САДРЖАЈ
УВОД
..............................................................................................................................2
1. ИНДУКЦИЈА И ДЕДУКЦИЈА КАО ОБЛИК МАТЕМАТИЧКОГ
ЗАКЉУЧИВАЊА
.....................................................................................................4
1.1.Појам математичке индукције .............................................................................6
1.2. Принцип математичке индукције ......................................................................9
2. ИСТОРИЈАТ МАТЕМАТИЧКЕ
ИНДУКЦИЈЕ
................................................14
2.1. Пеанове аксиоме и математичка индукција ....................................................14
3. ОБЛИЦИ МАТЕМАТИЧКЕ ИНДУКЦИЈЕ
.......................................................16
3.1. Регресивна индукција .........................................................................................16
3.2. Рекурентна индукција .........................................................................................17
3.3. Трансфинитна индукција ....................................................................................17
3.4. Индукција ,,са скоком“ ........................................................................................18
4. ПРИМЕНА ИНДУКЦИЈЕ У ГЕОМЕТРИЈИ
......................................................20
4.1. Доказивање и дефинисање помоћу индукције ...................................................20
4.2. Израчунавање помоћу индукције ........................................................................25
4.3. Конструкција помоћу индукције .........................................................................27
5. ДЕФИНИСАЊЕ ПОМОЋУ МАТЕМАТИЧКЕ ИНДУКЦИЈЕ
.......................39
5.1. Фибоначијев низ ..................................................................................................30
6. ИНДУКЦИЈА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ
.....................................................33
ЗАКЉУЧАК
...............................................................................................................38
ЛИТЕРАТУРА
............................................................................................................40
1
УВОД
Математика, као наука, изучава апстактне појмове који су првобитно
настали као продукт мисаоних операција и пре свега уопштавањем реалног света у
коме живимо. Некада је та апстракција ишла тако далеко, тако да неким појмовима
као што су тачка, права, круг, број не можемо да доделимо нешто што нас асоцира
у реалном свету, нешто што је видљиво, истинито и опипљиво. Али ниједан од тих
појмова није баш чист продукт људског мишљења, сваки је настао од нечег што
објективно постоји . Како раније тако и данас, математика не престаје да нас
интригира и да буди жељу да решимо проблеме које она поставља.
Основни проблем у математичкој науци и у математици као наставном
предмету је откривање нових истина и математичких закона. Да би дошли до
математичког открића, математичари примењују разноврсне облике закључивања,
где из познатих чињеница изводе правила или закључке, у виду дефиниција или
теорема.
У науци постоје два основна начина закључивања: дедукција (лат. deduction-
извођење) и индукција (лат. induction-увођење). Дедуктивни начин размишљања
базира се на проналажењу општих решења помоћу којих решавамо појединачне
проблеме. За разлику од дедукције, индукција је закључивање којим се из ставова
који се односе на ограничен број појединачних случајева исте врсте изводи један
општи став, тј. став који се односи на све случајеве те врсте. Овакав метод
закључивања такође се назива и
непотпуна
или
емпиријска индукција
. Овом
методом може се доћи како до тачних тако и до нетачних закључака (или до
закључака који су тачни само за одређен број случајева). Упркос томе, индукција је
изузетно значајна у експерименталним природним наукама где је довела до многих
значајних сазнања. Непотпуна индукција у математици помаже да се открије нека
чињеница, коју затим треба и доказати, нпр. математичком индукцијом.
Метод математичке индукције је посебан метод математичког доказивања
који нам не дозвољава да доносимо закључке о општем правилу на основу
појединачних случајева, без одређених доказа.
Математичка индукција је тема којој ћемо посветити посебну пажњу у овом
раду. Најпре ћемо говорити о индукцији и дедукцији као облику математичког
закључивања, са посебним акцентом на индуктивни начин закључивања у
2
1. ИНДУКЦИЈА И ДЕДУКЦИЈА КАО ОБЛИК МАТЕМАТИЧКОГ
ЗАКЉУЧИВАЊА
Постоје два основна начина логичког закључивања : дедуктивни и
индуктивни.
Индукција је мисаони поступак којим се општи закључак изводи из
појединачних случајева. Ти случајеви називају се премисама, а општи став назива
се закључак. Индукција се дели на потпуну и непотпуну. Потпуна је таква
индукција код које су премисама обухваћени сви могући случајеви општег.
Потпуна индукција има две одлике: (1) закључци изведени овом индукцијом су
тачни, (2) веома је непродуктивна, неекономична. Ретки су случајеви у којима је
могуће навести све премисе да би се дошло до закључка.
Потпуна индукција ретко се користи у настави математике. Она нема
посебни образовни значај. Ова индукција служи јаснијем сагледавању неког
проблема, каснијем формирању ставова и сл.
Непотпуна индукција је индукција код које су премисама обухваћени само
неки од појединачних случајева. Одлике ове индукције су: (1) она је економична,
(2) закључивање је у извесној мери поуздано, (3) посебна вредност је што се њоме
долази до нових закључака – тај закључак не садржи само познате случајеве, већ и
оне непознате. У томе се састоји њена највећа образовна вредност.
