Факултет за математику и рачунарске науке
Алфа БК Универзитет у Београду
Консултативни центар у Зубином Потоку
СЕМИНАРСКИ РАД
Наслов рада: ПОЛИНОМИ
Предмет: ЛЕНЕАРНА АЛГЕБРА - 2
Ментор:
Студент:
_________________
Драган Златковић
Бр. индекса: 2016/6016
Београд, децембар 2016. г.г.
САДРЖАЈ
2
УВОД ......................................................................................................................................... 3
1.
ПОЛИНОМИ ......................................................................................................................... 4
1.1. ОПШТЕ ОСОБИНЕ ПОЛИНОМА ............................................................................ 4
1.1.1. ДЕФИНИЦИЈЕ .......................................................................................................... 4
1.1.2. ОСОБИНЕ ЕКВИВАЛЕНТНИХ И ДЕНТИЧНИХ ПОЛИНОМА ....................... 4
1.1.3. ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА ПОЛИНОМИМА .................................................. 6
1.1.4. ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ ПОЛИНОМА ..................................................................... 9
1.1.5. HORNER-ОВА СХЕМА (ШЕМА) ....................................................................... 14
1.1.6. МЕТОДА НЕОДРЕЂЕНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА ............................................... 17
1.1.7. РАЗВИЈАЊЕ ПОЛИНОМА ПО СТЕПЕНИМА ДАТЕ РАЗЛИКЕ .................... 18
1.1.8. НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ ДВА ПОЛИНОМА................................ 20
1.1.9. ЕУКЛИДОВ АЛГОРИТАМ ................................................................................... 21
2.
ЗАДАЦИ .............................................................................................................................. 24
ЛИТЕРАТУРА......................................................................................................................... 28
4
1. ПОЛИНОМИ
§ 1.1. ОПШТЕ ОСОБИНЕ ПОЛИНОМА
1.1.1. Дефиниције
Полином степена
n
(
n
је природан број или нула) по променљивој
х
, је израз облика
(1)
а
₀
х ⁿ + а
₁
хⁿ
⁻
¹ +
+ аn-1 x + аn
или краће
n
i
0
ai х
⁻
ͥ
где су:
a
₀
, a
₁
, a
₂
,
аn-1, аn
реални или комплексни бројеви и
а ≠ 0
.
Бројеви
a
₀
, a
₁
, a
₂
,
аn
се зову
коефицијенти полинома
сваки поједини сабирак се зове
члан полинома
, а
а
₀
х ⁿ
је најстарији члан полинома
.
Из дефиниције полинома следи да је полином степена нула број различит он нуле. Број нула
такође сматрамо полиномом чији степен не одређујемо и називамо га
нула полином
.
Свакој вредности променљиве х одговара одређена вредност полинома
P(x)
, због тога се
полином може сматрати као функција променљиве х. Најчешће се обележава са
P(x)
,
Q(x)
,
f(x)
,
(x)
итд.
Вредност променљиве х за коју се неки полином
P(x)
анулира (добија вредност нула),
називамо
нулом полинома
. Дакле, ако је за
P(x)
,
P(
) = 0
, онда је
нула полинома
P(x)
.
Нула полинома
P(x)
уствари је решење једначине
P(x)
= 0
и обратно.
За два полинома кажемо да су
идентични
ако су састављени од истих чланова. Ако два
полинома имају једнаке вредности за исту вредност променљиве, онда за такве полиноме
кажемо да су
еквивалентни
.
Полином је
идентичан нули
ако су сви његови коефицијенти нуле, а полином је
еквивалентан нули
ако се анулира за сваку вредност променљиве.
1.1.2. Особине еквивалентних и идентичних полинома
Став 1.: Полином идентичан нули уједно је и еквивалентан нули.
Заиста, полином идентичан нули
P(x) = 0хⁿ + 0хⁿ
⁻
¹ + … +0х + 0
анулира се за сваку вредност променљиве
х
.
5
Став 2.: Полином еквивалентан нули уједно је и идентичан нули
Покажимо прво да став важи за полином I степена аₒх + а
₁
.
