SVEUČILIŠTE/UNIVERZITET „VITEZ“ U VITEZU
FAKULTET FIT
STUDIJ I CIKLUSA; GODINA STUDIJA: I
SMJER: IFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
SKUP KOMPLEKSNIH
BROJEVA
SEMINARSKI RAD
Travnik, 28.01.2016 god.
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA
Adin Mutevelic Index br. 0336-15/DIT Page 0
FAKULTET INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA U TRAVNIKU
TRAVNIK
SKUP KOMPLEKSNIH
BROJEVA
SEMINARSKI RAD
IZJAVA:
Ja Adin Mutevelic student Sveučilišta/Univerziteta „VITEZ“ Travnik, Index
broj:
0336-15/DIT
, odgovorno i uz moralnu i akademsku odgovornost
izjavljujem da sam ovaj rad izradio potpuno samostalno uz korištenje citirane
literature i pomoć asistenta odnosno profesora.
Potpis:_______________
STUDENT: Adin Mutevelic
PREDMET: Matematika za informaticare
PROFESOR:
Prof. dr. Esad Jakupović
ASISTENT:
Aida Hodžić
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA
Adin Mutevelic Index br. 0336-15/DIT Page 2
Uvod
KAKO SU NASTALI KOMPLEKSNI BROJEVI
Spektakularna otkrica, kakva su ˇcesta u nekim znanostima, u matematici su prava
rijetkost. Matematicka znanja nastaju i sazrijevaju u dugotrajnom procesu kroz naporan
rad mnogih matematiˇcara pa se zbog toga gotovo nikad ne pripisuju pojedincu. Tako je i
s povjesnicari kompleksnih brojeva. Kad su nastali? Tko ih je otkrio? Premda neki
povjesnicari matematike drˇze kako pojava ideje o kompleksnim brojevima seze sve do
Herona Aleksandrijskog, ipak se danas njihovo otkrice pripisuje talijanskim
matematiˇcarima iz XVI. stoljeca, a osobito Tartagliai i Cardanu. Oni su rijeˇsili opcu
algebarsku jednadˇzbu treceg stupnja
ax
3 +
bx
2 +
cx
+
d
= 0. Formule kojima se rjeˇsava
takva jednadˇzba zovu se
Cardanove formule
.
Naziv
imaginaran broj
uveo je Ren´e Descartes.
No sve ono ˇsto je vezano uz kompleksne brojeve i ˇsto ih je u matematici dovelo u
“ravnopravan poloˇzaj” s realnim brojevima ipak je stvoreno u XVIII. stoljecu, pri cemu
su Abraham de Moivre i Leonhard Euler imena koja valja posebno istaknuti. Prica je
zaokruzena povezivanjem kompleksnih brojeva i geometrije, pri cemu je osobito
zasluzan Carl Friedrich Gauss. Danas su poznate vrlo vrijedne primjene kompleksnih
brojeva u raznim primijenjenim znanostima.
Na pitanje zavrsava li s kompleksnim brojevima prica o brojevima odgovor je na to NE.
Ona ima svoj nastavak u daljnjim prosirenjima skupa klopleksni projeva.
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA
Adin Mutevelic Index br. 0336-15/DIT Page 3
Sto su kompleksni brojevi
Prije nego li odgovorimo na ovo izravno pitanje, prisjetimo se kako smo tijekom
cenja matematike stigli od prirodnih do realnih brojeva.
Prirodni brojevi
su brojevi 1
,
2
,
3
,
4
,
5
, . . .
. Tim brojevima iskazujemo rezultat
brojenja ili prebrojavanja. Skup prirodnih brojeva oznacava se s
N
.
N
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
, . . .}.
Navedimo osnovna svojstva skupa
N
. U skupu
N
postoji namanji broj, broj 1. Ne postoji
najveci prirodni broj. Od ma kako velikog prirodnog broja postoji jos veci. Dovoljno je
bilo kojem prirodnom broju dodati 1 i vec smo dobili broj koji je od njega vecci. Ovaj
Zoran opis uvjerava nas da je skup prirodnih brojeva beskonacan. S prirodnim brojevima
racunamo; zbrajamo ih, oduzimamo, mnozimo, dijelimo. Zbroj svaka dva prirodna broja
prirodan je broj. No vec kod oduzimanja to ne vrijedi. Razlika dvaju prirodnih brojeva je
prirodan broj ako od veceg oduzimamo manji broj. Ali ako od manjeg oduzimamo veci,
razlika nije prirodan broj. Zelimo li da oduzimanje bude izvedivo i u ovom, drugom
slucaju, moramo uvesti nove brojeve. Moramo
prosiriti
skup
N
brojem nula i negativnim
brojevima.
Skup cijelih brojeva
sadrzi sve prirodne brojeve, nulu i sve negativne cijele brojeve. Taj
skup oznacavamo sa
Z
te je
Z
=
{. . . ,−
3
,−
2
,−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
, . . .}.
U skupu cijelih brojeva nema niti najmanjeg, niti najveceg broja. Zbrajanjem ili
oduzimanjem bilo koja dva cijela broja dobit cemo cijeli broj. Ali dijeljenjem dvaju
cijelih brojeva opcenito ne dobivamo cijeli broj. To je razlog za uvodzenje
racionalnih
brojeva.
Racionalni su brojevi omjeri cijelih brojeva a cesto ih zapisujemo u obliku
razlomka.
Racionalni su brojevi u svojem decimalnom zapisu konacni ili, ako su beskonacni, onda
su periodicni.
I konacno, vidjeli smo kako niti racionalni brojevi ne zadovoljavaju sve
zahtjeve koje postavljaju razni zadaci. Tako se neki brojevi, kao sto su primjerice
√
2 ili π
ne mogu zapisati u obliku omjera dvaju cijelih brojeva. Prvi je od njih duljina dijagonale
kvadrata kojemu je duzina stranice jednaka 1, a drugi je omjer opsega i duljine promjera
bilo kojeg kruga. Ti brojevi nisuracionalni, oni su
iracionalni
.
Iracionalni brojevi su beskonacni neperiodicni decimalni brojevi. I skup iracionalnih
brojeva je beskonacan.
Skup
realnih brojeva
je unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva. Drugim
rijecima skup realnih brojeva sadrzi sve racionalne (a time onda i prirodne i cijele) i sve
iracionalne brojeve.
Novi problem otvara se pri rjesavanju kvadratne jednadzbe. Vec jednostavna jednadzba
kao sto je primjerice jednadzba
x
2 + 1 = 0 nema rjesenja u skupu realnih brojeva. Zasto?