Степен поузданости индукције зависи од:
(1) броја појединачних случајева (што је већи број случајева, већа је
поузданост)
(2) репрезентативности случајева (репрезентативнији појединачни случајеви
резултирају већом поузданошћу узорка)
(3) да је закључак изведен из битних, суштинских карактеристика предмета
Дедукција је мисаона операција или низ мисаоних операција којима се
истинитост неког тврђења изводи из истинитости прихваћених и раније утврђених
истина. Значај и вредност дедукције је у томе што се из става о општем долази до
става о посебном, али се при томе обогаћује и опште. Дедуктивни облик
закључивања најчешће се састоји у томе, да оно што важи у општем случају, важи
и за појединачно.
4
Карактеристике дедуктивног закључивања су:
(1) сваки закључак изводи се из раније прихваћених карактеристика
(2) сви закључци су повезани у логички низ и тај низ има крај (крај је
посебан закључак)
(3) ако су тврдње из којих се изводи закључак (премисе) тачне онда је и
закључак тачан.
Дедукција и индукција се међусобно преплићу и допуњују. Индукција даје
општи став, који може послужити као премиса дедукције. Дедукција је у односу на
индукцију обрнут поступак логичког закључивања. Дедукцији је својствена
анализа. Аксиом дедукције јесте: оно што важи уопште, важи и у посебном случају.
У дедуктивном закључивању мишљење се креће од општег ка посебном, при чему
се из општег става изводи посебан став. Суштину дедуктивног закључивања чини
логичко извођење закључака из премиса, који (ако су премисе истините и ако је
логичко извођење правилно) мора бити истинит. Имајући то у виду Аристотел је
дедуктивно закључивање сматрао савршеним.
Индукција је метод закључивања који полази од ставова који се односе на
ограничен број појединачних случајева исте врсте ка једном општем ставу који се
односи на све случајеве те врсте. У индуктивном приступу полазимо од чињеница
које важе у неком конкретном примеру и случају и на основу тога желимо
закључити о истинама које значе у општој ситуацији. Овакав начин закључивања
често може довести до погрешних закључака, али упркос томе је моћно, а понекад
и једино средство у откривању истинитих чињеница.
У дедуктивном приступу се, креће од општих знања, изводе истините
чињенице у неком конкретном случају. Овакав начин закључивања је коректан:
кренувши од истинитих претпоставки (премиса) увек долазимо до истинитог
закључка (конклузије). Недостатак оваквог начина закључивања је што помоћу
њега не можемо доћи до нових, непознатих знања. Дедукција је начин
закључивања у којем се истинитост неког тврђења изводи из истинитости раније
утврђених (или опште прихваћених) општих истина.
Математика је дедуктивна
наука, а математика у настајању је експериментална индуктивна наука.
5
уопштено за све непарне бројеве
k
и
n
= 0, 1, 2, ... Међутим, у даљем проверавању
он је сам приметио да релација не важи већ за
k
= 9, јер број
није дељив са 9.
Пример 2.
Фермаови бројеви су бројеви облика
(n=0,1,2...).
Бројеви
су прости, па је Ферма извео
претпоставку да су сви бројеви
прости. Ову хипотезу оборио је Ојлер
1732.године, доказавши да је број
сложен број.
Поред ових постоје разне формуле чије је тачност потврђена за велики број
случајева, али се још не зна да ли су (увек) тачне или не.
Нпр. Голдбахов проблем у теорији бројева, иако проверен за огромни број
случајева још увек није доказан. Голдбах је изнео две хипотезе:
(1) Сваки паран број ( 6) је збир два непарна проста броја.
(2) Сваки непаран број ( 9) је збир три непарна проста броја.
Ојлер је ове хипотезе свео на једну – образовао је разлику
N – p, (N=2k+1, p
je непаран прост број мањи од
N
) која је паран број. Из тога следи да, ако је
истинита прва Голдбахова хипотеза, онда је то случај и са другом. После два века
од постављања Голдбаховог проблема, 1937. год. руски математичар Виноградов је
доказао да се сваки довољно велики непаран број може представити као збир три
проста броја. Међутим, још увек није утврђено колики је тај довољно велики
природан број, а прва хипотеза и даље остаје као отворено питање.
Иако се емпиријском индукцијом може доћи како до истинитих, тако и до
неистинитих ставова, ипак је њена улога значајна. Њеном применом у биологији,
али и у математици, посебно у теорији бројева, дошло се до више важних ставова.
Међутим, тек закључивање изведено у математици потпуном, тј. математичком
индукцијом има неоспорну тачност.
Доказ математичком индукцијом може се замислити као процес обарања
домина. Да бисмо били сигурни да ћемо оборити све домине, прво морамо да се
уверимо да можемо да срушимо прву домину. После тога ако за свако
k
≥1
докажемо да пад
k
-те домине проузрокује пад следеће, односно (
k+1
)-ве домине,
можемо са сигурношћу да кажемо да ће све домине пасти.
Математичка индукција је посебни случај индукције који има снагу доказа.
Заснива се на Пеановима аксиомама. Доказ математичком индукцијом врши се у
три корака:
7
(1)
База индукције
– проверава се да ли тврдња важи за број 1, односно да је
Т(1) истинита тврдња
(2)
Претпоставка индукције
– претпоставимо да тврдња важи за број
k
,
односно да је тврдња Т(
k
) истинита
(3)
Корак индукције
– докажимо да уз ту претпоставку тврдња важи и за број
k+1
, односно из Т(
n
) следи тврдња Т(
k+1
)
Пример 3 (збир првих n природних бројева):
Докажимо да је
=
Први корак (база индукције):
Провера за случај
n =1
Други корак (претпоставка индукције):
Претпостављамо да је за
n = k, k ≥ 1
тврдња
исправна, односно
=
Трећи корак (корак индукције):
Покушавамо да докажемо да претпоставка
индукције за собом повлачи тачност тврдње и за
n= k+1
=
+
=
Тиме је доказ завршен.
Пример 4 (збир првих n квадрата):
Докажимо да је
=
Први корак (база индукције):
Провера за случај
n =1
=
Други корак (претпоставка индукције):
Претпостављамо да је за
n = k, k ≥ 1
тврдња
исправна, односно
=
Трећи корак (корак индукције):
Покушавамо да докажемо да претпоставка
индукције за собом повлачи тачност тврдње и за
n= k+1
=
=
Тиме је доказ завршен.
8
Пример 6.
Доказати
Бернулијеву неједнакост која гласи
(1)
,
Доказ.
(а) За
n
= 1 неједнакост је истинита јер има облик
(б) Претпоставимо да је неједнакост тачназа
n
=
k
и да има облик
(2)
(в) И докажимо за
n
=
k
+ 1 за које неједнакост има облик
(3)
Развијањем леве стране неједнакости (3) добијамо
за које важи
јер је
, па
Ако искористимо неједнакост (2) за коју смо
претпоставили да је тачна добијамо двоструку неједнакост:
(4)
Множењем релације (2) са
h
+1, (h+1>0) из (4) добијамо следећу релацију
(5)
па неједнакост (5) можемо записати као
јер
и
, па
.
Оба својства принципа математичке индукције су испуњена, па закључујемо да је
Бернулијева неједнакост, на основу принципа математичке индукције, доказана.
Иако принцип математичке индукције није доказан, сматра се да може бити
прихваћен јер је детаљно објашњен и илустрован. Емпиријском индукцијом, као
што је већ речено, могу се наслутити неке формуле (једнакости, неједнакости и
слично) које зависе од природног броја , а метод математичке индукције
омогућује да у многим случајевима утврдимо да ли је постављена хипотеза тачна
или није.
Као што смо већ поменули, принцип математичке индукције није доказан
већ детаљно објашњен. Извешћемо сада један доказ принципа математичке
индукције, истовремено доказујћи једно помоћно својство природних бројева, тзв.
принцип најмањег броја, који гласи:
Сваки непразан подскуп
А
скупа
N
има најмањи елемент.
10
Доказ:
Претпоставимо да је
A
непразан скуп и да има најмањи елемент. Нека
јe
C
скуп свих природних бројева који су мањи од сваког елемента скупа
A
, тј.
. Доказаћемо применом аксиоме индукције да је
C=N
.
Први услов
следи из претпоставке да
A
нема најмањи елемент и да је 1
најмањи у скупу
N
.
Претпоставимо да је
. Треба да покажемо да је
. У супротном
би био најмањи у
A
, што противречи да у
A
не постоји најмањи елемент.
Значи
. Одавде следи да је
A
празан скуп што је у контрадикцији са
претпоставком.
Вратимо се сада на доказ принципа математичке индукције.
Претпоставимо да су
тврђења за која важи:
(1)
тачно,
(2) за сваки
, из тачности
следи тачност
.
Докажимо да су сва тврђења
тачна. Претпоставимо
супротно, тј. да постоји неко тврђење у овом низу које није тачно. То значи да је
скуп свих природних бројева
n
таквих да је
нетачно непразан, па на основу
принципа најмањег броја постоји најмањи природан број
m
такав да је
натачно. На основу (1) закључујемо да је
. Међутим како је
, тврђење
мора бити тачно.
Дакле
је нетачно, док је
тачно, што је у супротности са (2).Тиме је
доказ завршен..
Код примене математичке индукције потребан је опрез како би доказ
изведен математичком индукцијом био веродостојан. Зато се мора водити рачуна
да су оба својства принципа математичке индукције подробно испитана и
проверена. Следећи пример илуструје неопрезну примену принципа математичке
индукције.
Пример 7.
Доказати да су сви природни бројеви међусобно једнаки, односно
да су за сваку скупину ( намерно се говори о скупини, а не о скупу јер скуп по
дефиницији не може садржати елементе међу којима има једнаких, што је овде
случај)
S
која садржи
n
(произвољан коначан број) природних бројева ти њени
елементи међусобно једнаки.
Доказ.
(1) За
n
= 1 тврђење је истинито јер ако S садржи само један елемент,
он је себи идентичан.
11
први поглед делује тачно. Али када мало боље погледамо видимо да је могуће
закључити да се тачке
А
и
B
поклапају само ако су праве
l
1
и
l
n-1
различите, односно
ако је
n
≠ 2. То значи да индуктивни корак генерише низ импликација
али база индукције не доказује прво тврђење из овог низа, тако да доказ
индукцијом није коректан.
Када би могли да докажемо да је
S
(3) тачно, тада би тврђење важило за све
природне бројеве. Међутим, јасно је да три различите праве у равни не морају да се
секу у једној тачки, па ни тврђење
S
(3) не може да буде тачно.
Примењен уз неопходан опрез, метод математичке индукције омогућује да у
многим случајевима буде утврђена тачност или нетачност постављенe хипотезе.
Шта више, да би било могуће применити математичку индукцију на што већи број
различитих случајева, из основног принципа математичке индукције изведене су
још неке формулације овог принципа.
