Modeliranje dinamičkih sistema

VISOKA ŠKOLA

PRIMENJENIH STRUKOVNIH STUDIJA

VRANJE

Kristijan Ristić

MODELIRANJE DINAMIČKIH SISTEMA

Završni rad

Vranje, 2016.

Kandidat: Kristijan Ristić
Broj indeksa: 215/MI
Studijski program: Mašinsko inženjerstvo
Predmet: Automatizacija

MODELIRANJE DINAMIČKIH SISTEMA

Vranje, 2016.

Mentor

____________________________

Dr Nebojiša Dimitrijević, prof.

i

SADRŽAJ

1. UVOD..............................................................................................................................1

1.1. Modeliranje............................................................................................................... 1
1.2. Fizičko modeliranje..................................................................................................2
1.3. Apstraktno modeliranje........................................................................................... 3
1.4. Matematičko modeliranje........................................................................................ 4
1.5. Metodi formiranja matematičkih modela..............................................................6

2. PRIMERI MATEMATIČKIH MODELA..................................................................7

2.1. Ekološki sistem..........................................................................................................7

2.1.1. Nadmetanje različitih vrsta za istu hranu.........................................................7
2.1.2. Grabljivica i plen.................................................................................................8

2.2. Slobodno isticanje tečnosti iz sudova......................................................................9
2.3. Električno kolo........................................................................................................ 13
2.4. Zagrevanje kuće......................................................................................................14
2.5. Matematički model hemijske reakcije..................................................................16
2.6. Odskakanje lopte....................................................................................................16
2.7. Matematički model termometra............................................................................17
2.8. Matematički model U-manometra........................................................................20

3. VRSTE MATEMATIČKIH MODELA.....................................................................22

3.1. Statički matematički modeli.................................................................................. 24
3.2. Dinamički matematički modeli..............................................................................26

3.2.1. Kontinualni linearni modeli.............................................................................26
3.2.2. Diskretni modeli................................................................................................ 38
3.2.3. Nelinearni modeli.............................................................................................. 41

3.3. Modeli sa raspodeljenim parametrima.................................................................45
3.4. Modeli sa skoncentrisanim parametrima.............................................................46
3.5. Modeli događaja stanja (

State-event models)

........................................................47

3.6. Modeli diskretnog događaja 

(discrete-event models)

...........................................48

4. MATEMATIČKO MODELIRANJE POREMEĆAJA...........................................49

4.1. Poremećaji kod dinamičkih sistema.....................................................................51

4.1.1. Poznati izvori poremećaja: merljivi signali poremećaja...............................51
4.1.2. Poznati izvori poremećaja: nemerljivi signali poremećaja...........................52
4.1.3. Nepoznati izvori poremećaja............................................................................52

ii

4.1.4. Statističke i stohastičke osobine signala poremečaja.....................................53
4.1.5. Beli šum.............................................................................................................. 55

4.2. Predstavljanje signala u vremenskom domenu...................................................57

4.2.1. Deterministički modeli signala.........................................................................57
4.2.2. Stohastički modeli signala................................................................................58
4.2.3. Tipični modeli proeesa i signala.......................................................................59

4.3. Predstavljanje signala u frekvencijskom domenu...............................................62

4.3.1. Spektar signala.................................................................................................. 62
4.3.2. Uzajamni spektri (krosspektri)........................................................................62
4.3.3. Veze izmeću signala opisanih u vremenskom i frekvencijskom domenu.....63

5. PRINCIPI FORMIRANJA MATEMATIČKIH MODELA....................................64

5.1. Etape formiranja matematičkih modela..............................................................64
5.2. Uprošćavanje matematičkih modela.....................................................................67

5.2.1. Zanemarivanje malih efekata-korišćenje aproksimativnih odnosa.............68
5.2.2. Odvajanje vremenskih konstanti.....................................................................68
5.2.3. Objedinjavanje (agregacija) promenljivih stanja..........................................69

6. ZAKLJUČAK...............................................................................................................72

Modeliranje dinamičkih sistema

2

1.2. Fizičko modeliranje

Pod fizičkim modeliranjem se podrazumeva formiranje takvog flzičkog objekta koji po 

svojoj strukturi odgovara procesu koji se modelira, pri čemu ponašanje modela odgovara 
ponasanju samog procesa.

Ukoliko je model samo smanjena kopija originainog objekta, onda se radi o modelu sa 

istom fizičkom prirodom. U ovom slučaju, promenljive i parametri modela se izražavaju istim 
jedinicama kao promenljive i parametri kod modeliranog objekta, samo imaju drugu (obično 
manju)   brojnu   vrednost.   Vrednosti   promenljivih   i   parametara   kod   modela   se   određuju 
množenjem stvarnih vrednosti nekim konstantama koje nazivamo koeficijentima razmere. Za 
tačno određivanje ovih koeficijenata koristi se teorija sličnosti. Ova teorija omogućuje veze 
između veličina modeliranog objekta i modela tako, da ponasanje modela odgovara ponašanju 
modeliranog objekta. Treba naglasiti, da pri preračunavanju, koeficijenti razmere ne moraju 
međusobno biti jednaki kao i to da zavise od fizičke veličine koja se preračunava. Staviše, kod 
nelinearnih sistema neki od koeficijenata mogu biti manji od jediniee, dok drugi mogu biti 
veći od jedinice. Inače, pri formiranju modela iste fizičke prirode koeficijenti razmere su 
bezdimenzioni.

Modeli sa istom fizičkom prirodom su se u tehnici koristili još veoma davno. Poznato je 

da su stari graditelji pravili umanjene modele mostova ili kupola i na njima vršili ispitivanja u 
pogledu izdržljivosti na različita opterečenja i potrese. Zabeleženo je da je Mikelanđelo, pri 
izgradnji crkve Svetog Petra u Rimu vršio eksperimente na modelu, tj. na umanjenoj kopiji 
crkve.

U novije vreme, ova vrsta modela koriščena je pri ispitivanju elektrodistributivnih mreža. 

Pravljeni su modeli visokonaponskih mreža pojedinih regiona pa i čitavih država. Na takvim 
modelima   su   vršena   ispitivanja   u   pogledu   ponašanja   tih   mreža   u   slučaju   kratkog   spoja, 
preopterećenja, ispada iz pogona pojedinog dela mreže, prekida, naponskog udara itd. Iako se 
ovakve   mreže   mogu   veoma   precizno   opisati   sistemima   jednačina,   egzaktna   analiza, 
rešavanjem tih jednačina je nekada veoma složena. Naime, broj tih jednačina je kod složenih 
mreža   toliko   veliki   da   je   njihovo   rešavaiije,   čak   i   uz   korišćenje   moćnih   računara, 
komplikovano,   a   nekad   i   nemoguće.   Poznato   je   da   je   za   analizu   nekih   složenih   mreža 
potrebno rešavati sistem od više stotina diferencijalnih jednačina. Zbog toga je ispitivanje na 
fizičkom   modelu,   uz   sva   ova   ograničenja   koja   su   prisutna,   efikasnije   od   egzaktne 
matematičke analize.

Formiranje fizičkih modela sa istom fizičkom prirodom se ponekad izvodi u više etapa. 

Najpre se izrađuje model manjih dimenzija. Zatim se nakon ispitivanja na njemu vrše dopune 
i, koristeći dobijene rezultate, formira model većih dimenzija. Tako se kroz nekoliko iteracija 
dolazi do prototipa. No i pored navedenih prednosti fizičko modeliranje gubi na značaju, s 
obzirom da se većina problema može rešiti simulacijom na digitalnom računaru, o čemu će 
biti reči kasnije.

Mnogi procesi koji nisu električne prirode, kao što su mehanički, hidraulički, pneumatski 

ili termički, takođe se u principu mogu ispitivati na modelima sa istom fizičkom prirodom. 
Međutim,   to   se   daleko   ređe   primenjuje   jer   je   realizacija   ovih   modela   mnogo   teža   i 
nepraktičnija. Mnogo češće se fizički modeli pomenutih procesa realizuju u vidu električnih 
mreža.   Na   taj   način   se   ustvari   formirsju   fizički   modeli   sa   različitom   fizičkom   prirodom. 
Razlog je, kao što je već rečeno, jednostavnost realizacije električnih mreža.

Neki   složeni   hidraulički   proces   se,   na   primer,   može   predstaviti   odgovarajućom 

električnom mrežom. Pri tome, pritisku u nekoj tački hidrauličkog sistema, odgovara, napon u 
odgovarajućoj   tački   električne   mreže,   protoku   tečnosti   odgovara   električna   struja,   dok 
hidrauličkom otporu odgovara električni otpor.

Modeliranje dinamičkih sistema

3

Na sličan način se mnogi procesi mogu fizički modelirati električnim mrežama. To je 

dovelo   do   razvoja   analogne   računarske   tehnike.   Naime,   umesto   da   se   pojedini   procesi 
modeliraju posebnim električnim šemama, razvijeni su analogni računari koji omogućavaju 
modeliranje bilo kog fizičkog procesa. Analogni računar sadrži relativno mali broj različitih 
računskih komponenti (sabirač, integrator, množač konstantom, množač funkcija, generator 
proizvoljne   funkcije   i   nekoliko   nelinearnih   računskih   elemenata)   čijim   se   povezivanjem 
formira proizvoljan fizički model. Na taj način se formiranje modela sa različitom fizičkom 
prirodom   svelo   na   primenu   analognih   računara.   Treba   istaći   osnovnu   prednost   analognih 
računara u odnosu na druge računarske tehnike, a to je brzina računanja. Medjutim, i pored 
ove izvanredne osobine, primena analognih računara je izgubila na zuačaju, jer su poslednjih 
decenija razvijeni programski paketi za simulaciju koji su potisli primenu analognih računara. 
No, i pored toga, analogni računari mogu biti efikasno primenjivani kod rešavanja specifičnih 
problema, gde su potrebne velike brzine, za rad u realnom vremenu, kao na primer kod 
adaptivnog   upravljanja,   upravijanja   letilicama,   u   vojnoj   i   svemirskoj   tehnici.   Takođe   se 
anaiogna tehnika može kombinovati sa digitalnom, tako da se korišćenjem dobrih osobina 
jedne   i   druge   tehnike,   projektuju   hibridni   računari   izvanrednih   osobina.   Naravno   oni   su 
skuplji od konvencionainih računara. Takođe u ovoj fazi razvoja, postoje ođređeni problemi 
pri izradi softverske podrške ovim računarima.

Osnovni nedostaci fizičkog modeliranja su tehnički problemi pri izradi modela, njihova 

cena, kao i ograničena tačnost. Naime, poznato je da je tačnost fizičkih modela određena 
tačnošću izrade pojedinih komponenti. Takođe se, pri primeni fizičkih modela, greške nastale 
u   pojedinim   komponentama   superponiraju.   I   najzad,   sa   protokom   vremena,   usled 
integracionog dejstva pojedinih komponenti, ova zbirna greška se još više povećava, tako da u 
određenim situacijama model može postati neupotrebljiv.

1.3. Apstraktno modeliranje

Pojedini problemi koji nastaju pri fizičkom modeliranju, mogu se izbeći korišćenjem 

apstraktnih   modela.   Apstraktni   model   predstavlja   opis   sistema   u   vidu   skupa   relacija 
(matematičkih   ili   logičkih),   dijagrama,   blok   šema,   grafova,   nekada   algoritama,   dijagrama 
toka, itd. Na taj način se uspostavljaju veze između pojedinih promenljivih veličina u sistemu. 
Analizom ovih relacija i efekata do kojih dovodi njihova primena, zaključuje se o ponašanju 
procesa koji se modelira. Ova analiza, koja se obično izvodi na računaru, naziva se simulacija.

Iz   navedenih   vrsta   opisa,   može   se   zaključiti   da   apstraktno   modeliranje   može   biti 

nematematičko i matematičko.

Kod nematematičkog modeliranja sistem se opisuje nematematičkim strukturama kao što 

su iskazi (verbalni opisi), dijagrami, grafovi ili specijalni simboli iz određene gi'ane nauke i 
tehnike. Na primer proces oksidacije vodonika u hemiji se opisuje strukturom

Na sličan način, samo uz korišćenje većeg broja zapisa mogu se opisati vrlo složene 

hemijske reakcije.

Kod   fuzzy   sistema,   uvođenjem   lingvističkih   promenljivih   i   primenom   odgovarajućih 

logičkih pravila, mogu se opisati ponašanja nekih procesa koji u sebi imaju neodređenosti.

Poznato je da se dijagramima toka može opisati prostiranje signala kroz proces.
Najzad, kao efikasno sredstvo za predstavljanje sistema mogu se koristiti grafovi, bilo 

signalni, bilo bond grafovi.

  Treba naglasiti da se primenom nematematičkih apstraktnih modela ne može uvek u 

potpunosti ispitivati ponašanje objekata ili procesa. U tom slučaju, može se, pored korišćenja 
nematematičkih modela za predstavljanje procesa, komplementamo koristiti i matematička 
analiza, sto omogućuje detaljnije proučavanje ponašanja procesa. 

Modeliranje dinamičkih sistema

5

Dobijanje matematičkih modela pojedinih prirodnih, tehničkih, bioloških i ekonomskih 

procesa   iii   pojava   je   jedan   od   osnovnih   zadataka   nauke.   Praktično,   uvek,   kada   se   neki 
nepoznati   proces   ili   pojava   proučava,   bilo   korišćenjem   poznatih   zakonitosti,   bilo   putem 
analogije sa srodnim procesima ili direktnim eksperimentisanjem, i kada se na osnovu toga 
opiše sistemom matematičkih relacija, tada se ustvari vrši matematičko modeliranje.

Tokom   razvoja   pojedinih   nauka,   pre   svega   fizike,   mnoge   prirodne   pojave   su   sve 

preciznije opisivane matematičkim relacijama i na taj način su formirani matematički modeli 
tih   pojava.   Ukoliko   ti   opisi   imaju   univerzalno   značenje,   onda   su   to   matematički   modeli 
prirodnih zakona. Tu, na primer, spadaju 

Maxwellove

 jednačine koje opisuju elektromagnetne 

pojave ili  

Lagrangeove

  jednačine za mehanička kretanja. Treba napomenuti da se čak i u 

ovim   slučajevima   vrši   usavršavanje   matemafičkih   modela,   odnosno   da   se   sa   novim 
saznanjima ovi modeli dopunjuju novim relacijama.

Matematički modeli najčešće imaju ograničen domen primene, odnosno imaju lokalni 

značaj.   To   pre   svega   važi   za   matematičke   mođele   tehničkih   sistema.   Oni   su   validni   u 
određenim tehničkim granicama. Ukoliko promenljive veličine izađu izvan tih granica, model 
prestaje da važi, ili postaje neupotrebljiv. Staviše ova činjenica važi i kod modela prirodnih 
zakona. Na primer, izvaređni 

Newtonov

 model gravitacije, odnosno 

Newtonovi

 zakoni važe u 

domenu brzina daleko manjih od brzine svetlosti. Za brzine bliske brzini svetlosti, ovaj model 
prestaje da važi.

Zbog ovoga, kao i iz drugih praktičnih razloga, nekad se za isti proces može formirati 

više matematičkih modela. Zavisno od cilja, koristi se najpogodniji za tu svrhu

.  

Postoje dva 

osnovna postupka pomoću kojih se formiraju matematički modeli. Prvi način je kada se uz 
korišćenje poznatih fizičkih, hemijskih i drugih prirodnih zakona formira skup matematičkih 
relacija koji opisuje dinamiku procesa. To je ustvari matematičko modeliranje u užem smislu, 
ili kraće - matematičko modeliranje.

