je za odgovor na drugo pitanje

potrebno izraunati matematiko oekivanje dobitka.

Formula za izraunavanje matematikog oekivanja dobitka je sledea:

E(x) = Xi Pi

tako da imamo

(0,5) x (20) + (0,5) x (-10) = 5

i odgovor da prosean dobitak iznosi 5 jedinica kapitala.

203

U pristupu ovim pitanjima najpre je potrebno unapred ograniiti maksimalni

broj ponavljanja bacanja novia u jednoj igri.

Pretpostavimo da je ugovoreno najviše 20 ponavljanja bacanja novia u

jednoj igri.

U tom sluaju polazei od formule matematikog oekivanja

E(x)= Xi Pi (i =1,2...n) , n=20

Petar treba unapred da plati ulog od n/2= 10 dinara, jer je

E= 1(1/2)+2(1/4)+4(1/8) + ... + 2

(1/2

) = 10

Meutim, ma koliko bila mala, postoji verovatnoa da grb padne tek u 20-

om bacanju novia. Još je manja verovatnoa da grb ne padne ni u 20-om baca-
nju, ali su takvi dogaaji mogui.

Ako bi grb pao tek u 20-om bacanju novia, tada bi Pavle morao da plati

Petru 2

= 524.288 dinara!

Znai, Pavle za dobitak uloga od 10 dinara u jednoj igri rizikuje gubitak

524.288 dinara. Takav rezultat je paradoksalan, ako za igru nije zainteresovan “be-
skonaan broj” igraa.

Broj N, kao što emo kasnije videti, i verovatnoa odstupanja od matemati-

kog oekivanja su povezani (Teorema ebiševa).

U osiguranju je npr. sasvim uobiajeno, upravo zbog mogunosti izravnava-

nja rizika gubitka, da se garantuje isplata štete npr.od 1.000.000 $, od rizika požara
uz naplatu premije od 500 $ za godinu dana osiguravajueg pokria.

Nain ostvarivanja izravnanja rizika u osiguranju nije jednostavan za inter-

pretaciju bez teorije rizika koju izlažemo.

Pretpostavimo da je kod navedene igre ugovoreno da se novi baca najviše

20 puta u jednoj igri, a igra se ponavlja sa 1.048.576 igraa ( Petar i drugi igraju
protiv Pavla) .

Imamo ovakvu šemu:
Cena za igru koja se završava sa pojavom grba ili posle 20 ponavljanja, izra-

unata prema matematikom oekivanju iznosi 10 dinara.

Suma uloga 1.048.576 x 10 din = 10.485.760 dinara
Šema isplata: ukupna isplata

205

Šema isplata:

ukupna isplata

1 dinar

dobija n/2 igraa

524.288 x 1

524.288 dinara

2 dinara

dobija n/4 igraa

262.144 x 2

524.288 dinara

4 dinara

dobija n/8 igraa

131.072 x 4

524.288 dinara

8 dinara

dobija n/16“

65.536 x 8

524.288 dinara

16 dinara

dobija n/32“

32.768 x 16

524.288 dinara

32 dinara

dobija n/64“

16.384 x 32

524.288 dinara

64 dinara

dobija n/128 “

8.192 x 64

524.288 dinara

128 dinara

dobija n/256 “

4.096 x 128

524.288 dinara

256 dinara

dobija n/512 “

2.048 x 256

524.288 dinara

512 dinara

dobija n/1024 “

1.024 x 512

524.288 dinara

1024 dinara

dobija n/2048 “

512 x 1024

524.288 dinara

2048 dinara

dobija n/4096 “

256 x 2048

524.288 dinara

4096 dinara

dobija n/8192 “

128 x 4096

524.288 dinara

8192 dinara

dobija n/16384 “

64 x 8192

524.288 dinara

16384 dinara

dobija n/32768 “

32 x 16384

524.288 dinara

32768 dinara

dobija n/65536 “

16 x 32768

524.288 dinara

65536 dinara

dobija n/131072 “

8 x 65536

524.288 dinara

131072 dinara

dobija n/262144 “

4 x 131072

524.288 dinara

262144 dinara

dobija n/524288 “

2 x 262144

524.288 dinara

524288 dinara

dobija n/1048576 “

1 x 524288

524.288 dinara

UKUPNO

10.485.760 dinara

Ukupne isplate su izjednaene sa ukupnim uplatama (Ako bi organizator

igre umesto cene po jednoj igri od 10 dinara naplatio 11 dinara, bio bi na dobitku
od 1.048.576 dinara!).

Ima oko 350 godina od kako je J.Bernuli objasnio ulogu matematike šeme

u sluajnim dogaajima. Posle toga su pronaene i druge,(Laplas, Poisson, Muavr,
Gaus, Ojler itd.) Danas su ti radovi potpuno i sistematski proueni i primenjeni
pod nazivom raspodela sluajno promenljivih, koje nalazimo u grupi diskretnih
i grupi kontinualnih raspodela. Isto tako postoje i složene raspodele, u kojima se
sluajna promenljiva u jednom domenu rasporeuje kao neprekidna a u drugom
domenu diskretno.

Posmatranja na kojima se osniva teorijsko istaživanje raspodela, najpre su

vršili: Laplace, Moivre, Poisson, Cauchy i Gauss.

206

Premda je ova Ojlerova konstanta opšte poznata ovde podeamo

a kako je 2,71828

= 7,389

log

(e)

= 2

Kod razvijanja funkcija u red imamo

Kod primene metoda, poznatih iz statistike, koji u teoriji rizika imaju široku

primenu, esto moraju biti ispunjeni izvesni uslovi.O tim uslovima se mora voditi
rauna, kao i o zakljuku koji se izvodi u interpretaciji dobijenog rezultata. Izvesni
metodi i prorauni mogu biti veoma složeni, ali bez smisla u odnosu na dobijeni
rezultat i izvedene zakljuke. Na primer, ako možemo doi do dva rezultata iz dva
razliita metoda potrebno je sprovesti logiku i kritiku kontrolu - tražiti odgovor
o uzrocima razlike.

208

4. REGRESIONA I

KORELACIONA ANALIZA

Regresiona i korelaciona analiza pronalazi i analizira oblik i stepen zavisno-

sti razliitih pojava, koje se dešavaju pod uticajem slinih uzroka. Matematika tj.
funkcionalna zavisnost y=f(x) , razliita je od statistike zavisnosti koja se izraža-
va korelacijom, kovarijansom i regresijom. Pod regresionom linijom, u statisti-
kom smislu, podrazumeva se ona linija koja najbolje odreuje približne vrednosti
koje odgovaraju empirijskim (originalno izmerenim vrednostima). Takvu regresi-
onu liniju pronalazimo primenom metoda najmanjih kvadrata, tj. da zbir kvadrata
odstupanja u pravcu ordinate, empirijskih vrednosti (Y) od vrednosti regresione
linije (Y

) bude minimalno.

Znaaj regresione analize je davno uoen. Meutim problem aproksimacije, koji mi danas
lako rešavamo metodom najmanjih kvadrata imao je dugu predistoriju. Poznata su rešenja
Tobias Mayer (1748-760). Laplas se 1799 g. Takoe bavio ovim problemom. Metod naj-
manjih kvadrata postavio je Legendre u dodatku svog dela: Nouvelles Methodes pour la
determination des orbites des comets 1805 god.

Metodu je 1911 godine poboljšao C.J. de la Vallee Poussin (Annales de la Soc.Sc.de
Bruxelles 35 (1911).

Metodu Legandra primenjivao je Gaus, koju je prvi povezao tu metodu sa matematikom
teorijom verovatnoe (Theoria motus coelestitium Hamburg 1809 g koja je dokaz normal-
nog zakona, Gauss navodi da primenjuje metod najmanjih kvadrata od 1795 godine.)

Zahtev metoda najmanjih kvadrata izražavamo sledeim izrazom

209

Takoe se koristi regresija u obliku Yc= a + be

Sa odreivanjem parametara a i b iz sistema

Na + b

+ b

Naješe broj šteta opada sa poveanjem iznosa štete, u kom sluaju se ko-

risti Paretova kriva y=

/ x

, odnosno kao funkcija rasporeda

F(x)= 1 - (

+ x)

Kada logaritmujemo y=

/ x

dobijamo log y= log

log x

Ako stavimo da je

a= -

b = log

dobijamo linearnu regresiju, odnosno parametre

izraunavamo neposredno

= ( n

logx logy -

log x

log y ) / ((

logx)

– n

(logx)

)

Log

= (

logx

logx log y -

(logx)

logy ) / ((

logx)

– n

(logx)

)

Pored regresije, u aktuarskim analizama se koristi i analiza kovarijanse.

Kovarijansa je prosena vrednost proizvoda odstupanja pojava od svojih

aritmetikih sredina

¦_

/ N

odnosno

Postoji veza izmeu linije regresije i kovarijanse.
Liniju regresije na osnovu kovarijanse možemo dobiti iz sistema jednaina

Funkcija rasporeda sa E(X)=

) i E (X

/ (

-1)...(

-k)

Lj.Marti: Matematike metode, Narodne Novine, Zagreb, 1963 g, str. 142.

211

(

)/N

=Na+b

+ b

Kada prvu jednainu podelimo sa N (N

0), dobijamo

/N =a+b(

/N)

odnosno

y=a+b

tako da je

y- b

Drugu jednainu takoe podelimo sa N, tako da dobijamo

/N = a(

/N)+b(

)/N

i kada parametar a zamenimo ekvivalentom, dobijamo

/N = (

y - b

x +b (

/N)

Ovaj izraz sreujemo tako da dobijemo

/N =

y- b

+b(

/N)

/N -

y = b

(

/N) -

= b

;

b=C

Kada parametre a i b uvrstimo u empirijsku funkciju, dobijamo

y- b

x +(C

ili

y=(C

- (C

)

odnosno

y=(C

)(X

212

Model analize je sledei:

Izvor

variranja

Stepeni

slobode

sume

kvadrata

sredina

kvadrata

F odnos

Regresija

= Q

= S

Y,X

oko regresije

n-2

– Y

)

= Q

Y,X

(1/n - 2)Q

Y,X

= S

Y,X

Ukupno

n-1

= Q

Na osnovu standardne greške regresije i standardne devijacije, možemo

izraunati koe cijent determinacije, odnosno koe cijent korelacije:

= 1 - (S

)

= 1 -

- C

= 1 - 1 + C

)

= C

r = C

Na osnovu standardne greške regresije i standardne devijacije, možemo

izraunati koe cijent determinacije, odnosno koe cijent korelacije:

= 1- (S

)

= 1-

- C

= 1 - 1 + C

)

= C

r= C

Potrebno je meutim istai da se kod analize korelacije vremenskih serija

esto zanemaruje uticaj trenda i kada se trend ne eliminiše takva korelacija može
biti sasvim drugaija.

Potrebno je dakle izvršiti i kvalitativnu analizu.

Na primer, metodom izraunavanja procenta vrednosti individualnih po-

dataka u odnosu na njihov trend. Ukoliko neregularna kolebanja nisu znaajna,
onda izraunata kolebanja oko trenda odražavaju ciklian uticaj koji je rekurentan
i tada, posle iskljuenja uticaja trenda korelacija odražava stvarnu meusobnu po-
vezanost dve vremenske serije.

U aktuarstvu se primenjuje metod izraunavanja serijskog koe cijenta kore-

lacije, koji može biti prvog, drugog ili višeg reda.

M. Kendal & A.Stuart: The Advanced Theory of Statistics, str. 539.

214

Na primer, radi ocene nezavisnosti sukcesivnih osiguranih sluaja odree-

nog intenziteta (broj totalnih šteta), primenjujemo metod izraunavanja serijskog
koe cijenta korelacije prvog reda, prema sledeem:

Ovaj metod, kada se izraunati parametar ne uzima kao uzorak, esto se

naziva metodom autokorelacije.

S obzirom na injenicu da rizinost u nekoj klasi rizika ima po pravilu više

kvantitativnih karakteristika (obeležja) koje je potrebno analizirati, uobiajeno je
da se ta obeležja izražavaju kao vektorske veliine X sluajne pojave P.

Kada se neko od izabranih obeležja posmatra u intervalu t=t

-t

, tada e

vektor x(t) biti skup podataka dobijenih u vremenskom intervalu t.

Za statistike analize šteta, poseban znaaj ima regresiona linija u obliku

= a b

za 0

b & 1

Ova regresija u obliku eksponencijalne krive, veoma dobro prilagoava ori-

ginalne vrednosti ako vrenosti obeležja X imaju približno aritmetiku progresiju a
obeležja Y približno geometrijsku progresiju.

Parametre a i b ove regresione linije odreujemo, metodom najmanjih kva-

drata iz sledeih normalnih jednaina

U nekim sluajevima, manju standardnu grešku u aproksimacijama, u odno-

su na prethodnu liniju regresije daje regresija u obliku

= a + b e

Parametre a i b odreujemo iz sistema jednaina

215

Sluajne promenljive mogu uzimati diskretne vrednosti i neprekidne vred-

nosti iz datog intervala, tako da razlikujemo diskretne i kontinualne raspodele. U
aktuarstvu sreemo i mešovite raspodele, npr. kod naknada u osiguranju nezgode
(za sluaj invaliditeta i troškova leenja prema oceni lekara cenzora, a za sluaj
smrti ksne sume).

U mešovitim raspodelama sluajna promenljiva uzima kontinualne vredno-

sti u jednom domenu, a u drugom domenu diskretne vrednosti.

Kada sluajna promenljiva X uzima diskretne vrednosti: x1,x2,x3,...,xn tada

funkcija raspodele F(X) potpuno karakteriše sluajnu promenljivu jer je

ili u razvijenom obluku

Sluajna promenljiva X je diskretna ako je za svaki realan broj Xi odreena

neopadajua funkcija raspodele F(X)= P(X< x), koja ispunjava uslove F(-

)=0 i

F(+

)=1 i koja u takama Xi ima skokove jednake verovatnoi Pi

F(Xi+0)- F(Xi) = Pi i=1,2,3,...n.

gde je Pi= P(X=xi)

Sluajna promenljiva X je neprekidna ako je za svaki realan broj Xi odreena

neopadajua neprekidna funkcija raspodele F(X)= P(X< x), koja ispunjava uslove

C.D.Daykin at all.Practical Risk Theory for Actuaries pg.20.

217

F(-

)=0 i F(+

)=1

Neprekidna sluajna promenljiva ima i funkciju gustine raspodele verovatnoa

f(X)=F’(X)

tako da je

Osnovne osobine funkcije gustine raspodele verovatnoa su:

1) kao izvod neopadajue funkcije raspodele, funkcija gustine raspodele

verovatnoa nije negativna tj. f(x) 0

2) Integral funkcije gustine raspodele verovatnoa u beskonanim granicama

je jednak jedinici

Raspodele sluajno promenljive imaju obine i centralne momente, sa kojim

se opisuju.

Obini momenti se izraunavaju po shemi

Centralni momenti se izraunavaju po shemi

Obini i centralni momenti su povezani relacijama

218

5.1. PROCENA BROJA ŠTETA U PORTFELJU

U aktuarstvu je esencijalno ponavljanje sluajnih dogaaja. Posmatrajmo

ponavljanje bacanja novia kao model dihotomije sa dva mogua ishoda: da pad-
ne kruna ili da padne pismo.