2. ИСТОРИЈАТ МАТЕМАТИЧКЕ ИНДУКЦИЈЕ
Први трагови математичке индукције могу се наћи још у списима Зенона,
Платона и Еуклида, античких филозофа. Међутим, о томе ко је први исказао
принцип математичке индукције мишљења су подељена.
Најранији трагови математичке индукције могу се наћи у Еуклидовом
доказу да постоји бесконачно пуно простих бројева и Баскарином циклидном
13
методу. Форма доказа математичком индукцијом јавља се у књизи коју је написао
Ал-Караџи око 1000.-те године, коју је између осталог користио да докаже
Биномну теорију и Паскалов троугао.
Међутим, ниједан од ових старих математичара није експлицитно дао
индуктивну хипотезу.
Према А. Островском то је 1321. учинио Леви Бен Герсон (1288. – 1344.).
Неки историчари математичких наука, пак, налазе да су проналазачи принципа
математичке индукције Ф. Моролико (1494. – 1575.) и Ј. Бернули (1645. – 1705.),
док М. Кантор сматра је то Б. Паскал, који је, према најновијим истраживањима,
најзаслужнији за јасно формулисање принципа математичке индукције.
Приоритет у овоме се, са пуном сигурношћу, не би могао дати само једној
личности. Период у коме је аксиом математичке индукције прецизно исказан, а
метод математичке индукције, заснован на аксиому индукције, правилно
примењен, био је дуг и сигурно је де су у томе узели учешће и имали заслуга многи
математичари.
Неоспорно је да се принцип математичке индукције заснива се на петом
Пеановом аксиому. Ђузепе Пеано је 1889. године, приликом аксиоматског
заснивања теорије природних бројева, уврстио и принцип математичке индукције
међу аксиоме природних бројева.
2.1. Пеанове аксиоме и математичка индукција
Математичка индукција је пример најсигурнијег закључивања. Још од
појаве индуктивног закључивања, па преко емпиријске индукције све до
математичке индукције развија се процес логичког закључивања, где се тежи
проналаску сигурног пута за откривање истинитих теорема и ставова у области
математике.
Математичком индукцијом се многи ставови строго доказују. Принцип
математичке индукције је принцип који се користи за доказивање теорема из скоро
свих области математике.
Постоји неколико типова математичке индукције, што ћемо видети у
наставку рада, али најбитније је поменути да се све оне заснивају на постулату
Пеанових аксиома. Најпре ћемо се упознати са њима.
Пеанов систем аксиома састоји се од следећих тврђења:
14
Пример 1.
Доказати да за све природне бројеве и све ненегативне реалне
бројеве
важи неједнакост аритметичке и геометријске средине
.
Доказ.
(1) Најпре математичком индукцијом по
k
доказујемо да тврђење
важи за све природне бројеве облика
.
За
(
) неједнакост
је еквивлентна са
.
Претпоставимо да тврђење важи за
. Тада је
.
Закључујемо да неједнакост важи за све
.
(2) Претпоставимо сада да је неједнакост тачна за неки природан број и
изаберимо
. Тада је
, одавде се
добија
, тј.
, па је
.
Овде смо доказали да неједнакост важи и за
, па даље закључујемо да
важи за све природне бројеве. Приметимо да у датој неједнакости (зa
)
једнакост важи ако и само ако је
.
3.2. Рекурентна индукција
Постоје тврђења која се доказују методом математичке индукције, али је
при доказивању индукцијског корака практичније претпоставити
и доказати
. Другачије речено, не чини се
корак са кa
, већ са неколико који претходе
кa
. Значи ако
индукцијски корак има претпоставки овај принцип се може записати:
16
.
Ову формулу означавамо
Овај принцип математичке
индукције је еквивалентан основном принципу.
Пример 2.
Ако је
i
, доказати да је
.
Доказ.
(1)
,
, па је тврђење тачно за
и зa
.
(2) важи за и
Па важи и за
.
3.3. Трансфинитна индукција
Код појединих тврђења о природним бројевима за доказ да важи
треба доказати следеће:
(1)
је тачан исказ;
(2) за све
, ако су
тачни искази, онда је и
тачан
исказ.
Ова врста индукције се записује као:
Пример 3.
Ако је
и за
,
, тада је за
све природне бројеве испуњено
.
Доказ.
(1)
(2) Претпоставимо да је
i
. Тада је:
Пример 4.
Доказати да је сваки природан број
или прост или је
производ простих бројева.
Доказ.
(1) Зa
броj 2 је прост, па је тврђење тачно.
(2) Нека je
природан број. Претпоставимо да тврђење важи за све
.
Број је прост, па тврђење важи. Ако је сложен сe може написати у облику
17
a)
b)
сл.1.
Претпоставимо сада да за неко постоји мрежа аутобуских линија које
задовољавају услове задатка. Узмимо сада
града. Издвојимо из тог скупа било
која два града A и B. Преосталих градова можемо повезати на жељени начин, по
претпоставци. Додавши градове А и B, мрежу једносмерних линија допуњујемо на
следећи начин: Направимо линију од А ка B, затим, једносмерне линије од Б до
сваког од преосталих
n
градова, и најзад линије до сваког од преосталих градова
до А. Таква мрежа заиста задовољава услове задатка јер: од А се може доћи до B
директном линијом, а у било који од преосталих градова преко B; из B се може
стићи у било који град директном линијом, осим у град А, у који се може стићи
преко било ког од преосталих градова; из било ког града из скупа преосталих
градова може се стићи до А директном линијом, до B са једним преседањем преко
града А, а они по претпоставци поседују мрежу аутобуских линија по којој се из
сваког града из тог скупа може стићи у било који други са највише једним
преседањем.