Drugi način se sastoji u tome što se vrše eksperimentisanja na konkretnom procesu, i na 

osnovu   promena   ulaznih   i   izlaznih   veličina,   određuje   se   skup   matematičkih   relacija   koje 
povezuju ove veličine. U ovom slučaju radi se o identifikaciji procesa.

Dakle,   cilj   oba   ova   postupka   je   dobijanje   matematičkog   modela,   s   tim   što   se   kod 

matematičkog modeliranja koriste 

a priori 

poznati prirodni zakoni, dok se kod identifikacije 

vrši eksperiment. U praksi je najcelishodnije kombinovati ova dva metoda. Naime, potrebno 
je iskoristiti sve raspoložive informacije o procesu i uz korišćenje poznatih zakona formirati 
početni matematički model. Zatim se, uz pomoć eksperimenta vrši dogradnja, usavršavanje 
modela. Vrlo često se matematičkim modeliranjem odredi struktura modela, a identifikacijom 
se vrši procena parametara tog modela. Takođe je moguće simulatano primenjivati ova dva 
postupka. Pošto su ova dva postupka komplementarna, naizmenično, eksperimentisanjem i 
uvođenjem novih relacija mogu se dobiti veoma kvalitetni matematički modeli.

Najlepši   primer   u   istoriji   nauke   koji   ilustruje   odnos   matematičkog   modeliranja   i 

identifikacije je verovatno formiranje modela kretanja planeta oko sunca. Dok je  

Kepler, 

koristeći obimna merenja (eksperimentisanja) 

Tiho Brahea

 formulisao svoja tri zakona, 

Isac 

Newton

  je koristeči zakon gravitacije, matematički opisao kretanje planeta. Drugim rečima 

Kepler

  je izvršio identifikaciju procesa kretanja planeta oko sunca, dok je  

Newton  

izvršio 

matematičko modeliranje tog procesa.

Već je rečeno da je osnovna svrha matematičkih modela izučavanje nepoznatih procesa i 

pojava  i   formiranje   adekvatnih   upravljačkih   sistema.   U  pojedinim   slučajevima   ispitivanje 
procesa   je   jedino   moguće   na   modelu,   zbog   eventualnih   opasnosti   koje   su   moguće   pri 
eksperimantisanju na realnom procesu. To se pre svega odnosi na nuklearne i neke klase 
hemijskih procesa. Pozanto je da se u savremenim nuklearnim istraživanjima, pre stvarne 
nuklearne reakcije, vrše mnogobrojne simulacije primenom raćunarske tehnike.

Takođe   se   pri   obučavanju   ljudi   za   razne   opasne   akcije   obučavanje   najpre   vrši   na 

simulatorima pri čemu se ustvari koriste formirani matematički modeli, specijalno namenjeni 
za tu svrhu.

Modeliranje dinamičkih sistema

6

I najzad, matematičko modeliranje i simulacija su jedini načini da se analizira sistem koji 

još   nije   realizovan.   Naime,   još   pre   ulaganja   velikih   materijalnih   sredstava   za   realizaciju 
sistema,   moguće   je,   poznavanjem   matematičkog   modela   tog   sistema   izvršiti   veliki   broj 
ispitivanja u pogledu njegovog ponašanja. Ta ispitivanja su naravno bezopasna i relativno 
jeftina. Staviše, na modelu su moguća ispitivanja koja iz tehničkih ili bezbedonosnih razloga 
na realnom sistemu ne bi bila moguća. Na taj način, projektant, pre realizacije sistema stiče 
veliku sigurnost u pogledu konačnog ishoda projekta. Nekada su, dok računarska tehnika nije 
bila dovoljno razvijena, ova ispitivanja vršena isključivo na prototipu, što je zahtevalo velika 
materijalna sredstva. Naravno i kod savremenog projektovanja, konačna ispitivanja se vrše na 
realnom procesu, ali korišćenjem matematičkog modeliranja i simulacije ukupan postupak 
projektovanja postaje brži, jeftiniji i bezopasniji.

1.5. Metodi formiranja matematičkih modela

Postoje   dva   osnovna   pristupa   formiranja   matematičkih   modela,   a   to   su   induktivni   i 

deduktivni,

Induktivni pristup, u literaturi poznat kao 

“bottom-up” 

pristup koristi se u slučaju kada se 

poseduju detaljne informacije o svim elementima sistema i njihovim međusobnim vezama. U 
tom slučaju se svaki element sistema i svaka međusobna veza opisuje potpuno određenom 
matematičkom   relacijom,   dok   skup   svih   tih   relaeija   predstavlja   matematički   model   tog 
sistema. Klasičan primer ovakvog postupka je formiranje matematičkog modela električnih 
kola. U slučaju poznatog rasporeda elemenata električnog kola (npr. otpornika, kapacitivnosti 
i induktivnosti), korisćenjem 

Ohmovog

 i 

Kirchhoffovih

 zakona piše se potpuno određen broj 

jednačina i na taj način se jednoznaČno određuje matematički model tog kola. Slična je 
situacija kod mehaničkih sistema gde se primenjuju 

Newtonovi

 zakoni kretanja masa. Ovako 

formirani matematički modeli su validni u okviru granica u kojima su valiđni opisi pojedinih 
komponenti   sistema,   Na  

primer,

  pri   opisivanju   električnog   kola   sa   skoncentrisanim 

parametrima,   otpornik   se   opisuje  

Omovim

  zakonom,   po   kome   je   struja   kroz   otpornik 

proporcionalna   otporu   i   naponu   na   njegovim   krajevima,   Ukoliko   napon   i   struja   pređu 
određene granice, usled zagrevanja može doći do promene otpornosti, tako da se sistem vise 
ne može opisivati linearnim modelom. U tom slučaju model više nije odgovarajući pa se mora 
korigovati uvođenjem složenijjh relacija, Takođe je moguće za različite uslove rada formirati 
razlićite matematičke modele i svaki od njih koristiti u uslovima u kojima je on validan.

Drugi pristup formiranju matematičkih modela je deduktivan, u literaturi poznat kao 

“top 

down''. 

Kod ovog načina sene vrši matematičko opisivanje pojedinih elemenata sistema, već 

se formira globalan model, pri čemu se čitav sistem opisuje određenim brojem matematičkih 
relacija.   Pri   tome   se   vrše   određena   uprošćavanja,   odnosno   izbegava   se   uključivanje 
nepotrebnih   detalja,   što   bi   komplikovalo   konačan   matematički   model,   koji   bi   bio   veoma 
glomazan,   pa   čak   i   neupotrebljiv.   Pri   ovom   modeliranju   se   razmatraju   samo   najvažnije 
promenljive i njihove veze, što svakako predstavlja određenu idealizaciju. 

Međutim, ovaj pristup nekada može biti veoma koristan, jer uključivanje elemenata čiji je 

uticaj   zanemarljiv,   može   dovesti   do   veće   štete   nego   koristi.   Na   primer,   kod   formiranja 
matematičkog modela mehaničkih sistema uzimaju se u obzir samo mase onih elemenata koje 
imaju bitan uticaj na dinamiku sistema, dok se mase, čiji je red veličina veoma mali u odnosu 
na prethodne, zanemaruju. Time se broj jednačina u matematičkom modelu bitno smanjuje, a 
da se pri tom ne izgubi mnogo na kvalitetu modela.

Ukoliko se, pri ovom načinu modeliranja ustanovi da prvobitam model nije adekvatan, ili 

je suviše uprošćen, onda se on može poboljšavati sukcesivnim uvođenjem novih relacija, 
uključivanjem opisa manje važnih elemenata, i to upravo po redosledu njihove važnosti.

Induktivni i deduktivni pristup modeliranja se ne isključuju međusobno, vec, naprotiv, 

oni se dopunjuju, i mogu se koristiti komplementarno. Naravno za ovo je potrebno veće 
iskustvo u modeliranju, kao i dobro poznavanje svih metoda matematičkog modeliranja.

Modeliranje dinamičkih sistema

8

Slika   2.1:  

Broj   individua   u   slučaju   vrsta   koje   se   nadmeću   za   istu   hranu.  

je 

predstavljeno punom linijom, a 

 isprekidanom linijom.

2.1.2.Grabljivica i plen

Pretpostavimo sada, da je druga vrsta plen. U tom slučaju, snabdevanje hranom vrste 1 

proporcionalno   je   broju   individua  

,  

dok   se   stopa   mortaliteta   ove   vrste   smanjuje   sa 

porastom broja individua 

.

 To možemo predstaviti u obliku

Stopa mortaliteta vrste 2, povećava se sa porastom broja individua vrste 1, tj. važi

Korišćenjem prethodnih jednakosti, dolazimo do modela

Logično je pretpostaviti, da bi prva vrsta (grabljivica) izumrla ukoliko ne bi postojala 

druga vrsta (plen), pri čemu je

, kao i da bi se druga vrsta (plen) multiplicirala 

ukoliko ne bi postojala prva (grabljiviea),

. Na slici 2.2 prikazana je promena 

.   Sa   slike   se   vidi   da   broj   individua  

osciluje oko jedne vrednosti, što je u skladu sa realnošću.

Slika 2.2: Broj grabljivica (

) i plena (

) (isprekidana linija) u funkciji vremena.

Modeliranje dinamičkih sistema

9

2.2.Slobodno isticanje tečnosti iz sudova

Posmatraćemo   sud   (rezervoar)   sa   slobodnim   isticanjem   tečnosti,   kao   na   slici   2.3. 

Poprečni presek suda je  

, dok je površina otvora kroz koji ističe tečnost  

. 

Visina nivoa tečnosti u sudu je  

, ulazni protok jednak je  

, a izlazni protok 

.   Neophodno   je   formirati   model   koji   predstavlja   zavisnost   izlaznog   od   ulaznog 

protoka.

Slika 2.3: Rezervoar (sud) sa slobodnim isticanjem tečnosti

  Bernoullijeva

  jednačina, daje vezu između brzine isticanja tečnosti  

  iz suda i 

visine nivoa tečnosti u sudu:

.

(2.4)

gde je 

g

 ubrzanje zemljine teže. Veza između izlaznog protoka 

q

 i brzine isticanja tečnosti V 

data je pomoću,

 (2.5)

Zapremina tečnosti u rezervoaru u trenutku  

t

  je

, i menja se u zavisnosti od 

razlike koja postoji između ulaznog i izlaznog protoka, prema relaciji

(2.6)

Modeliranje dinamičkih sistema

11

 (2.11)

Modeliranje dinamičkih sistema

12

Model ekonomskog sistema dat je relacyama (2.9) - (2.11). Jedan od problema koji se 

može rešiti korišćenjem ovog modela, jeste pronalaženje načina na koji vlada jedne države 
može da utiče na ukupnu ekonomsku situaciju. Tada, BND  y(t)  možemo posmatrati kao 
izlaznu promenljivu. Na BND jedne države može da se utiče na nekoliko načina, na primer, 
uticajem   ukupne   potrošnje  c(t)  na   porez   (povećanjem   poreza   robe   široke   potrošnje)   ili 
uticajem ukupnih ulaganja  i(t) na bankarske kamate (niže bankarske kamate omogućavaju 
jeftinije kredite, a time i porast investicija).

  U ovom primeru, razmotrićemo samo uticaj državnih troškova  g(t)  na ukupan BND 

države. Da bismo došli do izraza koji predstavlja zavisnost y(f) od g(t), potrebno je prvo 
prepoznati model dat pomoću jednačina (2.9) - (2.11).

  Promenljive  c(t)  i  i(t)  u jednačini (2.9) eliminisaćemo korišćenjem jednačina (2.10) i 

(2.11), što daje

 (2.12)

Prema tome, tražena veza između 

g(t)

 i 

y(t)

 data je diferencnom jednačinom

(2.13)

Model ekonomskog sistema može se formirati i posmatranjem promena veličina 

y(t)

 i 

c(t) 

iz godine u godinu, Na osnovu (2.10) imamo c(t+l)=ay(t), pa se može napisati

Do ovog izraza došlo se zamenom (2.9) u prvu jednačinu, (2.11) u drugu i (2.10) u treću. 

Prethodnu jednačinu, takodje, moguće je predstaviti i u matričnom obliku

 (2.14)

Modeliranje dinamičkih sistema

14

2.3.Električno kolo

Ako   su   poznate   komponente   električnog   kola,   moguće   je   formirati   tačan   model 

primenjujući   samo   dedukciju.   Pomoću   poznatih   zakona   elektrotehnike,   uz   poznavanje 
vrednosti parametara komponenti, dobija se "beli model". Na slici 2.6 dato je električno kolo 
koje sadrži kalem induktivnosti L, klondenzator kapacitivnosti 

C

 i otpornik otpornosti 

R.

Slika 2.6:

Električno kolo

Primenom osnovnih zakona elektrotehnike, dobijaju se sledeće matematičke relacije:

Ako su 

u, R,L

 i 

C

 dati, onda se pet nepoznatih promenljivih

 određuju 

na osnovu prethodnih pet jednačina. Zatim, ako umesto diferencijatora koristimo integratore, 
dobijamo model predstavljen blok dijagramom kao na slici 2.7.

Slika 2.7:

Blok dijagram razmatranog električnog kola

Modeliranje dinamičkih sistema

15

Napomenimo da se za predstavljanje modela blok dijagramom mora uvesti kauzalitet. 

Neophodno je odlučiti da li će, na primer, srtruja kroz otpornik određivati vrednost napona na 
njemu   ili   će   biti   obrnuto.   Kako   su   za   simulaciju   pogodniji   modeli   koji   ne   sadrže 
diferencijatore, induktivnost i kapacitivnost su predstavljeni preko odgovarajućih integralnih 
jednačina.

Definisanjem 

u

c

 kao izlaz i 

u

 kao ulaz, i korišćenjem 

Laplaceovog

 operatora 

s

 i funkcije 

prenosa 

H(s),

 model postaje

(2.15)

  Ovaj   model,   predstavljen   blok   šemom   ili   funkcijom   prenosa   i   jednačinama   stanja, 

formiran je korišćenjem već postojećih informacija. Nisu korišćena nikakva merenja. Primeri 
modeliranja   električnih   kola   su   primeri   primene   principa   bele   kutije,   uz   zanemarivanje 
parazitnih efekata i uz pretpostavku da su vrednosti komponenti date sa dovoljnom tačnošću. 
U praksi to nije uvek tako, jer se komponente daju sa određenom tolerancijom. U tom slučaju 
koristi se promenljiv otpornik, kojim se podešava da kolo radi na željeni način.

2.4.Zagrevanje kuće

 Na slici 2.8 prikazana je kuća sa zagrevnim elementom koji obezbeđuje protok energije

 u kuću. Tu je odavanje energije iz kuće, označeno sa 

, kao posledica izmedu

unutrašnje temperature 

 i spoljne temporature 

.

Slika 2.8:

Zagrevanje kuće

Temperatura 

T

 opisana je sa dva osnovna zakona:

1. zakon o održanju energije;

2. količina energije 

 proporcionalna je razlici temperatura 

.

Modeliranje dinamičkih sistema

17

2.5.Matematički model hemijske reakcije

Modeliranje   hemijskih   reakcija   zahteva   razumevanje   kinetičke   reakcije.   Kinetika   se 

bazira   na   koncentracijama   hemijskih   elemenata   u   reaktoru.   Pretpostavimo   da   dve 
komponente, A i B reaguju međusobno kao što je prikazano na slici 2.9.

Slika 2.9:

Hemijska reakcija

Koncentracije komponenti A, B i C označene su sa 

. Reakcija od A ka B ima 

dinamičku konstantu     , a od B ka A dinamičku konstantu     i od B ka C,  

.

  Osnovne 

dinamičke relacije su

Dodatna   informacija   koja   se   odnosi   na   zapreminu   omogućava   izračunavanje   mase 

različitih komponenti.

