Универзитет у Београду, Математички факултет
Семинарски рад из предмета Одабрана поглавља геометрије
Геометријска алгебра
Професор: Мирјана Ђорић Студент:
Асистент: Милош Ђорић
2
Увод
Постојање ирационалних бројева довело је до развоја једне врсте алгебре, а то је
алгебра дужи, односно њихових мера. Да сваком броју одговара дуж, евидентно је,
међутим не може се свака дуж измерити датом дужи, као што су ивица и дијагонала
квадрата несамерљиве дужи. Друга књига Еуклидових Елемената говори управо о
геометријској алгебри
, споју вавилонске аритметике и египатске геометрије, развијеној у
питагорејској школи. У другој књизи Елемената алгебарске формулације и докази ставова
јесу геометријски. Назив геометријска алгебра потиче од данског математичара Сојтена.
Геометријски приступ алгебри поникао је од старих Грка, међутим Арапи су
посветили више пажње бројевима и аритметици. Грчка мисао довела је до арапских
достигнућа у геометријској албегри, пре свега код Ал Хорезмија
1
. Поред тога што је
саставио најстарије астрономске таблице, у преводу је сачуван његов трактат о алгебри,
инспирисан и поткрепљен грчким и индијским знањима. Трактат о алгебри носи назив
„Хисаб ал џабр вал мукабала“
2
и заиста је корак напред у алгебри.
У даљем тексту дајемо описе неких ставова из Елемената и решавања једначина
другог и трећег степена.
1
Абу Џафар Мухамед Ибн Муса Ал Хорезми ( око 780-850 год. ). Његова лична биографија је мало позната.
2
Из израза „ал џабр“ настао је назив за алгебру.
4
Нека је дуж АВ подељена тачком С произвољно. Квадрат над АВ једнак је збиру
квадрата над АС и ВС и двоструког правоугаоника обухваћеног дужима АС и ВС.
Конструише се квадрат над АВ и споје се тачке В и Е. Затим из С конструишемо праву СI,
паралелну ма којој од AE или BD. У пресеку СI и ВЕ означимо тачку F. Конструишемо
праву која садржи тачку F и паралелна је са АВ. Означимо пресеке праве са АЕ и ВD са H
и G. Угао ﮮСFB = ﮮAEB, јер је CF паралелно са AE и FB паралелно са EB. Углови ﮮAEB
и ﮮAВЕ су једнаки јер је АЕ=АВ. Следи да је ﮮСFB = ﮮAВЕ, па је СF=СВ. Из тога следи
да је CFGB „једнакостран“
4
четвороугао. Потребно је још доказати да је и правоугли.
АBDE је квадрат, па је угао ﮮGBC прав. СF је паралелно са BG и СВ=СВ, па следи да је и
ﮮFCB такође прав. Можемо закључити да је четвороугао CFGB квадрат. Из истих разлога
је и HEIF квадрат. Означимо АС са
а
, а СВ са
b
. Како је CFGB квадрат то је СВ= FG=
b
и
СВ=СF=
b
, а самим тим је АС=GD. Следи да је правоугаоник HFCA подударан
правоугаонику FIDG, оба ивица
а
и
b
. ■
II.5
: Ако се дата дуж подели двема тачкама и на једнаке и неједнаке делове, биће збир
правоугаоника обухваћеног неједнаким деловима целе дужи и квадрата на дужи између
деоних тачака једнак квадрату на половини дужи. Ово тврђење може се записати и овако:
AD∙DB+CD
2
=CB
2
.
Доказ
:
Нека је дуж
АВ
подељена
4
Једнакостран би у овом случају значило једнаких ивица.