Закључујемо да за било који број градова
постоји тражена мрежа
једносмерних аутобуских линија.
4. ПРИМЕНА ИНДУКЦИЈЕ У ГЕОМЕТРИЈИ
4.1. Доказивање и дефинисање помоћу индукције
Математичка индукција се такође може користити у доказима неких теорема
у геометрији. У наставку рада упознаћемо се са неколико примера доказивања
помоћу индукције.
Пример 1.
Дато је n произвољних квадрата. Доказати да је могуће
исећи их на такав начин, да се од свих исечених делова може саставити нови
квадрат.
Доказ
. (1) За
n
= 1 не треба доказ. Докажимо да претпоставка важи за
n
= 2.
Означимо дужине страница квадрата ABCD са
x
и A
1
B
1
C
1
D
1
са
y
и нека је
x
y
. На
страницама квадрата ABCD (сл.2a), означимо тачке M, N, P, Q, тако да је
19
AM = BN = CP = DQ =
и исецимо квадрат по дужима MP и NQ, које се секу
под правим углом (што се може лако доказати) у тачки O и тако деле квадрат
ABCD на четири једнака дела. Спајањем ових делова са квадратом A
1
B
1
C
1
D
1
добијамо нову фигуру као што је приказано на слици 2б. Фигура коју смо добили
такође је квадрат, пошто су углови у тачкама M , N , P , Q суплементни, углови A ,
B , C , D су прави и A B =B C = C D =D A .
a)
б)
сл. 2.
Претпоставимо да је могуће од
n
квадрата сечењем добити један нов. Треба
доказати да то важи за
n
+1 квадрат (K
1
, K
2
, ..., K
n+1
).
Узмимо било која два квадрата од датих
n
+1, рецимо K
n
и K
n+1
. Како је
показано у (1) , сечењем и спајањем делова ова два квадрата добијамо нови квадрат
K . Тада је по претпоставци могуће сечењем квадрата K
1
, K
2
, ..., K
n-1
, K добити
један нов, што је и требало доказати.
Овим смо доказали да се од било колико квадрата сечењем и спајањем може
добити један велики квадрат.
Пример 2.
Дат је троугао ABC сa
n
-1 правих CM
1
, CM
2
, ..., CM
n-1
,
повученим кроз теме C, које деле
троугао на n мањих троуглова ACM
1
,
M
1
CM
2
, ..., M
1
CB. Означимо са
r
1
, r
2
, ...,
20
. Посматрајмо два од тих троуглова, рецимо
и
. Као што смо претходно горе видели
, где су
и
полупречници уписаног и споља уписаног круга троугла
. Пошто за
n
троуглова
.Важи:
.
Одавде следи да је
. Овим смо доказали да тврђење
важи за свако
n
.
Математичка индукција има примену и у дефинисању у геометрији.
Пример 3.
Дефиниција средишта дужи и тежишта n-троугла
(1) Средиште дужи ћемо назвати тежиштем.(сл. 4a).
а) б)
сл.4.
Тежишне дужи троугла
онда се могу дефинисати као дужи које
спајају темена троугла са тежиштима супротних страница. Као што знамо тежишне
дужи у троуглу секу се у једној тачки која дели сваку тежишну дуж у односу 2:1.
Та тачка назива се тежиштем троугла.
22
Дефинишимо сада тежишне дужи четвороугла
које спајају свако
од темена
редом са тежиштима (
) троуглова које
сачињавају остала три темена. Докажимо сада да се све тежишне дужи секу у једној
тачки која их дели у односу 3:1. Нека је тежиште странице
и нека су
и
тежишта троуглова
и
редом. Нека је тачка пресека
тежишних дужи
и
четвороугла
. Пошто су
и
тежишне дужи троуглова
и
можемо рећи:
и
.
Oдатле следи
и
.
Из сличности троуглова
и
имамо да је
.
Значи сваке две суседне тежишне дужи секу се у односу 3:1. Одатле следи
да се све тежишне дужи четвороугла секу у једној тачки која их дели у односу 3:1.
Та тачка се зове тежиштем четвороугла.
(2) Претпоставимо да смо за свако
дефинисали тежишне дужи k-
троугла као дужи које спајају темена тог
k
-троугла са тежиштем (
k
-1)-троугла, који
сачињавају преосталих
темена и да смо за свако
дефинисали тежиште
k
-
тоугла као пресечну тачку његових тежишних дужи. Такође ћемо претпоставити да
за свако
тежиште дели тежишне дужи
k
-троугла у односу (
k
-1):1.
Дефинишимо сада тежишне дужи
n
-троугла као дужи које спајају теме са
тежиштем (
n
-1)-троугла .Докажимо сада да се све тежишне дужи секу у једној
тачки која их дели у односу (
n
-1):1. Нека је тежиште (
n
-2)-троугла
.
Тада су дужи
и
уствари тежишне дужи (
n
-1)-троуглова
и
(сл.5.). Ако су
и
тежишта ових многоуглова, онда по
индуктивној претпоставци важи:
.
23
Најприроднији начин употребе индукције у геометрији је управо онај
најближи употреби индукције у теорији бројева у алгебри, а то је решавање
рачунских проблема у геометрији.
Пример 4.
Доказати да је збир унутрашњих углова у конвексном
n
-троуглу
једнак
.
Доказ.