2.6.Odskakanje lopte

Kada se lopta pusti sa neke početne visine 

x

0

,

 može se izračunati visina 

x(m

). Prvo, lopta 

mase 

m(kg

) padaće usled gravitacije 

. Drugo, ako lopta poluprečnika 

r(m)

 dodirne 

pod  

(x

  =r), ponašaće se kao opruga mase m, sa konstantom opruge  

k(N/m),

  prigušenjem 

f(Ns/m).

  Za   opisivanje   sistema   masa-opruga   koristićemo   linearnu   oprugu.   Definisaćemo 

v(m/s) 

kao brzinu lopte, sa pozitivnom vrednošću za kretanje naviše. Uočavamo dva različita 

modela:

Ako je r <

x:

(2.23a)

(2.23b)

Ako je 

x < r

(2.24a)

(2.24b)

Pri početnim uslovima 

, 

ove dve grupe jednačina opisuju loptu koja 

odskače.

Modeliranje dinamičkih sistema

18

Napomena: Tačnost modela može se poboljšatiako, uz pomoć modela događaja stanja, 

detektujemo trenutak u kome lopta dotiče i napušta pod. Dakle, model događaja stanja mora 
da generiše digitalni signal u momentu kada je x=r

.

2.7.Matematički model termometra

Stakleni termometar napunjen tečnošću prikazan je naslici2.10. Promenu temperature 

T

 u 

prostoru oko balona  termometraprati toplotna promena zapremine  tečnosti  kao i promena 
njenog nivoa u kapilari. Na taj način ulazna (merena veličina termometra je temperatura 
okoline balona 

T(t),

 a izlazna veličina je visina stuba tečnosti u kapilari 

h(t).

 Pretpostavlja se 

da je temperatura 

T(t)

 proizvoljno promenijlva veličina, ali jednaka u svim tačkama okoline u 

svakom vremenskom trenutku.

Slika 2.10:

Stakleni termometar

Vezu   između   ulazno   i   izlazne  promenljive   moguće   je   odrediti  polazeći   od   zakona  o 

održanju energije:

dovedena toplota

 - 

odvedena toplota = akumulirana toplota

Ako sepretpostavi da nema gubitaka (odvođenja) toplote, to znači da toplota koja se 

dovodi   tačnosti   u   balonu,  iz  oknline,   uslovljava   promenu   njene   zapremine.   Promena 
zapremine tečnosti proporcionalna je početnoj zapremini, gustini tečnosti, specifičnoj toploti 
tečnosti i promeni temperature. Dovedena toplota je srazmerna razlici temperature okoline i 
tečnosti, površini kroz koju se prenosi, ukupnom koeficijentu prolaza toplote u vremenu. 
Matematički se to može napisati

što preuređivanjem postaje

(2.25)

gde   su:  

A

  spoljašnja   površina   balona   (površina   kojom   se   prenosi   toplota),  

A

p

  površina 

poprečnog preseka kapilare,  

a

  temperaturni koeficijent širenja tečnosti,  

c

  specifična toplota 

tečnosti, 

h

 visina stuba tečnosti u kapilari, 

p

 gustina tečnosti, 

T

 temperatura okoline balona, 

T

k 

temperatura tečnosti u balonu (za  

T

k

  =

  0°  

C  

može se usvojiti  

h

  =0 ),  

t

  vreme,  

U

  ukupni 

koeficijent prolaza toplote, 

V

 zapremina balona.

Modeliranje dinamičkih sistema

20

Prema   jednačini   (2.25)   za   jednostavan   termometar   toplotni   bilans   za   balon   daje 

jednačinu:

(2.29)

kojoj treba dodati toplotni bilans zaštitnog plašta kroz koji se toplota prenosi na balon 

izražen preko:

(2.30)

Slika 2.11:

Stakleni termometar sa zaštitom

Povezivanjem prethodnih jednačina i zamenom 
dobija se matematički model ponašanja termometra sa zaštitom u obliku:

  (2.31)

što je linearna diferencijalna jednačina drugog reda.

Modeliranje dinamičkih sistema

21

2.8.Matematički model U-manometra

Ponašanje U-manometra može se opisati na primeru sa slike 2.12. Statički posmatrano, 

pri nekoj razlici pritisaka  

p

1 -

p

2  

uspostaviće se u manometru ravnoteža sila, pa će sili  

p

1

A

k

, 

prouzrokovanoj   usled   pritiska  

p

1

  držati   ravnotežu   težina   stuba   tecnosti  

hA

k

gp

,   i   sila  

p

2

A

k 

prouzrokovana usled pritiska 

p

2

. 

Jednačina ravnoteže data je preko

(2.32)

a iz nje se dobija statički model ponašanja U-manometra u obliku

(2.33)

na osnovu koga se zaključuje da visina stuba 

h

 zavisi od razlike pritiska, gustine tečnosti i 

ubrzanja   zemljine   teže.   Model   ništa   ne   govori   o   tome   kako   će   se   sistem   ponašati   pri 
promenljivim pritiscima i kako će nivo pratiti te promene; do takvog se modela može doći 
samo posmatranjem dinamičkog ponašanja sistema.

Pri dinamičkom posmatranju uzima se da u U-manometru deluju pritisci 

p

1

 i 

p

2

 koji su 

vremenski   promenljivi,   pa   je   i   visina   stuba  

h

  vremenska   funkcija  

h(t

).   Kada   se   formira 

matematički model neophodno je uzeti u obzir i inerciju tečnosti, a zatim i njeno trenje o zid 
cevi, pa se dinamički opis ravnoteže sila u U- manometru može opisati preko

(2.34)

Slika 2.12:

U-manometar

gde su:

 težina stuba tečnosti

visine

,

inercija   tečnosti 

(proizvod mase i ubrzanja),

 nutrašnje trenje tečnosti, 

p

 gustina tečnosti, 

m

 masa

,  

D

  prečnik unutrašnjeg poprečnog preseka cevi manometra,  

a

  ubrzanje 

tečnosti 

, 

A

k

 povrsma unutrasnjeg preseka cevi manometra.

Modeliranje dinamičkih sistema

23

Sređivanj relacije (2.34) dobija se konačan izraz za koji opisuje ponašanje U-manometra 

u obliku 

  (2.35)

 Može se pokazati da je statički model (2.33) poseban slučaj dinamičkog modela u nekom 

trenutku 

t = t

0

 u kada je nastupilo stacionarno stanje. U tom slučaju važi 

, 

, pa su

  i 

onda relacija (2.35) dobija 

oblik jednačine (2.33).

Modeliranje dinamičkih sistema

24

3. VRSTE MATEMATIČKIH MODELA

     Matematički modeli, koji se formiraju za različite sisteme, mogu da poseduju različite 

karakteristike koje zavise od osobina sistema kao i od metode koja je korišćena prilikom 
formiranja modela.

     Klasifikacija može biti izvršena na sledeći način:



Statički i dinamički modeli. Sistem koji se modelira može se nalaziti u stacionarnom 

stanju ili prelaznom režimu. Pri stacionarnom stanju, ulazne i izlazne promenljive su 
konstantne (ne menjaju se u vremenu), a u prelaznom režimu one su neke funkcije vremena. 
Obično se stacionarno stanje opisuje algebarskim jednačinama. Modeli dobijeni na ovaj način 
nazivaju se statički modeli. Prelazni režimi se opisuju diferencijalnim jednačinama tj. 
dinamičkim modelima. Statički modeli su poseban slučaj dinamičkih i mogu se dobiti 
izjednačavanjem svih izvoda u dinamičkim modelima, sa nulom. Kod pojedinih procesa ne 
može se uspostaviti stacionarno stanje, tako da nije moguće formirati njegov statički model.



Jednodimenzioni i višedimenzioni modeli. Jednodimenzioni modeli objekta su sa 

jednim ulazom i jednim izlazom, tj. kada su funkcije 

u(t)

 i ;y(t) skalarne veličine. Ako objekat 

ima nekoliko ulaza i/ili izlaza, model je višedimenzioni (multivarij abilan).

Kontinualni i diskretni modeli. Matematički model koji se koristi za predstavljanje veza 

između kontinualnih signala, naziva se 

kontinualni matematički model.

 Za opisivanje takvih 

veza  obično   se  koriste  diferencijalne   jednačine.   Međutim,   signali  sakojima  se   srećemo   u 
praksi, najčešće se dobijaju u  

diskretizovanom  

obliku, što je rezultat merenja u diskretnim 

trenucima vremena. Model, koji direktno opisuje veze između vrednosti signala u trenucima 
odabiranja, naziva se  

diskretni matematički  model.

Za opisivanje takvih modela koriste se 

mdiferencne   jednačine.   U   nekim   slučajevima   dobro   je   uvesti   diskretizaciju   i   izvršiti 
prevođenje   kontinualnih   modela   u   diskretne,   naročito   kada   upravljački   signal   generiše 
digitalni regulator. Tada se kontinualni model predstavlja diskretnim, čiji parametri zavise od 
periode diskretizacije 

T.

4.   Linearni   i   nelinearni   modeli.  Veza   između   ulaza  

u(t)

  i  izlaza  

y(t)

  objekata   u 

najopštijem obliku se može predstaviti kao nelinearna funkcija oblika

(3.1)

pri   čemu   je   L   neki   operator   modeliranja,   čijim   se   izborom   zadaje   jedan   ili   drugi   način 
predstavljanja matematičkih modela objekta. Model je linearan, ako operator  

L

  zadovoljava 

princip superpozicije (homogenost i aditivnost), tj. ako važi

(3.2)

gde je : 

. U suprotnom šlučaju model je nelinearan.

     Modeli, koji zadovoljavaju (3.2),.nazivaju se linearni u odnosu na ulaz. Takav je npr. 

statički jednodimenzioni model oblika

(3.3)

dok je model

(3.4)

nelinearan, u odnosu na ulaz.

         Paralelno s tim postoji i pojam linearan u odnosu na parametre modela. Takav je 

model (3.4), dok je model

(3.5)

nelinearan, u odnosu na parametar 

a

1.

Modeliranje dinamičkih sistema

26

5. Stacionarni i nestacionarni modeli. Ako se svojstva objekta ne menjaju u vremenu, što 

znači, da pri istom obliku ulaznog dejstva  

u(t)

  reakcija objekta  

y(t)

  je ista i ne zavisi od 

trenutka vremena  

u(t),

  za njegovo opisivanje se može iskoristiti matematički model  čiji  su 

parametri   konstantni,   tj.   stacionarni   matematički   mođel.   Pri   relativno   brzim   promenama 
karakteristika objekta koriste se nestacionarni modeli čiji se parametri menjaju u vremenu,

6. Parametarski i neparametarski modeli. Ako model predst.avlja matematičku zavisnost, 

koja   povezuje   izlaz   i   ulaz   sistema,   i   sadrži   konačan   broj   parametara,   onda   se   zove 
parametarski.   Ako   između   ulaza   i   izlaza   modeii   sađrže   i   neku   funkciju   (ekvivalentna 
beskonačnom   broju   parametara),   koja   ima   odgovarajući   grafički   prikaz,   model   se   zove 
neparametarski.   Između   parametarskih   i   neparametarskih   modela   ne   postoji   uzajamna 
neparametarska veza. Prelaz od parametarskih na neparametarske modele je jednostavan, a 
obrnut put je vezan za znatne poteškoće.

7. Modeli saraspodeljenim i skoncentrisanim parametrima. Za matematičko modeliranje 

fizičkih pojava koriste se 

parcijalne diferencijalne jednačine.

 Modeh koji opisuju procese u 

kojima se promene dešavaju i u vremenu i u prostoru, ili ukoliko se navedene promene 
odvijaju   samo   u   prostoru   večih   dimenzija,   nazivaju   se  

modeli   sa   raspodeljenim 

parametrima.

Sa   druge   strane,   ukoliko   se   za   opisivanje   događaja   koristi   konačan   broj 

promenljivih   veličina,   onda   govorimo   o  

modelima   sa   skoncentrisanim   parametrima.

  Za 

opisivanje ovih modela koriste se 

obične diferencijalne jednačine.

8. Modeli promenljivo orjentisanih i diskretno upravljanih događaja (

state event models

i 

discrete event models

). Sistemi kod kojih se promenljive mogu u određenim vremenskim 

intervalima menjati kontinualno ili vremenski diskretno, a da se pritom u nekim trenucima, 
zavisno   od   određenih   uslova,   naglo   menjaju,   opisuju   se  

state   event

  modelima   odnosno 

discerete event

  modelima. Ovakvi modeli poznati su pod nazivom  

promenljivo orjentisani 

matematički   modeli.

  Interakcija   između   kontinualnih   i   diskretnih   modela   realizovana   je 

pomoću događaja stanja i vremenskog događaja.

Događaj stanja

 je takav događaj koji se javlja u kontinualnom sistemu, kada kontinualna 

promenljiva   dostigne   neku   unapred   određenu   vređnost   i   izaziva   diskontinualnu   promenu 
nekih drugih promenljivih sistema. Događaj stanja, može aktivirati prekidač u kontinualnom 
mođelu ili okidač nekog vremenskog mehanizma u diskretnom modelu.

     Vremenske događaje

 generišu vremenski procesi unutar modela diskretnog događaja. 

Oni mogu aktivirati prekidač ili izazvati neko drugo delovanje unutar kontinualnog modela.

Na primer, sistemi sa logičkim upravljanjem se mogu modelirati 

state event

 modelima, a 

takođe i procesi čekanja koji imaju i neke slučajne promenljive. To može biti prestanak rada 
neke mašine, ispražnjenost magacina prihvatnog registra i siičnp, Pored toga ovim modelima 
se mogu modelirati i ostali sistemi kod kojih pored kontinualnih ili vremenski diskretnih 
promena može doći i do naglih promena pojedinih promenljivih.

      9. Deterministički i stohastički matematički modeli. Ako postoji tačna veza između 

merljivih i nemerljivih promenljivih i ukoliko model ne ispoljava svoju neodređenost, tada se 
za opisivanje može koristiti  

deterministički matematički model.

  Model je  

stohastički

  ako se 

tokom   njegovog   formiranja   koriste   pojmovi   neodređenosti   i   verovatnoće.   Stohastički 
matematički   model   sastoji   se   od   kvantiteta   za   čije   se   opisivanje   koriste   stohastičke 
promenljive ili stohastički procesi.

Modeliranje dinamičkih sistema

27

3.1.Statički matematički modeli

         Statičkim matematičkim modelima se opisuju sistemi kod kojih se veze između 

promenljivih mogu opisati algebarskim jednačinama. Tu spadaju i matematički modeli kojima 
se predstavljaju stacionarna stanja dinamičkih sistema.

     Razmotrimo objekat sa

p

 ulaza i 

r

 izlaza (slika 3.1).

Slika 3.1:

Blok dijagram objekta koji se modelira

Veza između ulaza i izlaza objekta u stacionarnom stanju može se predstaviti pomoću 

algebarske jednačine oblika

 (3.6)

gde   su:  

  vektor   ulaznih   promenljivih,  

  vektor 

izlaznih   promenljivih,   vektorska   funkcija   ulaza,  

vektor   spoljašnjih 

poremećaja doveden na izlaz.

Modeliranje dinamičkih sistema

29

Tada se zavisnost (3.10) može zapisati u obliku

               (3.11)

čijom se zamenom u (3.8) dobija izraz koji opisuje izlaznu veličinu u obliku

(3.12)

     Relacija (3.12) predstavlja nelinearan, u opštem slučaju, po promenijivim u

i

, statički 

model objekta, a koji je linearan u odnosu na parametre.

3.2.Dinamički matematički modeli

3.2.1.Kontinualni linearni modeli

Parametarski modeli tipa "ulaz-izlaz".  