Sa poveanjem broja ponavljanja broj ishoda pojave krune teži izjednaenju

sa brojem ishoda pojave pisma. Prema zakonu velikih brojeva verovatnoa pojave
krune P teži 1/2 sa poveanjem broja ponavljanja.

Poveanje izvesnosti de nišemo verovatnoom P= pn , gde je p verovatnoa

da padne kruna a n broj ishoda u ponavljanju bacanja.

Suprotan sluajni dogaaj je da padne pismo tj. da ne padne kruna, sa su-

protnom verovatnoom 1-qn .

Potrebno je obratiti pažnju da se verovatnoa na stepen n ( pn ) odnosi na

dogaaj bilo kog broja pojave krune u n bacanja (barem jedanput, ali i više puta).

Primer:

Sa verovatnoom P=0,5 potrebno je odrediti broj ponovljenih bacanja nov-

ia da grb padne barem jedanput.

Pojava grba ima verovatnou p=0,5 a pojava pisma ima verovatnou q=0,5.

Kako je P = 1 – q

= 1 – (1 – p)

(1 – p)

= 1 – P

n log (1-p) = log (1 - P)

dobijamo da je

Dakle ako je zadato P=0,95 a p=0,5

n= log 0,05/ log 0,5 = 4,32

Budui da se novi ne može baciti 4,32 puta to je bacanje 4 puta nedo-

voljno a 5 puta dovoljno, da sa verovatnoom od 0,95 oekujemo da grb padne
barem jedanput.

220

Kao što emo iz narednih izlaganja videti, ovakav pristup je korektan samo

ako sluajna promenljiva ima binomnu raspodelu.

Na navedeni nain je B.Paskal došao do rešenja i dao ga izvesnom Cheva-

lieu de Mereu 1.654 godine, pa zbog toga se ta godina uzima kao godina raanja
teorije verovatnoe.

Od tada su matematiari poeli da se bave sluajnim doga-

ajima i pojam verovatnoe je poeo da se razvija u odnosu na prvobitni koji je
identi kovan sa relativnom frekvencijom u strukturi statistikog skupa.

Kod sluajnog dogaaja koji se ponavlja n puta možemo tražiti verovatnou

da navedeni sluajni dogaaj, koji ima verovatnou p, nastupi tano r puta, odno-
sno da ne nastupi n-r puta.

Ta verovatnoa se odreuje po formuli

Kvanti kacijom Bernulijevog zakona velikih brojeva, po šemi (p+q)=1, sa

korišenjem integralne teoreme Muavr-Laplasa

P(-

(X/N) - p

) = P(-

(X/N) - p

) =

= P

D—

(N/pq)

(X-Np)/(

—

Npq)

—

(N/pq)

= 2

—

(N/pq)

možemo izraunati potreban broj jedinica rizika (N zakljuenih osiguranja na
nivou izravnavanja rizika) , da bi sa verovatnoom preko P ocenili najvei broj
šteta koji treba oekivati, ako nam je poznata verovatnoa pojave šteta p (dobijena
iz višegodišnje statistike šteta), uz prihvatanja izvesne tolerancije

Na primer, ako je verovatnoa pojave šteta p=0,01 a prihvatamo toleranciju

=0,001

(uveanje 10%) , postupiemo prema sledeem:

Iz statistikih tablica za Laplasovu funkciju možemo oitati da je za vrednost

)

(

)

Nešto kasnije 1666 katastrofalni požar u Londonu i epidemija kuge uticali su na znaajno

omasovljenje osiguranja koje je, kao što vidimo moglo da se razvija na osnovama teorije
verovatnoe.

221

p = lim (r/n), ( n

)

Sada možemo postaviti pitanje kolika je verovatnoa za odstupanje h.
Polazimo od pretpostavke da je h=0 tj. da je r=np.

Ako u formuli

umesto r stavimo np, dobijamo

jer je n-np = n(1-p)= nq

Ako za veliko n! koristimo Stirlingovu formulu, dobijamo

Ako ovu relaciju uredimo tako što izvršimo sva skraivanja, imajui u vidu

da je np+nq=1 , dobijamo

P= 1/

—

npq

Dobijeni rezultat je verovatnoa da e sluajni dogaaj koji ima verovatnou

p, nastupiti np puta, odnosno da nee nastupiti nq puta.

Na osnovu ove formule možemo zakljuiti da, ako je n veliko, P e biti

vrlo malo, ali ma koliko ta verovatnoa bila mala, ona e za ostale vrednosti r
biti još manja.

Umesto relacije

223

za izraunavanje verovatnoe P

, za h=1,2,3... možemo koristiti približnu formulu

gde je v = h

Ukoliko nam kod odreivanja nivoa izravnavanja rizika uopšte nije poznata

verovatnoa nastupanja osiguranih sluajeva (npr. kod uvoenja u osiguranje nove
vrste rizika), uzimamo da je pq=1/4. Ovo iz razloga što je to maksimum, za funk-
ciju p(1-p) de nisanu na intervalu 0

1 , za p=1/2.

Ako raspodela nije poznata nivo izravnavanja se može odrediti preko teore-

me ebiševa, odnosno Bernštajnove nejednakosti

Sada emo razmotriti mogunosti odreivanja nivoa rizika za klasu rizika

kod koje imamo samo matematiko oekivanje, a nije nam još uvek poznata ras-
podela verovatnoa sluajno promenljive.

Na primer nivo izravnanja rizika možemo izraunati, za odreenu verovat-

nou pouzdanosti P, (s=1-P) i odstupanje

, za portfelj koji ima riziko premijsku

stopu p prema sledeoj formuli:

U praksi je dokazano da broj pojedinanih šteta u periodu t najbolje aprok-

simira Poissonov ili negativni binomni raspored.

Kod Poissonovog rasporeda, verovatnoa da e broj šteta u periodu biti N=n

Pr(N=n)=

/ n! n=0,1,2,…

gde je

Matematiko oekivanje E(N)=Var(N)=

Napomena:

U skupu više klasa rizika možemo imati

kao sluajnu varijablu, koja ima

svoju funkciju gustine p.d.f u(

) ,

Tada imamo

V.Vrani: Vjerojatnost i statistika, str.117, Tehnika knjiga Zagreb 1958 g

Željko Pauše: Vjerojatnost, Informacije , Stohastiki procesi ; str.145, Školska knjiga Zagreb 1985.

224

Ako nastupi osigurani sluaj I=1 a ako osigurani sluaj ne nastupi I=0.

Polazei od opšte postavke uslovnih oekivanja sluajno promenljive

E(W)= E(E(W

V)) i Var(W)= Var(E(W

V)+E(Var(W

V)) (*)

Stavljajui W=X i V=I dobijamo E(X)=E(E(X

I)) i

Var(X)= Var(E(X

I))+E(Var(X

I))

Koristei uobiajene simbole za matematiko oekivanje i varijansu, može-

mo napisati

=E(B

I=1)

= Var(B

I=1)

Imajui u vidu da je

E(X

I=0)= 0

u simbolima verovatnoe

Pr(I=0)=1-q i Pr(I=1)=q

pošto je

E(Var(X

I))=

E(I)=

q i E(X

I=1)= E(B

I=1)=

kao i da je

Var(E(X

I))=

Var(I)=

q(1-q)

uvoenjem ovih smena u (*) dobijamo

E(X)=

q i Var (X)=

q(1-q) +

ili

E(X)= qE(B)

E(B

)= Var(B) + (E(B))

i Var(X)= qE(B

)- (qE(B))

Bowers at all. Actuarial Mathemathics SOA 1997, pg.31.

226

Napred navedeno ilustrujemo primerima

Primer 1.

U osiguranju rizika krae vozila, premijska stopa q=0,01 pokriva štete u uni-

formnoj raspodeli izmeu 10.000 i 50.000. Potrebno je da ocenimo matematiko
oekivanje i varijansu.

Kako je kod uniformne raspodele E(B)= (a+b)/2 = (10.000 + 50.000)/2= 30.000

sledi

E(X)

= qE(B)= 0,01(30.000)= 300

E(B

) = Var(B) + (E(B))

Var(B) =

(b-a)

/12

= (400.000.000/3)

=(400.000.000/3) + (30.000)

= 1.033.333.333

Var(X) =

qE(B

)- (qE(B))

= 10.243.333,33

Na ovaj nain izraunavamo riziko premiju, koju osigurava treba da naplati

po jednoj polisi. Najvei broj polisa, (u ovom sluaju 99% ) nee imati štete, a
preostalih 1% polisa e biti sa štetama u rasponu od 10.000 do 50.000.

Koren iz varijanse podeljen sa riziko premijom predstavlja meru rizinosti

klase osiguranja, a to je iz statistike poznata veliina - koe cijent varijacije. Klasa
rizika sa veom riziko premijom po jedinici sume osiguranja (veom riziko pre-
mijskom stopom) ima veu rizinost. Ako su u dve klase rizika riziko premijske
stope jednake, veu rizinost ima klasa rizika sa veim koe cijentom varijacije.

esto su portfelji složeni, u smislu da se u njemu diferenciraju stepeni rizika.
Tada se oekivana vrednost i varijansa izraunavaju, kao što pokazuje sle-

dei primer.

Stepen opasnosti

Sredina

Varijansa

Zastupljenost

1. Poveana opasnost

10%

2. Srednja opasnost

30%

3. Umanjena opasnost

60%

227

Pod pretpostavkom da iznosi šteta imaju normalnu raspodelu, a matema-

tiko oekivanje sume šteta sa 95%, pored premije u visini oekivane sume šteta
mora se obezbediti i doplatak za sigurnost.

Polazei od verovatnoe

gde je Std standardna devijacija.

Za sigurnost oekivanja u portfelju, sa verovatnoom 0,95 osigurava mora

izraunati i relativni doplatak za sigurnost (relatuive security loading)

Prema tom kriterijumu, za

Pr(S

(1-

)E(S) = 0,95

gde je S=X

+...+X

65000

Ovu verovatnou postavljamo izrazom

Std= standardna devijacija
Sa pretpostavkom da

(S-E(S)

/ Std , ima standardizovanu normalnu distri-

buciju, imamo vrednost iz tablica

U ovom primeru doplatak za sigurnost je

= 1,645 (736.458,55) / 13.200.000 =

0,0918

U teoriji savremenog aktuarstva susreemo pojam konvolucije kao metoda

odreivanja raspodele verovatnoa P(x+y + ...

s), koja je važna za izraunavanje

premijskih stopa (premija) za više nezavisnih rizika, odnosno u sumiranju nezavi-
snih rizika sa složenim zakonima raspodele

Pojam konvolucije je poznat iz teorijske statistike. Meutim, tehnike obrauna

budui da se ne prikazuju kod interpretacije rezultata, nisu opšte poznate.

Savremena teorija rizika, agregira štete njihovim sumiranjem tako da metod konvolucije ima

veliki znaaj;

229

Za par funkcija

raspodele F

(x) i F

(y) operaciju F

(x) * F

(y) nazivamo

konvolucijom.

Na primer, kod sume S= x

+...+x

Potrebno je da naemo funkciju raspodele sume F

(k)

Ako su x i y meusobno nezavisne sluajno promenljive, uslov da verovat-

noa njihovog zbira bude P(x+y

s), odnosno verovatnou P(S

s) treba da pred-

stavimo sa raspodelom sluajno promenljive S.

U primeni metoda konvolucije, u opštem sluaju polazimo od de nicije ras-

podele

s(s)

= P(S

s) = P(x+y

Prema zakonu totalne verovatnoe (za dve sluajne promenljive koje su ne-

negativne i meusobno nezavisne)

sledi:

a) sluaj diskretne raspodele

sa odgovarajuom funkcijom

b) sluaj neprekidne raspodele

sa odgovarajuom funkcijom

Ako uzimamo više od dve raspodele, konvolucija se vrši iterativno;

Ovde za dve sluajne promenljive;

Ako jedna ili više sluajno promenljivih ima tip mix- raspodele, formule su kompleksnije;

230

odnosno, lako dobijamo funkciju raspodele zbira x

Na primeru koji sledi pokazaemo nekoliko naina dobijanja matematikog

oekivanja i varijanse za portfelj, odnosno dva naina za dobijanje složene raspo-
dele gustina verovatnoa.

Portfelj koji analiziramo sa numerikim primerom veoma uprošen jer ga

ini samo individualnih rizika smrti u jednoj godini osiguranja .

Prema individualnom riziku imamo:

Osoba A Pr( X1=0)= 0,99 + Pr(X1=10.000)= 0,01
oekivana šteta = (q)(s)= 100
varijansa = (s)

(q)(1-q)= 10.000

(0,01)(0,99)= 990.000

Osoba B Pr( X2=0)= 0,99 + Pr(X2=20.000)= 0,01
oekivana šteta = (q)(s)= 200
varijansa = (s)

(q)(1-q)= 20.000

(0,01)(0,99)= 3.960.000

Osoba C Pr( X3=0)= 0,98 + Pr(X3=30.000)= 0,02
oekivana šteta = (q)(s)= 600
varijansa = (s)

(q)(1-q)= 10.000

(0,02)(0,98)= 17.640.000

Osoba D Pr( X4=0)= 0,98 + Pr(X4=30.000)= 0,02
oekivana šteta = (q)(s)= 600
varijansa = (s)

(q)(1-q)= 10.000

(0,02)(0,98)= 17.640.000

Osoba E Pr( X5=0)= 0,98 + Pr(X5=10.000)= 0,02
oekivana šteta = (q)(s)= 200
varijansa = (s)

(q)(1-q)= 10.000

(0,02)(0,98)= 1.960.000

Osoba F Pr( X6=0)= 0,97 + Pr(X6=20.000)= 0,03
oekivana šteta = (q)(s)= 600
varijansa = (s)

(q)(1-q)= 20.000

(0,03)(0,97)= 11.640.000

232

Pošto su rizici nezavisni to za grupu imamo riziko premiju koja ini zbir

pojedinanih oekivanih šteta ( 100+200+600+600+200+600)= 2.300

Varijansa za grupu je takoe zbir pojedinanih varijansi

(990.000+3.960.000+17.640.000+17.640.000+1.960.000+11.640.000)= 53.830.000

Sstandardna devijacija 7.337

1. Metoda konvolucije

233

Složena Poissonova raspodela se može napisati u obliku

Sada u našem numerikom primeru neposredno dobijamo

(0)= e

-0,11

= 0,89583414

Zatim po algoritmu

slede

(1)= (0,11/1)(3/11)(1)(0,8958) =(0,01)

(3)(0,8958)

= 0,026875

(2)=(0,01/2)

(3)(0,026875)+8(0,8958)

= 0,0362365

(3)=(0,01/3)

(3)(0,0362365)+8(0,0269)+12(0,8958)

= 0,0369124

(4)=(0,01/4)

(3)(0,369124)+8(0,0362)+12(0,0269)

= 0,001807

(5)=(0,01/5)

(3)(0,0018)+8(0.0369)+12(0,0362)

= 0,001471

(6)=(0,01/6)

(3)(0,0015)+8(0,0018)+12(0,0369)

= 0,00076971

235

6. FUNKCIJA RASPODELE I ZAKON

VEROVATNOE RIZIKA

U formalnom smislu, ako izmeu vrednosti sluajne promenljive Xi i vero-

vatnoe Pi postoji funkcionalna veza

Pi=f(Xi)

tada tu vezu opisanu egzaktnim matematikim jezikom, nazivamo modelom
rasporeda.

Modeli rasporeda sluajne promenljive objašnjavaju ponašanje sluaj-

nog procesa, odnosno sluajne pojave i doprinose njihovom razumevanju
i predvianju.Naravno, te modele rasporeda treba razlikovati od determi-
nistikih modela u kojima su uzroci i posledice povezani bez posredstva
verovatnoe.

Model simulacije nekog sluajnog dogaaja ili procesa, može genera-

lizacijom biti tako pripremljen da se pomou njega rešavaju veoma složeni
sluajni procesi.

Elementi rizinosti imaju sluajne promene u vremenu, sa odgovarajuom ras-

podelom verovatnoa, sa matematikim oekivanjem E(x) i disperzijom D(x).

U literaturi sa matematikom statistikom nalazimo opšte opise velikog

broja modela teorijskih rasporeda, kao i više manje sline interpretacije nji-
hovih karakteristika. Savremeni aktuarski aspekti zahtevaju znatno više ma-
tematike obrade sa konstrukcijom specijalnih raspodela koje se dobijaju dis-
kretizacijom, neprekidnih raspodela

. Meutim, klasine aspekte ne možemo

da preskoimo.

Stuart A. Klugman at all: Loss Models From Data to Desision 2 end ed. Wiley Intercience New

Jersy 2004.

236

Uoimo odnos

verovatnoa P

n,x+1,p

je vea od verovatnoe P

n,x,p

, ako je

tj. sve dok je x<np-q, verovatnoa P

n;x;p

raste kad se x menja od 0 do np-q.

Ako je

odnosno za x=np-q (np-q mora biti ceo nenegativan broj) sledi da je

n;x;p

= P

n;x+1;p

dalje

n;x+1;p

< P

n;x;p

ako je

Aritmetika sredina je

, a varijansa je

= npq

Trei i etvrti obini momenti su respektivno

=n(n-1)(n-2)p+3n(n-1)p

= n(n-1)(n-2)(n-3)p

+6n(n-1)(n-2)p

+7n(n-1)p

+np

a trei i etvrti centralni momenti su respektivno

B.Ivanovi: Teorijska statistika Nauna knjiga 1973 str.80

238

=npq(q-p)

=3n

+npq(1-6pq)

Primeri praktinog korišenja binomne raspodele:

1) Posle isteka godine osiguranja u jednoj vrsti osiguranja se ostvaruje 1%

osiguranih sluajeva.Koliko osiguranih jedinica treba da bude u uzorku iz portfelja
da verovatnoa najmanje za pojavu jedne štete u uzorku ne bude manja od 0,95.

n;x

1;p

= 1 - P

n;0;p

=1- q

Pošto se zahteva P

n;x

1;p

0,95

1-q

0,95

0,05

veliina uzorka treba da bude

2) Kod osiguranja autoodgovornosti je u nekoj zoni rizika verovatnoa osi-

guranog sluaja 0,03. Ako u toj zoni rizika imamo 5 automobila, kolika je verovat-
noa da se osigurani sluaj ostvari na tri od tih pet vozila.

Prvo izraunavamo P

;

0;0,03;

;

0;0,03

= (1-0,03)

=0,97

= 0,8587

Za x=0

239

Trei i etvrti obini momenti, kod Poissonove raspodele su respektivno

+3m

+6m

+7m

a trei i etvrti centralni momenti, respektivno

=3m

Koe cijent asimetrije

= 1/m

Koe cijent spljoštenosti =3+1/m

Poissonova raspodela se može izvesti iz binomne, ako za ksirano x stavimo

ali tako da je np==const. tako da sledi:

Upotreba Poissonove raspodele, u sluajevima kada je aritmetika sredina

približno jednaka sa varijansom, daje manju standardnu grešku, tj. e kasnije oce-
njuje empirijske rezultate od binomne raspodele.

6.3. EKSPONENCIJALNA RASPODELA

Sluajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodelu sa pozitivnim para-

metrom , ako je njena gustina raspodele verovatnoa f(x) jednaka

241

Kako je

P(X>x>0)= 1-P(0<X<x)=e

-x

za 0<x1<x2

P(x1<X<x2)=(1-e

-x2

)-(1-e

-x1

)= e

-x1

- e

-x2

sledi

znai, uslovna verovatnoa P(X<x

| X>x

) zavisi samo od razlike x2-x1, pa prema

tome, ako znamo da je X

, raspodela X- x

bie takoe eksponencijalna

f(x= e

-(x-x0)

, za x

Matematiko oekivanje i disperzija su respektivno

6.4. GEOMETRIJSKA, PASKALOVA I

NEGATIVNA BINOMNA RASPODELA

U Bernulijevoj šemi binomne verovatnoe traži se verovatnoa da se u k-

siranom broju ponavljanja n, dogaaj A pojavi X puta, dok se kod geometrijske
raspodele verovatnoa

P(x)= P(X=x)=q

x-1

predstavlja verovatnou dogaaja da se u prvih x-1 ponavljanju sluajni dogaaj A
ne ostvari, a d se realizuje u x-tom ponavljanju.

242

kod Paskalove raspodele, aritmetika sredina je

Može se utvrditi da za k=1 dobijamo geometrijsku raspodelu.
Ako uvedemo novu sluajnu promenljivu Y=X-k, koja oznaava dopunski

broj ponavljanja preko k potrebnih da se sluajni dogaaj A ostvari k puta (Y je
broj neuspeha do k-tog uspeha, kod poželjnog sluajnog dogaaja), sledi:

ili, zato što je

sledi

dalje, imamo

gde je

tako da dobijamo

244

i ova raspodela se naziva negativna binomna raspodela, jer se na desnoj strani
formule nalazi opšti lan razvoja izraza p

(1-q)

-k

po stepenima q.

U literaturi se može nai i drugaija interpretacija, kao na primer

= q

p, gde je 0<p=1-q, dok je v=0,1,2…

Kako je funkcija

preko prvog izvoda

za t=0 dobijamo matematiko oekivanje

odnosno za k=1 aritmetika sredina = q/p, a preko drugog izvoda, za t=0

tako da je disperzija

odnosno za k=1,

varijansa je

= q / p

Branislav Ivanovi: Teorijska statistika; Nauna knjiga, Beograd 1973 str.96.

245

6.6. NORMALNA RASPODELA

Normalnu raspodelu je prvi opisao normalnu raspodelu, u vezi sa ocenom

sluajnih grešaka, pa se esto ona naziva i Gausovom raspodelom.

Ako sluajna promenljiva X uzima neprekidno sve vrednosti od -

do +

ako je njen zakon verovatnoe

takva raspodela se naziva Normalna raspodela N~(^,).

Funkcija f(x) je parna eksponencijalna i pozitivna za sve vrednosti x. Zato

se gra k njene krive nalazi iznad x-ose i simetrina je u odnosu na y-osu. X-osa je
asimptota i sa leve i sa desne strane krive.

Stepen

ne može biti vei od 1, a vrednost jedinice dostiže u taki x=0.

Stoga funkcija dostiže maksimum u taki x=0 za y=

1/=0,3989 a pre-

vojne take za vrednosti x=± 1 i y=f(±x)= 1/

-1/2

=0,242

Površina koju kriva zatvara sa x-osom tj.

Normalna raspodela N~(^,) se može izraziti Laplasovom funkcijom

tako da imamo

Verovatnou P(a < X< b) možemo izraziti pomou Laplasove funkcije, sa

nizom mogunosti praktine primene u osiguranju.

Na primer, u analizi strukture osiguranih suma. Ako osigurane sume u por-

tfelju jedne vrste osiguranja sa 800 polisa imaju aritmetiku sredinu 66.000 N.J. i

247

standardnim odstupanjem =5.000 N.J. nai broj polisa sa osiguranim sumama: a)
izmeu 65.000 I 75.000 b) broj polisa sa veim osiguranim sumama od 72.000.

Ovde je X~N(66.000) i T~(0,1) i korišenjem tablica IV (za normalni zakon

verovatnoe) sledi:

a) P(65.000<X<75.000)=P(-0,20<T< 1,80)= `(1,80) – `(-0,20)=

= `(1,80) + `(0,20)=0,4641 + 0,0793= 0,5434

sledi: n=800 x 0,5434=435 polisa

b) P(X>72.000)=P(T > 1,2)=0,5000-0,3849=0,1151

sledi n=800 x 0,1151= 92 polise.

Napomena:

Ako naprimer želimo da nam u portfelju jedne vrste osiguranja

osigurane sume budu u normalnoj raspodeli, samopridržaj možemo odrediti tako da
osigurane sume preko odreenog iznosa ne budu zastupljene. Dobiemo približno
da tada najvea osigurana suma u samopridržaju ne treba da bude vea od dvostru-
ke aritmetike sredine. Ovo je jedna od iskustvenih normi u osiguranju.

Normalna raspodela može biti standardizovana tako da je aritmetika

sredina = 0, a varijansa

= 1. tj. X: N(0,1).

Kod standardizovane normalne raspodele i svi ostali neparni momenti su

jednaki nuli pa je centralni momenat ^

=0 i koe cijent asimetrije

=0.

etvrti centralni momenat ^

=3, pa je koe cijent spljoštenosti

=3.

6.7. GAMMA RASPODELA

a) Matematiki aspekti

Ojlerovi integrali imaju znaajnu primenu u matematikoj statistici, odnosno

u aktuarstvu, pa zato razmatramo matematike aspekte ovih integrala kako sledi.

Ojlerov integral prvog reda

(1)

Za a,b>0 integral je konvergentan

248

(2)

Ova formula može se koristiti u cilju smanjivanja b, dok je b vee od 1; na

taj nain uvek se može postii da drugi argument funkcije bude

Isto se može postii i za prvi argument, jer zbog simetrinosti

(a,b)=

(b,a)

Za a>1 važi

(2)

Ako je b prirodan broj (n), onda uzastopnom primenom formule (2) dobijamo:

kako je

dobija se

(3)

Ako je i a prirodan broj (m), onda je

Ova formula važi i za m=1 ili n=1, ako 0!=1
Uzmimo da je x=z

/1+z

, 1- x = 1/(1+z

), dx=2z dz/(1+z

)

Dobiemo

250

Ako m zamenimo sa ½ a n=1/2(n-1), ovaj odnos daje

3) esto je korisna druga analitika predstava za funkciju

Ako se u (1) stavi x= y /1+y , gde je y

>Rf@

i x

1, y

dobija se

(4)

4) Stavljajui u (4) b=1-a , smatrajui 0< a < 1

zamenom vrednosti za integral (*), dobija se

(5)

za a= 1-a =1/2 je

(1/2,1/2)=

(6)

Ovo možemo dobiti i na sledei nain:
Stavimo x = sin

dx = 2sin

cos

, dobiemo

251

sada, koristei (3)

(8)

Iz (7) parcijalnom integracijom

odnosno,

(a+1)=a

(a) (9)

(a+n)=(a+n-1)(a+n-2)...(a+1)a

(a) (10)

Najvažnije svojstvo gama funkcije je obrazac rekurzije (9). Do njega može-

mo doi ako izvršimo integraljenje (7), prema sledeem:

Uslov a>0

253

Obrazac (7) se može posmatrati kao diferencijalna jednaina sa gama funk-

cijom kao njenim rešenjem.

Ako upotrebimo obrazac rekurzije više puta

(a+1)= a

(a)= a

(a-1+1)=a(a-1)

(a-1)=a(a-1)(a-2)...(a-k)

(a-k)

Ako izradimo tabelarni pregled gama funkcije u jedininom intervalu argu-

menta, možemo nai funkciju i za argument izvan tog intervala.

Na primer

(3.37)=

(2.37+1)= 2.37

(2.37)=2.37

(1.37+1)=3.2469

(1.37)=

= 3.2469

(0.37+1)= 1.201353

(1.201353).

Iz ovoga proizilazi da se

(3.37) može izraunati prostim množenjem ako je

poznato

(1.201353).

Ako se u (10) stavi a=1, pošto je

(11)

to je

(a+1)=a! (12)

Ova veza, sa proširenjem obrasca rekurzije (7), dovodi do sledeeg prostog

i važnog odnosa gama funkcija i faktorijela.

(a+1)=a(a-1)(a-2)...5.4.3.2.1.

(1)= a!

Napomene:

Ako je n prirodan broj :

(n)=(n-1)! ;

;

254

Za integral sa gornjom granicom

kažemo da je potpuna gama funkcija

(n), dok se nepotpuna gama funkcija esto obeležava sa

(n) ili (n,x)!. (Indeks

x treba identi kovati sa gornjom granicom integrala i zato se u integrandu esto
umesto simbola x koristi simbol t ).

Na primer, umesto

b) Gama i beta raspodele

Za pozitivne vrednosti od n gama funkcija se može de nisati kao integral

koji se ita gama funkcija od n.

Integral konvergira za sve pozitivne vrednosti od n. Ako je gornja granica

beskonana kao što je ovde napisno za gama funkciju se kaže da je potpuna.

Nepotpuna gama funkcija je integral sa promenljivom gornjom granicom x.

Na taj nain gama funkcija je ne samo funkcija od n ve i od x.
U aktuarstvu se esto koriste relacije:

i osobine gama funkcije

256

257

sledi da je

P(Xi X)= [F(x)]

Ova relacija pretstavlja verovatnou da e najvea vrednost uzorka biti ma-

nja ili jednaka sluajnoj realizaciji X u vremenu T.

Ova relacija je istovremeno i funkcija rasporeda sluajno promenljive Xn.
Pretpostavimo sada da je X normalno rasporeena i standardizovana.
Iz uzorka od n elemenata, osnovnog skupa N(0,1) potrebno je da dredimo ve-

rovatnou da e max (Xi) biti npr. manje od 2. (kod standardizovane sl.promenljive
m±2 predstavlja interval koji obuhvata više od 95% jedinine mase).

Dakle imamo P(Xn 2) = [# (2)]

, gde je

sa tablinom vrednosti #(2)=0,9772

To znai da je P(Xn 2)= 0,9772

i za razliite veliine uzorka dobijamo

odgovarajue verovatnoe

(Xn 2)

0,8911

0,7941

100

0,09954

2) Odredimo sada verovatnou P(Xn>X) gde je Xn max (i) (Xi).

Kako je

P(Xn>1)= 1 – P (Xi X)

odnosno

P(Xn>1)= 1 – [F(x)]

259

Za razliite veliine uzorka ova verovatnoa e biti utoliko vea ukoliko je

uzorak vei

P(Xn>2)

0,1089

0,2059

100

0,90046

3) Sada odredimo verovatnou P(Xn>X) gde je X

= min (Xi)

Iz uslova Xi>X sledi

P(X

> X) = [1- F(x)]

Kako je P(Xi)=F(X) za svako i, to je

Ako u razmatranju 1. verovatnou P(Xi X) oznaimo sa

G(X) tj. P(Xn X)= [F(x)]

G(X) funkcija rasporeda sl.promenljive Xn.

Sa druge strane oznaimo sa (X) funkciju rasporeda sl.promenljive X

tada je

(X) =P(X

X)=1- [1-F(x)]

Ovo znai da iz poznate veze koja postoji izmeu funkcije rasporeda i zako-

na verovatnoe jedne aleatorne funkcije X, možemo odrediti zakone verovatnoa
sluajno promenljivih.

Na primer

g(x)=G(x)= {[F(x)]

}

odnosno

260

8. SIMULACIJE OSIGURANIH SLUAJEVA

U VREMENU

Model simulacije nekog sluajnog dogaaja ili procesa, može genera-

lizacijom biti tako pripremljen da se pomou njega rešavaju veoma složeni
sluajni procesi.

Elementi rizinosti imaju sluajne promene u vremenu, sa odgovarajuom

raspodelom verovatnoa, sa matematikim oekivanjem E(x) i disperzijom D(x).

U analizi i kontroli promena rizinosti na nivou klasa rizika, koje reprezentu-

ju odgovarajue riziko premijske stope, u osnovi se mogu postaviti dva pitanja

1. Koliko osiguranih sluajeva možemo oekivati u odreenom intervalu

vremena

t (t<T),

u skupu zakljuenih osiguranja;

2. Koliku uestalost vremenskih razmaka možemo oekivati izmeu

osiguranih sluajeva za skup od N zakljuenih osiguranja, sa nezavisnim
rizicima.

U prvom pitanju sluajna promenljiva je osigurani sluaj,odnosno njihov

broj jer je t=const.

U drugom pitanju t (interval vremena) je sluajno promenljiva.
Za odgovore na postavljena pitanja potrebno je odrediti raspodelu verovat-

noa pojave osiguranih sluajeva za vreme t.

Px = px(t) , (t < T)

tj. verovatnou da e x osiguranih sluajeva nastati u konstantnom intervalu vremena t.

Pretpostavimo da je verovatnoa pojave jednog osiguranog sluaja u inter-

valu dt (dt< T) proporcionalna ovom vremenu tj.da je

Slino, kao u teoriji masovnog opsluživanja. Vidi T.Zeevi:

262

(dt)=a dt

gde je a konstanta za date veliine N i T.

Da bi se za vreme t pojavila dva osigurana sluaja potrebno je da se ostvari

prvi a zatim i drugi osigurani sluaj do kraja intervala vremena dt.

Nastupanje jednog osiguranog sluaja nema uticaja na nastupanje drugih jer

su to nezavisni dogaaji .

Zato verovatnou pojave dva osigurana sluaja možemo izraziti sa

(dt)

Prema uslovu nezavisnosti dva dogaaja, verovatnou pojave dva osigura-

na sluaja u intervalu dt možemo izraziti u obliku proizvoda verovatnoe pojave
jednog osiguranog sluaja i verovatnoe pojave drugog osiguranog sluaja u tom
intervalu vremena.

Na taj nain,ako uzmemo da je interval vremena dt beskonano mala velii-

na, sledi da je

p2=p2(dt) veliina drugog reda, p3=p3(dt) ... itd beskonano male

veliine treeg, etvrtog ... reda u odnosu na dt.

Prema tome, na osnovu teoreme totalne verovatnoe, u jednakosti

po(dt)+p1(dt)+... = 1

možemo zanemariti beskonano mali zbir p2(dt+p3(dt)+... tako da sledi

p0(dt)=1-p1(dt)

odnosno verovatnoa da se ne dogodi ni jedan osigurani sluaj

p0(dt)=1- a (dt)

Verovatnou

p0(dt) , da se u toku perioda t ne pojavi ni jedan osigurani slu-

aj, odnosno verovatnou da vremenski period bez osiguranih sluajeva bude t ,
na navedeni nain možemo izraunati.

Uoimo nešto vei interval vremena (t+dt) i verovatnou p0(t+dt).
To je verovatnoa da se u intervalu t+dt ne pojavi ni jedan osigurani sluaj.
Oigledno, ni jedan osigurani sluaj se nee pojaviti u intervalu

t+dt ako se

ni jedan osigurani sluaj ne pojavi u intervalu t i u intervalu dt.

Sada prema teoremi verovatnoe proizvoda nezavisnih dogaaja sledi

263

Sa druge strane, po teoremi Lagranža

Iz ovih relacija dobijamo diferencijalnu jednainu koja u rekurentnom obli-

ku, za x=1,2,3...k glasi:

Rešavanjem ove diferencijalne jednaine za vrednosti x=1,2,3...k dobijamo

rešenja oblika

Na ovaj nain smo odredili zakon raspodele verovatnoa osiguranih sluaje-

va (Poissonova raspodela).

Veliina a ima znaenje srednje uestalosti osiguranih sluajeva za vreme T,

odnosno

a= k T

Verovatnou

px(t)

možemo izraziti i formulom

ili u obliku radne formule, po kojoj odreujemo verovatnou da se za vreme

javi ni jedan osigurani sluaj

= e

– (kT)/T

265

8.1. ANALIZA RIZINOSTI PORTFELJA - MODELIRANJE

UESTALOSTI I IZNOSA ŠTETA

Modeliranjem uestalosti šteta tražimo verovatnou broja šteta u portfelju u

jednom periodu osiguranja

Model u opštem obliku glasi

Pn= Pr(N=n) , n=1,2,...

Modeliranjem iznosa šteta tražimo odgovor o verovatnoi obima šteta

Ovaj model u opštem obliku glasi

Fx(X)= Pr (X

x) , x

Sumiranjem svih šteta u portfelju u jednoj godini osiguranja

S = X1+X2+X3+...+Xn

Modeliramo ukupne gubitke

Fs(x)= Pr(S

x) , S 0

Kada su N sluajne promenljive sa nezavisnim i identinim rasporedima

model nazivamo kolektivnim riziko modelom.

Prema navedenom model ima dve komponente:

– za uestalost (koristimo diskretne raspodele: Poissona, Binomnu, Negativnu

binomnu)

– za iznose šteta (koristimo neprekidnu raspodelu: Exponencialnu, Gamma,

Normalnu).

U portfelju obaveznog osiguranja oekujemo u godini osiguranja da e se

za naknade osiguranih sluajeva isplatiti ukupno 20.000.000. Iz uzorka šteta sa
kojim raspolažemo izraunali smo verovatnou da po jednom sluajnom doga-
aju šteta nee biti vea od 100.000. Ta verovatnoa je 0,8. Koliko šteta možemo
oekivati na kraju godine.

Oznaimo sa X sluajnu promenljivu visine naknade za jedan osigurani slu-

aj, a sa N broj osiguranih sluajeva, M prosena visina naknade.

266

Riziko premija, kao izraz cene osiguranja za period osiguranja, kada je ri-

zinost potpuno odreena parametrima p i s dobija se iz proizvoda sp. Pr= sp, gde
smo sa p oznaili premijsku stopu a sa s osiguranu sumu.

Ovaj tip rizinosti možemo de nisati samo kod izrazito homogenih skupo-

vova osiguranih objekata.

Ve u sluaju da se osigurani objekti razlikuju po vrednosti odnosno po osigu-

ranim sumama, riziko premija kao kvanti kacija rizinosti dobija drugaiju formu

Pr= spI

gde je (I) intenzitet štete.

Iz prethodnog razmatranja možemo zakljuiti da rizinost karakterišu slede-

e okolnosti:

– uestalost šteta koja se tretira kao verovatnoa pojave štete;

– vrednosti osiguranih objekata ;

– intenzitet rizinosti (razornost rizika).

Možemo se ograniiti na analizu onog dela portfelja koji sadrži najvee osi-

gurane sume, koje nisu sve meusobno jednake, a sa nastupanjem osiguranog slu-
aja može doi do potpunog gubitka osigurane sume, prema sledeem:

Rizinost analiziramo u analitikom obliku

q= ‚Zi/ ‚Si = ‚Z

/ ‚S

+ ‚Z

/ ‚S

+ ‚Z

/ ‚S

gde su:

‚S

- posdkup osiguranih suma koje su manje od aritmetike sredine skupa

svih osiguranih suma, ‚Z

podskup šteta koje se javljaju na tim osiguranim

sumama;

‚S

- podskup osiguranih suma koje su jednake aritmetikoj sredini skupa svih

osiguranih suma,

‚Z

- podskup šteta koje se javljaju na tim osiguranim sumama;

‚S

- podskup osiguranih suma koje su vee od aritmetike sredine skupa svih osi-

guranih suma, ‚Z

podskup šteta koje se javljaju na tim osiguranim sumama.

Sledi

‚Z

/ ‚S

= k

/ n

)= q

‚Z

/ ‚S

= k

/ n

)= q

‚Z

/ ‚S

= k

/ n

)= q

268

Za analizu rizinosti je znaajno da li postoje razlike izmeu stvarnog i oe-

kivanog broja gubitaka prtosenih osiguranih suma ( koju ocenjujemo iz kolinika
sume šteta i prosene osigurane sume).

= k

; p

i p

Analizom relacije koja opisuje komponentu intenziteta, uoavamo da su

mogua tri sluaja:

1) I<1 2) I=1 3) I

Prvi sluaj I<1 imamo kada je z

< s

, drugi sluaj imamo kada je z

= s

i trei sluaj kada je z

> s

Kod osiguranja objekata koji pojedinano imaju jednake osigurane sume, ako

su pored totalnih mogui i delimini gubici osiguranih suma, uvek imamo sluaj 1.

Kod osiguranja objekata koji pojedinano imaju nejednake osigurane sume,

bez obzira da li su pored totalnih mogui i delimini gubici osiguranih suma, mo-
žemo imati sva tri sluaja.

Neka tokom niza godina imamo podatke o godišnjim sumama šteta, tako da

možemo da izvedemo zakon verovatnoe

Xi Z

. . .

pi p

4 . . .

za i konani broj imamo da je matematiko oekivanje

riziko premija.

Neka su sume šteta Z

manje a Z

, Z

vee od riziko premije.U svakoj

pojedinanoj godini imaemo promene u rezervama jer e one rasti ako je suma
šteta manja od riziko premije i smanjivae se ako je suma šteta vea od riziko
premije. Možemo zamisliti ponavljanje tog procesa tokom višegodišnjeg perio-
da u kome se rezerve smanjuju i rastu. U tom procesu, matematiko oekivanje
potrebne rezerve je jednako nuli! Meutim odstupanje od matematikog oe-
kivanja, tj. maksimalna visina U (rezerve) u tom procesu zavisi od raspodele
verovatnoa u procesu nastajanja šteta, tako da je za aktuarske kvanti kacije
potrebno da prouavamo i zakone verovatnoa, njihove funkcije i momente
koji se iz njih izvode.

Ako izvršimo analizu promena u portfelju u jednom periodu osiguranja, do-

bijamo sledee rezultate:

269

obavezu osiguravaa prema osiguraniku ako nastupi osigurani sluaj u ugovore-
nom periodu osiguranja, ukazuje da osigurava od samog poetka poslovanja, tj.
pre prvog zakljuenog ugovora o osiguranju mora da ima kapital koji ne može biti
manji od osigurane sume koju prihvata u osiguranje.

Uslov za dobijanje dozvole za rad da osiguravajua kompanija mora imati

kapital u visini poetnog fonda sigurnosti. Poetni fond sigurnosti propisuje se
zakonom o osiguranju imovine i lica.

Osiguravajua kompanija naravno nee riziku izložiti ukupan iznos poet-

nog fonda sigurnosti za osiguranje jednog rizika, ma koliko mala bila verovatnoa
da se rizik ostvari, jer bi u tom sluaju imao istu poziciju kao i osiguranik. Osi-
guravajua kompanija kod osiguranja velikih vrednosti (velikih osiguranih suma)
zadržava jedan deo u svom pokriu i taj deo se naziva samopridržaj, dok drugi deo
kao višak rizika reosigurava.

U poslovanju osiguravaa, proces priliva sredstava od uplata premija osi-

guranja i proces isplata naknada za osigurane sluajeve, u nekom obraunskom
periodu nee biti u ravnoteži, tj. ukupne uplate nee biti jednake ukupnim ispla-
tama. U sluaju kada su ukupne uplate vee od ukupnih isplata, razlika puni
fond rezervi. Obratno, kada su ukupne uplate manje od ukupnih isplata fond
rezervi se smanjuje.

Osigurava, prema nameni formira raztliite vrste rezervi, ali sve vrste re-

zervi osim poetnog fonda sigurnosti potiu iz uplata premija osiguranja.

Sve ove vrste rezervi zajedno sa kapitalom poetnog fonda sigurnosti pret-

stavljaju garantne rezerve osiguravaa koje su u funkciji solventnosti poslova
sprovoenja osiguravaa.

Osiguravajua organizacija ne može imati vee obaveze od raspoloživih

sredstava i zato viškove rizika reosigurava.

Obim reosiguranja zavisi od visine garantne rezerve društva i strukture osi-

guranih rizika u portfelju. Svaka osiguravajua organizacija mora imati odgova-
rajuu marginu solventnosti, kao garanciju da raspolaže dovoljnim sredstvima za
pokrivanje obaveza iz osiguranja.

Regulatorni organ (Narodna banka Srbije), donosi posebne propise o nainu

obrauna margine solventnosati.

8.3. SIMULIRANJE PROMENA U REZERVAMA

Ovaj model je zamišljena igra sa etri žetona 1, 2, 3, 4. Jedan igra pristupa

žetonima i bira jedan od njih, pri emu pre izbora nezna njegovu vrednost. Zatim
pristupa drugi igra i bira jedan od preostala tri žetona, trei igra bira od preostala

271

dva žetona i etvrti igra uzima preostali žeton. Svi igrai jednovremeno saznaju
vrednost žetona.

Igra koji ima žeton 1 dobija jedan dinar, igra koji ima žeton 2 dobija dva dinara,

igra koji ima žeton 3 dobija tri dinara i igra koji ima žeton 4 dobija etiri dinara.

Igra se ponavlja a pristup igraa je sluajan.
Koju cenu za igru treba da plati svaki igra

Potpuni skup sluajnih dogaaja u ovom modelu ine sledei sluajni dogaaji:

A Izbor žetona 1

B Izbor žetona 2

C Izbor žetona 3

D Izbor žetona 4

Svaki od navedenih sluajnih dogaaja ima odgovarajuu verovatnou.

Kako ima ukupno 4 žetona a samo jedan žeton ima vrednost 1, verovatnoa slu-
ajnog dogaaja A ima vrednost

P(A)=1/4 =0,25

Samo jedan žeton ima vrednost 2 pa je verovatnoa sluajnog dogaaja

B, P(B)=1/4

Samo jedan žeton ima vrednost 3 pa je verovatnoa sluajnog dogaaja

C, P(C)=1/4

Samo jedan žeton ima vrednost 4 pa je verovatnoa sluajnog dogaaja

D, P(D)=1/4

Kod potpunog skupa sluajnih dogaaja zbir verovatnoa sluajnih dogaa-

ja jednaka je 1.