Као што знамо, број страница сваког троугла је 3, односно
n
=3. Збир
унутрашњих углова у троуглу је
. (S
3
=180 ) .
Збир углова у четвороуглу је 360 (сваки четвороугао се може поделити на
два троугла (сл. 6).
a)
б)
сл. 6.
Претпоставимо да важи да је збир унутрашњих углова било ког
m
-тоугла
(
m<n
) једнак
.Посматрајмо сада
n
-троугао A
1
,A
2
,...,A
n
.
Пре свега треба доказати да се сваки полигон може поделити дијагоналом на
два полигона са мањим бројем страна (за конвексни полигон можемо узети било
коју дијагоналу). Нека су A, B, C било која три суседна темена полигона, а кроз
теме B повлачимо све могуће краке попуњавајући унутрашњост угла
.
Постоје два могућа случаја:
(1) Сви зраци пресецају једну исту страну полигона (сл. 7а). У овом случају
дијагонала AC дели
n
-троугао на (
n
-1)-угаоник и троугао.
(2) Ne секу сви зраци једну исту страну полигона (сл. 7б). У овом случају
један од зрака ће проћи кроз одређено теме M тог полигона, а дијагонала BM ће
поделити полигон на два полигона, сваки са мање стране него првобитни полигон.
25
a)
б)
сл. 7.
Вратимо се сада доказу главног проблема. Узмимо дијагоналу A
1
A
k
у
n
-троуглу A
1
A
2
...A
n
који дели
n
-троугао на
k
-троугао A
1
A
2
...A
k
и (n-k+2)-троугао
A
1
A
k
A
k+1
...A
n
. По претпоставци збир углова у
k
-троуглу и (
n
-
k
+2)-троуглу једнак
је редом (
k
-2)
и
. Одатле произилази да је збир
углова у
n
-троуглу једнак
.
Дакле ова претпоставка важи за свако
n
.
4.3. Конструкција помоћу индукције
Метод математичке индукције се може користити за решавање
конструкцијских проблема под условом да као аргумент у проблему фигурише
произвољан природан број (на пример проблем конструкције
n
-троугла). На
следећем примеру ћемо видети начин на који се користи индукција у конструкцији.
Пример 5.
Дато је 2
n
+1 тачакa. Конструисати (2
n
+1)-угаоник, код кога су
дате тачке средишта страница.
(1) За
n
= 1 проблем се своди на конструкцију троугла. Овај проблем се лако
решава. Повучемо праву кроз сваку тачку, тако да она буде паралелна правој која
пролази кроз друге две тачке.
(2) Претпоставимо да можемо конструисати (2
n
-1)-угаоник ако су дата
средишта његових страница и нека је дато 2
n
+1 тачака
, тако да су
оне средишта траженог (2
n
+1)-угаоника
.
26
5. ДЕФИНИСАЊЕ ПОМОЋУ МАТЕМАТИЧКЕ ИНДУКЦИЈЕ
Математичка индукција је, поред примене у геометрији, нашла своју
употребну вредност и у дефинисању појмова у теорији бројева, односно
аритметици. Помоћу математичке индукције дефинишу се неки аритметички
низови, од којих је најзначајнији Фибоначијев низ, коме ћемо посветити посебну
пажњу у наставку рада. Битно је напоменути да готово сва тврђења, која се односе
на природне бројеве, доказују се применом метода математичке индукције. Поред
употребе принципа математичке индукције у доказима методом потпуне
математичке индукције, она се употребљава и у дефиницијама.
Нека је
S
низ неких математичких објеката, тј. нека сваком природном броју
n
одговара објекат (броју 1 одговара објекат , броју 2 oбјекат итд.). Низ
S
је
потпуно одређен ако је дат експлицитан израз за . Међутим, дати низ
S
се може
дефинисати и на тај начин што је дато, а познато је и у каквом су односу и
, oдносно
се може изразити помоћу (за сваки природан број), што се
математички представља на следећи начин:
28
(1)
= f ( ), (n=1,2,3,...)
Следи доказ да је низ
S
потпуно одређен оваквом дефиницијом:
За
n
= 1 из (1) добијамо (2) = f ( ),па пошто су и функција дати, из (2)
добијамо .
За
n
= 2 добија се (3) = f ( ) чиме се из (3), пошто су познати и
функција, . Настављајући овај поступак видимо да је низ
S
потпуно одређен
оваквим дефинисањем, а тај поступак је уствари дефинисање помоћу индукције.
Дефинисање помоћу индукције се често користи за дефинисање нумеричких
низова и појмова. Рекурзивне дефиниције, које представљају уопштења изложеног
метода, од велике су важности у свим гранама математике, а посебно у
математичкој логици.
Пример 1.
Збир
n
бројева
може се представити и као
тј.
Помоћу индукције ову ознаку можемо дефинисати на следећи начин:
,
, (n=1,2,3,...)
Пример 2.
Помоћу индукције можемо дефинисати
n! (факторијел природног
броја) за сваки природан број:
1!=1, (n+1)!=n!(n+1), (n=1,2,3,...)
Из ове дефиниције редом произилази
…и у
општем случају
Напомена: По дефиницији се узима да је 0!=1.
Принцип математичке индукције користи се и за дефинисање
Фибоначијевог низа.
5.1. Фибоначијев низ
29
што је тачно, и:
1=1
што је такође тачно.