Za objekat  

sa  

jednim ulazom  

u(t)

  i jednim 

izlazom  

y(t)

  osnovni parametarski model predstavljen je, u opštem slučaju, diferencijalnom 

jednačinom oblika

(3.13)

pri čemu za svaki fizički ostvarljiv sistem važi da je

m<n,

 Kod stacionarnih objekata parametri 

a

i

,   b

i

su  konstantni,  a  kod   nestacionarnih   se   menjaju   u   vremenu.   Pri   delovanju  spoljašnjeg 

poremećaja 

v(t),

  na desnoj strani jednačine (3.13)  dodaju se članovi koji sadrže poremećaj i 

njegove izvode.

         Ukoliko se radi o multivarijabilnom sistemu onda se matematički model opisuje 

sistemom diferencijalnih jednačina oblika (3.13), gde su skalarne funkcije 

u

i

(t)

i 

y

i

(t)

zamenjuju 

vektorima, a skalarni parametri  

a

i

  i b

i

  se zamenjuju matricama pa se model predstavlja u 

matričnoj   formi.   Onda   je   matrična   diferencijalna   jednačina   koja   opisuje   multivarijabilni 
objekat oblika

(3.14)

gde su A, i B, matrice dimenzija

rxr i rxp

 respektivno, ay i u su r - dimenzioni i

p 

-

 dimenzioni 

vektori, respektivno.

Za   opisivanje   objekta   sa   transportnim   kašnjenjem   mogu   se   primeniti   diferencijalne 

jednačine sa elementom kašnjenja oblika

(3.15)

gde je x čisto transportno kašnjenje.

Predstavljanje modela objekta u obliku diferencijalnih jednačina pogodno je za njihovu 

simulaciju. Na osnovu rezultata digitalne simulacije moguće je vršiti istraživanja ili analize 
ponašanja objekata pri delovanju različitih spoljašnih poremećaja.

Inženjerski metodi analize i sinteze sistema automatskog upravljanja vezani su za veći 

stepen primene funkcija prenosa. Između diferencijalnih jednačina i funkcija prenosa postoji 

jednoznačna uzajamna veza. Uvođenjem operatora diferenciranja 

, jednačina (3.13) se 

može zapisati u obliku

                (3.16)

odakle se dobija

(3.17)

Modeliranje dinamičkih sistema

30

Funkcija

(3.18)

naziva se 

funkcija prenosa objekta.

 Stepen polinoma u imeniocu određuje red objekta.

      Ako seobjekat opisuje diferencijulnom jadnačinom sa argumentom kašnjenja oblika 

(3.16), funkcija prenosa je oblika

(3.19)

Zamultivarijabilni   objekat   čija   je   diferencjjalna   jednačina   data   sa   (3.14),   uvođenje 

operatora 

p

 dovodi do sledećeg izraza

Tada se funkcija prenosa predstavlja u obliku matrica dimenzjja r x 

p

(3.20)

gde su:

Matrica A

-1

(p) može se zapisati u obliku

gde je S(p)=adj A(p) čiji stepen nije veći od  

r(n-1),

  a g(p) je skalarni polinom stepena ne 

većeg od 

rn.

 Kao rezultat, dobija se izlaz objekta u obliku operatorskog modela, izražen preko 

funkcije prenosa

(3.21)

gde je matrica SB(p) proizvod S(p)B(p). Za svaki izlaz objekta može se zapisati

(3.22)

gde je SB

ij

(p) polinom stepena ne većeg od stepena polinoma g(p). Ako se u funkciji prenosa 

(3.21) skrate zajednički faktori imenioca i brojioca za svaki red zasebno, operatorski model se 
može predstaviti preko funkcije prenosa sa istim imeniocem za svaki izlaz pa se za 

i

 - ti izlaz 

objekta može napisati

(3.23)

Ako se u funkciji prenosa skrate zajednički faktori zasebno za svaki elemenat dobija se 

operatorski model oblika

gde je 

funkcija prenosa između j-tog izlaza i i-tog ulaza objekta.

Modeliranje dinamičkih sistema

32

Primer 3.2.

Objekat sa dva ulaza i dva izlaza prikazan je na slici 3.3.

Slika 3.3:

Objekat sa dva ulaza i dva izlaza

Na osnovu ove strukturne blok šeme može se formirati model objekta,oblika

Model sa zajedničkim imeniocem za svaki izlaz, je oblika

A model sa zajedničkim imeniocem je 

.

Modeliranje dinamičkih sistema

33

Neparametarski modeli tipa ''ulaz-izlaz''.  

Ovi modeli opisuju karakteristike objekta 

posredstvom tablica, grafika ili određenih funkcija. U praksi se najčešće koriste odskočni, 
impulsni   i   frekvencijski   odziv   kao   i   frekvencijske   karakteristike.Odskočni   odziv   j(t) 
predstavlja odziv stacionarnog objekta sa jednim ulazom i jednim izlazom kada na ulaz deluje 
jednačina odskočna pobuda pri nultim početnim uslovima (slika 3.4)

Slika 3.4:

Odskočni ulaz i odskočni odziv

         Takav signal na ulaz objekta se za praksu sa dovoljnom tačnošću, može dobiti 

uključivanjem ili isključivanjem napona, otvaranjem ili zatvaranjem ventila itd. Na osnovu 
odskočnog odziva može ee odrediti konstanta  

k,

  čisto transportno kašnjenje x , dominantna 

vremenska konstanta 

T,

 koeficijent prigušenja 

t,

 itd.

Modeliranje dinamičkih sistema

35

Odskočni i impulsni odziv su međusobno vezani preko integrala, odnosno izvoda

     (3.25)

      (3.26)

Za svaki realni fizički objekat važi 

j(t)

≡

0 

i w(t)

≡

 0 

za t <

 0. To je zbog toga sto odziv ne 

može da prethodi delovanju ulaznog signala 

u(

t) (za kauzalne sisteme).

Poznavanje impulsnog odziva objekta daje mogućnost izračunavanja njegovog odziva pri 

delovanju proizvoljnih ulaznih signala. U tom slučaju izlaz se nalazi na osnovu integralnog 
modela u obliku konvolucionog integrala.

(3.27)

Između   neparametarskog   modelaj(t)   i  

w(t)

  i   parametarskog   modela  

W(p)

  postoji 

jednoznačna veza data preko 

Laplaceove 

transformacije

(3.28)

(3.29)

Primer 3.4.

Diferencijalna jednačina objekta data je u obliku

Na  osnovu ove  diferencij alne jeđnačine  na osnovu (3.18) nalazi se  funkcija  prenosa 

oblika

(3.30)

Primenom inverzne 

Laplaceoue

 transformacye 

W(p),

 dobijamo impulsni odziv objekta

a na osnovu (3.25) ili (3.29) nalazi se odskočni odziv

Grafički prikazi odziva 

w(t)

 i 

j(t)

 dati su na slici (3.7) a i b.

Modeliranje dinamičkih sistema

36

Slika 3.7:

Impulsni I odskočni odziv

     Odskočni i impulsni odziv mogu se uopštiti za multivarijabilne objekte. Za objekat sa 

p

 ulaza i r izlaza predstavljen matricama W(t) i J

(t)

 dimenzija (r x 

p),

 sa elementima 

w

ij

(t)

 ili

j

ij 

(t)

 koji predstavljaju reakciju 

i

 - tog izlaza, ako pri nultim početnim uslovima na 

j -

 tom ulazu 

deluju signali oblika 

δ

 ili step funkcije, respektivno.

Ako je objekat po prirodi nestacionaran, njegov odziv neće biti invarijantan u odnosu na 

trenutak delovanja ulaznog signala. U tom slučaju impulsni (odskočni) odziv u trenutku  

t, 

zavisiće od trenutka delovanja ulaznog dejstva, što se zapisuje u obliku: 

w(t,

 0) i 

j(t,0) ,

 gde je 

0

 trenutak delovanja ulaznog dejstva. Uz uslove fizičke realizacije sledi da je 

w(t,0)

≡

 0 i 

j(t,0)

≡

 0, pri 

t< 0.

Odziv objekta pri delovanju proizvoljnih signala na ulaz datje sa

(3.31)

Laplaceovom

 transformacijom impulsnog odziva dobija se prelazna funkcija (vremenski 

odziv) nestacionarnog objekta

tj. funkcija prenosa nestacionarnog objekta u funkciji parametra 0.
Kako su impulsni i odskočni odziv karakteristike objekta kao njegove reakcije u vremenu 

(odakle   potiču   nazivi   vremenske   karakteristike),   tada   za   predstavljanje   objekta,   pri 
harmonijskim ulaznim signalima različitih frekvencija, koriste se frekvencijske karakteristike.

Frekvencijska   karakteristika  

W(jw)

  predstavlja  

Fourierovu  

transformaciju   impulsnog 

odziva  

w(t)

  linearnog stacionarnog objekta, a može se dobiti formalno iz funkcije prenosa 

stavljanjem

p=jw

(3.32)

Frekvencijska   karakteristika   je   kompleksna   funkcija   koja   se   može   predstaviti   preko 

realnog i imaginarnog dela, ili preko modula i argumenta u obliku

U praksi se često koristi moduo A(w), nazvan amplitudno- frekvencijskja karakteristika 

(AFK) i argument  

φ

(w) nazvan fazno - frekvencijska karakteristika (FFK), što ima sledeći 

smisao. Ako je ulazni signal

tada je izlaz linearnog objekta u stacionarnom stanju 

tj. frekvencije oba signala su jednake, a razlika postoji u fazi, tada važi

.

Modeliranje dinamičkih sistema

38

Primer 3.6.

Objekat koji treba mođelirati je reaktor za mešanje kao na slici 3.9, u koji se dovode dve tečnosti 

protoka 

Q

A

(t)

 i Q

B

(t)

Slika 3.9:

Hemijski reactor

Kroz otvor prve cevi dovodi se materijal A sa konstantnom koncentracijom 

C

Al

,

 a kroz drugu cev 

dovodi se materijal B sa konstantnom koncentracijom 

C

B1

.

 U reaktoru se odvija hemijski proces prema 

sledećoj stehiometrijskoj jednačini

gde je 

k

 brzinska konstanta reakcije. Brzina hemijske reakcije određena je sa

gde su 

V

 zapremina tečnosti u cevi, a 

C

A

 i C

B

 su trenutne koncentracije materijala A i B.

U   iziaznom   protoku  

Q(t)

  postoje   tri   materijala  sa  koneentracijama  

C

A

(t),   C

B

(t)

i  

C

C

(t). 

Pretpostavlja se  da se  u reaktoru ostvaruje idealno mešanje,  tako da  su koncentracije materijala na 
izlazu jednake koncentracijama materijala u reaktoru.

  Za dobijanje matematičkog modela reaktora treba iskoristiti osnovnu jednačinu materijalnog 

bilansa.

[brzina promene zapremine]=[dotok]-[otok].

     Kada tu relaciju napišemo u odnosu na promenu zapremine tečnosti, dobija se:

Jednačina materijalnog bilansa za svaki materijal A, B i C date su respektivno:

(3.36)

     Zavisnost brzine promene zapremine Q(t) od visine nivoa tečnosti u reaktoru je

         (3.37)

Gde je 

μ

 konstanta.

Modeliranje dinamičkih sistema

39

Pri konstantnom poprečnom preseku reaktora S, zavisnost postaje

,

,      

    (3.38)

Sa gledišta upravljanja reaktora prirodno je za upravljačka dejstva izabrati protoke 

 i 

 (tako da 

 i 

 predstavljaju upravljanje), a kao izlaznu veličinu 

izabrati izlazni protok Q(t) i koncentraciju 

. Za promenljive stanja mogu se izabrati 

zapremina V i koncentracije 

, 

i 

. Vidi se, da je model, u odnosu na tako 

određene promenljive stanja, nelinearan.

Pri konstantnom protoku 

 i 

 reaktor je u ravnotežnom stanju, koje se 

karakteriše nepromenljivošću promenljivih prisutnih u relaciji (3.38).  U tom slučaju 
ravnotežno stanje (radna tačka) reaktora se određuje iz sledećeg sistema algebarskih 
jednačina, koje predstavljaju statički model objekta

(3.39)

Pri zadatim 

 i 

, jednačine (3.39) se mogu rešiti. Npr. ako je radna tačka zadata 

protocima 

 i 

 i odgovarajući  koncentracijama 

i 

 i neka su 

 i 

. Onda 

se iz jednačine (3.39) nalaze 

Modeliranje dinamičkih sistema

41

3.2.2.Diskretni modeli

          Često   se   dinamika   objekta   karakteriše   kontinualnom   promenom   po   vremenu   i 

odgovarajućim matematičkim kontinualnim dinamičkim modelom, a ređi je slučaj objekata 
koji se opisuju diskretnim modelima, tj. objekata čije se ponašanje opisuje vrednostima koje 
se menjaju u diskretnim vremenskim trenucima. Obično pri sintezi digitalnih regulatora, a 
takođe i pri identifikaciji objekta zbog pojednostavljenja izračunavanja, koriste se metode 
bazirane na diskretnim modelima. Zbog toga je neophodno formiranje diskretnog modela 
kontinualnog objekta upravljanja.

Parametarski modeli tipa "ulaz-izlaz".  

Diskretni model objekta se može predstaviti 

diferencnom jednačinom 

n

-tog reda oblika

pri čemu je neophodno da bude ispunjen uslov fizičke ostvarljivosti 

m < n.

 Na dalje će se u 

izrazima za diferencne jednačine oznaka za periodu diskretizacije 

T

 izostavljati.

Češće se diferencni model zapisuje u obliku

(3.41)

pri čemu, neki od koeficijenata   mogu biti jednaki nuli. Jednačina (3.41) predstavlja 
rekurzivnu relaciju za izračunavanje izlaza i često se naziva rekurzivni model.

Uopštenje za multivarijabilne objekte zahteva predstavljanje 

y(k

) i 

u(k)

 u obliku vektora, 

a koeficijenata jednačine u obliku matrica.

Ako   se   uvede   operator   predikcije  

q

  kao:  

  i   operator   kašnjenja

 iz (3.40) dobija se sledeća operatorska jednačina

    (3.42)

Funkcija 

 se naziva diskretna funkcija prenosa objekta, zadata preko 

operatora predikcije. Ako se ikoristi jednačina (3.41), onda je operatorska jednačina oblika

(3.43)

pa će diskretna funkcija prenosa 

 biti zadata preko operatora kašnjenja.

Između pomenutih funkcija prenosa postoji sledeća veza

Za multivarijabilne objekte operatorska jednačina je oblika

gde su A(q) i B(q) polinomne matrice stepena 

n 

i 

m 

i dimenzija (rxr) i (rxp), respektivno.

Matrica dimenzija r x p

predstavlja diskretnu funkciju prenosa multivarijabilnog objekta.
 

Modeliranje dinamičkih sistema

42

Neparametarski modeli tipa "ulaz-izlaz".

 Osnovni neparametarski modeli su impulsni 

i odskočni odziv. Impulsni odziv  

w(k)

  se definiše kao reakcija objekta pri nultim početnim 

uslovima, kada se na ulaz dovede diskretni jedinični impuls (slika 3.10)

Odskočni odziv 

j(k)

 predstavlja reakciju objekta, ako se pri nultim početnim uslovima na 

ulaz dovede jedinična povorka impulsa (slika 3.11).

Slika 3.10: Impulsni ulaz i impulsni odziv      Slika 3.11: Odskočni ulaz i odskočni odziv

Impulsni i odskočni odzivi su vezani međusobno preko sledećih relacija

Ako je poznat impulsni odziv 

w(k),

 onda je reakcija objekta, pri bilo kom proizvoljnom 

ulaznom signalu, data diskretnom analogijom konvolucionog integrala

(3.44)

     Za stabilne objekte važi 

w

(i)—>0, kada i—> ∞, što znači da beskonačnu sumu oblika 

(3.44) možemo da zamenimo konačnom

(3.45)

gde je 

b =w(i).