P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 0,25+0,25+0,25+0,25=1

Zakon raspodele u ovom modelu je sledei

X 1 2 3 4

P 0,25 0,25 0,25 0,25

Matematiko oekivanje E(X) =

Xi Pi

(1x0,25)+(2x0,25)+(3x0,25)+(4x0,25)

= (1+2+3+4)x0,25 = 10 x 0,25 = 2,50

272

Posmatrajui proces ponavljanja igre možemo uoiti da se rezerva povea-

va, u ovoj igri sa svakim ponavljanjem za 1,50 dinara.

Posle druge igre, može se dogoditi da organizator ponovo mora nadoknaditi

razliku 1,5 dinara, tj. visina rezerve je 3,0.

Uporedo sa sluajnim procesom izvlaenja žetona, odvija se i sluajni pro-

ces promena u rezrvi kapitala organizatora, sa zakonom raspodele

Y 0,50 1,50 -0,50 -1,50

P 0,25 0,25 0,25 0,25

sa matematikim oekivanjem E(Y)=0

Ovo matematiko oekivanje nam govori da e se u velikom broju ponavlja-

nja igre izvršiti potiranje ukupnog smanjenja i ukupnog poveanja rezerve. Meu-
tim, nema odgovora na pitanje kolika je maksimalna rezerva potrebna.

Za odgovor na to pitanje potrebno je postaviti nivo sigurnosti (verovatnou),

da se rezerva nee smanjiti više od nekog iznosa.

Verovatnoa da e se rezerva smanjiti za 1,50 posle prve igre je 0,25.
Pošto su igre nezavisne, verovatnoa da e organizator i u drugoj igri sma-

njiti rezervu za 1,50 takoe iznosi 0,25.

Verovatnoa da e organizator u prvom i drugom ponavljanju igre smanjiti

rezervu za 1,50+1,50=3 iznosi 0,25 x 0,25=0,0625

Verovatnoa da e posle n ponavljanja maksimalno smanjenje rezerve biti

1,50 n, iznosi 0,25 na n-ti stepen.

Broj

ponavljanja

Maksimalno smanje-

nje rezerve

Verovatnoa

1,50

0,250000

3,00

0,062500

4,50

0,015625

6,00

0,003906

7,50

0,000976

Dakle sa verovatnoom 1- 0,000976 možemo zakljuiti da e rezerva u ovoj

igri, sa ponavljanjem varirati u granicama

7,50 dinara.

Rekli smo da igra ima sledei zakon raspodele

274

X 1 2 3 4
P 0,25 0,25 0,25 0,25

Igra sa neto cenom za igru 2,50 dinara bira jedan žeton i iz igre izlazi:

sa gubitkom 1,50 ako izvue žeton 1,

sa gubitkom 0,50 ako izvue žeton 2,

sa dobitkom 0,50 ako izvue žeton 3,

sa dobitkom 1,50 ako izvue žeton 4.

Organizator zamenjuje tri igraa, ali sam sebi ne mora da uplati 3x2,50=7,50

dinara!

Naravno organizator sigurno dobija dodatak koji je uraunao u cenu i izložio

je promeni rezervu od 7,50 dinara. Organizator, dakle može ponoviti igru pet puta,
sa maksimalnim smanjenjem rezerve u svih 5 ponavljanja igre. Rizik maksimal-
nog gubitka rezerve posle 5 ponovljenih igara izražava verovatnoa takvog ishoda
0,25 na 5 stepen tj. 0,000976.

Ovu verovatnou možemo izraziti kolinikom k=1/0,000976 , odakle sledi

da je K

1.024

Ako rezervu izloženu riziku gubitka podelimo sa k, dobijamo 7,50/1.024=0,007

dinara.

Ovaj iznos možemo zaokružiti na 0,01 tako da kada sa istim poveamo cenu

igre, imamo malu promenu bruto cene za igru 2,75+0,01= 2,76.

Nazvaemo ovaj doplatak, doplatkom za sigurnost, ija je uloga da obnavlja

rezervu.

Ovako modelirana igra može beskonano da se ponavlja. Neka je npr. po-

novljena 102.400 puta.

Rezultat, skoro izvesno, bie:

Uplate

102.400 x 2,76 = 282.624 dinara

– izdvojeno za rezervu 102.400 x 0,01 = 1.024 dinara

__________________________

281.600 dinara

Isplate 25.600 x 1 = 25.600 dinara

25.600 x 2 = 51.200 dinara

25.600 x 3 = 76.800 dinara

25.600 x 4 = 102.400 dinara

________________________
102.400 x 2,50 = 256.000 dinara

281.600 – 256.000 = 25.600 dinara

275

Razmotriemo ovu istu igru sa proširenjem broja moguih vrednosti sluaj-

no promenljive npr. uvoenjem dva matematika oekivanja, tako da dobijamo
sledeu raspodelu

2,5

1/6

Matematiko oekivanje (cena igre) ostaje ista E(X)=2,50 , maksimalni do-

bitak igraa ostaje isti, ali se znaajno poveava broj naina promene rezerve.

Posle drugog ponavljanja igre imaemo:

Promena

rezerve

Broj naina

Verovatnoa

-3

1/36

-2

2/36

-1,5

4/36

-1

3/36

-0,5

4/36

8/36

0,5

4/36

3/36

1,5

4/36

2/36

1/36

1,00

Bitno sa stanovišta organizatora, ovakva modifikacija pokazuje da je

kod maksimalne promene rezerve 4,5 posle tree igre verovatnoa 0,000767
tj. manja od verovatnoe maksimalne promene rezerve posle pete igre bez
modifikacije.

To znai da sa ovakvom modi kacijom organizator umesto 7,5 rezerve, tre-

ba da obezbedi 4,5 .

277

Na gra ku su prikazane raspodele verovatnoa moguih gubitaka rezerve za

dva, tri i etiri ponavljanja igre.

Želimo posebno da naglasimo injenicu da organizator igre u odnosu na

igrae nema nikakvu stratešku prednost, ako bi za igru naplaivao samo 2,50 di-
nara (matematiko oekivanje).

U velikom broju ponavljanja igre, pokazali smo,da je matematiko oeki-

vanje promene rezerve E(Y)=0. Meutim, organizator stavlja u igru potrebnu re-
zervu, koja deluje kao amortizer, da bi igra mogla da se ponavlja.Zbog toga je
opravdano da cenu igre povea doplatkom za sigurnost.

Igra ima troškove organizacije i naglašavamo da zaradu organizatora obez-

beuje samo doplatak režijskog dodatka.

8.4. SOLVENTNOST I SAMOPRIDRŽAJ

Stabilnost u unutrašnjoj nivelaciji rizika u prostoru zasniva se na poveanju

broja osiguranja u odvojenim rizicima. Riziko premija se za svaki rizik koriguje za
oekivano odstupanje riziko premijske stope od oekivane vrednosti , doplatkom
za sigurnost i doplatkom za razvojnu tendenciju.

Meutim, kod nekih klasa rizika nije mogue dostii takvu veliinu i ho-

mogenost portfelja koja omoguava unutrašnju nivelaciju rizika na prihvatljivom
nivou sigurnosti.

Zbog toga se pristupa spoljašnjoj nivelaciji rizika.
Ukoliko je riziko premijska stopa niža, utoliko je potreban vei broj zaklju-

enih osiguranja da bi postigli izravnavanje rizika.

Najveu verovatnou nastupanja štete de nišemo sa q+2 Vqp/N
Maksimalna suma šteta= Ns(q+2Vqp/N)

278

Nesolventnost nastupa kada osiguravajua organizacija nije u stanju da

plati svoje poslovne obaveze ukupno raspoloživim kapitalom i ovaj pojam
treba razlikovati od pojma nelikvidnosti koji oznaava pojavu da osigurava-
jua organizacija privremeno nije u stanju da plati dospele obaveze zbog ne-
mogunosti naplate svojih potraživanja, premda nelikvidnost esto dovodi do
nesolventnosti.

Sa druge strane nesolventnost ne mora dovesti do bankrotstva osiguravaju-

e organizacije, ako je ona u stanju da izvrši dokapitalizaciju ili postigne spora-
zum o odlaganju obaveza koje su dovele do nesolventnosti.

U analizi rizika nesolventnosti i odreivanju samopridržaja osiguravajue

organizacije polazi se od planirane brzine razvoja portfelja i njegove strukture.

Pretpostavimo da se razvija novi portfelj sa stopom tehnike premije 1‰,

odreenom iz statistike rizika. Neka je u stopi tehnike premije sadržana riziko
premija 0,9‰ i stopa doplatka za sigurnost 0,1‰

Pretpostavimo takoe da se osiguranje sprovodi sa jednakim osiguranim su-

mama a osigurani rizik takav da se sa nastupanjem osiguranog sluaja potpuno
gubi osigurana suma.

Uvedimo sledee oznake:

- riziko premija za jedno osiguranje

- doplatak za sigurnost za jedno osiguranje

N - broj zakljuenih osiguranja

k - oekivani broj osiguranih sluajeva kod N zakljuenih osiguranja

s - osigurana suma jednog osiguranja

s - suma osiguranja N zakljuenih osiguranja

U procesu sprovoenja osiguranja osiguravajua organizacija preuzima osi-

gurane sume u osiguravajue pokrie istovremeno sa akumulacijom fondova rizi-
ko premije i doplatka za sigurnost.

Pretpostavimo da su: osigurana suma, riziko premija i doplatak za sigurnost

10.000; 90 i 10 respektivno i da se portfelj razvija brzinom koju merimo brojem
zakljuenih osiguranja za 1 mesec:

1) N=1.000 zakljuenih osiguranja za jedan mesec;

2) N= 10.000 zakljuenih osiguranja za jedan mesec;

3) N= 30.000 zakljuenih osiguranja za jedan mesec;

280

Tada je:

k(12)

1.000

10.000.000

9.000

1.000

10.000

100.000.000

90.000

10.000

30.000

300.000.000

270.000

30.000

Oekivani broj osiguranih sluajeva (k) za period osiguranja od jedne go-

dine, dobijamo iz relacije E(k) = N q gde je q verovatnoa nastipanja osiguranog
sluaja, na godišnjem nivou p=0,0009

Verovatnoa q(m) na mesenom nivou je q/12 = 0,000075
Ako je N=1.000, bez obzira što je verovatnoa nastupanja osiguranog slu-

aja mala, osigurava mora biti spreman na isplatu jedne osigurane sume 10.000.
Sa pretpostavljenom brzinom razvoja portfelja on e na kraju prvog meseca imati
akumuliranu riziko premiju 9.000 i akumuliran doplatak za sigurnost 1.000 što je
dovoljno za isplatu jedne osigurane sume za jedan osigurani sluaj.

Ako je N=10.000, osigurava je spreman da isplati 9 osiguranih suma iz

riziko premije, bez angažovanja akumuliranog doplatka za sigurnost.

Ako je N= 30.000, osigurava je spreman da isplati 27 osiguranih suma iz

riziko premije, bez angažovanja akumuliranog doplatka za sigurnost, koji iznosi
30.000 .

Najvei broj osiguranih sluajeva za mesec dana ( k

max

) sa verovatno}om

0,95 za N zakljuenih osiguranja je sledei:

N = 1.000

max

= N q + 2(

—

Npq =

= 1.000 x 0,000075 + 2 x

—

1.000 x 0,000075x 0,999925= 0,62

N=10.000

max

= N q + 2(

—

Npq =

= 10.000 x 0,000075 + 2 x

—

10.000 x 0,000075x 0,999925=2,48

N=30.000

max

= N q + 2(

—

Npq =

= 30.000 x 0,000075 + 2 x

—

30.000 x 0,000075x 0,999925=3,75

281

Organi nadzora neposredno i preko ovlašenih aktuara, na osnovu periodi-

nih bilansa osiguravajuih kompanija, permanentno kontrolišu da li je margina
solventnosti u granicama propisanih iznosa.

Modeli ksnog koe cijenta se zasnivaju na ksnim odnosima odreenih ka-

tegorija sredstava koje se iskazuju u bilansu. Modelima se utvruje raspoloživi
kapital osiguravaa koji je slobodan u odnosu na postojee ugovore o osiguranju,
tj. kapitala koji se može izložiti riziku gubitka zakljuivanjem novih osiguranja.

Ovo utvrivanje se vrši u dva aspekta: u odnosu na ostvarivane premijske

prihode u proteklom periodu i u odnosu na štete u proteklom periodu.

Modeli ksnog koe cijenta su jednostavniji od RBC modela. RBC modeli

se smatraju poboljšanim metodima ksnog koe cijenta jer su složeniji i obuhva-
taju više kategorija rizika kojima je izložena osiguravajua kompanija na tržištu
(aktuarski rizik, rizik investiranja, poslovni rizik, operativni rizik).

Naroito se uzimaju procene:

1) rizika aktive ( rizik da tržišna vrednost investicionih ulaganja osiguravaa

opadne). Ovaj rizik je kompleksan jer ukljuuje kreditni rizik, rizik
promena kamatnih stopa i rizik promene deviznog kursa.

2) rizik neadekvatne primene tarifa, odnosno neadekvatnosti primenjenih

premijskih stopa od zakljuenih osiguranja, neadekvatne procene
troškova i sl.

3) rizik razliitih uticaja na aktivu i pasivu bilansa koji mogu poremetiti

ovu ravnotežu.(npr. uticaj in acije).

4) rizik u vezi sa promenom zakonske regulative.Ova vrsta rizika je npr.

u Japanu 2000-2001 godine prouzrokovala ogromnu pometnju u radu
osiguravajuih kompanija.

Razlika izmeu prinosa na aktivu i garantovanih kamatnih stopa tzv “nega-

tivna širina” donela je Nipon Lifu preko 2,4 milijarde $ gubitka.

Stabilnost u unutrašnjoj nivelaciji rizika u prostoru zasniva se na poveanju

broja osiguranja u odvojenim rizicima. Riziko premija se za svaki rizik koriguje za
oekivano odstupanje riziko premijske stope od oekivane vrednosti, doplatkom
za sigurnost i doplatkom za razvojnu tendenciju.

Meutim, kod nekih klasa rizika nije mogue dostii takvu veliinu i ho-

mogenost portfelja koja omoguava unutrašnju nivelaciju rizika na prihvatljivom
nivou sigurnosti. Zbog toga se pristupa spoljašnjoj nivelaciji rizika.

Prvi meunarodni simpozijum iz aktuarstva, Zlatibor 6-9.novembar 2003: Aktuarske osnove

utvrivanja margine solventnosti.

283

Ukoliko je riziko premijska stopa niža, utoliko je potreban vei broj zaklju-

enih osiguranja da bi postigli izravnavanje rizika.

Nesolventnost nastupa kada osiguravajua organizacija nije u stanju da plati

svoje poslovne obaveze ukupno raspoloživim kapitalom i ovaj Pojam nesolventno-
sti treba razlikovati od pojma nelikvidnosti koji oznaava pojavu da osiguravajua
organizacija privremeno nije u stanju da plati dospele obaveze zbog nemogunosti
naplate svojih potraživanja, premda nelikvidnost esto dovodi do nesolventnosti.

Sa druge strane nesolventnost ne mora dovesti do bankrotstva osiguravajue

organizacije, ako je ona u stanju da izvrši dokapitalizaciju ili postigne sporazum o
odlaganju obaveza koje su dovele do nesolventnosti.

U savremenim pristupima problemu nesolventnosti varijansa (disperzija),

odnosno standardna devijacija, koristi se kao znaajni parametar u izvoenju rela-
cije za determinaciju koe cijenta sigurnosti.

Pojam bankrotstva de nišemo sluajem kada ukupne obaveze prevazilaze

ukupnu vrednost sredstava sa kojim osigurava raspolaže.

Zi -

gde su:

Zi - suma šteta u obraunskom periodu

Pi - suma premija u obraunskom periodu

kapital osiguravaa (garantna rezerva)

Obraunski period je kalendarska godina.
Ako rezultat poslovanja osiguravajue organizacije u proizvoljnoj godini (j)

izrazimo sa

= Z

- P

a rezultat za n godina Sn=

u gra koj interpretaciji bankrotstvo osiguravaa

nastupa kada izlomljena linija Sn pree iznad linije U

, tj. kada je Sn

Vidi Determinacija doplatka za sigurnost

284

1) Opredeljenje koe cijenta R (risk aversion)

Tolerantna verovatnoa gubitka

0,1%

0,5%

3,45

2,65

2,30

1,96

1,15

Naješe: R= 1,96

2) Iz n-tog perioda (vremenske serije) merodavnih premija izraunavamo sumu

A, dok iz merodavnih šteta izraunavamo sumu B.
Prosena riziko premija E(B)= B

/ n

3) Koe cijent merodavnog riziko rezultata

C= (A

-B

) / B

4) Neto kapacitet osiguranja D= B / K

(max D= 5,0)

5) Koe cijent uktuacije merodavnog rezultata

F= [B

– E(B)]

/ (n-1)[

E(B)]

= C / ( D x F x R)

Primer:

1) R= 1,96

10.000

8.400

12.000

9.000

12.500

13.000

11.000

47.500

41.400

286

2) Prosena riziko premija E(B)= B

/ n = 41.400/ 4= 10.350

3) Koe cijent merodavnog riziko rezultata

C= (A

-B

) / B

=(47.500 - 41.400) / 41.400= 0,147343

4) Neto kapacitet osiguranja D= 5,00

5) Koe cijent uktuacije merodavnog rezultata

F= [B

– E(B)]

/ (n-1) [E(B)]

(8.400 - 10.350)

+(9.000 - 10.350)

+(13.000 - 10.350)

+(11.000 - 10.350)

] / (3x 10.350

)

(3.802.500+1.822.500+7.022.500+422.500) / 321.367.500= 0,04066

= C / ( D x F x R) = 0,147343 / ( 5,00 x 1,96 x 0,04066) = 0,3697

=36,97%

Kada se portfelj tek razvija i nemamo statistike podatke, prema iskustvenoj

normi maksimalni samopridržaj dela ili celog portfelja ne treba da prelazi 20 -
30% od planirane tehnike premije za tu vrstu osiguranja.

U vezi sa najveim samopridržajem osigurane sume, takoe se koristi isku-

stvena norma, po kojoj najvea osigurana suma koja se zadržava u portfelju ne
treba da bude vea od dvostruke prosene osigurane sume u portfelju.

U socijalistikim zemljama se koristio kriterijum Konjšina

, po kome

se višak rizika prenosio na centralnu službu SSSR-a “GOSTRAHOVANIE”,
prema formuli:

= 2 K

gde je K koe cijent nansijske stabilnosti a Pt tehnika premija

Prema ovom kriterijumu, za K=0,317 dobijamo visinu samopridržaja pro-

porcionalnu 20% od tehnike premije.

Oigledan nedostatak ove iskustvene norme je što nema veze sa rezer-

vom, odnosno kapitalom koji osiguravajua kompanija izlaže gubitku zbog pre-
uzetog rizika.

Dobrosav Ogrizovi: Centar za obrazovanje i struno usavršavanje radnika Zavoda za osigu-

ranje JUGOSLAVIJA (Seminar -1970 g).

287

ili kada nam je poznata diferencija aritmetike progresije

( N - k)/2

Ako osigurane sume obrazuju geometrijsku progresiju:
Tada je suma osiguranja

s =

min

- 1)/ q-1

gde je q karakteristika geometrijske progresije a s

min

najmanja osigurana suma u

portfelju.

Najvea osigurana suma koja se može prihvatiti u samopridržaj

max

= s

min

N-1

U najnepovoljnijem sluaju, kada bi osigurani sluajevi pogodili najvee

osigurane sume

Rezerva sigurnosti je

U= s

- 1) / q-1

- k/N

-1) / q-1

N-k

- 1) / q-1

Dakle, ako osigurava za ovakvu strukturu portfelja obezbedi rezervu si-

gurnosti za najnepovoljniji sluaj, tada njegov rizik nesolventnosti praktino ne
postoji.

Osigurava u praksi uvek sprovodi osiguranje uz izvesan rizik nesolventno-

sti (rizik bankrotstva), izražen verovatnoom.

Relacije koje slede važe bez obzira na raspored osiguranih suma.

1+(U/

)

= (1/k)

/ (1/N)

ili

1+(U/

)

max

iz koje dobijamo relaciju koju smo ranije upoznali, izmenjenu samo u izražavanju
riziko premije

(

max

s) -1

289

Oigledno, kada je (

z =

s ) tj. q

=1, nije potrebna rezerva sigurnosti, narav-

no pod uslovom da je q = E(q) .

Dakle sa parametrima koje možemo držati u kontroli ( prosena osigurana

suma i rezerva sigurnosti) kontrolišemo najnepovoljniji rezultat kod neizvesne vi-
sine isplata šteta, pod uslovom da je uestalost osiguranih sluajeva (k/N) izražena
potpunim gubicima prosene osigurane sume.

Potrebno je imati u vidu da kod neproporcionalnih tipova ugovora o reosigu-

ranju raspored šteta, odnosno raspored intenziteta šteta imaju bitnu ulogu. Primer
kod geometrijske raspodele sa kojom smo se upoznali u razmatranju Peterburškog
problema i izraunavanje nivoa izravnavanja ( broj N smo izraunali iz odnosa N=
1/ p

, za p=0,5) vrlo je insruktivan.

Dinamika ravnoteža izmeu isplata šteta ( k

z ) i riziko premije

u periodu osiguranja obezbeuje se sa rezervom sigurnosti U:

( k

z ) -

= U

Oigledno U može biti pozitivno ( rezerve se smanjuju) ili negativno (rezer-

ve se poveavaju).

1. Ako su sve osigurane sume meusobno jednake a sa ostvarivanjem

osiguranog sluaja se gubi cela osigurana suma (totalna šteta)

U= (k

- k) s

2. Ako sve osigurane sume nisu jednake, a ostvaruje se oekivani broj šteta

U =

(

z /

s) - 1

( k/n) si

3. Ako se ostvaruje vei broj šteta od oekivanih , a sve osigurane sume nisu

jednake

U =

(

z -

s) k* + (k*- k)

Navedene formule su izvedene iz modi kovanog Loss Cost parametra.
Modi kovani Loss Cost racio je odnos ukupne sume oekivanih šteta i pro-

sene sume osiguranja, što nam daje mogunost da oekivanu sumu šteta izrazimo
sa k gubitaka prosene sume osiguranja

Riziko premija je izražena oekivanom sumom šteta

290

z = z / k

= 2

(

z -

s) k* + (k*- k)

s = (2 – 5,5)3 + (3-2)5,5 = -10,5 + 5,5 = - 5

u prvom (nepovoljnom) sluaju potrebno je smanjenje rezerve za 16 a u drugom
(povoljnom) sluaju rezerva se poveava za 5.

Lako je videti da e promena u rezervi biti nula, ako se ostvare oekivanja u

broju šteta i intenzitetu šteta.

Naravno, sve navedene kvanti kacije se vrše aposteriori. Meutim, uoava-

mo da u uzrono-posledinim vezama (relacijama) možemo razlikovati sluajno
promenljive veliine i veliine koje to nisu, ali imaju uticaja ili su u korelaciji sa
sluajno promenljivim.

Takve relacije nam omoguavaju kontrolu i upravljanje u sluajnim procesi-

ma koji se javljaju u osiguranju imovine.

8.6. POJEDINOSTI IZ POSLOVANJA

Tehniki rezultat:

Za svaki godišnji period osiguranja ocenjujemo merodavni tehniki rezultat

i kvotu šteta

TR= Merodavne štete / merodavne premije

Q= Suma naknada / suma osiguranja

Kod formiranja premijskog prihoda za obraunski period primenjuje se sle-

dei raun:

Tehnika premija u obraunskom godišnjem periodu naziva se merodavna

tehnika premija

292

Isto tako, za obraunski godišnji period se obraunavaju i premijski rashodi

Na osnovu merodavne premije i merodavnih šteta, utvruje se ostvareni teh-

niki rezultat za svaku vrstu imovinskog osiguranja:

Rezerve za izravnavanje rizika

Iz vremenskih serija godišnjih rezultata utvruju se prosene vrednosti, stan-

dardno odstupanje i koe cijenti varijacije. Na toj osnovi se izraunavaju rezerve
za izravnavanje rizika.

Formiranje fonda rezervi za izravnavanje rizika regulisano je odredbama

Zakona osiguranja. Rezerve za izravnavanje rizika obrazuju se na teret rashoda
društva za osiguranje, posebno za svaku vrstu neživotnih osiguranja i koriste se za
vremensko izravnavanje toka šteta u pojedinim vrstama osiguranja.

Podzakonskim aktom, koji je donela Narodna banka Srbije (Odluka o bližim

kriterijumima i nainu obraunavanja rezervi za izravnavanje rizika) propisani su
bliži kriterijumi i nain obraunavanja rezervi za izravnavanje rizika, odnosno
izraunavanje gornje granice obaveze za formiranje tih rezervi, obraun iznosa,
kao i poveanje i smanjenje ovih rezervi, osnovni podaci za izraunavanje go-
dišnjih merodavnih tehnikih rezultata i standardnih odstupanja tih rezultata od
prosenog merodavnog tehnikog rezultata posmatranog perioda – za svaku vrstu
neživotnog osiguranja.Rezerve za izravnavanje se analiziraju iz vremenskih se-
rija: uestalosti šteta, visine šteta i merodavnih tehnikih rezultata, korišenjem
metoda standardnog odstupanja.

293

Predvidivo poveanje uestalosti šteta u 2004 godini:
Uestalost šteta u 2004 godini / ( 2,59 x 3,36)= 13,1024/ 8,7024 = 1,5056

Determinacija koe cijenta sigurnosti

U jednom obraunskom periodu, neto rezultat poslovanja osiguravaa izra-

žava se relacijom

R= (1+ ) P - S

gde je:

P - premija u obraunskom periodu

S - iznos naknade za osigurane sluajeve u obraunskom periodu

- doplatak na premiju (doplatak za sigurnost)

Oigledno, neto rezultat je sluajna promenljiva jer zavisi od iznosa nakna-

de za osigurane sluajeve S koja je sluajno promenljiva.

De cit u neto zaradi obeležavamo sa -K, tako da verovatnou da neto rezul-

tat poslovanja R bude manji od veliine K možemo izraziti na ovaj nain

Prob (R

-K)

gde je

unapred poznato (npr. 5%)

Oekivani pozitivan neto rezultat osiguravaa je

E(R)= (1+ )P – E(S) = (1+ )P – P = 1+

Ako je oekivana premija (riziko premija) jednaka oekivanim naknadama

za osigurane sluajeve.

Varijansa neto rezultata je jednaka varijansi naknade za osigurane sluajeve tj

Var(R)= Var(S)=

J.M.Rousseau; T.Blayac; N.Oulmane: Introduction à la Théorie de l

assurance Dunod, Paris

2001.

295

Ako primenimo nejednaini ebiševa

Prob(P - t

P + t

)

1 – (1/ t

)

Stavljajui da je t = (K+ P) /

Na ovaj nain smo determinisali koe cijent sigurnosti

Kada se vratimo na verovatnou

Prob(

R - P

)

(1/ t

)

Prob [(-K

R) ili (R

2 P- K) ]

(1 /

)

odnosno

Prob [(-K

R)] + Prob [R

2 P - K)]

(1 /

)

dolazimo do konanog zakljuka da je de cit neto rezultata poslovanja povezan sa
koe cijentom za sigurnost nejednainom

Prob [(-K

R)]

(1 /

)

Surplus

ima znaenje razlike izmeu iznosa šteta i zbira premija i poet-

nog fonda sigurnosti, u obraunskom periodu.

U(t)= u + c(t) – S(t)

gde je S(t) stohastika promenljiva sume šteta u periodu, zbog ega je i U(t)
takoe stohastika promenljiva [U(t); t 0], dok su premije c(t) i poetna rezerva
realne determinisane veliine.

Zbog viška rizika koji se ne prijavi u reosiguranje dolazi do sluaja U(t) < 0

tj. nastupa insolventnost osiguravaa.

Newton L.Bowers at all: Actuarial Mathematics SOA 1997 str.399

296

9. STOHASTIKI ASPEKTI RIZIKA

Analize vremenskih serija preko probabilistikih modela utrle su put teoriji

stohastikih procesa.

Pod stohastikim procesom podrazumevamo sluajnu (stohastiku) kompo-

nentu u vremenskoj seriji koja je sastavni deo njene zike vrednosti, ali istovre-
meno i matematiki model koji opisuje kretanje pojave.

Ovakav pristup je do sada imao veoma malu primenu u aktuarstvu jer se

aktuarske analize uglavnom postavljaju na probabilistike osnove.

Na primer, u strukturalnoj analizi ispituje se uzorak na bazi veeg broja je-

dinica i donosi zakljuak o celom skupu.

Kod vremenskih serija imamo samo jedno posmatranje sluajne promenlji-

ve u vremenu t tj. jedna vremenska serija se može smatrati kao jedan lan iz be-
skonanog skupa vremenskih serija.Pri tome je svaki ovaj lan mogua i posebna
realizacija stohastikog procesa.

Kada se analiziraju vremenske serije na probabilistikim osnovama, jedan

od problema koji se javlja je izbor adekvatnog modela.

Upravo zbog ovog problema u teoriji rizika je pored poznavanja matemati-

ko-statistikih metoda potrebno poznavanje i prirode rizika, odnosno pojave koja
se analizira.esto složena tehnika analize i matematiki modeli mogu biti zame-
njeni prostijim analizama.

U osnovi, važno je oceniti faktore stabilnosti vremenske serije i to emo

objasniti posmatranjem dva sluaja stabilizacije vremenske serije:

I. Vremensku seriju posmatramo u kontinuitetu, poevši od t

do t

II. Vremensku seriju posmatramo u nekoj jedinici vremena, x

i (t)

, uvek od t=0.

U prvom sluaju, vremenska serija x(t) se stabilizuje sa vrednosti

(x), ako

je zadovoljen uslov

298

lim

X(t) -

(i)

= 0

gde

(t) nije aleatorna funkcija vremena t.

Taj sluaj imamo kada apsolutna razlika vrednosti vremenske serije i funk-

cije

(t) postaje sve manja za veliko t.

Kada je

(t)=const., tada je i X(t) konstanta , za t

što u gra koj inter-

pretaciji može da se prestavi tako što e

(t)=cons. biti paralelna sa apscisom koja

predstavlja vreme t. dok e promene x(t) opisivati linija sa sve manjim oscilacija-
ma oko prave

(t).

