VISOKA POSLOVNA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA
BLACE
Seminarski rad
iz
predmeta
OPERACIONA ISTRAŽIVANJA
Tema: Vektori i Euklidovi prostori
Mentor: mr Gordana Prlinčević
student: Filip Marković 03/15 F/j
Jagodina, april 2018. godine
S A D R Ž A J
UVOD..............................................................................................................................................1
1.DEFINISANJE.............................................................................................................................2
1.1Polje realnih brojeva i fazni prostor................................................................................2
2.NASTANAK IDEJE O DEFINIANJU PROSTORA...............................................................3-4
3.BAZIS I DIMENZIJE...............................................................................................................4-6
3.1Bazis................................................................................................................................5
3.2Dimenzija.....................................................................................................................5-6
3.3Reprezentovanje..............................................................................................................6
4.UNITARNI I EUKLIDSKI PROSTORI...................................................................................6-9
4.1Potprostori.......................................................................................................................8
4.2Vektorski prostor.........................................................................................................8-9
4.3Matrički tenzor................................................................................................................9
5.ZAKLJUČAK.............................................................................................................................10
LITERATURA..............................................................................................................................11
1.DEFINISANJE
Neka su dati skup V sa jednom binarnom operacijom u odnosu na koju ima strukturu Abelove
grupe (V, +) čije elemente zovemo vektorima, a neutralni element označavamo sa o i nazivamo
nultim vektorom, i skup
?
koji ima strukturu polja (
?
, +, •) čije elemente nazivamo skalarima, a
neutralne elemente u odnosu na dve operacije označavamo sa 0 i 1.
Neka je dalje definisano preslikavanje, koje nazivamo množenje vektora skalarom,
?
× V → V,
koje svakom vektoru x
∈
V pridružuje vektor α'x
∈
V tako da važe aksiomi:
1.asocijacije
2.distribucije za sabiranje vektora
3.distribucije za sabiranje skalara
Dakle, vektorski prostor V(
?
) je algebarska struktura sa jednom „unutrašnjom“ binarnom,
komutativnom operacijom „+“ (što izražava uslov da je V Abelova grupa) i jednom „spoljnom“
operacijom (množenje vektora skalarom iz polja
?
). Pošto su članovi skupa V, uslovno rečeno,
proizvoljni objekti, kao što je i
?
proizvoljno polje, bitno je uočiti da operacija u grupi (V, +) u
opštem slučaju ne mora biti „standardno“ sabiranje kako je definisano recimo na skupu realnih
brojeva ili geometrijskih vektora, kao što ni množenje vektora skalarom ne mora biti standardno
definisana operacija množenja geometrijskog vektora brojem — to mogu biti bilo koje operacije
koje zadovoljavaju navedene uslove.
Kada je
?
=
ℝ
(skup realnih brojeva), uobičajeno je da se V(
ℝ
) naziva realnim vektorskim
prostorom, a kada je
?
=
ℂ
(skup kompleksnih brojeva), tj. V(
ℂ
), kompleksnim vektorskim
prostorom. Iz definicije vektorskog prostora direktno sledi nekoliko jednostavnih posledica koje
olakšavaju računanja sa vektorima. Naravno, i u vektorskom prostoru važe sve posledice
aksioma grupe, kao što su jedinstvenost neutralnog i inverznog elementa.
1.1Polje realnih brojeva i fazni prostor
Skup realnih brojeva nad poljem realnih brojeva je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva
ℝ
(
ℝ
). Očigledno je da u ovom slučaju vektorski prostor predstavlja samo polje realnih brojeva, tj.
ℝ
(
ℝ
) =
ℝ
, što bi geometrijski moglo da se izrazi tvrdnjom da realna prava predstavlja vektorski
prostor nad poljem realnih brojeva.
U klasičnoj mehanici stanje čestice je određeno vektorima položaja r = (x, y, z) i impulsa p =
(px, py, pz), u fizičkom prostoru, odnosno vektorom (x, y, z, px, py, pz) u takozvanom faznom
prostoru. Bitna karakteristika faznog prostora klasične čestice je ta da on u opštem slučaju nije
vektorski prostor: zbir dva vektora stanja čestice ne mora biti, i često nije, neko novo moguće
stanje čestice. U kvantnoj mehanici, pak, prostor stanja je uvek vektorski prostor (Hilbertov
prostor) — superpozicija dva stanja sistema je uvek moguće novo stanje sistema.