 Model (3.45) je regresivnog tipa i poznat je kao nerekurzivan model.

Odskočni i impulsni odziv sa funkcijom prenosa su vezani preko 

ξ

 - transformacije

(3.46)

(3.47)

Argument funkcije prenosa je kompleksna promenljiva 

z 

umesto operatora 

q.

Modeliranje dinamičkih sistema

44

Ako se operator predikcije 

q

 uvede u (3.49), dobija se

odakle se za y(

k

) iz (3.50) dobija operatorska jednačina

(3.51)

Izraz u uglastoj zagradi iz (3.51) naziva se diskretna funkcija prenosa objekta data sa

(3.52)

Kao i kod kontinualnih modela mogući su različiti načini predstavljanja matrice 

funkcija prenosa za multivarijabilne objekte.

3.2.3.Nelinearni modeli

Nelinearni modeli u prostoru stanja

. Linearnost objekta u odnosu na promenljive, pri 

funkcionisanju   je   vezana   samo   za   uske   intervale   promene   promenljivih.   Osnovno   pri 
razmatranju niza procesa je da su linearni, u odnosu na promenljive koje ih karakterišu, ako je 
njihova promena u okolini radne tačke neznatna. Kako su nelinearnosti, vezane za proces, 
glatke, razvojem u 

Taylorov

 red u okolini radne tačke, moguće je pri formiranju modela uzeti 

u obzir samo prve članove reda.

Retko   je   funkcionisanje   objekta   vezano   sa   promenama   veličina   procesa   u   širokom 

opsegu. To najčešće važi za periodične tehnološke procese i režime puštanja kontinualnih 
procesa. U tim slučajevima korišćenje linearnih modela nije moguće jer neadekvatno opisuju 
istraživane procese. Dobijanje matematickih opisa ili zapisa zadovoljavajuće tačnosti postiže 
se nelinearnim dinamičkim modelima.

Obično   nelinearni   matematički   modeli   se   sastavljaju   na   bazi   apriorne   informacije   o 

fizičkim   zakonitostima   koje   određuju   funkcionisanje   objekta   i   sastoje   se   iz   nelinearnih 
algebarskih i diferencijalnih jednačina.

U   opštem   slučaju   nelinearni   objekat,   se   može   opisati   korišćenjem   standardne   forme 

modela u prostoru stanja

(3.53)
(3.54)

gde su  

x -  

n

  - dimenzioni vektor stanja objekta,  

u -  

p

  - dimenzioni vektor upravljanja 

objekta, 

y

 - 

r

 - dimenzioni vektor izlaznih promenljivih, 

v 

- 

s

 - dimenzioni vektor poremećaja, 

β

-

m-

dimenzioni   vektor   parametara   objekta,   koji   mogu   biti   nepoznati,   a  

f  

i  

g

  su   poznate 

vektorske funkcije, koje se određuju na osnovu fizičkih zakonitosti procesa u objektu.

Modeliranje dinamičkih sistema

45

Primer 3.8.

Za hemijski reaktor sa slike 3.8, uvedimo oznake

Sređivanjem   jednačine   (3.38),   i   uvođenjem   prethodnih   oznaka   dobija   se   sledeći   system 
jednačina oblika (3.53) i (3.54)

(3.55)

(3.56)

Modeli tipa "ulaz-izlaz"

. Najopštija forma modela koja povezuje ulazne sa izlaznim 

signalom objekta može se predstaviti pomoću 

Volterrovog

 funkcionalnog reda

(3.57)

Gde je w

0 

konstanta koja ne zavisi od ulaznog signala, a

(3.58)

predstavlja 

Volterrov

 operator 

i

 - tog reda, kod koga su 

 težinske funkcije 

i

 - 

tog reda, koje zadovaljavaju sledeće uslove fizičke ostvarljivosti

Kao pravilo, dovoljno dobra konvergencija,pri glatkim nelinearnostima, dobija se 

pomoću prvih nekoliko članova reda (3.57). Najčešće se razvo ograničava do trećeg člana 
(dvostruki integral).

Diskretna analogija razvoja (3.57) je

(3.59)

gde je

Kontinualni (3.57) i diskretni (3.59) modeli su neparametarski pa je osnovna poteškoća 

pri njihovom korišćenju određivanje broja članova reda 

n

 i oblikaa težinskih funkcija.

Izvesno uprošćenje modela se dobija, ako se nelinearni objekat predstavi kao kombinacija 

linearnih   dinamičkih   i   nelinearnih   bezinercijalnih   elemenata.   Najčešće   korišćeni   tipovi 
funkcionalnih modela, odgovaraju strukturama sa slike 3.12 a i b

Modeliranje dinamičkih sistema

47

Druga strukturna blok šema (slika 3.12b), kod koje se LDE nalazi ispred NBE opisuje se 

Vinerovim

 modelom, čija je neparametarska forma

(3.66)

Modeliranje dinamičkih sistema

48

Klasa nelinearnih modela može se odnositi i na parametarski zavisne objekte. Kod takvih 

objekata   dinamika   se   menja   u   zavisnosti   od   neke   promenljive,   bitne   za   funkcionisanje 
objekta. Takve promenijive mogu biti: ulazni signali, izlazni signali, dodatni signali (npr. 
poremećaji). Označimo te promenljive 

l

 - dimenzionim vektorom 

λ

 i pretpostavićemo da je on 

merljiv. U praksi se često sreću ovakvi objekti. Npr. dinamika grejača pare zavisi od njegovog 
opterećenja, promena koncentracije reagensa u hemijskom reaktoru

:

  žavisi od koncentracije 

katalizatora   itemperature   reaktora,   zatim   procesi   vulkanizacije  kaučukove smešezavise   od 
njenog sastava itd.

Za ispoljavanje uticaja vektora   na dinamiku objekta, može se iskoristiti linearni model, 

čiji su koeficijenti funkcije od 

,

 Onda je funkcija prenosa takvog objekta oblika

(3.69)

Diferencni model se može zapisati u obliku

(3.70)

Ako se pretpostavi kontinualna zavisnost parametarskog modela (3.69) i (3.70) od 

vrednosti vektora  , funkcije 

 i 

 se mogu razviti u stepeni red

(3.71)

(3.72)

koji pri dovoljno glatkim karakteristikama mogu biti ograničeni do članova drugog reda.

U cilju uprošćavanja, zavisnosti (3.71) i (3.72) mogu se predstaviti u obliku 

(3.73)

(3.74)

gde su 

poznate vektorske funkcije. Zamenom (3.73) i (3.74) u (3.70) dolazi se do 

uopšteg modela sa konstantnim parametrima

(3.75)

Razlika između modela (3.70) i (3.75) je u tome što je prvi linearan u odnosu na 

promenljive, a nelinearan u odnosu na parametre, dok je drugi nelinearan u odnosu na 
promenljive, a linearan u odnosu na parametre.

Modeliranje dinamičkih sistema

50

3.4.Modeli sa skoncentrisanim parametrima

Modeli   sa   skoncentriaanim   parametrima   opisuju   se   pomoću  

običnih   diferencijalnih 

jednačina

 (ODJ) ili pomoću 

implicitnih diferencijalnih jednačina

 (IDJ).

-

Obične diferencijalne jednačine su formulisane kao eksplicitne diferencijalne 
jednačine. Izvodi se nalaze na levoj strani jednakosti

(3.77)

Dakle, vrednost 

x(t)

 može se izračunati eksplicitno za svaku vrednost 

t

.

-

Implicitne diferencijalne jednačine (IDJ) su oblika

(3.78)

ili oblika singularnih diferencijalnih jednačina

(3.79)

gde je E singulama matrica. Singularnost matrice E onemogućava izračunavanje inverzne 
matrice E

-1

, pa se zbog toga (3.79) ne može svesti na oblik obične diferencijalne jednačine. 

Takođe,   prisustvo   algebarskih   jednačina   u   promenljivama,   čiji   su   izvodi   definisani   u 
eksplicitnoj   diferencijalnoj   jednačini,   čini   te   jednačine   implicitnim   diferencijalnim 
jednačinama.

Obične   diferencijalne   jednačine   mogu   se   adekvatno   rešiti   pomoću   numeričkih 

integracionih metoda. Pri rešavanju implicitnih diferencijalnih jednačina javljaju se numerički 
problemi. Rešenje se može dobiti ako uspemo da IDJ transformišemo u ODJ. To se može 
postići diferenciranjem algebarskih ograničenja. Ako je model još uvek opisan sa IDJ, moraju 
se primeniti druge metode, npr. implicitne numeričke integracione metode kao što je 

Gearov 

metod.

Modeliranje dinamičkih sistema

51

3.5.Modeli događaja stanja (

State-event models)

Modeli   događaja   stanja   su   kontinualni   modeli   kod   kojih   mogu   da   se   pri   određenim 

uslovima dogode nagle promenepojedinih promenljivih. U nekim trenucima, kada određene 
promenljive pređu definisanu vrednost, izvršava se diskretna radnja. Na primer, mnogi gasni 
uređaji za centralno grejanje opremljeni su gasnim ventilom koji može biti ili otvoren iii 
zatvoren   (nema   srednje   vrednosti).   Ako   sobni   termostat   kontroliše   uređaj,   uređaj   će   biti 
uključen ako temperatura padne ispod neke vrednosti i isključen ako merena temperatura 
postane   viša   od   drugog,   višeg,   graničnog   nivoa.   Rad   prekidača   u   potpunosti   je   određen 
temperaturom sobe i sobnim termostatom. Ne postoji sinhronizacija vremena uključenja sa 
nekim drugim procesom. Uključivanje uređaja centralnog grejanja događa se nekohko puta na 
sat.   Drugi   primer   je   vezan   za   modeliranje   tiristorskih   pretvarača.   Poluprovodničke 
komponente se mogu delimično kontrolisati. Tiristor prestaje da vodi ako struja ili napon 
padnu ispod neke granične vrednosti. Uključivanje i isključivanje su veoma česti.

Usled   ovakvih   događaja,   pri   simulaciji,   za   vreme   procedure   numeričke   integracije, 

promenljive se izračunavaju u određenom broju vremenskih trenutaka. Vremenski period se 
zove   integracioni   interval   ili   korak   integracije.   Može   se   javiti   problem   ako   se   vremena 
isključenja   i   uključenja   uređaja   centralnog   grejanja   ili   tiristora   ne   poklapaju   sa   ovim 
vremenskim trenucima numeričke procedure. Za vreme veoma dugih perioda uključivanja 
uređaja centralnog grejanja (2 do 10 minuta) u poređenju sa intervalom integracije od, npr. 
jedne sekunde, pravi se prihvatljiva greška poklapanjem vremena uključenja sa narednim 
korakom integracije, kao što je prikazano na slici 3.13 (vreme uključenja je prilagođeno 
koraku integracije).

Slika 3.13:

Sinhronizacija procesa I koraka integracije

Ovakvo   prilagođavanje   vremena   ukijučenja   nije   dozvoljeno   u   slučaju   tiristorskih 

pretvarača. Koraci integracije moraju se prilagoditi vremenu uključenja da bi se obezbediia 
tačnost.   Vreme   uključenja   se   određuje   uz   pomoć   dodatnih   izračunavanja.   Ako   odredimo 
vreme, korak integracije je prilagođen, dakie, vremena se poklapaju, Integracija se kasnije 
nastavlja.

Sinhronizacija   procesa   sa   integracionom   procedurom   izvršava   se   automatski. 

Sinhronizacija   integracione   procedure   sa   procesom   zahteva   dodatne   napore.   Simulacioni 
programi za opštu upotrebu i simulacioni jezici ne uzimaju u obzir poslednji tip sinhronizacije 
i da bi se to ostvarilo treba obratiti posebnu pažnju.

Modeliranje dinamičkih sistema

53

4. MATEMATIČKO MODELIRANJE POREMEĆAJA

Matematički   model,   koji   opisuje   odgovarajući   fizički   proces,   formira   se   u   obliku 

određenog   matematičkog   izraza   koji   povezuje   eksperimentalne   činjenice   i   uspostavlja 
zavisnost   između   parametara   razmatranog   procesa.   Pri   tome   se   koriste   teorijski   metodi   i 
potrebni eksperimentalni podaci. Krajnji cilj razrade matematičkog modela jeste predviđanje 
načina ponašanja procesa i proučavanje mogućnosti uticaja na njegovo ponašanje. Najčešće se 
formiranje matematičkih modela svodi na formiranje odgovarajućih diferencijalnih odnosno 
diferencnih jednačina. Dakle, matematički modeli dinamičkih procesa, sastoje se od skupa 
diferencijalnih i/ili diferencnih jednačina. Spoljašnje uticaje na sistem, takođe treba modelirati 
radi lakšeg izučavanja i simulacije njihovih uticaja na sistem.

Matematički   model   dinamičkog   sistema   sastavljen   je   od   niza   različitih   kvantitativnih 

veličina   međusobno   povezanih,   najčešće,   kao,   što   je   pomenuto,   diferencijalnim   i/ili 
diferencnim   jednačinama.   Kvantitativne   veličine   koje   se   u   modelu   ne   menjaju   u   finkciji 
vremena zvaćemo 

konstante.

Sa druge strane, kvantitativne veličine koji se menjaju u funkciji 

vremena, zvaćemo 

promenljive

 ili 

signali.

 Na ovaj način, definisani su izlazni kao i spoljašnji 

signali matematičkog modela. Ostale promenljive koje se susreću u matematičkim modelima 
zvaćemo 

unutrašnje promenljive.

Dakle, veličine sistema, možemo podeliti na:



Konstante:

 Veličine modela koje se ne menjaju u vremenu.



Parametri sistema:

 Veličine koje se određuju na osnovu prirode sistema.



Parametri projektovanja:

 Veličine sistema na koje se može uticati da bi sistem dobio 

željene dinamičke osobine.



Promenljive

ili

signali:

 Veličine modela koje se menjaju u funkciji vremena.



Izlazi:

 Promenljive čije je ponašanje od primarnog značaja za projektanta.



Spoljašnji signali:

 Promenljive koje utiče na ponašanje sistema

, 

a koje ne zavisi od 

ponašanja drugih promenijivih sistema.



Ulazi:

 Spoljašnji signali sistema čije se vremenske zavisnosti mogu birati.



Signali poremećaja:

 Neželjeni spoljašnji signali sistema, na koje se ne može uticati.



Unutrašnje promenljive:

 Ostale promenljive sistema čije ponašanje nije direktno 

vezano za cilj formiranja modela.

Ako se matematičko modeliranje i simulacija koriste za formiranje matematičkih modela 

tada se kvantitativne veličine matematičkog modela dinamičkog sistema mogu podeliti na: 
parametre sistema i parametre projektovanja. 

Parametre sistema 

daje sam sistem i ne može ih 

birati   konstruktor   dok   se  

parametri   projektovanja

  biraju   tako   da   bi   se   omogućila 

sistemu/modelu   željena   svojstva.   Zadatak   simulacije   veoma   često   se   svodi   na   izbor 
odgovarajućih vrednosti parametara projektovanja i/ili proveru efekata njihovog izbora. Tako 
na primer  ako  se želi  da se izvrši simulacija  ranije  razmatranog  modela  rezervoara,  radi 
ispitivanja   zavisnosti   izlaznog   protoka   od   površine   kroz   koju   ističe   tečnost,   površina  

a 

predstavlja parametar koji se odredjuje projektovanjem, dok su 

g

 i 

A

 parametri sistema.