U drugom sluaju, vremenska serija X(t) izražena skupom x

(t),x

(t)...x

(t)

stabilizuje se kada

lim

(T) -

(T)

gde je 0

1, k predstavlja k-ti vremenski period T sa istim vraanjem na

vremensku jedinicu.

To znai da je vremenska serija postigla stabilnost ako se delovi vremenske

serije po uzastopnim vremenskim jedinicama malo razlikuju od odgovarajuih de-
lova funkcije

(t).

9.1. DINAMIKA RAVNOTEŽA RIZIKA U VREMENU I PROSTORU

U dinamikom pristupu analize rizika centralno mesto ima predvianje sta-

nja u procesu.

Iz relacija

(dt) + p

(dt)

(dt) +p

(dt) + p

1(dt)

sledi

1(dt) = 0 (dt)

gde je 0(dt) beskonano mala veliina višeg reda od dt. tako da je

lim 0(dt)/dt = 0 , dt

299

Matematiko oekivanje ove raspodele je

M(T) = 1/

a disperzija D(T) = 1/ k

koja teži nuli kada k teži beskonano.

Prosean broj osiguranih sluajeva ili matematiko oekivanje procesa na-

stajanja osiguranih sluajeva u funkciji vremena, na intervalu vremena dt, ocenju-
je se iz kolinika

t)/

Granicu ovog kolinika, kad

t teži nuli,

lim p

t)/

t =

(t)

nazivamo intenzitetom procesa nastajanja osiguranih sluajeva.

Intenzitet je oigledno nenegativna funkcija vremena, a kod stacionar-

nih procesa je konstanta (izražava prosean broj osiguranih sluajeva u jedi-
nici vremena).

Za ksiran broj zakljuenih osiguranja N=const u vremenskim intervalima,

proces se može smatrati stacionarnim, premda strogo uzevši u realnim uslovima
proces nastupanja osiguranih sluajeva nije stacionarni proces.

Ako osu protoka vremena Ot podelimo na odseke

t= t

i+1

- t

, pa za svaki

odseak izraunamo intenzitet

, taj intenzitet e se menjati, ali e priroda procesa

ostati nepromenjena. U suštini možemo imati sledee etiri realne situacije:

= const. (stacionarni proces)

sa periodinim promenama (ukazuje da je proces sezonskog karaktera)

sa neperiodinim promenama (proces nije sezonskog karaktera)

se menja nepravilno, (na momente nepravilno periodino).

Prema iznetom pristupu, posebno emo se zadržati na poznatom stohasti-

kom procesu koji se naziva “proces raanja i umiranja”.

Posmatrajmo portfelj osiguranja u kome su sve osigurane sume jednake a sa

nastupanjem osiguranog sluaja dolazi do potpunog gubitka osigurane sume. Taj
sluaj npr. imamo kod osiguranja rizika smrti usled nezgode.

301

Ako sa Xk oznaimo da portfelj ima k osiguranja, tada sistem iz stanja Xk

prelazi u stanje Xk+1 kada se zakljui jedno novo osiguranje, a prelazi u stanje
Xk-1 kada nastupi jedan osigurani sluaj. Neka je broj osiguranja u portfelju ko-
naan kada dostigne nivo izravnavanja rizika N.

Graf stanja kojim ilustrujemo proces je sledei

...

k-1

...

k-1

...

k-1

k+1

...

n-1

...

k+1

...

Svako stanje portfelja, osim poetnog i krajnjeg, ima dva susedna stanja. Iz

proizvoljnog stanja Xk (k

0, k

n), mogu je prelaz u susedna stanja: x

k-1

(pret-

hodno stanje) i x

k+1

(naredno stanje).

Verovatnoe stanja u procesu daju sistem diferencijalnih jednaina

(t) = -

(t) +

(t)

...
p

(t) = -(

) p

(t) +

k-1

(t) +

k+1

(t)

...
p

(t) = -

(t) +

n-1

(t)

Ovaj sistem ima smisla i kada su intenziteta procesa konstantni i kada su u

funkciji vremena

(t) , k = 0,1,2..., n-1 ;

(t) , i = 1,2...n

Za integraciju navedenog sistema, potrebni su poetni uslovi

U proizvoljnom momentu vremena ispunjen je uslov

302

k+1

= (

k+1

) p

, k=0,1,..., n-1

tako da je

k+1

= (

k+1

) p

(

k+1

) (

k-1

= p

i+1

, (k=0,1,...,n-1)

Vidimo da verovatnoe stanja zavise od verovatnoe p

i parametara procesa.

Verovatnou p

odreujemo iz uslova

Na ovaj nain je mogue odrediti verovatnoe stanja za sluaj konanog

broja stanja.

Proces postaje proces “istog razmnožavanja” za

=0 (i=1,2...n) i proces

“istog umiranja” za

=0, (k=0,1,...,n-1).

Interval vremena T izmeu susednih dogaaja u Erlangovom procesu k-tog

reda, pretstavlja zbir k nezavisnih sluajnih varijabli (rastojanja izmeu dogaaja
u osnovnom prostom procesu).

Svaka od ovih sluajnih veliina ima eksponencijalnu raspodelu, sa funkci-

jom gustine verovatnoa

f(t) = t/mt f(t) =

t e

, t

Raspodela verovatnoa intervala T izmeu susednih dogaaja u Erlangovom

procesu reda k, nazivamo raspodelom Erlanga k-tog reda.

Možemo tražiti funkciju verovatnoe da se veliina

nae u grani-

cama elementarnog odseka (t, t+dt),

(t)dt.=

(

k-1

/ (k-1)!

(t) =

(

k-t

/ (k-1)!

, t

ovde ponovo vidimo da je za k=1 raspodela eksponencijalna.

Videli smo da se sluajna promenljiva T sa raspodelom Erlanga reda k dobi-

ja sabiranjem k nezavisnih sluajnih promenljivih

304

gde svaka veliina Ti ima eksponencijalnu raspodelu sa matematikim oeki-
vanjem 1/

Primenjujui teoremu zbira matematikih oekivanja dobijamo

(T) = k/

i za disperziju D

(T)= k/

Funkcija raspodele verovatnoa f

(t) i njeni parametri M

(T) i D

(T)

kada nisu izraženi pomou intenziteta Erlangovog procesa, mogu da se izraze
na taj nain.

Ako sa

obeležimo intenzitet Erlangovog procesa reda k, tada je

/k i

= k

Od polaznog prostog procesa, sa intenzitetom

uzima se samo k-ti deo. Na

taj nain, funkciju raspodele verovatnoa možemo izraziti u obliku

(t) =

)

/(k-1)!

k-1

-k

, t

Tada su matematiko oekivanje i disperzija

(T) = 1/

(T) = 1/ k

U stvari, kada zadržimo konstantni intenzitet

i samo menjamo red

raspodele Erlanga, matematiko oekivanje se nee promeniti, ali se disper-
zija menja.

(T) = 1/

(T) = 1/k

Ako k teži beskonano, disperzija e težiti nuli, tj. proces Erlanga zadanog

intenziteta

teži regularnom procesu sa konstantnim intervalom izmeu doga-

aja T=const=1/

Upravo ova osobina Erlangovog procesa je naroito pogodna u prakti-

noj primeni jer se za razliite vrednosti k dobija proces, koji se za k=1 naziva
“proces potpune odsutnosti posledica”, a za k= imamo strogo funkcionalnu vezu
izmeu momenata pojavljivanja dogaaja. Iz tih razloga se red procesa Erlanga
naziva i “merom posledica”.

305

Zadatak risk managementa je da kontroliše rizinost portfelja diverzi kaci-

jom klasa rizika.

Rizinost u smislu opšte kvantitativne karakteristike portfelja, koja ima pro-

mene u vremenu, potrebno je smatrati stohastikom funkcijom

Qi(t):t

Kvanti kovanje rizinosti omoguava da se iz mnoštva i ponavljanja, na

bazi uzajamnosti sprovodi osiguravajua zaštita.

Skup zakljuenih osiguranja koja ine homogenu celinu, klasu rizika za

odreeni period (godinu dana), karakteriše rizinost (qi) koja ima kvanti kaciju
prema

q koje nazivamo riziko premijskom stopom.

Funkciju riziko premijske stope, u matematikom izrazu, možemo dekom-

ponovati na više elemenata (faktora rizinosti), regresionim funkcijama ili matri-
cama rizinosti.

Ova injenica da q(T) ----> q ima za posledicu da se rizinost kao stohasti-

ka veliina koristi identino sa skalarnom veliinom koja predstavlja konkretni
rezultat osiguranja

q -----> q(T).

U samoupravnom i socijalistikom osiguranju se na osnovu ovakve tran-

sformacije dolazilo do zakljuka o potrebi promene riziko premijske stope, zane-
marivanjem bitnih obeležja rizinosti kao što su uestalost osiguranih sluajeva i
intenziteta šteta.

To je mogue samo ako je osiguranje monopolisano i sa “dogovornim utvr-

ivanjem premija“.

U tržišnim uslovima, osiguravajua društva koja imaju bolji uvid u promene

rizinosti, obezbeuju veu sigurnost osiguranika i nansijski e bolje proi.

Portfelj osiguravajueg društva sadrži razliite klase rizika i oekivana stopa

gubitka ukupne sume osiguranja u portfelju se izraunava kao oekivana vred-
nost.

E(Q

) = E(q

)+E(q

)+...+E(q

)

Ako uvedemo oznake:

S = Suma osiguranja u klasi rizika

= oekivana stopa gubitka sume osiguranja u klasi rizika

Stopu gubitka, ako portfelj ima samo dve klase rizika, možemo odrediti prema

307

= (S

) +( S

)

Oekivani gubitak sume osiguranja portfelja možemo izraunati iz relacije

E(Q

) =

qi Si

Rizinost portfelja možemo izraziti standardnom devijacijom portfelja, ako

portfelj posmatramo kao jedan veliki rizik u funkciji vremena, po analogiji sa jed-
nom klasom rizika i qvotom klase rizika.

Složena kvota, odnosno njena standardna devijacija, “sakriva” korelacije

qvota klasa rizika.

Za analizu rizinosti portfelja je korelacija qvota, odnosno kovarijansa qvota

vrlo bitna.

Standardnu devijaciju qvota portfelja možemo jednostavno odrediti iz

relacije:

) =

—

qPi - E(qP)

Meutim, ako bi ovako izraunatu standardnu devijaciju uporedili sa zbirom

standardnih devijacija pojedinanih qvota

¦V

+...

dobiemo da je

¦V

)

ako su pojedinane qvote klasa rizika u meusobnoj korelaciji, jer je razlika

) -

¦V

= 2 Cov(q

,...q

)

Na primeru za portfelj koji ima dve klase rizika A i B, pokazujemo njeno

dekomponovanje na quote i standardne devijacije qvota klasa rizika, prema
sledeem:

+ S

E(q

) + S

E(q

)

= S

) + S

) + 2 S

Cov(q

)

308

tokom vremena, pa sa tim i promene u špekulativnom riziku gubitka i dobitka u
trgovini sa njima, ostvarivanja nerizine strukture portfelja.

Vrednosti portfelja i parametre iskazujemo u sledeem numerikom primeru:

Vrednosti standardne devijacije upuuju na zakljuak da su obe strukturne

komponente rizine tj. da vrednost A i B mogu biti u odreenoj širini intervala koji
odreujemo po kriterijumu pouzdanosti.

Kombinovanjem strukture dve hartije dobijamo:

Solucija za postizanje minimalne varijanse

min

(VpA+(1-p)B) daje kompozi-

ciju zajednike disperzije

V(A,B)= p

V(A)+(1-p)

V(B)+2(1-p)

(b) r

A,B

dV(A,B)

p=0,5714

310

(1-p)= 1-0,5714= 0,4286

Na ovaj nain izraunali smo potrebnu strukturu komponenti A i B tj. da portfelj

treba da sadrži 57,14% komponente A i 42,86% komponente B pa e tada portfelj biti
sa matematikim oekivanjem E(A+B)= 0,571428(10%) + 0,42857(10%) = 10% i pot-
puno nerizian jer je disperzija V

A+B

=0,000.

Kod dve sluajne promenljive, odnosno njihovih disperzija, treba imati u

vidu da se javlja efekat kovarijanse. Zbog toga disperzija ima sledeu strukturu, u
sluaju n

)/(n+m)

®>

(nm)

/(n+m)

-B

)

Kompoziciju zajednike disperzije smo mogli izraziti u obliku

min

(A)=

– Cov (r

)

- 2 Cov (r

)

koji u numerikom primeru daje isti rezultat

min

(A)= (0,02666+0,02)/(0,015+0,02666+0,04)=0,571428

min

(B)= 1 - Wmin (A)

min

(B)= 0,42857

9.4. PROCENA NASTALIH NEPRIJAVLJENIH ŠTETA

Jedna vrsta speci nih aktuarskih zadataka je procenjivanje šteta koje su

nastale a koje e biti prijavljene i isplaene u narednim obraunskim periodima,
IBNR (incured but not reported claims ).

Aktuarske metode koje se primenjuju za rešavanje ovih zadataka razvijale

su se u toku poslednje tri decenije

.Te metode su poznate pod opštim nazivom

run-off methods, triangle run-off itd.

TEHNICAL RESERVES WORKING PARTY-IBNR RESERVES, Presentet-Giro seminar

–Kendal, Novembar 1975 (T.G.Clarke at all.)

DrErhard Kremer: Stohastic claims in ation in IBNR; ASTIN COLLOQUIM Glasgov 1998.

311

U trouglu šteta imamo informacije: o godini nastanka štete i o godini kada

je izvršena isplata.

Ovakav prikaz omoguava horizontalnu analizu isplata šteta po godinama

razvoja jer cij pokazuje npr. broj šteta u godini (i+j) od poslova zakljuenih u
godini i.

Vrednosti X procenjuju se na osnovu podataka iz prošlosti, sa pretpostav-

kom da je raspodela šteta ista.

Postoje dve grupe metoda procene:

a) na osnovu kretanja svih šteta

b) na osnovu pojedinanih uestalosti i prosene visine šteta.

Prikazujemo podatke o štetama koje su nastale u periodu 2001-2005. Tako

je niz za svaku godinu kumulatvni iznos svih isplaenih šteta u toj godini.Sa
pretpostavkom da e se sve štete isplatiti za 5 godina prikazujemo kako možemo
koristiti trougao šteta.

Podaci u prvom redu pokazuju da je od ukupnog iznosa šteta koje su nasta-

le 2001 godine 39 u godini nastanka tj. u 2001 isplaeno (22 x 100/ 39)=56,41%
u iznosu 22

313

Od svih nastalih šteta u 2001 godini, do kraja 2002 godine isplaeno je (30

x100/39)=76,92% u iznosu 30

Od svih nastalih šteta u 2001godini,do kraja 2003 godine isplaeno je (34

x100/39)=87,18% u iznosu 34

Od svih nastalih šteta u 2001 godini,do kraja 2004 godine (38x100/39)=97,44

i 100% do kraja 2005 godine

Polazei od podataka za 2001 možemo izraunati odnose kumulativnih bro-

jeva susednih razvojnih godina.

