Evropski univerzitet Brčko distrikt
Bosna i Hercegovina
-Pedagoški fakultet-
Vaspitačica predškolskih usatnova
SEMINARSKI RAD
Predmet : Matematika
Tema: Skupovi
Profesor:. Student:
Brčko, decembar, 2017.
SADRŽAJ:
1. SKUPOVI........................................................................................................................................4
1.1 Pojam skupa....................................................................................................................................4
1.1.1 Zadavanje skupova.... .................................................................................................................4
1.1.2 Jednakost skupova.Univerzlani skup...........................................................................................5
1.2 Operacije sa skupovima..................................................................................................................5
1.2.1 Unija skupova..............................................................................................................................5
1.2.2 Presjek skupova...........................................................................................................................6
1.2.3 Razlika skupova...........................................................................................................................6
1.2.4 Komplement skupa......................................................................................................................7
1.3 Partitivni skup................................................................................................................................7
1.3.1 Algebra skupova..........................................................................................................................7
1.4 Pojam uređenog skupa....................................................................................................................7
1.5 Kartezijev ili direktni proizvod skupova........................................................................................8
2.RELACIJA I FUNKCIJA...............................................................................................................9
2.1 Relacije...........................................................................................................................................9
2.1.1Binarne relacije.............................................................................................................................9
2.1.2 Relacija ekvivalencije..................................................................................................................9
2.1.3 Uređena relacija...........................................................................................................................9
2.2 Funkcija........................................................................................................................................10
2.2.1 Definicija funkcije.....................................................................................................................10
2.2.2 Analitičko zadavanje funkcija...................................................................................................10
2.2.3 Područje vrijednosti funkcije.....................................................................................................10
2.2.4 Surjektivna preslikavanja ili surjekcije......................................................................................11
2.2.5 Identično preslikavanje..............................................................................................................11
2.2.6 Injektivna preslikavanja ili injekcije..........................................................................................11
2.2.7 Obostrano jednoznačno ili bijektivno preslikavanje..................................................................11
2.2.8 Inverzno preslikavanje...............................................................................................................11
2.2.9 Kompozicija preslikavanja........................................................................................................12
2.2.9.1 Asocijativnost kompozicije....................................................................................................12
3.BINARNA OPERACIJA..............................................................................................................13
3.1 Skup relanih brojeva.....................................................................................................................13
3.1.1 Skup prirodnih brojeva..............................................................................................................14
3.1.2 Peanovi aksiomi.........................................................................................................................14
3.1.2.1 Matematička indukcija...........................................................................................................14
3.1.3 Skup cijelih brojva.....................................................................................................................15
3.1.4 Skup racinalnih i iracinalnih brojeva........................................................................................16
3.1.4.1 Skup racionalni brojeva..........................................................................................................16
3.1.4.2 Skup iracinalnih brojeva.........................................................................................................16
LITERATURA..................................................................................................................................17
2
1. SKUPOVI
1.1 Pojam skupa
Skup je osnovni pojam u matematici i ne definiše se. On se samo može opisati. Naime, pojam skup
se najlakše može shvatiti na primjerima. Na primjer: Učenici jednog razreda. Sve tačke na nekom
pravcu. Svi prirodni i umjetni sateliti Zemlje.
Svaki skup sačinjavaju objekti a, b, c,… koji imaju neko zajedničko obilježje. Pritom su a, b, c,…
elementi ili članovi skupa. Skupove označavamo s A, B, C, S, U, Z, N, ... . Ako želimo istaknuti
elemente a, b, c,… skupa A, onda koristimo oznaku A = {a,b,c,…}. Zapis x S znači da je x element
∈
skupa S. Ako x ne pripada skupu S koristimo oznaku x
∉
S.
Za skup kažemo da je dobro definiran (određen) ako za svaki objekt možemo utvrditi je li
element tog skupa ili nije.
1.1.1 Zadavanje skupova
Za skup se smatra da je poznat ili zadan ako se za bilo koji objekat može jednoznačno reći da li
pripada ili ne pripada tom skup.
1
. Skup zadajemo tako da navedemo sve njegove elemente.
Primjer
1
.
Elementi skupa S su brojevi 2, 3, 4, 5 i 6 ili S = { 2,3,4,5,6 }.
2
. Skup zadajemo tako da navedemo obilježje koje imaju elementi skupa.
Primjer 2
. Elementi skupa A su svi trokuti ili A = {x | x je trokut}. Simbol | čita se „takvih da“.
3.
Skup zadajemo tako da navedemo uvjet (ili uvjete) koji zadovoljavaju svi elementi skupa.
Općenito, ako elementi skupa S zadovoljavaju uvjet U, skup S ćemo izraziti S = { x | U }.
Primjer 1
. Q je skup svih razlomaka takvih da je m element skupa cijelih brojeva Z, a n element
skupa prirodnih brojeva N ili Q = { m/n | m Z, n N }.
∈
∈
Primjer 2.
Skup S = { 2,3,4,5,6 } može se izraziti i ovako: S = { x N | 2x+3≥7 i 3x-1≤18 }.
∈
4.
ø je simbol za prazan skup. Prazan skup je skup koji nema ni jednog elementa.
Na primjer
: Skup svih realnih rješenja jednadžbe x
2
= -1. Skup svih zajedničkih tačaka dva
paralelna pravca. Skup svih ljudi visokih 4 m.
Prazan skup možemo definirati ovako: ø = {x | x ≠ x}.
5
. Zorno prikazivanje skupova pomoću Vennovih dijagrama. sl. 1.
Slika 1. Vennov dijagram
1.1.2 Jednakost skupova. Univerzlani skup
4
Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A = B onda i samo onda ako je A B i B A,
⊆
⊆
tj. ako je svaki element iz A ujedno i element iz B, i obratno, svaki element iz B je ujedno i element
iz A. Dakle, dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A = B, ako imaju iste elemente,
Negacija gornje formule označava se sa A≠ B.
Primijer 1
.
Skupa
A= { a,b,c, 1 } i B= { a,b,c,d, 1, }
su jednaki jer se sastoje od istih elemenata, tj.
od elemenata
a,b,c,d.
Za skup A kažemo da je pravi podskup od B i pišemo A B onda i samo onda, ako je svaki element
⊂
iz A ujedno i element iz B pri čemu je kardinalni broj skupa A manji od kardinalnog broja skupa B.
Dakle, skup A je podskup skupa B, u oznaci A B, ako su svi elementi skupa A sadržani u B,
⊆
Primjer 2
.Ako su zadani skupovi
A = {1,2} i B = {1,2,3}
, A je podskup od
B, A B
⊆
. Štoviše,
A
je
pravi podskup od
B
, što pišemo
A B
⊂
. Također vrijedi da je
B B
⊆
, tj. svaki je skup sam sebi
podskup.
Ako se svi skupovi koji se promatraju smatraju podskupovima nekog skupa
U
onda se
U
naziva
univerzalni skup
. Univerzalni skup može biti npr. skup relanih brojeva, skup kompleksni brojeva,
skup studenta ekonosmog fakulteta, skup preduzeća jedne regije, skup tačaka, itd.
1.2 Operacije sa skupovima
1.2.1 Unija skupova
Unija skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova A i B.
A
U
B = {x | x A ili x B}. sl. 2.
∈
∈
Slika 2. Unija skupova A i B
Primjer 1.
Neka su skupovi
A = {1,2,3} i B = {2,3,4,5}.
Tada je
A
U
B = {1,2,3,4,5}.
1.2.2 Presjek skupova
Presjek ili zajednički dio skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji su i u skupu A i u skupu
5