Matematički model kao i dinamički sistem, sastavijen je od velikog broja promenljivih 

i/ili signala, čija su ponašanja od primarnog interesa za istraživača. Takve signale, koji su na 
neki   način   određeni   ciljem   modeliranja,   zvaćemo  

izlazni   signali

,   a   označićemo   ih   sa 

y

1

(t),y

2

(t),...,y

p

(t).

Najčešće,  izlaz sistema nije unapred  definisan  što  omogućava projektantu  da  izabere 

promenljivu koja će ga predstavljati. Tako, na primer, u slučaju ranije razmatranog modela 
ekološkog sistema za izlazne veličine se mogu izabrati promenljive 

y

1

(t)=N

1

(t)

 (uzorci vrste 1) 

i 

y

2

(t)=N

2

(t)

 (uzorci vrste 2).

Modeliranje dinamičkih sistema

54

Svi izlazi se mogu predstaviti u vektorskoj formi

U  sistemima   (modelima),   obično   se   susrećemo   saveličinama   odnosno   signalima   koji 

deluju na promenljive sistema. Tako, na primer, ulazni protok 

u

 nekog hidrauličkog sistema 

predstavlja jedan takav signal. On utiče, kako na visinu nivoa tečnosti u rezervoaru, tako i na 
izlazni protok, ali sam ne zavisi od vrednosti ovih promenljivih. Takve signale ćemo zvati 

spoljašnji signali.

 Ove signale je veoma lako uočiti na strukturnom blok dijagramu sistema, 

jer predstavljaju slobodne strelice koje ukazuju na jedan ili nekoliko blokova.

Spoljašnji signali se mogu podeliti u dve grupe:
1) 

ulazni

 ili 

upravljački signali

 - signali koji utiču na ponašanje sistema, koji su vrlo često 

unapred poznati i na koje se može delovati. Ove signale označićemo sa u

1

(t), 

u

2

(t)

,

 ... , 

u

m

(t)

 ili 

u vektorskom obliku

     2) 

signali poremećaja

 - spoijašnji signali na koje nije moguće uticati ili koje nije 

moguće birati, pri delovanju na sistem. Za označavanje ovih signala koristićemo 

w

1

(t), 

w

2

(t),

 ... , 

w

r

(t)

 ili u vektorskoj formi

Tako, na primer, kod ranije razmatranog hidrauličkog sistema, ako površinu otvora 

a

 kroz 

koju ističe tečnost možemo menjati, tada će sistem imati dva spoljašnja signala, 

u(t)

 i 

a(t).

 Da 

liće ovi spoljašnji signali biti signali poremećaja ili ulazni signali zavisi od namene modela. 
Ulazni protok 

u(t)

 može biti promenljiva na koju se ne može uticati, dok se na promenljivu 

a(t)

 može uticati tj. vršiti njena promena radi postizanja određenih ciljeva. Neka je, na primer, 

dat rezervoar sa vodom, gde je 

u(t)

 količina padavina kine, a 

a(t)

 predstavlja sistem zaštite od 

poplave. U tom slučaju  

u(t)  

predstavlja signal poremećaja, a  

a(t)

  je ulazni signal. Sa druge 

strane, ako ulazni protok 

u(t)

 možemo da kontrolišemo tada on predstavlja ulazni signal.

Poslednji   primer   ukazuje   da  prisustvo   spoljašnjih   signala  i   njihova   podela   na  ulazne 

signale i signale poremećaja nije neđvosmisleno određena. Umesto toga projektant odlučuje o 
tome šta može da se menja ili da bude promenjeno.

Korišćenjem oznaka 

u, w

 i 

y,

 sistem možemo prikazati u obliku elementarnog strukturnog 

blok dijagrama kao na slici 4.1.

Slika 4.1:

Elementarni strukturni blok dijagram sistema

Modeliranje dinamičkih sistema

56

Ovde se mogu uočiti razlike između ulaznog signala u(t) i signala poremećaja w(t), ali 

kao   što   je   već   naglašeno   ove   razlike   nisu   bitne   prilikom   formiranja   modela.   Međutim, 
problem se javlja prilikom korišćenja modela. Da bi bilo moguće odrediti kako se izlaz 

y(t) 

stvarno   ponaša   u   praksi,   neophodno   je   poznavati   tipične   osobine   (svojstava)   signala 
poremećaja w(t). Ponekad, karakterizacija ovog signala predstavlja problem. To dovodi do 
problema kako opisati w(t) na pogodan način. Ovom problemu će biti nešto više pažnje 
posvećeno u narednim odeljcima.

4.1.2.Poznati izvori poremećaja: nemerljivi signali poremećaja

Postoji niz problema prilikom formiranja modela signala poremećaja čak i u slučaju kada 

znamo poreklo (izvor) tih signala, tj. kada je nemoguće izvršiti njihovo odvojeno merenje. 
Signale   poremećaja   možemo   uočiti   samo   na   osnovu   njihovog   uticaja   na   druge   merljive 
promenljive. Dakle, mi samo posedujemo indirektnu informaciju o karakteristikama signala 
poremećaja. U principu, w(t) možemo izračunati obrnutim postupkom na osnovu poznavanja 
izlaza y(t) i ulaza u(t). Dakle, dolazi se do zaključka da je modeliranje w(t) povezano sa 
formiranjem matematičkog modela.

Razmatrimo primer jednog aviona. Kretanje aviona u potpunosti je određeno snagom 

motora, gravitacijom kao i silama vazdušnih uticaja. Te sile delimično zavise od pokreta krme 
i krila aviona, a delom i od varijacija vazdušnog stujanja. Za ulaze se mogu uzeti uglovi 
kretanja   krme   i   krila   aviona.   U   tom   slučaju   brzina   i   orijentacija   aviona   predstavijaće 
promenljive   stanja   (unutrašnje   promenljive).   Konačno,   varijacije   vazdušnog   strujanja 
predstavljaće signale poremećaja.

     Prilikom formiranja matematičkog modela aviona, treba uzeti u obzir kako ulazne tako 

i signale poremećaja. U ovom slučaju fizičko poreklo signala poremećaja je poznato kao i 
njihov   uticaj   na   kretanje   aviona.   Dakle   može   se   doći   do   uopštenog   modela,   gde   w

(t) 

predstavlja   sile   vazdušnih   strujanja.   Prilikom   proučavanja   modela   aviona,   w

(t)

  treba   da 

poseduje tipične i realne vrednosti. U tom slučaju problem opisivanja poremećaja 

w(t)

 postaje 

veoma značajan.

4.1.3.Nepoznati izvori poremećaja

     Uobičajeno je da signali poremećaja sistema koji su od interesa, nastaju kao rezultat 

uticaja velikog broja izvora poremećaja čije se fizičko poreklo ne može odvojiti i zasebno 
posmatrati.   U   tom   slučaju   potrebno   je   sjediniti   njihova   dejstva   u   jedan   poremećaj,   koji 
predstavlja deo izlaza koji se u takvim slučajevima obično može predstaviti u obliku zbira

 (4.6)

gde je-z(t) neporemećeni izlaz, na primer 

 (4.7)

Međutim,   problem   opisivanja   poremećaja   w(t)   ostaje   nepromenjen.   U   ovom   slučaju, 

očigledno   je   da   poremećaj   w(t)   nije   direktno   merljiv.   Zbog   toga   je   nephodno   korišćenje 
indirektnih metoda estimacije poremećaja w(t), koje se vrše na osnovu merenja ulaznih i 
izlaznih signala.

Modeliranje dinamičkih sistema

57

4.1.4.Statističke i stohastičke osobine signala poremečaja

U ovom odeljku predstavićemo statističke i stohastičke karakteristike signala poremećaja. 

Poremećaj je nepredvidiv: vrednost u sledećem trenutku je slučajna čak iako je istorija signala 
poznata.

Slučajna   promena   bilo   kakve   flzičke   veličine   u   nekom   apstraktnom   prostoru   stvara 

slučajni proces. Poremećaji, takođe poznati i kao  

stohastički ili slučajni procesi,

  mogu se 

okarakterisati pomoću njihovih statističkih i stohastičkih osobina.

Razlika   između   statističkih   i   stohastičkih   osobina   može   biti   nejasna   na   prvi   pogled. 

Statističke   osobine   signala   opisuju   raspodelu   amplituda   signala:   koliko   često   se   javlja 
određena amplituda? Nije važno po kom redosledu se menjaju vrednosti signala. Stohaističke 
osobine   signala   opisuju   raspodelu   frekvencija   u   signalu:   da   li   postoji   zavisnost   između 
amplitude u sledećem trenutku? 

Stohastički proces se sastoji od niza realizacija. Realizacija ansambla je jedna izmerena 

vrednost ili posmatrana slučajna funkcija, U bilo kojoj realnoj situaciji, samo jedna realizacija 
je   na   raspolaganju.   Na   primer,   ako   je   signal   izmeren,   šum   merenja   je   jedna   realizacija 
stohastičkog procesa. Zbog toga želimo da koristimo stohastičke procese koji su potpuno 
određeni stohastičkim osobinama jedne (pojedinačne) realizacije (takođe nazvane i vremenski 
niz). Prema tome, za opis ovakvih procesa, jedna realizacija mora biti dovoljna, Šta više, mi 
ne želimo da karakteristike zavise od pojedinačnih vremenskih trenutaka u kojima je vršeno 
merenje. Stohastički procesi sa ove dve osobine zovu se

stacionarni, ergodični procesi.

Pretpostavićemo   da   su   svi   signali   poremećaja,   realizacija   ergodičnog,   stacionarnog 

procesa, ukoliko nije drugačije naglašeno. To su signali poremećaja ili stohastički signali.

Nadalje slede definicije na koje se odnose na karakterizaciju stohastičkih signala. Prva 

definicija odnosi sena statističku i stohastičku osobinu signala.

Za diskretan stohastički signal 

v(k), srednja vrednost

 ili prvi statistički moment definisan 

je kao

(4.8)

gde je E operator matematičkog očekivanja. E je linearan operator. Prema tome, za bilo koja 

dva stohaistička signala 

v(k) 

i 

w(k) 

i dve konstante   i  , važi

(4.9)

Druga statistička osobina stohastičkih signala je varijansa.

Za diskretan stohastički signal 

, varijansa ili drugi statistički moment definisana je 

kao

(4.10)

Ovim su opisane statističke osobine stohastičkog signala.

Za diskretan stohastički signal 

, funkcija autokovarijanse definisana je kao

(4.11)

Funkcija kovarijanse je simetrična: 

. Jasna veza između varijanse (statističke 

osobine) i kovarijanse (stohastičke osobine) signala je

(4.12)

Za diskretan stohastički signal 

, (auto)korelaciona funkcija

 definisana je na sledeći 

način

(4.13)

Modeliranje dinamičkih sistema

59

Korelaciona   funkcija   je   simetrična   tj.   važi

X

v

(T)

  =  

X

v

(-T).

  Relacija   između   funkcije 

kovarijanse i korelacione funkcije signala 

v

 je

(4.14)

Jasno je da su kovarijansa i korelaciona funkcija jednake ako je srednja vrednost signala 

v 

nula.

Slično,  

funkcija kroskovarijanse

  (uzajamne kovarijanse) za dva diskretna signala  

v(k)

  i 

w(k)

 definisana je na sledeći način

(4.15)

a kroskorelaciona funkcija, data je sa

(4.16)

Signali 

v 

i 

w 

u definicijama funkcije kroskovarijanse (4.15) i kroskorelacije (4.16) mogu se 

međusobno zameniti, prema 

(4.17a)

(4.17b)

Takođe, postoji relacija između funkcije kroskovarijanse i kroskorelacione funkcije

(4.18)

Opet, ako jedan od signala 

v 

i 

w 

ima nultu srednju vrednost, ove dve funkcije se jednake.

Termini 

ergodičnost i stacionarnost

 su već korišćeni. Sada, kada je definisano nekoliko 

stohastičkih osobina, možemo dati formalnu defmiciju stacionarnosti i ergodičnosti.

Stohastički signal 

v(k) je stacionaran

 ako su zadovoljena sledeća tri uslova:

. snaga signala ima konačnu gornju granicu: 

2. srednja vrednost je vremenski invarijantna: 
3. Autokorelaciona   funkcija   zavisi   samo   od   vremenske   razlike   T,   a   ne   zavisi   od 

pojedinačnih vremenskih trenutaka 

k,

 u kojima se vrše izračunavanja.

Modeliranje dinamičkih sistema

60

Stohastički signal 

v(k) je ergodičan

 ako su zadovoljena sledeća tri uslova:

1. signal

v(k)

 je stacionaran,

2. očekivanje (srednja vrednost ansambla) je jednako srednjoj vrednosti (srednja vrednost 

vremena),

3. autokorelaciona funkcija ansambla jednaka je vremenskoj autokorelacionoj funkciji.

          Matrica   kovarijanse  

  stohastičkog   signala  

v(k)   definisana

  je   kao   očekivanje 

(spoljnjeg) proizvoda vektora čiji su elementi 

n

 prethodnih vrednosti 

v(k)

 sa samim sobom

(4.19)

Matrica kovarijanse može biti zapisana u obliku

(4.20)

Pošto je 

za ergodičan proces, matrica 

 je simetrična.

Za ergodičan process operator očekivanja dat je sa (4.8). To zbači da se može 

izračunati ako broj merenja N teži beskonačnosti. Ovo nije najpraktičnije rešenje. Zbog toga 
se u praksi očekivanje mora proceniti na osnovu konačnog broja merenja.

(4.21)

kao i kovarijansa

(4.22)

gde   označava da se radi o procenjenoj vrednosti.

4.1.5.Beli šum

Može se pretpostaviti da specijalan slučajni proces, koji ima uniformni spektar u vrio 

širokom opsegu učestanosti, dodat linearnom filteru, generiše skoro sve stohastičke procese 
koji su od interesa. Taj specijalan slučajni proces naziva se 

beli šum 

uobičajeno se označava 

sa 

e(k),

 a ima dobre osobine da generiše povorku impulsa koji su nezavisni. Proces sa belim 

šumom   je   u   potpunosti   opisan   pomoću   njegovog   prvog   i   drugog   statističkog   momenta. 
Specijalan slučaj belog šuma je ZMWN niz (Zero 

Mean White Noise)

 tj. beli šum sa srednjom 

vrednošću jednakom nuli, a opisan je preko

(4.23a)

(4.23b)

Modeliranje dinamičkih sistema

62

4.2.Predstavljanje signala u vremenskom domenu

4.2.1.Deterministički modeli signala

Uobičajen način modeliranja signala poremećaja w

(t)

 sastoji se u tome da se on opiše kao 

izlaz nekog dinamičkog sistema sa ograničenim i poznatim ulazom u

w

(t)

                                                                     (4.26)

i analogno u diskretnom domenu. Tipičan test ulazni signal je impuls oblika

(4.27)

gde je 

Diracova

 delta funkcija. U diskretnom domenu  

 je impuls oblika:

(4.28)

pri čemu je 

w(t) 

impulsni odziv Sistema.

Ponekad postoji uvid u stvaranje poremećaja. Međutim, veoma često nisu na raspolaganju 

detaljne   informacije.   Zbog   čega   je   neophodno   je   u   postupku   formiranja   modela   koristiti 
različite metode identifikacije.

Najčešće se pretpostavlja da je model oblika (4.26) linearan tj. da se može predstaviti u 

obliku

                                                                       (4.29)

ili analogno u diskretnom domenu.