M1=

1,364

M2=

1,133

M3=

1,118

M4=

1,026

Množenjem faktora razvoja sa podacima o podmirenim štetama procenjuju

se budue isplate.

Na ovaj nain sledi:

A = 46,2 ; B=34,6; C= 35,6; D= 47,6 ; E= 53,2; F=54,6; G= 47,7;

H= 54,1 I=60,5 J=62,0

Tako smo utvrdili drugi deo trougla šteta kao projekciju kretanja šteta u

ranijem periodu

Sada se izraunavaju rezerve .

314

Napomena:

Procenjene ukupne štete daje kolona 2005 g. (iz gornje tabele), a plaene

štete se dobijaju iz dijagonale gornje tabele. Razlika C-A= D

Kada smo kompletirali trougao šteta kao projekciju kretanja šteta u ranijim

godinama, iz zbirova kolona izraunavamo potpune razvojne koe cijente B

M1 = 1,330

M2 = 1,105

M4=1,026

M3 = 1,122

M3xM4=1,151

M4 = 1,026

M2xM3xM4= 1,272

M5 = 1,000

M1xM2xM3xM4= 1,692

Na kraju dobijamo

316

9.5. FRANŠIZA

Franšiza je osiguranikov samopridržaj u šteti koji, na osnovu zakljuenog

ugovora o osiguranju, osiguranik snosi sam. Taj deo se pojavljuje kao odreeni
novani iznos ili postotak od štete.

Franšiza poveava zainteresovanost osiguranika da preduzima mere preven-

tive, sa jedne strane, a isto tako, sa druge strane, osigurava ne iscrpljuje svoje
radne kapacitete na velikom broju šteta sa malim iznosima po šteti, odnosno ku-
muliranje malih šteta.

U sluaju kada je franšiza odreena postotkom, osiguranik uestvuje u sva-

koj šteti bez obzira na iznos štete.

Kada se odbitna franšiza ugovori kao ueše osiguranika u odreenom no-

minalnom iznosu, sve štete do tog iznosa (d), osiguranik snosi sam. Ako je šteta
vea od d, osigurava plaa razliku x-d i zato se takva franšiza naziva odbitna
franšiza

Primer 1.

Odredi sline koliine za Pareto distribuciju sa

=3 i

=2000 za

odbitnu franšizu od 500.

Promenljiva reosiguranja viška šteta,

Za levu cenzurisanu i pomerenu promenljivu,

317

Primer 3.

Odrediti etiri oekivanja za Pareto distribuciju iz primera 1 i 2

koristei franšizu od 500.

Oekivanja se mogu izraunati direktno iz funkcija gustine dobijenih iz pri-

mera 1 i 2. Ako upotrebimo teoremu 1. i prepoznamo da postoji Pareto distribuci-
ja, takoe možemo potražiti zahtevane vrednosti. To znai,

Sa E(X)= 1000 dobijamo da , za odbitnu franšizu, oekivani troškovi po šteti

iznose 1000-360=640, dok oekivani troškovi po isplati iznose 640/0.512=1250.

Za uslovnu franšizu, oekivanja su

640+500(1-0.488)=896

1250+500=1750.

U osiguranju rizika kod kojih štete mogu biti masovne i katastrofalne (npr.

Rizik zemljotresa, uragana i sl. Zakljuuje se osiguranje sa ogranienjem.

U praksi postoje i osiguranja sa limitom maksimalnog iznosa naknade po

jednom riziku. Takve polise su sa ogranienjem. Ogranienje se postavlja tako

319

da štetu ispod

osiguranje plaa u celokupnom iznosu, ali za gubitke koji su

vei od

, osiguranje plaa samo

. Ovakvim ogranienjem se dobija desno cen-

zurisana sluajna promenljiva. U tom sluaju imamo mešovitu distribuciju sa
funkcijom distribucije i gustine, (gde je Y sluajna promenljiva nakon što je
sastavljeno ogranienje)

Primer 4.

Postavljeno je ogranienje od 3000 na Pareto distribuciju koja

ima parametre

=3 i

=2000. Potrebno je odrediti oekivani trošak po gubitku sa

ogranienjem kao i proporcionalno smanjenje u oekivanom trošku . Ovo treba
izraunati ponovo nakon poveanja od 10%.

Za ovu Pareto distribuciju, oekivani trošak iznosi

a proporcionalno umanjenje je (1000-840)/1000=0,16. Nakon poveanja, oekivani
trošak je

za proporcionalno umanjenje od (1000-903,11)/1100=0,179. Posle poveanja,
oekivani trošak je porastao za 7,51%, što je manje od opšte stope porasta. Ovaj
uticaj suprotan je franšizi – jer je porast troška umanjen.

Razmotrimo primer u osiguranju, gde osigurava plaa štetu od 250 do naj-

više 2000. (štete do 250 su u franšizi osiguranika).

Verovatnoa nastupanja štete je P(I=1)=0,15 a verovatnoa da šteta nee

nastupiti P(I=0)=0,85. Verovatnoa 0,15 ukljuuje i štete koje su manje od samo-
pridržaja 250.

320

Momente ove funkcije, od X izraunavamo prema sledeem

Kako je

322

2. Drugi nain:

Uzimajui P(B=2000

I=1)=0,1 imamo

323

Ugovor o reosiguranju viška štete može se zapisati na sledei nain : ako je

iznos štete X , tada e društvo platiti Y gde je

Y = X , ako je X

Y = M , ako je X

M .

Reosigurava plaa iznos Z = X – Y . To na osiguravaevu obavezu utie na

dva naina:

1. smanjuje se oekivani plaeni iznos

2. smanjuje se varijansa isplaenog iznosa .

Oba zakljuka su jednostavne posledice injenice da reosiguranje viška štete

ograniava odozgo velike štete.

Sada se mogu dobiti i oekivanja i smanjenja iznosa koji isplauje osigu-

rava pri reosiguranju viška štete.Oekivani iznos koji isplauje osigurava bez
reosiguranja

gde je f(x) verovatnoa funkcije gustine iznosa štete X.

Sa samopridržajem M oekivanje postaje

Potpuni integral može se dobiti Z=x-M .

što je jednostavna, ali važna formula.

325

Smanjenje oekivanog iznosa štete je

Problem in acije:

Pretpostavimo da in acija poveava iznose štete za faktor k, ali da se samo-

pridržaj M ne menja.

Kakve e to posledice imati na ugovor?

Iznos štete je kX , a iznos Y koji plaa osigurava je

Y = kX, ako je kX

Y = M, ako je kX

M .

Oekivani iznos koji plaa osigurava je

odnosno,

Novi oekivani iznos koji isplauje osigurava je

Važan zakljuak je da novi oekivani iznos šteta

326

Kada je f(x) eksponencijalna raspodela tj.

Reosiguranje po obliku excess of loss vrši se ako osigurava odlui da su

njegove mogunosti u plaanju naknade za osigurane sluajeve ograniene limi-
tom M, tako da e svaku štetu Z plaati u celosti ako je

, dok e višak reo-

sigurati.

Neka je gustina verovatnoa šteta je eksponencijalna, u obliku

Štete u samopridržaju osiguravaa Z

, mogu se predstaviti kao

Za odreivanje E(Z

) , koristi se mešovita raspodela

gde je u opštem sluaju

328

gde je P

verovatnoa

329

LITERATURA

Black Kenneth, Jr Harold, D.Skipper, Jr Life Insurance, Englewood Cliffs
N.J.Prentice-Hall, 1994

B.Marovi, D.Mrkši: Osiguranje i reosiguranje Novi Sad 1985

B.Radojkovi: Osnovi matematike osiguranja, Prosveta, Beograd 1930

V.Veselinovi: Osnovi osiguranja na život; Prosveta, Beograd 1948

Vrani: Aktuarska matematika, Školska knjiga, Zagreb 1948

V.Vrani: Vjerojatnost i statistika; Tehnika knjig, Zagreb 1958

V.Tomaši: Transportno osiguranje, Savremena administracija, Beograd 1987

8. Gary L.Guthrie, Larry D.Lemon: Mathematics of Interest Rates and Finance

Pearson Prentice Hall 2004.

D.S.Mitrinovi, D.Mihajlovi: Linearna algebra, Analitika geometrija, Polinomi
Nauna knjiga, Beograd 1969

10. David B. Atkinson, FSA and James W.Dallas, FSA: Life Insurance Products and

Finance New York 1986 g.

11. D.Ogrizovi: Ekonomika osiguranja ZOIL Sarajevo, Sarajevo 1985

12. E.Straube:Actuarial remarks on planning and controlling in reinsurance,

Zurich 1988

13. Ž.Pauše: Vjerojatnost, Informacija, Stohastiki procesi; Školska knjiga,

Zagreb 1985

14. Z.Ivkovi: Uvod u teoriju verovatnoe sluajne procese i matematiku statistiku,

Privredni pregled; Beograd 1970

331

15. Z. Petrovi, T.Petrovi: Osiguranje života, Glosarijum Beograd 2003

16. I.Jankovec: Ugovor o reosiguranju, Forum, Novi Sad 1968

17. J.Rašeta: Opšte i aktuarske osnove osiguranja Beograd 2004

18. J.Koovi: Finansijska matematika, Ekonomski fakultet, Beograd 1995

19. J.Koovi: Aktuarska matematika,Ekonomski fakultet, Beograd 1996

20. J.Koovi,P.Šuleji: Osiguranje, Ekonomski fakultet, Beograd 2002

21. J.Slavni: Obavezno Osiguranje, osnovni sistem i koncept njegovog regulisanja,

Savremena administracija, Beograd 1978

22. K.V.Mardia: Statistics of Directional Data, London 1972

23. M.Staniši, Lj. Stanojevi: Evaluacija i rizik Beograd 2005

24. M.Kendall; A.Stuart: The Advanced Theory of Statistics, Volume 1, Distribution

Theory, London 1960

M.Tourki: Markovljevi procesi, Ekonomski fakultet,Beograd 1984

25. M.Žiži: Statistika, Ekonomski fakultet, Beograd 1995

26. Newton L.Bowers,JR; Hans U.Gerber; James C.Hickman; Donald A.Jones;

Cecil J.Nesbitt : Actuarial Mathematics The Society of Actuaries, New York
2000 g.

27. Ralph Mcay: Risk mechanics, Sydney 1997

28. R.Matjaši: Osiguranje u iznemoglosti, starosti i smrti Glasnik udruženja aktuara

1938/1939

29. R.Njegi, M.Žiži: Osnovi statistike analize, Savremena administracija, Beograd

1980

30. R.Ralevi: Finansijska i aktuarska matematika, Savremena administracija,

Beograd 1975

31. Sir Edmund Whittaker: The calculus of observations A Treatise on Numerical

Mathematics, Edinbourgh 1948 g

32. S.Cari: Bankarski poslovi i hartije od vrednosti, Savremena administracija,

Beograd 1981

33. S.Vukadinovi: Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike Privredni

Pregled, Beograd 1981

332

TABLICE

335

337

338

340

341

343

344

346

Odlukom Senata Univerziteta “Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008,

ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji

se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”.

CIP - Каталогизација у публикацији

Народна библиотека Србије, Београд

51-71:33(075.8)
51-75:33(075.8)

РАШЕТА, Јован С., 1943-

Finansijska i aktuarska matematika /
Jovan S. Rašeta. - 5. izd. - Beograd :

Univerzitet Singidunum, 2009 (Loznica :

Mladost Grup). - VIII, 346 стр. : graf.

prikazi, tabele ; 25 cm

Тiraž 500. - Napomene i bibliografske

reference uz tekst. - Bibliografija : str.

331-333.

ISBN 978-86-7912-224-7

a) Привредна математика b) Актуарска

математика

COBISS.SR-ID 170828044

vidu i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglasnosti

izdavača.

Želiš da pročitaš svih 356 strana?

Prijavi se i preuzmi ceo dokument.

Prijavi se Napravi nalog

Finansijska i aktuarska matematika

Prijava dokumenta

Problemi sa sadržajem

Problemi sa kupovinom i pristupom

Tehnički problemi

Kršenje pravila

Ostalo

Želiš da pročitaš svih 356 strana?

Slični dokumenti

Timski rad u projektnim aktivnostima na primeru kompanije Nordeus

Makroekonomska ravnoteža

Istraživanje kao instrument odlučivanja

Procesi komercijalnog poslovanja 1 skripta

KOMUNIKOLOGIJA

SIMULACIJA

Pojam, uloga, karakteristike i značaj tradicionalnih organizacionih struktura: primer kompanije “Siemens”

Osnovne odlike menadžera i njegova uloga pri donošenju poslovnih odluka: primer kompanije „apple“

Poreska konkurencija i strane direktne investicije u globalnom okruženju

Monetarizam

Analiza faktora koji utiču na rezultate rada

Cena kao instrument marketing miksa

Konkurentske strategije u oblasti elektronskog poslovanja

Roba, pojam i knjiženje

Seminarski rad stednja versus potrosnja

Brend: analiza i značaj brendiranja na tržištu

Uloga inovacija u razvoju preduzetništva u turizmu

Kombinatorika: seminarski rad

Gospodarstvo BiH

Sociologija skripta

Preduzetnicka ekonomija

seminarski

Linearni trend: analiza i primena u statistici

Biznis plan – Prodavnica autodijelova

Finansijko izvjestavanje i poslovno odlucivanje

uvod u pravo

Skripta sociologija za pravni fakultet

Nuklerana medicina

Kvadar prezentacija iz Matematike

Erp sistemi

Društvo spektakla

Rendgenska analiza proteina: kristalizacija i analiza strukture lizozima

Plan rada ASAP 2024

Bosna srednji vijek

Analiza osnovnih funkcija menadžmenta na primeru preduzeća Swisslion-Takovo d.o.o.

Rešeni zadaci iz mehanike: zakon o promeni kinetičke energije i količine kretanja

Zeoliti: struktura, osobine i primena

Prva faza uvođenja AMI/MDM sistema u JP EPS

Forenzički značaj analize morfijuma

Analiza propisa u oblasti bezbednosti saobraćaja

SISTEMSKI SOFTVER- OPERATIVNI SISTEM

Organizacija ishrane u bolnici

HEMORAGIJSKE GROZNICE

Merenje telesne temperature

KARAKTERISTIKE STARENJA I SPECIFICNOSTI BOLESTI U STAROSTI

Sida: etiologija, epidemiologija, klinička slika, dijagnostika, lečenje i prevencija

NESTABILNA ANGINA PEKTORIS

Alkoholizam

Proces upravljanja ljudskih resursa

UPRAVNO PRAVO I

Korelacija izmedju debljine intime i medije karotidnih arterija i aktivnosti bolesti u reumatoidnom artritisu

GUILLAIN-BARRE SINDROM

Tradicionalna primjena ljekovitih biljnih vrsta na podrucju opcine Tutin

Radioaktivnost

Policijski stres

Najvisja odlikovanja Republike Srbije

Najvisja odlikovanja Republike Srbije

Regresiona analiza: statistički metod modeliranja odnosa

Komunikologija

TEORIJA ODLUCIVANJA

Tip dokumenta

Oblasti

Popularni predmeti

Institucije