(2) Претпоставимо да су једнакости истините za
n = k
за које имају облик:
(3)
, (4)
и докажимо да важе за
n
=
k
+ 1 за које имају облик:
(4)
, (6)
Користећи релације (3) и (4) добијамо:
,
Ово се поклапа с дефиницијом члана Фибоначијевог низа као збиром два члана
која му непосредно претходе. Како из претпоставке да су једнакости тачне за
n
=
k
31
произилази њихова тачност за
n
=
k
+1 и на основу својства (1) закључујемо да су
дате релације истините на основу принципа математичке индукције за све чланове
Фибоначијевог низа.
6. ИНДУКЦИЈА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ
Сваки поступак у настави математике којим се долази до математичке
истине (математичког открића) зове се метода математичког закључивања.
Основне методе математичког закључивања у настави математике основне школе
су: индукција, дедукција, анализа, синтеза, аналогија и интуиција.
Улога ових метода у настави математике слична је онима које су оне имале
у откривању појединих математичких појмова и теорема у математичкој науци, са
том разликом што је процес откривања у настави математике непоредиво краћи
него што је у математичкој науци.
Индуктивна метода значајна је за откриће многих математичких појмова и
теорема. Значајна је њезина улога и у почетној настави математике. То је
најзначајнија метода за откривање појединих
математичких појмова и правила у
настави математике у основној школи. Премда је та метода несигурна
у смислу
доказа у настави, у настави математике открића преко примера врло су честа.
Преко
примера се откривају и многи математички појмови. Индуктивна је метода
незамењива у почетној
настави математике.
Индукција и дедукција као облици закључивања спадају у посредно
закључивање. У почетној настави математике са ученицима нижег
основношколског узраста се користе и потпуна и непотпуна индукција.
Ученици у нижим разредима основне школе математичку индукцију не
изучавају као посебну област градива, али је, при томе, настава математике у
основној школи претежно индуктивна, јер ученици све математичке садржаје и
појмове на овом ступњу усвајају индуктивно ( претежно непотпуном индукцијом),
а након тога их дедуктивно примењују на решавање појединачних проблема и
задатака.
32
проверили. Сада закључак можемо записати и математичким језиком у општем
облику на следећи начин:
a + b = b + a
Из претходно наведеног објашњења јесно је да су ученици до овог закључка
дошли применом непотпуне индукције, јер нису наведени сви појединачни
случајеви које обухвата коначан закључак.На сличан начин применом индукције,
можемо обрадити и закон асоцијативности (здруживања) сабирака, као и законе
који важе за операцију одузимања. Уопште, непотпуну индукцију користимо и у
долажењу до основних закона свих рачунских операција.
Навешћемо још један пример употебе непотпуне индукције у настави. Из
тачних појединачних примера
2 + 3 = 5 ; 5 – 3 = 2 ; 5 – 2 = 3
6 + 8 = 14 ; 14 – 8 = 6 ; 14 – 6 = 8
ученици треба да изведу општи закључак да се један сабирак добија када се од
збира одузме други сабирак.
У другом разреду ученици се сусрећу са новим рачунским операцијам
множења и дељења, као и основним особинама ове две аритметичке операције. Ови
нови садржаји се такође већином усвајају индукцијом.
Као пример навешћемо пример усвајања егзистенције неутралног елемента
за множење и дељење. Од ученика најпре захтевамо да израчунају следеће
производе
= ___ ;
= ___ . Након рачунања ученици ће, вероватно
претпоставити да било који број помножен бројем 1, остаје исти, односно чинилац
и производ су исти. Како би потврдили своју претпоставку, од ученика ћемо
захтевати да реше следеће примере:
= ___ ;
= ___ ;
= ___ ;
= ___
Након тога можемо извести закључак да је број 1 неутрални елемент за
множење, односно било који број помножен бројем 1 даје за производ тај исти број.
До овог закључка ученици су, такође досли, применом индуктивног закључивања,
од појединачног ка општем. Општи закон записујемо математичким језиком на
следећи начин
=
=
Напоменимо да закључак који се ослања на непотпуну индукцију често
може бити непоуздан, јер оно што важи у неколико појединачних случајева не мора
важити за све случајеве. На пример, из тачних исказа:
34
(1)
= 10 ;
= 20 ;
= 30 ;
= 40, непотпуном индукцијом можемо
закључити да се производ два броја, од којих је један 5, завршава нулом, што је
нетачно (на пример
= 25) .
(2) (2 + 4):2 = 3 ; (4 + 4):2 = 4 ; (6 + 2):2 = 4 ; (8 + 10):2 = 9, непотпуном
индукцијом можемо закључити да ако је збир дељв са 2, тада је и сваки сабирак
дељив са 2. Ово је натачно, јер, на пример, не важи у случају (1 + 3):2 = 2
У почетној настави математике се, поред непотпуне индукције, примењује и
закључивање путем потпуне индукције, где се општи закључак изводи тек након
што смо обухватили све појединачне примере и случајеве.
Навешћемо неколико примера:
(1) Да би смо закључили колико има парних бројева у првој десетици
можемо избројати: 2,4,6,8,10. Закључак је сада лак, парних бројева у првој
десетици има 10.
(2) Из тачних појединачних исказа:
- дијагонале квадрата се полове;
- дијагонале правугаоника се полове;
- дијагонале ромба се полове;
- дијагонале ромбоида се полове,
на основу потпуне индукције закључујемо: дијагонале свих паралелограма се
полове.