Signal poremećaja se može opisati i korišćenjem funkcije prenosa

(4.30)

U izrazima za vremenski odziv, funkciji prenosa se dodeljuje argument 

p=d/dt

 (operator 

diferenciranja) te važi

(4.31)

Analogno   ovome,   za   predstavljanje   signala   u   diskretnom   domenu   koristi   se   -

transformacija pa je 

(4.32)

što odgovara diferencnoj jednačini

(4.33)

gde je

(4.34)

Slično jednačini (4.31), u vremenskom domenu može se napisati

(4.35)

gde je 

q 

operator pomeranja u vremenskom domenu 

. Kod uniformno 

diskretizovanih signala (kod kojih je 

) 

T 

predstavlja periodu odabiranja, frekvencija 

frekvenciju odabiranja, a frekvencija 

 Nyquistovu frekvenciju.

Modeliranje dinamičkih sistema

63

4.2.2.Stohastički modeli signala

Izlaganja u prethodnim poglavljima su uglavnom bila vezana za kontinualne sisteme sa 

determinističkim ulazima i/ili poremećajima, koji su poznati u svakom trenutku i stoga se 
mogu opisati analitički. Međutim, ono što je karakteristično za signal poremećaja jeste da se 
ponašanje ovog signala ne može tačno opisati niti predvideti. U tom slučaju, ono što možemo 
da uradimo  jeste  da formiramo  ograničenu  pretpostavku  o  budućem  željenom  ponašanju. 
Zbog toga je prirodno uvesti stohastičke elemente prilikom opisivanja signala. Ovo se može 
ostvariti na nekoliko naeina. Najjednostavniji način sastoji se u tome da se u vremenski 

Iinearnom   diskretnom   modelu,  

  izabere   u   obliku   niza   nezavisnih   stohastičkih 

promenljivih tj. u obliku 

belogšuma.

 Nadalje, se obrađuju uniformno uzorkovani signali kod 

kojih 

je:

,

 tada postaje

(4.36)

pri čemu su 

e(t)

 i 

e(s)

 nezavisni ako je 

t

≠

s.

 Tipičan oblik 

w(t)

 zavisi od raspodele verovatnoća 

e(t).

 Uopšten model možemo predstaviti u obliku (4.37), gde je 

e(t)

 dato pomoću nezavisnih 

standardno raspodeljenih promenljivih tj. 

e(t)

 e 

N(0,X)

(standardno raspodeljena sa srednjom 

vrednošću nula i varijansom 

X).

Sa druge strane, ukoliko je tokom dužeg vremenskog perioda 

e(t)

 jednako nuli tada 

w(t) 

ima različit karakter. Takvo ponašanje 

e(t)

 možemo modelirati korišćenjem raspodele

  (4.37)

U   ovom   slučaju  

e(t)

  takođe   ima   srednju   vrednost   nula   i   kovarijansu  

λ

.

  Na   osnovu 

jednačine (4.36), možemo zaključiti da 

w(t)

 poseduje osobine (svojstva) koje zavise od b

i

, i a

i 

kao i od verovatnoće raspodele 

e(t).

Signal  

(w(t))

  dat u obliku (4.36) predstavlja  

stohastički proces,

  koji se sastoji od niza 

stohastičkih   promenljivih   sa   konstantnom   zajedničkom   raspodelom.   Vrednosti   (w(t))   koje 
važe za izvesne varijacije slučajnih promenljivih (e(t)) nazivaju se 

realizacija procesa

.

Potpuna karakterizacija stohastičkih procesa sastoji se u tome da sve simultane funkcije 

raspodele  

w(t

1

),w(t

2

),...,w{t

N

)

  budu   date.   U   konkretnom   slučaju   funkcije   raspodele   biće 

određene indirektno, korišćenjem brojnih vrednosti 

b

i

, a

i

 kao i raspodelom verovatnoća 

e(t). 

Zbog toga ćemo se ograničiti na stohastičke procese koji su predstavljeni u obliku 

linearno 

filtriranog belog suma.

  Takvi procesi se veoma često sreću i pod nazivom ARMA

procesi. 

Brojilac polinoma  

B'(z)

  predstavlja  

MA

  (

Moving  Average)

deo, a imenioc polinoma  

A(z)AR 

(

Auto-Regresive

 ) deo. Ako je b

i

,=0,  tada se govori o 

AR procesu,

 a ako je a

i

=0 onda se radi 

o

MA procesu.

Ukoliko je raspodela  

e(t)

  nazavisna od vremena  

t,

  tada će i osobine (svojstva)  

w(t)

  biti 

nezavisne od vremena. U tom slučaju radi se o 

stacionarnom procesu.

Modeliranje dinamičkih sistema

65

Model tipa autoregresije (AR).

  Ovaj model se, iz opšteg (4.38), dobija usvajanjem 

 je proizvoljan tj.

. 

(4.40)

Dakle, kod ovog modela, izlaz je funkcija njegovih vrednosti iz prethodnih trenutaka. Model 
(4.40) se može napisati i u obliku

(4.41)

Da bi autoregresivni model bio stacioniran, koreni karakteristične jednačine 

treba da leže unutar jediničnog kruga.

Model tipa promenljive srednje vrednosti (MA). 

MA model se dobija iz opšteg (4.38), 

ako se usvoji 

, 

, a 

 je proizvoljan tj.

(4.42)

Ovaj model se može napisati i u obliku

(4.43)

gde je   red modela.

Autoregresioni   model   sa   eksternim   ulazom   (ARX).

ARX   model   može   se   dobiti   iz 

opšteg modela (4.38) ako se uzme da su 

 su

proizvoljni polinomi

(4.44)

Pošto   šum   ulazi   direktno   u   jednačinu,   model   je   iz   grupe   modela  

jednačine   greške 

(

equationerrormodel

).   Jednačina   greškeje   modelirana   kao   sekvenca   belog   šuma.   AR-deo 

proizilazi iz činjenice da je izlaz funkcija prethodnih vrednosti izlaza (polinom 

A

). Ulaz 

u

 je 

poseban (egzogen) ulaz.

Model (4.44) može se zapisati u obliku

(4.45)

gde uočavamo funkcije prenosa 

 i 

.

Primetimo da su poremećaji modelirani kao AR-filtrirani beli šum, dodat izlazu.

Model tipa autoregresije i promenljive srednje vrednosti (ARMA).

 ARMA model je 

oblika

(4.46)

ili,   ako   se   izabere

se   proizvoljno   izaberu   tada   se 

model (4.38) svodi na

(4.47)

Da bi vremenska povorka bila stacionirana, potrebno je da nule polinoma 

leže 

unutar jediničnog kruga.

Modeliranje dinamičkih sistema

66

Model tipa autoregresije i promenljive srednje vrednosti sa eksternim ulazom 

(ARMAX). 

ARMAX model dobija se iz opšteg (4.38) izborom 

, a 

, 

 i 

 su proizvoljni polinomi

(4.48)

ili u drugom obliku

(4.49)

ARMAX model je iz grupe modela jednačine greške. Jednačina greške je modelirana kao 
MA-proces. Poremećaji su modelirani kao beli šum propušten kroz ARMA filter i dodat 
izlazu.

OE   Model.  

OE   model   može   se   dobiti   iz   opšteg   modela   (4.38)   izborom 

 suproizvoljni polinomi. U tom slučaju pretpostavlja se da je (beli) 

šum dodat izlazu. Da bi ovu strukturu dali eksplicitno, pomoćni signal  

w(k

) koji ne sadrži 

šumove, predstavljen je kao

(4.50a)

(4.50b)

Ovo može da se zapiše u obliku

(4.51)

Primetimo da modl pogona, 

 i model šuma, 

, nemaju 

zajedničke parameter, te se zbog toga kaže da je ‘’nezavisno parametrizovan’’.

BJ Model. 

BJ model se može dobiti iz opšteg modela (4.38) izborom 

, a 

ostali polinomi su proizvoljni

(4.52)

Poremećaji su modelirani kao ARMA filtriran beli šum, dodat izlazu,

Primetimo da, kao i kod OE modela, model pogona 

 i model 

šuma 

, nemaju zajedničke parameter. Prema tome, oni su nezavisno 

parametarizovani.

Modeliranje dinamičkih sistema

68

4.3.3.Veze izmeću signala opisanih u vremenskom i frekvencijskom domenu

Neka su signal 

y, u 

i 

w 

povezani sledećom relacijom

(4.53)

(p je operator diferenciranja), pri čemu signali 

u(t) 

i 

w(t)

 nisu u korelaciji. U tom slučaju, 

njihova 

Fourirerova

 transformacija zadovoljava sledeću relaciju

(4.54)

Uzimajući apsolutnu vrednost oba izraza, a zatim normalizovanjem pomoću dužine 
vremenskog interval i korišćenjem željene vrednosti dobija se

(4.55)

bez obzira koja se spektralna definicija primenjuje. Množenjem (4.55) sa 

(i 

normalizacijom pomoću dužine vremenskog interval i korišćenjem željene vrednosti) dolazi 
se do 

(4.56)

Neka je veza između 

y, u 

i 

w

 data u obliku

(4.57)

(gde je 

q 

operator pomeranja u vremenskom domenu), tada

(4.58)

sadrži

(4.59)

U specijalnom slučaju  

  (koji odgovara slučaju kada 

signal 

u(t)

 predstavlja impuls ili beli šum, a 

G 

je konačne dimenzije), pa se u vremenskom 

domenu može napisati

(4.60)

Poslednji izraz daje jednostavnu i jasnu vezu koja postoji između spectra signala i linearnog 
sistema 

G(p), 

koji opisuje signal u vremenskom domenu kada je na ulazu beli šumili impuls. 

Ako je spektar 

 dat u obliku racionalne funkcije po 

, tada je uvek moguče odrediti 

stabilan system 

G(p) 

takav da važi (4.60). (To znači da se svi polovi i nule nalaze u levoj 

poluravni). Ovo se naziva spektralna faktorizacija.

Analogno, u diskretnom domenu čemo imati

(4.61)

Ukoliko je 

 racionalna funkcija po 

, tada uvek možemo odrediti stabilno rešenje 

.

Modeliranje dinamičkih sistema

69

5. PRINCIPI FORMIRANJA MATEMATIČKIH 

MODELA

Što   se   tiče   formalnog   opisivanja   pojedinih   elemenata   sistema   i   dobijanja   celovitog 

matematičkog   modela,   osnovno   pravilo   je   da   se   mora   poštovati   zakon   održanja   materije 
uključujući zakon održanja energije. Naime, pri modeliranju svakog elementa sistema formira 
se   jednačina   koja   opisuje   materijalni   i   energetski   bilans   u   tom   elementu.   Takođe   se, 
matematičkim,   realacijama   opisuje   međusobna   razmena   materijala   i   energije   između 
pojedinih elemenata sistema. Ukoliko se svi elementi korektno opišu uz poštovanje ovog 
principa, onda će model odgovarati sistemu koji se modelira. U suprotnom, ukoliko se u ma 
kom detalju ili koraku mimoiđe princip održanja materije, model neće biti validan.

U skladu sa prethodno rečenim, osnovna relacija za opisivanje elemenata sistema je

(5.1)

gde   su:  

H

i

-generalisana   koordinata   stanja   sistema,  

C

i  

generalisana   kapacitivnost,  

Q

i+

-

generalisani   dotok   materijala   ili   energije   u   i-ti   element   sistema,   Q

i-

  -   generalisani   otok 

materijala ili energije iz i-tog elementa sistema.

Da   bi   se   formirao   matematički   model   nekog   dinamičkog   sistema   treba   realizovati 

nekoliko faza. Uz to, zavisno od cilja istraživanja i namene modela, nekad je nepphodno 
izvršiti i njegovo uprošćavanje.

5.1.Etape formiranja matematičkih modela

Formiranje matematičkog modela sistema, najčešće, se vrši u nekoliko etapa.

1. Postavka zadatka

. Određuje se jasno cilj istraživanja, odnosno namena matematičkog 

modela. Model može služiti za istraživanje samog objekta koji se modelira, za projektovanje 
upravljačkog sistema, za analizu složenog sistema čiji je podsistem razmatrani objekat, itd. 
Zavisno   od   cilja,   biće   izabran   tip   matematičkog   mođela,   stepen   idealizacije,   odnosno 
uzimanje u obzir ili zanemarivanje pojedinih efekata, kao i način analize modela.

2.   Izučavanje   objekta

.   U   ovoj   etapi   se   razmatra   konstrukcija   objekta,   određuju   se 

geometrijske razmere, definišu promenljive veličine, njihov raspored i međusobni odnosi' 
Posebno se defimišu ulazne i izlazne veličine. Razmatra se uzročno posledična veza pojedinih 
veličina.   Ukoliko   se   radi   o   složenom   procesu,   analizira   se   fizička   struktura   svakog   dela 
procesa,   njihov   međusobni   odnos   i   uticaj.   Zavisno   od   fizičke   strukture   pojedinih   delova 
procesa ili čitavog procesa, usvajaju se fizički i drugi odgovarajući zakoni koji će se koristiti 
pri   modeliranju.   Pri   tome   se   koristi   odgovarajuća   literatura   koja   obuhvata   sve   potrebne 
informacije koje će se koristiti. Takođe je preporučljivo proučiti postupke pri formiranju 
sličnih ili srodnih modela i eventualno iskoristiti ideje pa čak i neke realizaeije. Drugim 
rečima,   treba,   u   što   većoj   meri   koristiti   vec   stečena   iskustva   pri  formiranjumatematičkih 
modela procesa iz iste klase.

3. Formiranje gtrukturne šeme

. U ovoj fazi se definišu tokovi materijala i energije, 

lokacije gde se vrši njihovo akumuliranje, njihov raspored i međusobna veza. Kod složenih 
sistema se vrši dekompozicija, odnosno rastavljanje sistema na niz podsistema da bi se lakše 
izvršilo modeliranje pojedinih delova. Ukoliko se radi o heterogenom procesu, posebno se 
formiraju strukturne šeme za svaki deoprocesa (iste fizičke strukture), pa se zatim vrši njihovo 
objedinjavanje uzimajući u obzir međusobne interakcije.

Modeliranje dinamičkih sistema

71

Primer 5.1

. Kao jednostavan primer za ilustraciju prethodno rečenog može poslužiti hidraulički 

proces prikazan na slici 5.1. 

Slika 5.1:

Šematski prikaz hidrauličnog procesa sa tri rezervoara

U ovom procesu psotoje tri mesta akumuliranja (opisuju se diferencijalnim jednačinama), 

dva mesta isticanja (opisuju se algebarskim relacijama) i jedan transportni put (opisuje se 
jenačinom čistog kašnjenja). Dakle sistem matematičkih relacija je oblika

gde je   vreme prolaska tečnosti iz rezervoara 2 u rezervoar 3.

Pri sastavljanju jednačina potrebno je voditi računa da broj jednačina odgovara broju 

promenljivih koje se razmatraju. Kao što je vee napomehuto, radi uprošćenja modela, neke 
promenljive uprocesu se zanemaruju i za njih se ne pišu odgovarajuće relacije. U prethodno 
navedenom primeru to bi moglo da bude isparavenje tečnosti iz rezervoara. Ukoliko bi ovo 
isparavanje bilo intenzivno, tako da se ne može zanemariti (npr., kod termičko-hidrauličkih 
procesa)   onda   se   moraju   napisati   odgovarajuće   jednačine  isparavanja.   Na   taj   način   bi   se 
opisali dodatni protoci odavanja materijala iz rezervoara.

5.   Ocena   tačnosti   matematičkog   modela.  

Ocena   tačnosti   modela   najčešće   se   vrši 

simulacijom,   pri   čemu   se  vrši  upoređivanje  vrednosti  pojedinih   promenljivih   u   procesu   i 
odgovarajućih vrednosti promenljivih u modelu. Kao kriterijum za ocenu odstupanja može se 
koristiti srednje kvadratno odstupanje

(5.4)

gde su:  

y

i

  - vrednosti veličina u procesu,  

y

im

  - vrednosti veličina u modelu, - težinski 

koeficijenti. Izbor koeficijenata 

α

i

 zavisi od konkretne promenljive, njene važnosti i stepena 

njenog uticaja na dinamiku procesa.

