UNIVERZITET U NOVOM SADU
PRIRODNO-MATEMATI ˇ
CKI FAKULTET
DEPARTMAN ZA
MATEMATIKU I INFORMATIKU
Marina Marˇceta
Teoreme konvergencije u Lebegovim i
Soboljevim prostorima
-master rad-
Novi Sad, 2016.
osnovnih pojmova realne i funkcionalne analize koji su neophodni
za razumevanje pojma i strukture
L
p
prostora.
U drugom poglavlju je dat kratak pregled prostora Sobojeva, nje-
govog duala i njihovih osobina.
Tre´ce poglavlje je posve´ceno teoremama konvergencije, pre svega
Kolmogorov-Riesz-Tamarkin teoremi kao i njihovoj primeni.
Na kraju ˇzelim da izrazim posebnu zahvalnost svom mentoru,
dr Jeleni Aleksi´c, na celokupnom strpljenju koje je pokazala prema
meni tokom izrade ovog rada, na izvanrednim savetima i uputstvima
koje mi je nesebiˇcno davala od poˇcetka mog studiranja do danaˇsnjeg
dana. Zahvaljujem se i dr Stevanu Pilipovi´cu i dr Marku Nedeljkovu,
ˇclanovima komisije za odbranu ovog rada.
Novi Sad, 2016.
Marina Marˇceta
4
Sadrˇzaj
Predgovor
3
1
Lebegovi prostori
7
1.1
Uvodni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Prostori diferencijabilnih funkcija
. . . . . . . . . . 12
1.3
Lebegova mera i integral . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4
L
p
prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5
Distribucije i slabi izvodi . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1
Istorija i motivacija . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2
Distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3
Pojam slabog izvoda . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.4
Konvolucija distribucija
. . . . . . . . . . . 27
1.5.5
Furijeova transformacija i temperirane dis-
tribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Prostori Soboljeva
31
2.1
Definicija i osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2
Aproksimacija glatkim funkcijama na
Ω
. . . . . . . 34
2.3
Dual Soboljevog prostora - Prostori Soboljeva sa neg-
ativnim indeksom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
Konvergencija u
L
p
i
H
m,p
prostorima
43
3.1
Razni tipovi konvergencije . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2
Slaba konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3
Kompaktnost u Soboljevim prostorima . . . . . . . . 57
5
Poglavlje 1
Lebegovi (
L
p
) prostori
Prostori funkcija, a posebno
L
p
prostori igraju centralnu ulogu u
mnogim pitanjima matematiˇcke analize. Prostor
L
1
se pojavljuje ve´c
kod uvod¯enja Lebegove mere, kao prostor funkcija koje su Lebeg-
integrabilne. Sa ovim prostorom je direktno povezan njegov dual
L
∞
, prostor ograniˇcenih funkcija sa supremum normom koja je nasle-
d¯ena iz nekih drugih, viˇse poznatih prostora funkcija. Od posebnog
znaˇcaja su prostori
L
2
ˇcije je poreklo blisko povezano sa osnovnim
problemima Furijeove analize. Ovaj prostor,
L
2
, se najviˇse i koristi
jer je jedini Lebegov prostor koji je i Hilbertov, tj. na kome se moˇze
definisati skalarni proizvod.
U ovom poglavlju ´cemo se koncentrisati na osnovne osobine
L
p
prostora. Pre toga, podsetimo se nekih pojmova koji su nam
neophodni za definisanje
L
p
prostora.
1.1
Uvodni pojmovi
U ovom odeljku ´cemo dati kratak osvrt na osnovne pojmove
funkcionalne analize.
Definicija 1.1.1 (Vektorski prostor)
Neka je X neprazan skup i
(
K,
+
,
·
)
polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem
skalara K ako ima slede´cu strukturu:
7