Претпоставимо да се овај бином анулира за
х =
и за
х = р
,
≠ р
.
Значи,
а
₀
+ а
₁
= 0
и
а
₀
р+а
₁ =
0
;
тада је њихова разлика
а
₀
+ а
₁
= (а
₀
р+а
₁
) = а
₀
- а
₀
р = а
₀
(
-р)= 0
Међутим, последњи израз може бити нула само ако је
а
₀
= 0
јер је
≠ р
. Према томе бином
се своди на члан и може бити нула само ако је
а
₁
= 0
.
Сад ћемо претпоставити да став важи за полином
P(x)
степена
к-1
тј. претпоставимо да ако
се неки полином степена
к-1
анулира за сваку своју вредност тада су сви његови
коефицијенти нуле
(x).
Нека је
(2)
Рк (х)= а
₀
хᵏ + а
₀
хᵏ
⁻
¹ +аk-1 x + ak
и нека се овај полином анулира за
х=
и
х=
где је
= р
, р ≠ 1,
≠ 0.
Тада је
Рк (
)= а
₀
ᵏ + а
₁
ᵏ
⁻
¹ +
+ аk-1
+ аk = 0
и
Рк (
)= а
₀
ᵏ + а
₁
ᵏ
⁻
¹ +
+ аk-1
+ аk = 0
па је зато и
Рк (
)-Рк (
)=а
₀
(
ᵏ-
ᵏ)+а
₁
(
ᵏ
⁻
¹-
ᵏ
⁻
¹) +
+
аk-1 (
-
)= 0
односно
0
1
1
1
1
1
1
1
0
p
a
p
a
p
a
P
p
P
k
k
k
k
k
k
k
или
0
1
1
1
1
2
1
1
1
0
p
a
p
a
p
a
P
p
P
k
k
k
k
k
k
k
Пошто је по претпоставци
≠ 0,
израз у средњој загради се анулира за свако
. Дакле
полином степена
k-1
1
1
1
1
2
1
1
1
0
p
a
x
p
a
x
p
a
k
k
k
k
k
анулира се за сваку вредност променљиве
х
пошто је по претпоставци
р ≠ 1.
Према (
х
) је тада
.
0
,
0
,
0
1
1
0
k
a
a
a
Дакле, полином (2) своди се на члан
k
a
и може имати вредност нула само ако је
0
k
a
,
чиме
је став доказан.
7
Пример 2.
Ако је
1
2
3
1
x
x
x
P
и
2
2
2
x
x
x
P
,
онда је
2
3
4
2
3
4
5
2
1
x
x
x
x
x
x
P
x
P
.
Дељење полинома
x
P
1
полиномом
x
P
2
није увек могуће у скупу полинома тј. не можемо
за дате полиноме
x
P
1
и
x
P
2
увек наћи трећи полином који помножен са
x
P
2
даје
x
P
1
.Али увек се могу наћи таква два полинома
x
Q
и
x
R
да је
x
R
x
P
x
Q
x
P
2
1
при чему је степен полинома
x
R
нижи од степена полинома
x
P
2
.
Полином
x
Q
је
количник
полинома
x
P
1
и
x
P
2
а
x
R
је
остатак
дељења. Ако је
x
R
=0
онда кажемо да је полином
x
P
1
дељив
полиномом
x
P
2
.
Према томе полином
x
P
1
дељив је полиномом
x
P
2
ако постоји трећи полином
x
P
3
такав
да је
x
P
x
P
x
P
3
2
1
.
Ако је дељеник
x
P
1
степена
m
, а делилац
x
P
2
степена
n
онда је количник
x
P
3
степена
m - n
.
Пример 3.
Ако је
1
,
1
2
2
3
1
x
x
x
P
x
x
P
онда пошто је
1
1
1
2
3
x
x
x
x
следи да је
x
P
1
дељив са
x
P
2
и количник је полином
1
x
x
Q
Пример 4.
Ако је
1
2
2
2
3
1
x
x
x
x
P
и
2
2
2
x
x
x
P
онда је
3
2
1
2
1
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
што значи да је у овом примеру количник
1
2
x
x
Q
,
а остатак
3
x
x
R
.