Без обзира што се потпуном индукцијом добијају потпуно тачни закључци,
она се мало примењује, јер је потребно да се исцрпе сви појединачни случајеви, а
њих често, иако коначно, има много. Иако закључци изведени непотпуном
индукцијо могу бити непоуздани, често и нетачни, она се најчешће користи у
разредној настави и помоћу ње се долази до нових сазнања општег карактера.
Несумњива је и педагошка вредност, јер ученици из низа појединачних примера
могу самостално, користећи поступак упоређивања, формирати нове појмове,
формулисати нова својства и законитости. Разматрање појединачних случајева
помаже да се искаже хипотеза о законитости. Када се непотпуном индукцијом дође
до закључка, тачност тог закључка треба доказати и то неким другим путевима, на
пример дедукцијом. Да би смо индукцијом добили правилне закључке потребно је
одабрати што већи број посебних објеката у којима се понавља законитост, коју
ученици треба да уоче.
35
Математика као наука је дедуктивно заснована. Међутим, на узрату од
првог до четвртог разреда основне школе није могућа примена опште дедукције.
Зато се прибегава примени локалне индукције, чија се суштина састоји у томе да
преко дедуктивног закључивања можемо доћи до закона.
У почетној настави математике ретке су ситуације када се индукција и
дедукција користе одвојено, већ су у применама нераздвојне. Као што се из свега
претходно изложеног може видети у савременој настави претежно доминира
индуктивно-дедуктивни поступак.
ЗАКЉУЧАК
Математичка индукција је веома значајна метода која због своје
математичке строгости увек доводи до тачних закључака. Усавршавајући се и
уобличавајући кроз векове математичка индукција је тек крајем деветнаестог века
након дефинисања скупа природних бројева преко Пеанових аксиома комплетно
формирана и јасно дефинисана.
Метод математичке индукције има широке и разноврсне примене, као што
се могло наслутити из приложеног. Метод потпуне индукције омогућава да се са
сигурношћу утврди да ли је нека претпоставка основана или не, управо стога што је
доказ заснован на овом принципу, без обзира на термин “индукција”, заправо
дедуктиван. Закључивање се овде не врши од појединачног на општем, као што је
то случај са типичном индукцијом (нпр. емпиријска). Метод математичке
индукције претставља уствари синтезу дедукције и индукције чији је значај увидео
руски математичар А. Ј. Хинчин (1894-1959) по коме: ,, Онај који практикује
индукцију не одевајући је у формална правила (тј. не вршећи њену синтезу са
дедуктивном формом), престаје да буде математичар; он се бави емпиријским
уопштавањем без икакве везе са метематичком науком. Обратно, вршећи дедукцију
неоплођену индуктивним садржајем, математичар престаје да ствара, зато што без
елеманата индукције, тј. без добијања општих закључака на основу појединачног
материјала нема и не може бити научног стваралаштва. Наука почиње тамо где по
први пут срећемо уопштавање.”
Рад је конципиран у шест целина. У првој целини рада обрађене су
индукција и дедукција уопште као форме логичког, али и математичког
закључивања. Посебан акценат је стављен на индуктивни начин закључивања у
37
математици. Поменута је разлика између потпуне и непотпуне индукције и основни
елементи математичке индукције (индукцијска база, индукцијска хипотеза и
индукцијски корак) као и принцип математичке индукције са одговарајућим
примерима. Историјски развој математичке индукције и Пеанове аксиоме, на
којима се темељи принцип математичке индукције заузима централно место у
другој целини дипломског рада. Посебно је наглашена узајамна веза између
Пеанових аксиома и математичке индукције. Садржај треће целине рада је
посвећен основним облицима математичке индукције, са објашњењима уз
конкретне примере.
У четрвртој целини рада пажња је усмерена на примену индукције у
геометрији. Као што смо видели, математичка индукција се користи у доказима
неких теорема у геометрији, као и за дефинисање, Такође, користи се и за
израчунавање тј. решавање рачунских проблема у геометрији, а нашла је и примену
у решавању конструкцијских проблема у геометрији. Све наведено је илустровано
кроз одговарајуће примере. Математичка индукција се примењује и у теорији
бројева тј. у дефинисању нумеричких низова и појмова. Између осталог, принцип
математичке индукције се користи и за дефинисање Фибоначијевог низа. Управо,
пета целина рада детаљније објашњава употребну вредност индукције у
аритметици, односно теорији бројева.
Ученици у нижим разредима основне школе математичку индукцију не
изучавају као посебну област градива, али је, при томе, настава математике у
основној школи претежно индуктивна, јер ученици све математичке садржаје и
појмове на овом ступњу усвајају индуктивно (претежно непотпуном индукцијом), а
након тога их дедуктивно примењују на решавање појединачних проблема и
задатака. У шестој, уједно и последњој целини рада, посебна пажња је посвећена
овој проблематици, уз сликовито објашњење примене индуктивне методе
приликом усвајања нових садржаја и појмова у почетној настави математике.
Тешко је и замислити шта би математика била без математичке индукције.
Почевши од најједноставнијих елементарних проблема везаних за природне
бројеве па до сложених проблема из теорије математике многи се могу свести на
математичку индукцију. Управо у томе је њен огроман значај за развој математике
као науке.
38
(13) Цветковић, Д., Симић, С. (1990):
Дискретна
математика
.Београд: Научна књига
(14) Челиковић, Л. (1990):
Принцип математичке индукције
.Бели
Манастир: Графичко предузеће Слово
40