Ne postoji jednoznačan odgovor na pitanje za koje vrednosti  

J

  je matematički model 

adekvatan. Za preciznije procene mora se vršiti detaljna analiza i to je problem validizacije 
modela o čemu će biti reči kasnije.

Modeliranje dinamičkih sistema

72

6. Izbor metoda za analizu matematičkog modela.  

Ova etapa se odnosi na prostije 

klase modela, kada je moguća matematička analiza tih modela npr. kada postoji rešivost 
difereneijalnih jednačina. U slučajevima kada matematička analiza nije moguća ili je suviše 
komplikovana, vrši se simulacija na računaru.

U   najopštijem   slučaju,   matematički   model   procesa   može   se   predstaviti   najedan   od 

sledećih načina:

a) Ukoliko nema kontinualne disipacije (sistem sa skoncentrisanim parametrima)

gde su y

i

(t) - koordinate stanja (uključujući i izlazne veličine), 

u

i

(

t) - ulazne veličine, 

a

i

 - 

početni uslovi.

b) Ukoliko postoji kontinualna disipacija (sistemi sa raspodeljenim parametrima)

5.2.Uprošćavanje matematičkih modela

Najčešće matematički modeli se formiraju uvodjenjem nekih uprošćenja realnih procesa. 

Neophodno je vršiti uprošćavanja jer se ne znaju tačne relacije. Ali, čak i kad bi se znale, 
formirali bi se aproksimativni, uprošćeni modeli. Razlog za to je što model mora da bude 
prikladan cilju modeliranja. Model sa hiljadu promenljivih nemoguće je koristiti za analizu i 
zahteva dugo vreme izvršenja simulacije. Drugim račima, traže se prosti modeli i svesno 
uvode aproksimacije i uopštavanja. Pod jednostavnim modelom prvenstveno se podrazumeva 
model čiji je red (dimenzija vektora stanja) mali. Jednostavno, takođe, može da znači da su 
odnosi između promenljivih relativno laki za izračunavanje i da je model pre linearan nego 
nelinearan.

U   ovom   delu   izložićemo   principe   koje   se   mogu   koristiti   za   uprošćavanje   modela. 

Uprošćavanje   se   može   obaviti   još   pri   struktuiranju   problema   i   formulisanju   osnovnih 
jednačina ili na gotovom modelu da bi se smanjila složenost.

Postoji naravno i kompromis između složenosti modela i zahteva vezanih za tačnost, radi 

simulacije fizičkih problema. Ono što je ođlučujuće po pitanju ovih međusobnih kompromisa 
je  namena   modela.   Važno   je   da   postoji   ravnoteža   između   aproksimacija   korišćenih   u 
različitim   delovima   modela,   pošto,   vrlo   često,   sveobuhvatni   model   i   nije   mnogo   bolji 
odnajgrubljeaproksimacije.   Ako   se   prihvati   opšta   aproksimacija   kod   jednog   modela   nema 
smisla preterivati kod drugog.

Razmotrimo tri načina uprošćavanja:
1. Mali uticaji (efekti) se zanemaruju - koriste se aproksimativni odnosi.
2. Odvajanje vremenskih konstanti.
3. Agregacija promenljivih stanja.

Modeliranje dinamičkih sistema

74

Kod nekih sistema, nekad je neophodno koristiti vremenske konstante potpuno različitog 

reda veličine. Kao primer može poslužiti model sistema za održavanje tempereture kod kuća 
sa solarnim grejanjem. Može biti neophodno da se prate varijacije temperature tokom dana 
tađa je vremenska konstanta reda nekoliko sati. Pored toga može biti interesantno praćenje 
godišnjih varijacija temperature kada je vremenska konstanta reda nekoliko meseci. U takvoj 
situaciji trebalo bi razmotriti mogućnost korišćenja dva različita modela, po jedan za svaku 
skalu.

5.2.3.Objedinjavanje (agregacija) promenljivih stanja

Stanje sistema se može definisati kao skup informacija neophodnih da se predvidi buduće 

ponašanje sistema, pod uslovom da su spoljni signali poznati. Striktna primena ove definicije 
u   vecem   boju   slučajeva   vodila   bi   ka   prekomernom   broju   promenljivih   stanja.   Za   primer 
glavne kutije mašine za papir trebalo bi za svaku tačku u vazdušnom jastuku dati vrednost 
pritiska, temperature i gustine. Na taj način bi se dobilo beskrajno mnogo promenljivih stanja 
(povezanih preko parcijalnih diferencijalnih jednačina). Međutim, razumljivo je (realno je) da 
prostorne varijacije ove tri promenljive budu toliko male tako da če po jedna jedina vrednost 
za svaku biti potpuno dovoljna.

Jedan primer agregacije promenljivih stanja je objediniti nekoliko sličnih promenljivih u 

jednu promenljivu stanja. Cesto ova promenljiva ima ulogu prosečne ili ukupne vrednosti.

Agregacija  je  uobičajen   metod   za  smanjenje  broja  promenljivih   stanja  u   modelu.   Za 

ekonomske   modele  vrlo   često   imamo   hijerarhiju   modela  sa  različitim   veličinama   koje   je 
moguće   agregirati.   Kod   vrlo   prostih   modela   nivo   investicija   može   biti   samo 
jednapromenljiva. Kod manje agregiranih modela investicije su možda podeljene na privatne i 
državne. Kod detaljnih modela nivo investiranja u svakom sektoru ekonomije može da se 
modelira.Postoje   ekonomski   modeli   koji   su   u   upotrebi   i   koji   imaju   više   od   hiljadu 
promenljivih stanja.

Agregirani modeli su takođe vrlo česti i u fizici. Tipični primer je termodinamika. Da bi 

se znalo stanje zapremine gasa, treba, striktno govoreći poznavati brzinu i položaj svakog 
molekula. Umesto toga koriste se pritisak i temperatura pri izučavanju gasa na makro nivou. 
Ove promenljive su agregirane promenljive stanja povezane sa prosečnim rastojanjem između 
molekula i prosečnom brzinom.

Određeni broj fizičkih pojava opisan je parcijalnim diferencijalnim jednačinama (PDJ) 

Tipični   primeri   su   jednačine   polja,   talasa,   protoka   i   provođenja   toplote.   Za   matematičke 
probleme dinamičkih sistema koji bi se koristili za potrebe simulacije, PDJ je vrlo često 
nepogodan zapis. Razlog tome je što standardni programi za simulaciju dinamičkih sistema 
pretpostavljaju da su modeli dati u obliku modela u prostoru stanja sa konačno dimenzionim 
vektorom   stanja   x.   Cesto   se   parcijalne   diferencijalne   jednačine   svode   na   obične   pomoću 
aproksimaeija, Što odgovara agregaciji, a može se videti iz sledećeg primera.

Modeliranje dinamičkih sistema

75

Primer 5.2. Provođenje toplote

Uzmimo metalnu šipku, čiji je levi kraj zagrejan spoljnim izvorom, kao na slici 5.2.

Slika 5.2:

Zagrevanje metalne šipke

Snaga u izvoru toplote obeležena je sa 

P

 i predstavlja ulaz. Izlaz sistema je temperatura 

T 

na drugom kraju. Provođenje toplote opisuje se jednačinomzagrevanja oblika

(5.5)

gde   je  

x(z,   t)

  temperatura   u   trenutku  

t

  na   udaljenosti  

z

  od   levog   kraja.   Parametar  

a

  je 

koeficijent toplotne provodnosti metala (Ne uzima se u obzir odavanje toplote u spoljnu 
sredinu). Na krajnjim tačkama važi

(5.6)

(5.7)

gde je 

α

 konstanta koja zavisi od prenosa toplote iz spoljneg izvora na metal.

Model (5.5) zahteva poznavanje funkcije 

x(z, t

1

), z

∈

[0,L],

 za određivanje temperature 

T 

(t)

  za  

t> t,

  funkcija  

x(z, t

1

), z

∈

[0,L]

  je stanje sistema u trenutku  

t,  

tako da je neophodno 

izmeriti i sačuvati informaciju o neograničenom broju temperatura segmenata (po jednu za 
svaku vrednost za  

z)

  da bi bilo poznato stanje. Sistemi opisani parcijalnim diferencijalnim 

jednačinama   se   stoga   zovu   neograničeno   -   dimenzioni   sistemi   (sistemi   sa   raspodeljenim 
parametrima).

Da bi se dobio aproksimativni model koji je mnogo pogodniji za simulaciju može se 

koristiti agregacija. Napravimo model trečeg reda sistema sa slike 5.2. To znači da će se raditi 
sa tri promenljive stanja. Sipku treba podeliti na tri dela pri čemu se pretpostavlja da je 
temperatura homogena u svakom od njih.

Slika 5.3:

Agregatni model provođenja toplote

Temperature   u   trenutku  

t

  su   oznacene   sa

x

1

(t),   x

2

(t)

  odnosno  

x

3

(t).

  Na   ovaj   način 

agregiranaje funkciju

x(z,t), z

∈

[0,L/3],

  u agregiranu  

x

1

(t)

  itd. Neka toplotni kapacitet svakog 

dela bude označen sa

C

  i neka koeficijent prenosa toplote između delova bude  

K.

  Zakon 

održanja energije za svaki deo daje 

d

dt

(toplota akumulirana u delu 1) = (ulazna snaga) - (ulazna snaga u deo 2) 

Ovo daje jednačinu

Modeliranje dinamičkih sistema

77

6. ZAKLJUČAK

Pod modelom procesa se podrazumeva takav sistem koji je analogan procesu u pogledu 

ponašanja tog procesa. Model koji sadrži sve bitne karakteristike procesa, omogućuje da se 
proučavanje procesa zameni proučavanjem modela. Treba istaći osnovnu prednost analognih 
računara u odnosu na druge računarske tehnike, a to je brzina računanja. Medjutim, i pored 
ove izvanredne osobine, primena analognih računara je izgubila na zuačaju, jer su poslednjih 
decenija razvijeni programski paketi za simulaciju koji su potisli primenu analognih računara.

Matematičko modeliranje je postupak formiranja matematičkih modela. Primenom ovog 

postupka uspostavljaju se veze između pojedinih promenljivih veličina u procesu, a te veze 

m 

opisuju prethodno pomenutim matematičkim relacijama. Matematički model obuhvata sve 
bitne odlike realnog sistema, iz ove činjenice proizilazi osnovna svrha matematičkih modela, 
a to je izučavanje realnih sistema. Pozanavanje matematičkog modela omogućuje simulacyu 
rada i ponašanja sistema. Simulacija se izvodi uz primenu računarske tehnike i predstavlja 
važno   sredstvo   pri   izučavanju   procesa   i   projektovanju   upravljačkih   sistema.   Matematički 
modeli se, takođe, koriste za izučavanje prirodnih pojava, tehničkih, ekonomskih i bioloških 
procesa.

Matematički model koji se koristi za predstavljanje veza između kontinualnih signala, 

naziva   se  

kontinualni   matematički   model.

  Za   opisivanje   takvih   veza   obično   se   koriste 

diferencijalne jednačine. Međutim, signali sakojima se srećemo u praksi, najčešće se dobijaju 
u  

diskretizovanom  

obliku, što je rezultat merenja u diskretnim trenucima vremena. Model, 

koji   direktno   opisuje   veze   između   vrednosti   signala  u  trenucima   odabiranja,   naziva   se 

diskretni matematički model. 

Za opisivanje takvih modela koriste se diferencne jednačine. U 

nekim slučajevima dobro je uvesti diskretizaciju i izvršiti prevođenje kontinualnih modela u 
diskretne, naročito kada upravljački signal generiše digitalni regulator.

Modeli   događaja   stanja   su   kontinualni   modeli   kod   kojih   mogu   da   se   pri   određenim 

uslovima dogode nagle promenepojedinih promenljivih. U nekim trenucima, kada određene 
promenljive pređu definisanu vrednost, izvršava se diskretna radnja. Modeli diskretnog ili 
vremenskog događaja nemaju fiksiranu periodu odabiranja. Sve promenljive zadržavaju svoje 
vrednosti između dva događaja. U slučaju nekog događaja, promenljive mogu da promene 
svoje   vrednosti.   Događaj   se   može   desiti   za   vreme   spoljnjih   događaja   ili   tokom   nekog 
ustaljenog rasporeda. Raspored se može javiti kao rezultat unutrašnjih aktivnosti.

Krajnji cilj razrade matematičkog modela jeste predviđanje načina ponašanja procesa i 

proučavanje mogućnosti uticaja na njegovo ponašanje. Najčešće se formiranje matematičkih 
modela   svodi   na   formiranje   odgovarajućih   diferencijalnih   odnosno   diferencnih   jednačina. 
Dakle,   matematički   modeli   dinamičkih   procesa,   sastoje   se   od   skupa   diferencijalnih   i/ili 
diferencnih jednačina. U mnogim sistemima jasno je izražen uticaj signala poremećaja na 
ponašanje sistema. U tom slučaju, važno je posedovati podatke o tipičnim osobinama signala 
poremećaja. U te signale uglavnom spadaju smetnje merenja i nekontrolisani ulazi. Senzori, 
pomoću kojih se mere signali, nikad nisu idealni. Uvek postoji neka greška u tzv. prikupljanju 
podataka, zbog smetnji i drifta. Pored toga na sistem mogu da utiču signali, koji se mogu 
posmatrati kao ulazni, ali se ne mogu kontrolisati.

Slučajna   promena   bilo   kakve   flzičke   veličine   u   nekom   apstraktnom   prostoru   stvara 

slučajni proces. Poremećaji, takođe poznati i kao  

stohastički ili slučajni procesi,

  mogu se 

okarakterisati pomoću njihovih statističkih i stohastičkih osobina.

Pri modeliranju svakog elementa sistema formira se jednačina koja opisuje materijalni i 

energetski bilans u tom elementu. Takođe se, matematičkim, realacijama opisuje međusobna 
razmena materijala i energije između pojedinih elemenata sistema. Ukoliko se svi elementi 
korektno   opišu   uz   poštovanje   ovog   principa,   onda   će   model   odgovarati   sistemu   koji   se 
modelira. U suprotnom, ukoliko se u ma kom detalju ili koraku mimoiđe princip održanja 
materije, model neće biti validan.

Modeliranje dinamičkih sistema

78

U fazi formiranja blok dijagrama obično se razmatra koji odnosi mogu postojati među 

različitim promenljivama. Tada se može uočiti da postaje određeni uticaji koji su mnogo 
važniji od ostalih. Pri svim modeliranjima moraju se praviti kompromisi. Da li je jedan uticaj 
dovoljno značajan da bi se uneo u blok dijagram? U različitim oblastima modeliranja iz 
iskustva su se razvile različite prakse.

Agregacija je uobičajen metod za smanjenje broja promenljivih stanja u modelu. Za 

ekonomske modele vrlo često imamo hijerarhiju modela sa različitim veličinama koje je 
moguće agregirati. Kod vrlo prostih modela nivo investicija može biti samo 
jednapromenljiva. Kod manje agregiranih modela investicije su možda podeljene na privatne i 
državne. Kod detaljnih modela nivo investiranja u svakom sektoru ekonomije može da se 
modelira.Postoje ekonomski modeli koji su u upotrebi i koji imaju više od hiljadu 
promenljivih stanja.

Zadatak modeliranja je da osvetli glavne osobine i fenomene realnog procesa i da ih 

prevede na neki apstraktan jezik, kao što je jezik matematike. Na taj način modeliranje 
predstavlja integralan deo nauke i tehnologije, koji obuhvata skoro sve oblasti ljudskogdelova
nja