Univerzitet u Novom Sadu
Tehnički fakultet ,, Mihajlo Pupin “
Zrenjanin
SEMINARSKI RAD
Tema:
Diferencijalne jednačine
Matematika 2
Profesor: Student:
Prof. dr Momčilo Bjelica Zoran Slijepčević
IM88/2011
Zrenjanin 2016
Metoda resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda
1.1
Razdvojene promenljive
U opštem slučaju:
1.2 Homogena diferencijalna jednačina
Smenom:
polazna jednačina postaje:
tj. diferencijalna jednačina oblika
Primedba:
diferencijalna jednačina oblika:
gde je
a, b, c, A, B, C = const
, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva
slučaja:
1
o
)
Ako je
smenom:
jednačina postaje:
Može se uzeti
kao rešenje jednačine .
2
o
)
Da bi rešili pretpostavimo
:
ako se jn-e i zamene u dobija se:
odnosno:
pa je opšte rešenje jednačine :
U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:
tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.
1.4 Bernulijeva jednačina
Gde je
, za
jednačina postaje linearna.
Uvođenjem smene
, gde je
z
nova nepoznata f-ja a
k
konstanta, jednačina
postaje:
Konstantu
k
treba izabrati tako da je:
Posle ove smene jednačina glasi:
a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:
Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:
1.5 Rikartijeva jednačina
Za
jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna
jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.
Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .
Smenom
, gde je
y1(x)
jedno partikularno rešenje a
z
nova nepoznata funkcija
jednačina postaje:
