SEMINARSKI RAD
SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI I
SVOJSTVENI VEKTORI MATRICE
Profesor: Selmir Dadanović
Student: Senaid Avdić
Broj indeksa: PT-31/15-I
Travnik, 2016
SADRŽAJ:
1. POJAM MATRICA...........................................................................................................1
2. LINEARNA TRANSFORMACIJA VEKTORA...............................................................1
3. SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI...........................................2
3.1Karakteristična jednačina i karakteristični polinom matrice........................................3
4. IZRAČUNAVANJE SVOJSTVENIH VRIJEDNOSTI....................................................4
5. ODREĐIVANJE SVOJSTVENIH VEKTORA................................................................5
6. NEKE TEOREME...........................................................................................................11
7. LITERTURA....................................................................................................................12
Primjer 1.
Matrica transformacije projektovanja dvodimenzonalnog vektora
x=
[
x
1
x
2
]
na x-osu je: A=
[
1 0
0 0
]
To znači da koordinate vektora y : y
1
= x
1
, y
2
= 0 , kao horizontalne projekcije vektora x ,
dobijamo množenjem vektora x matricom A:
y = Ax
Ova transformacija je singularna jer je matrica A singularna (det(A)=0). Tako, ona
preslikava 2- dimenzioni vektorski prostor u njegov potprostor dimenzije 1 (vektori na x–
osi). To znači da ne postoji jednoznačna inverzna transformacija: datu projekciju na x –
osu ima beskonačan broj vektora u Oxy ravni.
3. SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI
Ako se nenulti vektor x, linearnom transformacijom sa matricom A transformiše u sebi
kolinearan vektor:
Ax = λx
on predstavlja svojstveni, sopstveni ili karakteristični vektor matrice A. Skalar λ se naziva
svojstvena, sopstvena ili karakteristična vrednost matrice A, koja odgovara svojstvenom
vektoru x.
2
Primjer 2.
Posmatrajmo matricu projektovanja iz Primjera 1:
A=
[
1 0
0 0
]
Svi nenulti vektori x koji leže na x– osi su njeni svojstveni vektori sa svojstvenom
vrednošću λ = 1 jer se transformišu u sami sebe:
Ax = x
Svi nenulti vektori y na y – osi se projektuju u nula vektore, pa su i oni svojstveni vektori
posmatrane matrice i to sa svojstvenom vrednošću λ = 0:
Ay = 0y = 0
Primjer 3.
Svojstveni vektori i odgovarajuće svojsvene vrijednosti matrice
A=
[
3 1
1 3
]
su:
λ
1
=4, x
(1)
=
[
1
1
]
λ
2
=2, x
(2)
=
[
1
−
1
]
Provjera:
[
3 1
1 3
]
.
[
1
1
]
=
[
4
4
]
= 4
[
1
1
]
[
3 1
1 3
]
.
[
1
−
1
]
=
[
2
−
2
]
= 2
[
1
−
1
]
3.1. Karakteristična jednačina i karakteristični polinom matrice
Pošto je definiciona jednačina ekvivalentna jednačini:
(A-
λE)x = 0
svojstveni vektori predstavljaju rješenje homogenog SLJ sa matricom sistema:
