Београд, 2017.
ТРЕЋА БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА
Београд, Његошева 15
Матурски рад из математике
ПРИЗМА
Ментор:
Ученик:
Име и презиме професора
Име и презиме ученика
Одељење:
2
САДРЖАЈ:
1. УВОД
3
2. ПОДЕЛА 4
2.1 Правилна тространа призма 5
2.2 Правилна четворострана призма
5
2.3 Правилна шестострана призма
6
3. ПРИЗМА И ЊЕНИ РАВНИ ПРЕСЕЦИ
7
3.1 Теорема о три нормале
11
4. ПОВРШИНА ПРИЗМЕ 12
5. ЗАПРЕМИНА ПРИЗМЕ
17
6. ЗАКЉУЧАК
22
7. ЛИТЕРАТУРА 25
4
2. ПОДЕЛА
Уколико су бочне ивице призме нормалне на раван основе, тада је призма права.
Супротно томе, уколико призма није права, каже се да је коса, и тада бочне ивице
нису нормалне на раван основе. Висина праве призме се поклапа са бочном
ивицом, а бочне стране су правоугаоници. Када права призма има правилан
многоугао у основи, она је правилна. Све бочне стране правилне призме су
подударни правоугаоници. У случају када су бочна ивица и висина једнаке, за ту
призму кажемо да је једнакоивична. У зависности од броја страница базе
разликујемо тростране, четворостране, петостране, ... n-тостране призме.
Призма чија је основа паралелограм назива се паралелопипед. Паралелопипед
има 8 темена, 12 ивица и 6 страна. Четири бочне стране су паралелограми као код
сваке призме, основе су паралелограми по дефиницији, према томе све стране су
паралелограми. Специјални случајеви паралелопипеда су:
Квадар – коме су базе правоугаоници. Нека су a, b основне ивице, H
висина, d дијагонала основе, а D просторна дијагонала правоуглог
паралелопипеда, тада важи:
B = a ∙ b
M = 2aH + 2bH
P = 2B + M → P = 2(ab + aH + bH)
V = B ∙ H → V = abH
Коцка – коме су базе квадрати. Важи:
B = a ∙ a = a
2
M = 4 ∙ a
2
P = 2B + M → P = 2a
2
+ 4a
2
= 6a
2
V = B ∙ H → V = a
2
∙ a = a
3
d
2
= a
2
+ b
2
D
2
= d
2
+ H
2
= a
2
+ b
2
+ H
2
P
dp
= d ∙ H
d
2
= a
2
+ a
2
= 2a
2
→ d = a√2
D
2
= d
2
+ a
2
= 3a
2
→ D = a√3
P
dp
= d ∙ a = a
2
√2
5
2.1 Правилна тространа призма
Правилна тространа призма је призма која у основи има једнакостраничан
троугао.
2.2 Правилна четворострана призма
Правилна четворострана призма је призма која у основи има квадрат.
O = 3a
P =
a
²
√
3
4
h =
a
√
3
2
r =
1
3
h
=
a
√
3
6
R =
2
3
h
=
a
√
3
3
B =
a
²
√
3
4
M = 3 ∙ aH
P = 2B + M → P = 2
a
²
√
3
4
+ 3aH
V = B ∙ H → V =
a
²
√
3
4
H
d
=
a
√
2
r
=
a
2
R
=
d
2
=
a
√
2
2
B = a
2
M = 4 ∙ aH
P = 2B + M → P = 2a
2
+ 4aH
V = B ∙ H → a
2
H
d
2
= a
2
+ a
2
= 2a
2
→ a = a
√
2
D
2
= d
2
+ H
2
P
dp
= d ∙ H
7
3. ПРИЗМА И ЊЕНИ РАВНИ ПРЕСЕЦИ
Пресек призме и неке равни може бити:
а) паралелан - ако је та раван паралелна основама или бочним странама
б) дијагоналан - ако та раван садржи две несуседне бочне ивице. Свака призма
има онолико дијагоналних равни колико дијагонала има у многоуглу основе.
в) нормалан - ако је та раван нормална на бочне ивице призме. Од свих равних
пресека нормални пресеци имају најмању површину.
Размотрићемо пример петостране призме, са теменима A, B, C, D, E, A
1
, B
1
, C
1
, D
1
,
E
1
и равни α.
Уколико је раван којом се сече, раван α паралелна са равни основе призме, да би
се конструисао пресек довољно је знати само једну тачку равни α која припада
бочној ивици или страни призме. Ако као познату узмемо тачку М која припада
бочној ивици АА
1,
тада раван α сече ивице BB
1
, CC
1
, DD
1
, EE
1
у тачкама N, O, P, Q,
тако да је петоугао MNOPQ паралелан са равни основе призме.
У другом случају, када је раван која сече призму паралелна са бочним ивицама
призме довољно је знати две тачке које припадају њеним бочним странама, али не
леже у истој правој.
Уколико раван која сече призму садржи две бочне ивице призме које не припадају
истој страни, тада имамо дијагонални пресек. У случају да раван која сече призму
није паралелна ни са равни основе, ни са бочним ивицама призме, да би
конструисали пресек равни и призме довољно је знати три неколинеарне тачке (М
– на ивици горње основе, N – на ивици доње основе, О – на бочној ивици) које
припадају површи призме.
Када је раван α нормална на бочне ивице призме добије се нормални пресек. За
случај праве призме нормални пресек одговара случају под а), док за случај косе
призме тај пресек потпада под случај б).
Да бисмо израчунали површину равног пресека праве призме потребно је да су
нам познати површина основе призме и нагибни угао γ који образују раван којом
се сече и раван основе призме. Најпре ћемо погледати нормалне пројекције
правих и дужи које припадају равни која сече призму (раван α) на раван призме.
Уколико је угао који образују ове две равни оштар, а права m припада равни α и
паралелна је са правом а, паралелном пројекцијом правих а и m у паралелне праве
а и m
1,
одатле проистиче да су праве m и m
1
паралелне. Како су дужи AB и A
1
B
1
α
Слика 3, 4. Паралелан пресек призме и равни
Слика 5. Дијагоналан пресек призме и равни
